Elektrický náboj Zavřete se s přítelem do temné komory; asi po 15 minutách si vaše oči přivyknou na tmu. Bude-li pak váš přítel kousat kostku cukru, bude kostka jiskřit. U některých tvrdých bonbonů uvidíte při každém kousnutí vystupovat z jeho úst slabé záblesky modrého světla. (Můžete také drtit kostku kleštěmi, jako je to na fotografii.) Co způsobuje tento světelný úkaz, obvykle nazývaný triboluminiscence'? 578 KAPITOLA 22 ELEKTRICKÝ NÁBOJ 22.1 ELEKTROMAGNETISMUS Již staří Rekové věděli, že když budou třít kus jantaru, bude přitahovat kousky slámy. Tato dávná pozorování zanechala své stopy i v dnešní elektronické době — slovo elektron znamená řecky jantar. Rekové také pozorovali, že některé přírodní „kameny", např. minerál magnetovec, přitahují železo. Z těchto skromných počátků se vědy o elektřině a magnetismu rozvíjely po staletí odděleně — v podstatě až do roku 1820, kdy Hans Christian Oersted mezi nimi našel spojení: zjistil, že elektrický proud protékající vodičem vychyluje magnetickou střelku kompasu. Je zajímavé, že Oersted učinil tento objev, když si připravoval demonstrace k přednášce pro své studenty fyziky. Novou vědu, elektromagnetismus (spojující elektrické a magnetické jevy), rozvíjeli dále vědci v mnoha zemích. Jedním z nejvýznamnějších byl Michael Faraday, velice nadaný experimentátor s velkou fyzikální intuicí a představivostí. Toto jeho nadání zejména vyniká, uvá-žíme-li, že jeho sebrané laboratorní deníky neobsahují jedinou rovnici. V polovině 19. století James Clerk Maxwell vyjádřil Faradayovy poznatky v matematické podobě, připojil řadu svých vlastních nových myšlenek a položil tak teoretické základy elektromagnetismu. Tab. 32.1 uvádí základní zákony elektromagnetismu, nyní nazývané Maxwellovy rovnice. Přijdeme k nim postupně v následujících kapitolách, ale možná se na ně chcete podívat už teď, abyste viděli, jaký je náš cíl. 22.2 ELEKTRICKÝ NÁBOJ Projdete-li se za suchého dne po koberci a pak přiblížíte prst ke kovové klice u dveří, přeskočí jiskra. Televizní reklamy nás upozorňují na problém „statické přilnavosti" oblečení (obr. 22.1). A blesk, abychom uvedli i něco velkolepého, zná každý z nás. Každý z těchto jevů je přitom projevem jen nepatrné části z obrovského množství elektrického náboje, jenž je obsažen v předmětech, které nás obklopují, i v našem vlastním těle. Elektrický náboj neboli stručně jen náboj je atributem (neodmyslitelnou vlastností) základních částic, z nichž se skládají objekty kolem nás; je charakteristickou vlastností, která je s těmito částicemi spojena, ať se nacházejí v jakékoli situaci. Obrovské množství náboje si v běžných předmětech obvykle neuvědomujeme, protože předměty obsahují stejné množství náboje dvojího druhu: kladného a záporného. V takovém případě jsou předměty jako celek elektricky neutrální (předmět není nabit); to znamená, že jeho výsledný náboj je roven nule. Pokud nejsou oba typy náboje ve stejném množství, projeví se jejich rozdíl jako volný Obr. 22.1 Statická přilnavost — elektrický jev zvláště výrazný v suchých dnech — způsobuje, že se kousky papíru slepí dohromady a přilepí se k plastikovému hřebenu, že se vám šaty lepí na tělo atd. náboj, který může interagovat s jinými předměty, a tím získáme důkaz o jeho existenci. V tom případě říkáme, že předmět je nabitý. Rozdíl v množství náboje je však vždy velmi malý ve srovnání s obrovským celkovým množstvím kladného a záporného náboje obsaženého v předmětu. Nabité předměty spolu interagují navzájem silovým působením. Abychom to ukázali, nabijeme nejprve skleněnou tyč třením jednoho jejího konce hedvábím. Při velmi těsném dotyku mezi tyčí a hedvábím se přenáší malé množství náboje z jednoho předmětu na druhý a tím se trochu naruší elektrická neutralita každého z nich. (Tyč hedvábím třeme jen proto, abychom dosáhli těsnějšího kontaktu a tím také většího množství přeneseného náboje. To však stále zůstává oproti celkovému náboji předmětů nepatrné.) Zavěsme nyní nabitou tyč na vlákno, abychom ji elektricky izolovali od okolí; její náboj se pak nemůže měnit. Přiblížíme-li k ní druhou skleněnou tyč podobně nabitou (obr. 22.2a), obě tyče se navzájem odpuzují. Na každou z tyčí tedy působí síla směřující od druhé tyče. Když však třeme ebonitovou tyč kožešinou a přiblížíme ji k zavěšené skleněné tyči (obr. 22.2b), budou se obě tyče navzájem přitahovat. Na každou tyč tedy nyní působí síla směřující ke druhé tyči. Tento jev můžeme vysvětlit pomocí kladného a záporného náboje. Třeme-li skleněnou tyč hedvábím, ztrácí sklo část svého záporného náboje a získá tak malý přebytek náboje kladného (reprezentovaného znaménkem plus na obr. 22.2a). Třeme-li ebonitovou tyč kožešinou, získá naopak tyč malý přebytek záporného náboje (reprezentovaného znaménkem minus na obr. 22.2b). Z našich dvou pokusů plyne: 22.3 VODIČE A NEVODÍCE 579 (a) (/>) Obr. 22.2 (a) Dvě tyče nabité souhlasnými náboji se odpuzují, (b) Dvě tyče nabité opačnými náboji se přitahují. Elektrické náboje téhož znaménka se odpuzují, náboje opačného znaménka se přitahují. V čl. 22.4 vyjádříme tuto skutečnost i kvantitativně jako Coulombův zákon pro elektrostatickou sílu (nebo stručněji elektrickou sílu) mezi náboji.* Termín elektrostatická se používá pro zdůraznění toho, že náboje jsou vůči sobě v klidu nebo se navzájem pohybují jen zanedbatelnou rychlostí. Přívlastky „kladný" a „záporný" a jejich přiřazení elektrickým nábojům „hedvábí" a „kožešiny" zvolil Benjamin Franklin, a to zcela libovolně v tom smyslu, že mohl klidně zaměnit označení nebo použít jinou dvojici protikladů pro rozlišení dvou druhů náboje. (Franklin byl světově uznávaný vědec. Dokonce se říkalo, že jeho diplomatický triumf ve Francii během americké války za nezávislost byl umožněn právě díky tomu, že byl jako vědec tak vysoce oceňován.) Vzájemné přitahování a odpuzování nabitých těles má mnoho průmyslových aplikací, např. elektrostatické nanášení barev a naprašování, zachycování popílku v komínech, bezdotykový inkoustový tisk a fotokopírovaní. Obr. 22.3 ukazuje nepatrnou nosnou kuličku v xeroxovém kopírovacím stroji, pokrytou částicemi černého prášku nazývaného toner, které jsou k ní přitahovány elektrostatickými silami. Při kopírování jsou záporně nabité částice toneru přetaženy z nosné kuličky na ta místa rotujícího válce, kde byl vytvořen kladně nabitý obraz kopírovaného dokumentu. Odtud jsou poté přitáhnuty na nabitý list papíru a na něj nakonec tepelně nataveny; tím se vytvoří trvanlivá kopie. * Elektrický náboj je vždy vázán na látkovou částici, často však kvůli stručnosti hovoříme jen o nábojích, o působení mezi náboji atp. Obr. 22.3 Nosná kulička v xeroxu. Je pokryta částicemi toneru, které k ní přilnou díky elektrostatickému přitahování. Průměr kuličky je asi 0,3 mm. 22.3 VODIČE A NEVODÍCE V některých látkách (např. v kovech, v pitné vodě, v lidském těle) se může část jejich náboje pohybovat značně volně. Takové látky nazýváme vodiče. V jiných látkách (např. ve skle, v destilované vodě, v ebonitu a vůbec ve většině umělých hmot) se nemůže volně pohybovat prakticky žádný náboj. Tyto látky nazýváme nevodiče (též izolátory, dielektrika). To, co se jeví při mikroskopickém popisu jako uspořádaný pohyb náboje látkou, je právě to, čemu říkáme v makroskopickém popisu elektrický proud. Třete-li měděnou tyč vlnou a přitom ji držíte v ruce, nebudete schopni ji nabít, protože vy i tyč jste vodiče. Tření vytvoří nerovnováhu náboje na tyči, ale přebytečný náboj je okamžitě odveden z tyče vaším tělem do podlahy (která je spojena se zemským povrchem) a na tyči žádný přebytečný náboj nezůstane. Uzemnit předmět znamená vytvořit vodivou cestu mezi ním a zemským povrchem. Vybít předmět znamená jej zne-utralizovat, tj. vyrovnat jakoukoli cestou množství kladného a záporného náboje, který na něm je. (Obr. 22.4 ukazuje poněkud bizarní způsob vybíjení.) Když tyč držíme nikoli přímo v ruce, ale za držadlo z izolátoru, přerušíme vodivou cestu k zemi a tyč pak můžeme třením nabít. Vlastnosti vodičů a nevodičů jsou podmíněny strukturou a elektrickou podstatou atomů. Atomy se skládají z kladně nabitých protonů, záporně nabitých elektronů a elektricky neutrálních neutronů. Protony a neutrony jsou těsně vázány v jádře atomů; prozatím nám bude stačit představa, že elektrony obíhají na jistých dráhách (orbitách) kolem jádra. 580 KAPITOLA 22 ELEKTRICKÝ NÁBOJ Obr. 22.4 Toto není akrobatický kousek, ale seriozní experiment, provedený v roce 1774 jako důkaz, že lidské tělo vede elektrický proud. Historický lept ukazuje nevodivými provazy privážaného člověka, který je nabíjen dotykem nabité tyče (tyč se pravděpodobně dotýkala přímo těla, nikoli kalhot). Když člověk priblížil obličej, levou ruku nebo tyč s vodivou koulí v pravé ruce ke kovovým deskám, elektrické jiskry přeskakující vzduchem ho vybily. Náboje elektronu a protonu mají stejnou velikost, ale opačné znaménko, proto elektricky neutrální atom musí obsahovat stejný počet elektronů a protonů. Elektrony se drží poblíž jádra, protože mají elektrický náboj opačného znaménka než protony v jádře a jsou tedy k jádru přitahovány. Když se seskupí atomy vodiče (např. mědi), aby vytvořily tuhé těleso, pak některé z jejich vnějších (tedy nejméně přitahovaných) elektronů už nejsou vázány k jednotlivým atomům, uvolní se od nich a pohybují se víceméně volně uvnitř celého tělesa, zanechávajíce na místě kladně nabité zbytky atomů — kladné ionty. Tyto pohyblivé elektrony se nazývají vodivostní. V kovech je jich velmi mnoho, zatímco v nevodících je vodivostních elektronů velmi málo. Pokus na obr. 22.5 demonstruje pohyblivost náboje ve vodiči. Záporně nabitá ebonitová tyč bude přitahovat libovolný konec izolované neutrální měděné tyče. Vodivostní elektrony v bližším konci měděné tyče jsou odpuzovány záporným nábojem ebonitové tyče. Pohybují se ke vzdálenějšímu konci měděné tyče a způsobují tak v jejím bližším konci nedostatek elektronů a tím převažující kladný náboj. Tento kladný náboj je přitahován k zápornému náboji ebonitové tyče. Ačkoli měděná tyč j ako celek zůstává neutrální, říkáme, že má indukovaný náboj; část jejích kladných a záporných nábojů se navzájem oddělila v důsledku přiblížení jiného náboje. Jakmile se tyto náboje od sebe oddálí, budou i od okolních předmětů různě vzdáleny a budou na ně proto působit různě velkými silami; tento rozdíl již můžeme zjistit. Podobně, přiblížíme-li kladně nabitou skleněnou tyč k jednomu konci neutrální měděné tyče, vodivostní elek- Obr. 22.5 Neutrální měděná tyč je elektricky izolována od okolí zavěšením na nevodivé vlákno. Každý z obou konců tyče může být přitahován nabitým ebonitem. Vodivostní elektrony z blízké části měděné tyče jsou záporným nábojem ebonitu odpuzovány k jejímu vzdálenějšímu konci a tím v uprázdněné části převáží kladný náboj jader. Záporný náboj ebonitu pak přitahuje kladný náboj na bližším konci měděné tyče a odpuzuje záporný náboj na vzdálenějším; proto se měděná tyč přitáčí k ebonitu. trony v měděné tyči jsou k tomuto konci přitahovány. Tento konec se nabije záporně a opačný konec kladně, tj. v měděné tyči se opět vytvoří indukovaný náboj. Ačkoli měděná tyč zůstává jako celek neutrální, přitahuje se k nabité skleněné tyči. Poznamenejme, že v kovech se mohou pohybovat pouze vodivostní elektrony*; kladné ionty tvořící mřížku kovu zůstávají na místě. Předměty se tedy nabíjejí kladně pouze díky odvedení části záporných nábojů. Polovodiče (např. křemík a germanium) jsou látky, které mají vlastnosti mezi vodiči a izolátory. Revoluce mikroelektroniky, která tolik změnila naše životy, byla možná jen díky přístrojům zkonstruovaným z polovodičových materiálů. V kap. 42 se budeme polovodičům věnovat podrobněji. Běžné materiály (i ty nejlepší vodiče jako stříbro nebo měď) vždy brání toku náboje, který jimi prochází; mají vždy nenulový odpor. Existují však supravodiče nazývané tak proto, že nekladou pohybu elektrického náboje vůbec žádný odpor. Pokud vytvoříme v supravodivém prstenci proud, bude jím procházet beze změny stále, aniž by jej bylo potřeba udržovat baterií nebo jiným zdrojem energie. * V nekovových vodičích (jako jsou roztoky a taveniny solí, ionizované plyny, plazma) se pohybují celé atomy či molekuly, obohacené o elektrony či ochuzené o ně, tedy fakticky se pohybují částice nabité kladně i záporně. 22.4 COULOMBŮV ZÁKON 581 j^ONTROLA 1: Obrázek ukazuje pět dvojic desek: A, B, D jsou nabité ebonitové desky a C je elektricky neutrální měděná deska. Elektrostatické síly působící mezi nimi jsou naznačeny pro tři dvojice. Určete, zda se desky ve zbývajících dvojicích budou přitahovat, nebo odpuzovat. Rov. (22.1) se nazývá Coulombův zákon podle francouzského fyzika Charlese Augustina Coulomba, který jej v roce 1785 formuloval na základě svých měření. Všimněte si, že má stejný tvar jako Newtonův gravitační zákon (14.1) pro přitažlivou sílu mezi dvěma částicemi s hmotnostmi m i a »12, jejichž vzdálenost je r: ,mim2 F = G- (22.2) A C t B A D D A T 22.4 COULOMBŮV ZÁKON Uvažujme dvě nabitá tělíska zanedbatelných rozměrů — dvě nabité částice (nazývané bodové náboje). Nechť jsou jejich náboje Q\ a Qi a jejich vzdálenost r. Elektrostatická síla působící mezi nimi, přitažlivá nebo odpudivá, má velikost IÔ1IIÔ2I (Coulombův zákon), (22.1) kde k je konstanta. Každá částice působí silou této velikosti na druhou částici; tyto dvě síly jsou silami akce a reakce. Jestliže se částice navzájem odpuzují, směřuje síla působící na každou částici směrem od té druhé (obr. 22.6a, b). Jestliže se navzájem přitahují, působí na každou částici síla směřující ke druhé částici (obr. 22.6c). —F Qi Q2Q > (a) odpuzováni Qi Q2Q- -F~ ~ F (b) odpuzování Qi +■ F -F (c) přitahování Obr. 22.6 Dvě nabité částice ve vzdálenosti r se navzájem odpuzují, jestliže jejich náboje jsou (a) oba kladné nebo (b) oba záporné, (c) Přitahují se, mají-li náboje opačného znaménka. V každém z těchto případů je síla působící na jednu částici stejně velká jako síla působící na druhou částici, ale směřuje opačným směrem. kde G je gravitační konstanta. Konstantu k v rov. (22.1) bychom mohli v analogii s gravitační konstantou G v rovnici (22.2) nazvat „elektrostatická konstanta". Obě rovnice vyjadřují „zákon převrácených čtverců", v němž síla klesá se čtvercem vzdálenosti mezi interagujícími částicemi. Oba zákony se Uší tím, že gravitační síly jsou vždy přitažlivé, zatímco elektrostatické síly mohou být jak přitažlivé, tak odpudivé podle toho, jaká jsou znaménka obou nábojů. Existuje totiž jen jeden druh hmotnosti (žádný známý objekt nemá zápornou hmotnost), ale jsou dva druhy náboje (proto jsou v rov. (22.1) potřebné absolutní hodnoty, zatímco v rov. (22.2) nikoli). Coulombův zákon byl doposud potvrzen všemi pokusy, a to s vynikající přesností. Platí dokonce i uvnitř atomu: popisuje správně sílu mezi kladně nabitým jádrem a každým ze záporně nabitých elektronů, ačkoli klasická Newtonova mechanika v této oblasti selhává a musí být nahrazena kvantovou fyzikou. Tento jednoduchý zákon také správně popisuje síly, kterými se navzájem vážou atomy při vytváření molekul, a rovněž síly, kterými jsou vzájemně vázány atomy a molekuly v pevných látkách a kapalinách. Elektrický náboj je jednou ze základních fyzikálních veličin. Z praktických důvodů (vzhledem k možnostem měření) však jednotka náboje v soustavě SI není jednotkou základní, ale odvozenou, a to z jednotky elektrického proudu — ampéru (A). Jednotkou náboje v soustavě SI je coulomb (C): 1 coulomb je množství náboje, které projde průřezem vodiče za 1 sekundu, protéká-li jím proud 1 ampéru. V čl. 30.2 popíšeme, jak je ampér definován experimentálně. Obecně můžeme psát dQ = Idt, (22.3) kde dQ (v coulombech) je náboj přenesený proudem / (v ampérech) za časový interval dř (v sekundách). Coulombův zákon zapisujeme v SI ve tvaru 1 I61II62I 4ti£o f2 (Coulombův zákon). (22.4) Konstanta v rov. (22.1) má hodnotu k = —!— = 8,99109 Nm2-C-2. (22.5) 4k£o 582 KAPITOLA 22 ELEKTRICKÝ NÁBOJ Veličina sq, nazývaná permitMta vakua nebo též elektrická konstanta, vystupuje někdy v rovnicích samostatně. Její hodnota je £0 8,8510_12C2N_1m-2. (22.6) (Jak uvidíme v čl. 34.2 v rov. (34.3), je číselná hodnota {eo} spojena s číselnou hodnotou rychlosti {c} světla ve vakuu vztahem {en} = 1/(4ti:-10-7-{c}2).) Další paralelou mezi gravitační a elektrostatickou silou je platnost principu superpozice (čl. 14.3). Máme-li n nabitých částic, je síla působící na libovolnou z nich (označme ji částice 1) dána vektorovým součtem Fi =Fi2 + Fi3 + Fi4 + ...+Fi„, (22.7) kde např. F14 je síla působící na částici 1 v důsledku existence částice 4. Stejný vztah platí pro gravitační sílu (čl. 14.3). Rovněž oba slupkové teorémy, které nám byly tak užitečné při studiu gravitace, mají svou analogii v elektrostatice (a zdůvodníme je v čl. 24.9): 1. Kulová slupka nabitá rovnoměrně rozloženým nábojem přitahuje nebo odpuzuje nabité částice stejně, jako kdyby veškerý náboj slupky byl soustředěn v jejím středu. 2. Kulová slupka nabitá rovnoměrně rozloženým nábojem nepůsobí žádnou elektrostatickou silou na nabité částice umístěné uvnitř (v dutině) slupky. j^ONTROLA 2: Obrázek zobrazuje dva protony (pi, P2) a jeden elektron (e) ležící na přímce. Jaký je směr (a) elektrostatické síly, kterou působí e na pi, (b) elektrostatické síly, kterou působí P2 na pi, (c) výsledné elektrostatické síly, která působí na pi? -o- Pl P2 PŘIKLAD 22.1 Na obr. 22.7a jsou dvě částice v klidu: první s nábojem gi = 8g (g > 0) leží v počátku osy x a druhá s nábojem Qi = —2g ve vzdálenosti x = d. Do kterého bodu musíme umístit proton (jinam než do nekonečna) tak, aby byl v rovnováze (tj., aby výslednice sil, které na něj působí, byla nulová)? Je tato rovnováha stabilní, nebo nestabilní? ŘEŠENÍ: Je-li F\ síla, kterou na proton působí náboj gi, a F2 síla, kterou působí na proton náboj 02» pák v hledaném bodě musí platit F\ + F2 = 0, tj. Fi = -F2. (22.8) Síly působící na proton v hledaném bodě musí mít tedy stejnou velikost, Fi = F2, (22.9) stejný směr a opačnou orientaci. Proton má kladný náboj, má tedy stejné znaménko jako <2i, a síla F\ působící na proton musí tedy směřovat od náboje Q\. Proton a částice s nábojem Qi mají opačná znaménka, takže síla F2 působící na proton směřuje k náboji Q2. Síly F\ a F2 mohou mít opačné směry jen tehdy, leží-li proton na 02 --- ^ Qi —fs—m Fi s F2 62 F2 -+^&---«^= + =p^ P Fl R F\ (b) Obr.22.7 Příklad 22.1. (a) Dvě částice s náboji Qi a Ô2 jsou v klidu na ose x ve vzdálenosti d. (b) Tři možné polohy S, P, R protonu. V každém bodě působí na proton elektrostatická síla Fi buzená nábojem gi a elektrostatická síla F2 buzená nábojem Q2. Je-li proton na ose x v libovolném bodě mezi gi a Q2 (např. v bodě P na obr. 22.7b), pak mají síly F\ a F2 směr stejný a nikoli opačný, jak požadujeme. Je-li proton v libovolném bodě na ose x vlevo od Qi (např. vbodě S na obr. 22.7b), pak síly Fi&F2 mají opačné směry. Z rov. (22.4) ovšem plyne, že síly Fi a F2 nemohou mít stejnou velikost: F\ je větší než F2, protože Fi vzniká působením bližšího náboje (menší r) větší velikosti (8 g proti 20. Je-li konečně proton v libovolném bodě na ose x vpravo od náboje Q2 (např. v bodě R), pak x > d a síly Fi a F2 mají opět opačný směr. Protože je nyní větší náboj (gi) dále od protonu než náboj menší, existuje bod, ve kterém si velikosti sil Fi a F2 jsou rovny. Nechť.* je jeho souřadnice a gp náboj protonu. Dosazením z rov. (22.4) do rov. (22.9) dostaneme 1 £Ggp = J_ 2ggp 4it£o x2 4tieo (x — d)2 (Všimněte si, že v rov. (22.10) vystupuje jen velikost nábojů.) Úpravou rov. (22.10) získáme (x - d)2 _ 1 ~~x2 ~ 4" 22.4 COULOMBŮV ZÁKON 583 Odmocněním obou stran získáme x — d 1 x ~ 2 a odtud (protože x > d) x = 2d. (Odpověď) Rovnováha v bodě x = 2d je nestabilní. (Lze dokonce dokázat tzv. Earnshawovu větu: Žádná elektrostatická soustava nábojů se neudrží ve stabilní rovnováze pouze elektrickými silami.) Jestliže je proton vychýlen doleva od bodu R, pak velikosti obou sil F\ i Fi narůstají, ale Fi narůstá rychleji (protože Q2 je blíže než 61) a výsledná síla bude posunovat proton dále doleva. Je-li proton vychýlen doprava, velikosti obou sil F\ a F2 klesají, ale Fi klesá více, takže výsledná síla posunuje proton dále doprava. Ve stabilní rovnováze se proton při každém malém vychýlení vrací zpět do rovnovážné polohy. PŘIKLAD 22.2 Obr. 22.8a představuje uspořádání šesti nabitých částic, kde a = 2,0 cm a úhel 9 = 30°. Všech šest částic má náboj stejné velikosti Q = 3,0-10-6 C; znaménkanábojůjsouvyznačena. Jaká je výsledná elektrostatická síla F\, kterou na náboj gi působí ostatní náboje? ŘEŠENÍ: Z rov. (22.7) víme, že F\ je vektorovým součtem sil F12, F13, F14, F15 a Fi6, což jsou elektrostatické síly, kterými na <2i působí ostatní náboje. Protože Q2 a Q4 mají stejnou velikost a oba jsou ve vzdálenosti r = 2a od náboje Qi, dostáváme z rov. (22.4) F12 = Fu ■ 1 I81II82I 4ne0 (2a)2 (22.11) A obdobně, protože Q3, Qs a Qř mají stejnou velikost a jsou stejně vzdáleny (r = a) od náboje Q\, dostáváme F13 = F15 = Fi6 = 1 i6iiie3i 4n:eo a2 (22.12) Na obr. 22.8b jsou znázorněny síly, které působí na náboj Q\ (silový diagram podle kap. 5). Z něho a z rovnice (22.11) je vidět, že síly F12 a Fu mají stejnou velikost, ale opačný směr, takže se navzájem vyruší. Z obr. 22.8b a z rov. (22.12) dále plyne, že y-ové složky sil F13 a F15 se také ruší a že jejich jc-ové složky mají stejnou velikost a obě jsou záporné. Z obr. 22.8b také plyne, že síla Fi6 má směr osy x. Síla F\ musí tedy být rovnoběžná s osou x; její velikost je rovna rozdílu mezi velikostí Fi6 a dvojnásobkem velikosti x-ové složky síly F13: F\ = F16-2Fi3sin<9 1 Igill&l 2 \Qi\\Q3\ . . smO. 4ti£o a2 47ieo a2 Dosadíme g3 = Q6 a.6 = 30°: 1 IGillfiel 2 leillgfil . F\ = 47160 ä2 47160 CL1 sin 30° =0. (Odpověď) Všimněte si, že přítomnost Qf, na spojnici mezi náboji Q\ a Q\ neovlivní elektrostatickou sílu, kterou působí náboj 84 na Qi. Q3<\ a a —- Ô2 -2a- - 05 .e o,a / - + - 04 Fi6 Obr. 22.8 Příklad 22.2. (a) Uspořádání šesti nabitých částic, (b) Elektrostatické síly, kterými působí ostatních pět nábojů na Q1. RADY A NAMETY Bod 22.1: Symetrie V př. 22.2 jsme využili symetrie ke zjednodušení výpočtů potřebných k řešení. Protože Q2 a Q4 jsou umístěny symetricky vzhledem ke Q\ a síly F12 a F14 se tedy ruší, nebylo třeba tyto síly počítat. Protože y-ové složky F13 a F15 se ruší a jejich x-ové složky jsou stejné a sčítají se, ušetřili jsme si další námahu. Bod 22.2: Zakreslení vektorů elektrostatických sil Je-li zadáno rozložení nabitých částic (obr. 22.8a) a naším úkolem je najít výslednou elektrostatickou sílu působící na 584 KAPITOLA 22 ELEKTRICKÝ NÁBOJ jednu z nich, sestrojíme obvykle silový diagram zobrazující pouze uvažovanou částici a síly, které na ni působí (obr. 22.8b). Pokud místo toho zakreslujeme síly přímo do zadaného diagramu zobrazujícího všechny částice, zakreslujeme je vždy s počátečním nebo koncovým bodem v místě uvažované částice. Bod 22.3: Symboly pro náboje Pokud znaménko náboje není slovy specifikováno, symbol Q může znamenat jak náboj kladný, tak záporný. Naproti tomu označení +Q (nebo např. také +3Q) vyjadřuje náboj kladný a označení — Q (nebo např. také — 30 náboj záporný. j^ONTROLA 3: Obrázek ukazuje tři různá uspořádání jednoho elektronu e a dvou protonů p. (a) Seřadle uspořádání sestupně podle velikosti výsledné elektrostatické síly, kterou na elektron působí oba protony, (b) Je v případě (3) úhel mezi výslednou silou působící na elektron a úsečkou d menší, nebo větší než 45°? -D- I—d-H D D- P (1) P P Koule A získává záporný náboj, je stále méně kladně nabitá. Protože jsou koule stejné, musí nakonec získat stejný náboj. Přenos náboje proto skončí, když nadbytečný náboj na kouli B vzroste na + (2/2 a nadbytečný náboj na kouli A klesne na +Q/2 (obr. 22.9c). Můžeme předpokládat, že po odstranění drátu nenaruší náboj na jedné kouli rovnoměrnost rozložení náboje na druhé kouli, protože koule jsou malé vzhledem ke své vzájemné vzdálenosti. Můžeme tedy použít první slupkový teorém. Z rov. (22.4) sgi = 02 = Q/2 ar = a plyne pro velikost elektrostatické síly mezi koulemi F = 1 (ß/2)(ß/2) 1 (Qy. (Odpověď) lÖTteo (2) (3) Koule se nyní navzájem odpuzují, protože jsou obě kladně nabité. (b) Předpokládejme nyní, že je koule A na okamžik uzemněna, a pak je uzemnění přerušeno. Jaká je nyní elektrostatická síla mezi koulemi? ŘEŠENÍ: Uzemnění dovolí elektronům s celkovým nábojem — Q/2 přesunout se (ze země) na kouli A (obr. 22.9d) a neutralizovat ji (obr. 22.9e). Není-li na kouli A žádný volný náboj, pak mezi koulemi nepůsobí žádná elektrostatická síla (tak jako na počátku na obr. 22.9a). PŘÍKLAD 22.3 Na obr. 22.9ajsou dvě stejné osamocené elektricky izolované vodivé koule A, B. Vzdálenost a jejich středů je velká vzhledem k poloměrům koulí. Koule A má kladný náboj +Q, koule B je elektricky neutrální. Na počátku nepůsobí mezi koulemi žádná elektrostatická síla. (a) Předpokládejme, že koule jsou na okamžik spojeny vodivým drátem. Drát je dostatečně tenký, aby bylo možno zanedbat jeho výsledný náboj. Jaká je elektrostatická síla působící mezi koulemi, je-li drát odstraněn? ŘEŠENÍ: Když jsou koule spojeny drátem, jsou vodivostní elektrony z koule B přitahovány kladným nábojem koule A (obr. 22.9b). Koule B ztrácí záporný náboj a nabíjí se kladně. | 22.5 KVANTOVÁNÍ NÁBOJE V dobách Benjamina Franklina byl elektrický náboj považován za spojitou tekutinu („fluidum", podobně jako teplo, světlo apod.); tato myšlenka byla v mnoha případech užitečná. Dnes však již víme, že i samotné tekutiny (jako vzduch, voda) nejsou spojité, ale jsou tvořeny atomy a molekulami; hmota je rozložena diskrétně. Experimenty ukazují, že ani „elektrická tekutina" není spojitá, aleje tvořena násobky jistého elementárního náboje. Libovolný kladný nebo záporný náboj Q, který můžeme naměřit, může tedy mít hodnotu jenom Q=ne, « = ±1,±2, ±3,(22.13) Obr. 22.9 Příklad 22.3. Dvě malé vodivé koule A a B. (a) Na počátku je koule A nabita kladně, (b) Vodivým spojením je mezi koulemi přenesen záporný náboj. (c) Obě koule jsou nyní nabity kladně. (d) Uzemňujícím vodičem je na kouli A přenesen záporný náboj, (e) Koule A je nyní neutrální. #0 = 0 B A O+Q (a) > +6/2 O +Qß -Q/2 i+e/2 (c) 0) • +Ô/2 0 = 0 («) 22.5 KVANTOVÁNÍ NÁBOJE 585 kde e je elementární náboj, který má hodnotu e= 1,60-10~19 C. (22.14) Elementární náboj e je jednou z důležitých fyzikálních konstant. Elektron a proton mají náboj o velikosti e (tab. 22.1). (Kvarky — částice tvořící neutrony a protony — mají náboje ±e/3 nebo ±2e/3, ale nemohou být detegovány samostatně. Proto jejich náboje nepovažujeme za elementární.) Tabulka 22.1 Náboje tří částic ČÁSTICE Značka NÁBOJ elektron e (nebo jen e) —e proton P +e neutron n 0 Často se můžete setkat s větami jako: „náboj na kouli", „množství přeneseného náboje", „náboj nesený elektronem", z nichž by se zdálo, že náboj je nějaký objekt, látka. (Taková tvrzení se objevila i v této kapitole.) Elektrický náboj však neexistuje sám o sobě, aleje vždy vázán na hmotné částice. Je to fyzikální veličina, podobně jako např. hmotnost nebo spin. Pokud nějaká fyzikální veličina nemůže nabývat libovolné hodnoty, ale pouze hodnot diskrétních (nespojitých), říkáme, že je kvantována. Už víme, že hmotnost, energie, moment hybnosti jsou kvantovány; elektrický náboj je další takovou fyzikální veličinou. Můžeme například najít částici, která nemá vůbec žádný náboj, nebo má náboj +10e, nebo — 6e, ale nenajdeme částici s nábojem, řekněme, 3,57e. Kvantem náboje je elementární náboj e\ je velmi malý. Pro ilustraci: svítí-li 100 W žárovka, vstupuje do ní každou sekundu zhruba 1019 elementárních nábojů a stejné množství ji opouští. „Zrnitost" elektřiny se při tak velkém počtu neprojeví, stejně jako nepocítíme rukou ve vodě jednodivé molekuly. „Zrnitosti" elektřiny můžeme také přičíst modré záblesky (jev triboluminiscence), které emituje kostka cukru z úvodu kapitoly, je-li drcena. Když se rozlomí krystaly cukru, jedna část každého porušeného krystalu má přebytek elektronů, zatímco druhá část má přebytek kladných iontů. Téměř okamžitě elektrony a ionty přeskočí trhlinu v porušeném krystalu, a tak se obě strany neutralizují. Během přeskoku se elektrony a ionty sráží s molekulami dusíku obsaženého ve vzduchu, který proudí do trhliny. V důsledku srážek emituje dusík ultrafialové záření, které je neviditelné, a velmi slabé modré světio (z viditelné oblasti spektra), které vidíme jako slabé jiskření. Aromatický olej z některých bonbonů absorbuje ultrafialové svědo a emituje následně dostatek modrého světla, které osvětlí ústa nebo čelisti kleští. Je-li však bonbon zvlhčen slinami, pokus se nezdaří, protože vodivé sliny neutralizují obě části porušeného krystalu ještě dříve, než by se mohly objevit jiskry. Kontrola 4: Koule a má na začátku pokusu náboj —50e a koule B náboj +20e. Obě jsou vyrobeny z vodivého materiálu a stejně velké. Jaký bude výsledný náboj na kouli a poté, co se navzájem dotknou? přiklad 22.4 Elektricky neutrální měděná mince o hmotnosti m = 3,11 g obsahuje stejné množství kladného a záporného náboje. (a) Jaká je velikost Q celkového kladného (nebo záporného) náboje obsaženého v minci? ŘEŠENÍ: Neutrální atom má záporný náboj o velikosti Ze, představovaný jeho elektrony, a kladný náboj o stejné velikosti, představovaný protony v jádře; Z je atomové číslo uvažovaného prvku. Pro měďje Z = 29 (dodatek F), tj. atom mědi má 29 protonů, a je-li elektricky neutrální, také 29 elektronů. Náboj velikosti Q, který hledáme, je roven N Ze, kde N je počet atomů v minci. Určíme ho tak, že násobíme počet molů mědi v minci počtem atomů obsažených v jednom molu (Avogadrovou konstantou N\ = 6,02-1023 mol-1). Počet molů mědi v minci je m/mm, kde mm = 63,5g-mol-1 je molární hmotnost mědi (dodatek F). Je tedy N = NA^- = (6.02.1023mol"1) (3'Ug) , = mm (63,5g-mol l) = 2,95-1022. Velikost celkového kladného nebo záporného náboje v minci je pak Q = NZe = = (2,95-1022)(29)(l,60-10-19C) = = 137 000 C. (Odpověď) To je obrovský náboj. Z kap. 25 vypijme, že tento náboj by centimetrovou kuličku nabil na nepředstavitelné napětí 1017 V. Pro srovnání: Třete-li ebonitovou tyč kožešinou, můžete na tyč přemístit stěží náboj o velikosti 10-9 C. (b) Předpokládejme, že kladný a záporný náboj v minci by mohly být soustředěny do dvou oddělených „balíčků" vzdálených 100 m. Jak velká přitažlivá síla by působila na každý balíček? ŘEŠENÍ: Z Coulombova zákona (22.4) plyne „ i G2 4it£o r2 □ , , (1,37-105C)2 = (8,99.109N.m2.C-2)^M^ = = 1,69-1016N. (Odpověď) 586 KAPITOLA 22 ELEKTRICKÝ NÁBOJ Na „balíčky" by tedy působila síla odpovídající váze tělesa o hmotnosti skoro 2-1012 tun. Dokonce i kdyby náboje byly ve vzdáleností poloměru Země, přitažlivá síla by byla stále ještě obrovská; odpovídala by váze 426tunového závaží. Proto je také nemožné výrazně porušit elektrickou neutralitu. Pokud se pokusíme odstranit z tělesa větší část náboje jednoho znaménka, vzniká velká elektrostatická síla, která se ho snaží přitáhnout zpět. elektrostatická sílaje pro náboje stejného znaménka odpudivá, nemůže tedy spojit samotné kladné nebo samotné záporné náboje do velkých objektů, které by pak mohly působit navenek velkými elektrostatickými silami. 22.6 ZACHOVÁNÍ NÁBOJE Třeme-li skleněnou tyč hedvábím, objeví se na tyči kladný náboj. Z měření plyne, že se na hedvábí objeví záporný náboj stejné velikosti. Třením se tedy náboj nevytváří, ale jen přerozděluje — převádí z jednoho tělesa na druhé a porušuje se tak původní elektrická neutralita obou těles. Tato hypotéza o zachování náboje byla poprvé vyslovena Benjaminem Franklinem a byla mnohokrát ověřena jak pro makroskopická nabitá tělesa, tak i pro atomy, jádra a elementární částice. Proto patří elektrický náboj k veličinám (energie, hybnost, momentu hybnost, hmotnost), pro něž platí v izolovaných systémech zákon zachování. Radioaktivnírozpad jádra, při němž se jádro spontánně přemění na jádro jiného typu, nám dává mnoho příkladů zachování elektrického náboje. Například uran 23 8 (238U) se může přeměnit na a-částici (tj. heliové jádro 4He) a thorium (234Th): 238U -+ 234Th + 4He (radioaktivní rozpad). (22.15) Radioaktivní mateřské jádro 238U má atomové číslo Z — = 92, tj. jádro obsahuje 92 protonů a má náboj 92e. Emitovaná a-částice má Z = 2 a dceřiwe jádro 234Th má Z = 90. Náboj před rozpadem je 92e, celkový náboj po rozpadu je 90e + 2e. Náboj se zachovává. Jiným příkladem zachování náboje je anihilace elektronu e~ (jehož náboj je —e) a jeho antičástice pozitronu e+ (jehož náboj je +e), při níž vznikají dva fotony y-zárení. e~ + e+ ->• y + y (anihilace). (22.16) Při použití zákona zachování náboje musíme náboje sčítat algebraicky, tj. s ohledem na jejich znaménka. V anihilač-ním procesu rov. (22.16) je celkový náboj systému nulový před i po procesu. Náboj se opět zachovává. Při tvorbě elektron-pozitronových párů (opačný proces k anihilaci) se náboj také zachovává. V tomto procesu se y-kvantum přemění na elektron a pozitron: y^e_+e+ (tvorba párů). (22.17) Obr. 22.10 ukazuje takovou tvorbu párů v bublinkové komoře. Záření y vstupuje do komory zleva v přímém směru PŘÍKLAD 22.5 Jádro atomu železa má poloměr asi 4,0-10-15 m a obsahuje 26 protonů. (a) Jak velká je odpudivá elektrostatická síla mezi dvěma protony, které jsou ve vzdálenosti 4,0-10-15 m? ŘEŠENÍ: Z rov. (22.4) a tab. 22.1 plyne 4ti£o r2 _ (8,99-IQ9 N-m2-C~2)(1,60-1(T19 C)2 _ ~~ (4,0-10-15m)2 ~~ = 14 N. (Odpověď) Účinek této síly by byl zanedbatelný, pokud by působila třeba na meloun, aleje obrovský, pokud působí na proton. Tak velké síly by musely roztrhnout na kousky jádro každého prvku (kromě jádra atomu vodíku, které obsahuje jen jediný proton). To se ale nestane, dokonce ani v jádrech s velkým počtem protonů. Musí tedy existovat nějaká přitažlivá jaderná síla, která tak velkou odpudivou elektrostatickou sílu překoná, (b) Jaká je velikost gravitační síly, kterou na sebe působí tyto dva protony? ŘEŠENÍ: Hmotnost protonu je mp = 1,67-10-27 kg. Vztah (22.2) pro gravitační sílu pak dává _ (6,67-10-nN-m2-kg-2)(l,67-10-27kg)2 _ ~~ (4,0-10-15m)2 ~~ = 1,2-10"3SN. (Odpověď) Z tohoto výsledku je vidět, že (přitažlivá) gravitační síla je příliš slabá na to, aby mohla překonat odpudivé elektrostatické síly působící mezi protony v jádře. Protony jsou však navzájem vázány obrovskou přitažlivou silou způsobenou silnou interakcí. Ta se však výrazně projevuje jen tehdy, pokud jsou částice velmi blízko u sebe (jak je tomu v jádře atomu). Ačkoli je gravitační síla mnohonásobně slabší než síla elektrostatická, je důležitější ve velkých měřítkách. Protože je vždy přitažlivá, může se velmi mnoho malých těles spojit do těles s obrovskými hmotnostmi, jako jsou planety a hvězdy, které vyvolávají obrovské gravitační síly. Na druhé straně, PŘEHLED & SHRNUTÍ 587 a v určitém místě se přemění na elektron a pozitron. Protože tyto nové částice jsou nabité a pohybují se, zanechávají za sebou stopu drobných bublinek. Stopy jsou zakřivené, protože v komoře je magnetické pole (kap. 29.5). Záření y, které nemá náboj, nezanechává žádnou stopu. Můžeme tedy určit, kde přesně došlo k vytvoření páru: bylo to ve špici vidlice tvaru V, kde začínají stopy elektronu a pozitronu. Obr. 22.10 Fotografie stop, které zanechaly v bublinkové komoře elektron e- a pozitron e+. Dvojice částic vznikla z y-záření, které vniklo do komory zleva. Protože y-záření nemá náboj, nezanechává žádnou stopu podél své dráhy (na rozdíl od elektronu a pozitronu). Stopy jsou tvořeny nepatrnými bublinkami vzniklými v přehřáté kapalině. PŘEHLED & SHRNUTÍ Elektrický náboj Elektrická interakce těles (makroskopických i mikroskopických) je dána jejich elektrickým nábojem; ten může být kladný nebo záporný. Náboje stejného znaménka se vzájemně odpuzují, náboje opačného znaménka se přitahují. Těleso se stejným množstvím obou druhů náboje je elektricky neutrální. Těleso, ve kterém náboj není v rovnováze, je elektricky nabité. Vodiče a nevodíce Vodiče jsou látky, ve kterých se může volně pohybovat velmi mnoho nabitých částic (elektrony v kovech). V nevodících (izolátorech) se nabité částice nemohou volně pohybovat. Pohy-bují-li se nabité částice látkou převážně určitým směrem (pro-bíhá-li usměrněný pohyb nosičů náboje), říkáme, že látkou protéká elektrický proud. Coulomb a ampér Jednotkou náboje v SIje coulomb (C). Je definován pomocí jednotky elektrického proudu, ampéru (A), jako náboj, který projde průřezem vodiče za dobu 1 sekundy, když vodičem prochází stálý proud o velikosti 1 ampéru. Coulombův zákon Coulombův zákon popisuje elektrostatickou sílu působící mezi dvěma bodovými elektrickými náboji Q\ a Qi, které jsou v klidu a jejichž vzdálenost je r: F = _}_lôillG2l (Coulombův zákon). (22.4) 4jieo rl Zde so = 8.85-10-12 C2-N-1-m-2 je permitivita vakua neboli elektrická konstanta; l/(4jie0) = 8,99-109N-m2-C-2. Přitažlivá nebo odpudivá síla mezi bodovými náboji v klidu působí ve spojnici obou nábojů. Jestliže uvažujeme více než dva náboje, platí rov. (22.4) pro každou dvojici nábojů. Výsledná síla působící na každý náboj je dána principem superpozice jako vektorový součet sil, kterými na náboj působí všechny ostatní přítomné náboje. Dále platí dva slupkové teorémy elektrostatiky: Slupka s rovnoměrně rozloženým nábojem přitahuje nebo odpuzuje nabitou částici vně slupky tak, jako by veškerý náboj slupky byl soustředěn v jejím středu. Slupka s rovnoměrně rozloženým nábojem nepůsobí žádnou elektrickou silou na nabitou částici, která se nachází uvnitř (v dutině) slupky. Elementární náboj Elektrický náboj je kvantován. Každý náboj může být vyjádřen součinem ne, kde n je kladné nebo záporné celé číslo a e je fyzikální konstanta nazývaná elementární náboj (je rovna přibližně 1,60-10-19 C). Elektrický náboj se zachovává: celkový náboj libovolného izolovaného systému se nemění při libovolných procesech v něm probíhajících. 588 KAPITOLA 22 ELEKTRICKÝ NÁBOJ OTÁZKY 1. Platí Coulombův zákon pro všechny nabité objekty? 2. Částice s nábojem gi je umístěna vně vodivého tělesa s rovnoměrně rozloženým nábojem Q. Těleso je (1) velká plná koule, (2) velká kulová slupka, (3) malá plná koule, (4) malá kulová slupka. Vzdálenost mezi částicí a středem tělesa je ve všech případech stejná, Qi je dostatečně malé, aby prakticky neovlivnilo rovnoměrné rozložení náboje Q. Seřadle tělesa sestupně podle velikosti elektrostatické síly, kterou působí na částici. 3. Obr. 22.11 ukazuje čtyři uspořádání dvou nabitých částic. Ve kterém případě existuje vlevo od nich bod, do kterého můžeme umístit elektron tak, že bude v rovnováze? +6 -36 (a) -Q +36 +36 -Q -3Q + 6 (c) {d) Obr. 22.11 Otázka 3 4. Na obrázku 22.12 jsou dvě nabité částice, které se mohou volně pohybovat. Víme, že existuje bod, kam můžeme umístit třetí částici tak, aby všechny tři částice byly v rovnováze, (a) Leží tento bod vlevo od obou původních částic, vpravo od nich, nebo mezi nimi? (b) Má mít třetí částice kladný, nebo záporný náboj? (c) Je rovnováha stabilní, nebo nestabilní? -36 -6 Obr. 22.12 Otázka 4 5. Na obr. ke kontrole 2 jsou na ose pevně umístěny dva protony a jeden elektron. Kam bychom měli na ose umístit čtvrtou nabitou částici tak, aby výsledná elektrostatická síla, kterou na ni působí první tři částice, byla nulová? Je to vlevo od prvních tří částic, vpravo od nich, mezi protony, nebo mezi elektronem a jemu bližším protonem? 6. Na obr. 22.13 je centrální částice s nábojem — Q obklopená +46 +46 Obr. 22.13 Otázka 6 dvěma soustřednými kružnicemi s poloměry r a R, R > r. Na kružnicích jsou rozmístěny nabité částice. Jakou velikost a směr má výsledná elektrostatická síla, kterou na centrální částici působí ostatní částice? 7. Na obr. 22.14 je centrální částice s nábojem — 2Q obklopena nabitými částicemi rozmístěnými po obvodu čtverce ve vzdálenostech d nebo d/2. Jakou velikost a směr má výsledná elektrostatická síla, kterou na centrální částici působí ostatní částice? -76 +26 +46 +46 -76 Obr. 22.14 Otázka 7 +26 8. Na obr. 22.15 jsou čtyři uspořádání nabitých částic: protonu, elektronu a náboje +Q. Seřadle tato uspořádání sestupně podle velikosti výsledné elektrostatické síly působící na částici s nábojem +Q. 2d («) +6 2d +6 Id (c) +6 Obr. 22.15 Otázka 8 2d (d) 9. Na obr. 22.16 jsou čtyři uspořádání tří částic s náboji +Q a — Q. Částice na ose x jsou stejně vzdáleny od osy y. Nejprve uvažujme prostřední částici v případě (1); každá z ostatních dvou částic na ni působí elektrostatickou silou, (a) Jsou velikosti těchto sil stejné, nebo rozdílné? (b) Je velikost výsledné síly působící na prostřední částici stejně velká, větší, nebo menší než součet OTÁZKY 589 velikostí sil od obou částic? (c) Vyruší se x-o\é složky obou sil? (d) Vyruší se y-ové složky obou sil? (e) Jaký směr má výsledná síla působící na prostřední částici? Nyní uvažujme zbývající případy: Jaký je směr výsledné síly působící na prostřední částici (f) v případě (2), (g) v případě (3), (h) v případě (4)? <+Q <-Q +Q +Q * +Q +Q (1) y (2) y <+Q -Q +Q -Q +Q -Q (3) (4) Obr. 22.16 Otázka 9 Na obr. 22.17 jsou dvě částice s nábojem Q\ a jiné dvě částice s nábojem Qi. Částice v počátku se může volně pohybovat, ostatní částice jsou nepohyblivé. Určete, zda Q2 je kladné, nebo záporné, má-li být výsledná síla působící na volnou částici nulová v případě, že g 1 je (a) kladné, (b) záporné. Ô2Q dl Ô2Q rušíme uzemnění, (b) nejprve přerušíme uzemnění a kouli pak vzdálíme? 13. Vedle kladně nabité skleněné tyče visí na nevodivém vlákně tělísko, (a) Tyč tělísko přitahuje. Znamená to nutně, že je tělísko záporně nabité? (b) Tyč a tělísko se odpuzují. Je nutně tělísko nabité kladně? 14. Máte k dispozici dvě stejné neutrální vodivé koule A, B, kterými můžete pohybovat po nevodivé podložce, dále tenký vodič a skleněnou tyč, kterou můžete třít hedvábím. Vodičem smíte spojit koule navzájem nebo spojit jednu kouli s podlahou. Tyčí se nesmíte dotknout žádné z koulí. Jak můžete koule nabít nábojem (a) stejné velikosti a stejného znaménka, (b) stejné velikosti a opačného znaménka? V jednoduchém modelu atomu helia obíhají dva elektrony kolem jádra skládajícího se ze dvou protonů. Je velikost síly, kterou na jádro působí jeden z elektronů, větší, menší, nebo stejně velká vzhledem k velikosti síly, kterou působí jádro na tento elektron? 16. Záporně nabitá ebonitová tyč na obr. 22.5 způsobí, že se některé z vodivostních elektronů v měděné tyči pohybují k jejímu vzdálenějšímu konci. Proč proud vodivostních elektronů rychle ustane? V tyči je přece velké množství vodivostních elektronů, které se mohou ke vzdálenějšímu konci pohybovat. 17. Na obr. 22.18 jsou tři malé koule, které mají náboje o stejné velikosti a jsou v klidu na dokonale hladké ploše. Koule y a z jsou pevně umístěny ve stejné vzdálenosti od koule x. Po které z pěti naznačených trajektorií se bude pohybovat koule x Jestliže ji uvolníme z klidu? B \ \ Obr. 22.17 Otázka 10 Čtyři stejné vodivé koule A, B, C, D mají náboje — 8,0g, —6,0Q, —4,0g, +8,0g. Které z nich je třeba vodivě spojit (tenkým vodičem), aby vznikly útvary s nábojem (a) —2,0Q, (b) —2,5(2? (c) Jakým spojením vzniknou dvě koule s nábojem -3,0(2? Kladně nabitou kouli přiblížíme k izolovanému neutrálnímu vodiči. Vodič uzemněníme. Určete, je-li nabit kladně, záporně, nebo je neutrální, jestliže (a) nejprve vzdálíme kouli a pak pře- 3 9 Obr. 22.18 Otázka 17 Člověk, stojící na elektricky izolované plošině, se dotkne nabitého, elektricky izolovaného vodiče. Bude tím vodič zcela vybit? 590 KAPITOLA 22 ELEKTRICKÝ NÁBOJ CVIČENI s^ULOHY ODST. 22.4 Coulombův zákon 1C. Při zpětném úderu typického blesku protéká výbojovým kanálem proud 2,5-104 A po dobu 20 jis. Jak velký náboj přitom proteče kanálem? 2C. Jaká elektrostatická síla působí mezi dvěma bodovými náboji o velikosti 1,00 C, jsou-li vzdáleny (a) l,00m,(b) 1,00km? 3C. Bodový náboj +3,00-10-6 C je ve vzdálenosti 12,0 cm od druhého bodového náboje —1,50-10_6C. 'Vypočítejte velikost síly působící na každý náboj. 4C. Jaká musí být vzdálenost mezi dvěma bodovými náboji gi = 26,0-10_6C a g2 = -47,0-10_6C, aby elektrostatická síla, která mezi nimi působí, měla velikost 5,70 N? 5C. Dvě pohyblivé částice nabité souhlasným nábojem stejné velikosti, jsou původně od sebe vzdálené 3,2-10-3 m. Počáteční zrychlení první částice je 7,0 m-s-2, zrychlení druhé částice je 9,0m-s-2. Je-li hmotnost první částice 6,3-10_7kg, jaká je (a) hmotnost druhé částice, (b) velikost náboje každé z částic? 6C. Na obr. 22.19 leží ve vrcholech rovnostranného trojúhelníka se stranou délky d tři stejné vodivé koule A, B, C, jejichž počáteční náboje jsou —2g, — 4g, +8g. (a) Jaká je velikost elektrostatické síly, která působí mezi koulemi A a. Cl Pak proběhnou následující procesy: A a S jsou spojeny tenkým vodičem a pak rozpojeny; B je uzemněna vodičem a pak je vodič odstraněn; B aCjsou spojeny vodičem a pak rozpojeny. Jaká bude nyní velikost elektrostatické síly (b) mezi koulemi A a C, (c) mezi koulemi B a C? AQ)-2Q +8g Obr. 22.19 Cvičení 6 7C. Dvě stejné vodivé koule (A) a (B) mají stejný náboj a jejich vzdálenost je mnohem větší než jejich průměr (obr. 22.20a). Elektrostatická síla, kterou působí koule (A) na kouli (B), je F. Uvažujme nyní třetí, stejnou a na počátku neutrální kouli (C) s nevodivým držadlem. Nejprve se s ní dotkneme koule (A) (obr. 22.20b), potom koule (B) (obr. 22.20c) a pak ji odstraníme (obr. 22.20d). Pomocí původní síly F vyjádřete elektrostatickou sílu F', která nyní působí na kouli (B). 8Ú. Na obr. 22.21 leží na téže přímce tři nabité částice ve vzdálenostech d. Náboje gi a Qi jsou pevné. Náboj Q3 se může volně pohybovat, ale je v rovnováze (výslednice elektrostatických sil, které na něj působí, je nulová). Vyjádřete náboj gi prostřednictvím náboje Qi. (a) B } (b) -F' F' <——Q ®—> (c) (ď) Obr. 22.20 Cvičení 7 #--d Qi Ô2 Ô3 Obr. 22.21 Úloha 8 9Ú. Na obr. 22.22a jsou ve vzdálenosti d dva náboje Q\ a Q2. (a) Jaká je velikost elektrostatické síly, která působí na gi? Předpokládejme, že Qi = Q2 = 20,010-6C a d = 1,50m. (b) Přidáme třetí náboj g3 = 20,0-10_6C podle obr. 22.22b. Jaká je nyní velikost elektrostatické síly, která působí na gi? Qi Qi ^ T r- d d 1 Q2O Q2 ' (a) {V) Obr. 22.22 Úloha 9 10Ú. Na obr. 22.23 určete, jaká je vodorovná a svislá složka výsledné elektrostatické síly, která působí na náboj v levém dolním rohu čtverce, je-li Q = 1,0-10-7 C a a = 5,0cm? +Q -Q + ~-a- +2Q -2Q Obr. 22.23 Úloha 10 11Ú. Náboje Qi a Q2 leží na ose x v bodech x = — a&x = +a. (a) Jaký musí být poměr Q\/Q.2, aby výsledná elektrostatická CVIČENÍ & ÚLOHY 591 síla, která působí na náboj + Q umístěný v bodě x = +a/2, byla nulová? (b) Provecfte totéž pro náboj +Q, jestliže je umístěn v bodě x = +3a/2. 12U. Dvě malé kladně nabité koule mají celkový náboj 5,0 • • 10~5 C. Jaký je náboj na každé z nich, odpuzují-li se elektrostatickou silou velikosti 1,0 N ve vzdálenosti 2,0m? 13Ú. Dvě stejné vodivé koule, umístěné pevně ve vzdálenosti 50,0 cm, se přitahují elektrostatickou silou 0,108N. Spojíme je vodičem. Po odstranění vodiče se koule odpuzují silou 0,0360 N. Jaké byly původní náboje na koulích? 14Ú. Dvě pevné částice s náboji Q\ = +1,0-10_6C a Q2 = = — 3,0-10-6 C jsou ve vzdálenosti 10 cm. Jak daleko od každé z nich by měl být umístěn třetí náboj, aby výsledná elektrostatická síla, která na něj působí, byla nulová? 15Ú. Náboje a souřadnice dvou nabitých částic, pevně umístěných v rovině xy, jsou: Q\ = +3,0-10-6 C, x\ = 3,5 cm, yi = = 0,50cm; Q2 = -4,0-10-6 C, x2 = -2,0cm, y2 = l,5cm. (a) Určete velikost a směr elektrostatické síly působící na náboj Q2. (b) Kam umístíte třetí náboj g3 = +4,0-10-6 C, aby výsledná elektrostatická síla působící na Q2, byla nulová? 16Ú. Dva volně pohyblivé bodové náboje +Q a +4Q jsou ve vzdálenosti d. Třetí náboj je umístěn tak, že je systém v rovnováze, (a) Určete polohu, velikost a znaménko třetího náboje. (b) Ukažte, že rovnováha systému je nestabilní. 17Ú. (a) Jaký kladný náboj by musel být umístěn na Zemi i na Měsíci, aby se vykompenzovala jejich gravitační přitažhvost? Potřebujeme k řešení znát vzdálenost Země od Měsíce? Proč ano, nebo proč ne? (b) Kolik tisíc kilogramů vodíku by bylo potřeba rozštěpit na protony a elektrony pro vytvoření kladného náboje spočítaného v případě (a)? 18Ú. Náboj Q je rozdělen na dvě části Q\ a Q — Q\, které jsou pak od sebe odděleny do určité vzdálenosti. Jaké musí být Qi vzhledem ke Q, aby elektrostatické odpuzování mezi náboji bylo maximální? 19Ú. V každém ze dvou protilehlých vrcholů čtverce je pevně umístěn náboj Q\, v každém z druhých dvou protilehlých vrcholů je umístěn náboj Q2. (a) Vyjádřete Q\ prostřednictvím Q2 v případě, že výsledná elektrostatická síla působící na každý náboj Qi je nulová, (b) Existuje taková hodnota Q2, pro kterou by výsledná elektrostatická síla působící na každý ze čtyř nábojů byla nulová? Vysvětlete. 20Ú. Na obr. 22.24 j sou dvě malé vodivé kuličky o stejné hmotnosti m a stejném náboji Q zavěšené na nevodivých závěsech o délce d. Předpokládejme, že úhel 6 je tak malý, že přibližně platí tg 0 = sin 6. (a) Ukažte, že v rovnováze je vzdálenost mezi kuličkami \2KEomgJ (b) Jaká j e hodnota g,je-li <ž = 120cm,m = lOg,* = 5,0cm? Obr. 22.24 Úloha 20 21Ú. Vysvětlete, co se stane s kuličkami z úlohy 20b, bude-li jedna z nich vybita. Najděte novou rovnovážnou vzdálenost x s užitím daných hodnot dáma vypočítané hodnoty g. 22Ú. Na obr. 22.25 je nevodivá tyč délky d zanedbatelné hmotnosti, otočná kolem svého středu. Na obou koncích tyče jsou připevněny malé vodivé koule zanedbatelných hmotností s kladnými náboji Q\ a 2Q2. Týč je vyvážena závažím G dle obrázku. Ve vzdálenosti h přímo pod každou z koulí je pevně umístěna koule s kladným nábojem g. (a) Určete vzdálenost x, pro niž je tyč vodorovná a je v rovnováze, (b) Pro jakou hodnotu h bude tyč v rovnováze a nebude přitom vůbec zatěžovat čep, na němž je upevněna? ľ"-d-1 ■«-X-H "f" + Q1 ložisko — h n r-1— +2Qi G T Obr. 22.25 Úloha 22 ODST. 22.5 Kvantování náboje 23C. Jaká je velikost elektrostatické síly mezi iontem sodíku Na+ s nábojem +e a sousedním iontem chloru Cl- s nábojem —e v krystalu soli, je-li jejich vzdálenost 2,82-10"10 m? 24C. Neutron se skládá z jednoho kvarku „up" s nábojem +2e/3 a dvou kvarků „down", každý s nábojem — e/3. Jaká je velikost elektrostatické síly, kterou na sebe působí kvarky „down", jsou-li v neutronu od sebe vzdáleny 2,6-10"15 m? 25C. Jaký celkový náboj v coulombech by mělo 75,0 kg elektronů? 26C. Kolik megacoulombů kladného (resp. záporného) náboje je obsaženo v 1 molu neutrálního molekulárního vodíkového plynu (H2)? 27C. Dva stejné ionty ve vzdálenosti 5,0-10-10 m se odpuzují silou velikosti 3,7-10_9N. (a) Jaký je náboj každého iontu? (b) O kolikamocné ionty jde? 592 KAPITOLA 22 ELEKTRICKÝ NÁBOJ 28C. (a) Kolik elektronů bychom museli odstranit z mince uvažované v př. 22.4, aby měla náboj +1,0-10-7 C? (b) Jaké části elektronů obsažených v minci to odpovídá? 29C. Vzdálenost středů dvou malých kulových vodních kapek se stejným nábojem —1,0-10-16 C je 1,0 cm. (a) Jaká je velikost elektrostatické síly působící mezi kapkami? (b) Kolik přebytečných elektronů způsobujících nerovnováhu jejího náboje je v každé kapce? 30C. Jak daleko musí být od sebe vzdáleny dva protony, aby se velikost elektrostatické síly působící mezi nimi rovnala váze protonu na povrchu Země? 31C. Elektron je ve vakuu blízko povrchu Země. Kam je nutno umístit druhý elektron, aby elektrostatická síla vyrovnala tíhovou sílu působící na první elektron? 32Ú. Zemská atmosféra je neustále bombardována protony kosmického záření z vesmíru. Pokud by všechny protony prošly atmosférou, dopadalo by na každý čtverečný metr povrchu Země zhruba 1500 protonů za sekundu. Jaký by byl odpovídající proud? 33Ú. Vláknem 100 W žárovky, připojené ke stejnosměrnému zdroji napětí 120 V, prochází stálý proud 0,83 A. Za jak dlouho projde vláknem 1 mol elektronů? 34Ú. Vypočítejte, kolik coulombů kladného náboje je obsaženo v 250 cm3(neutrální) vody (přibližně plná sklenice). 35Ú. V krystalové struktuře chloridu česného CsCl tvoří ionty Cs+ vrcholy krychle a iont Cl- leží v jejím středu (obr. 22.26). Délka hrany krychle je 0,40 nm. Každému z iontů Cs+ chybí jeden elektron (má tedy náboj +e), iont Cl~ má jeden elektron navíc (má tedy náboj — é). (a) Jaká je velikost výslednice elektrostatických sil, kterými na iont Cl- působí osm iontů Cs+ nacházejících se v rozích krychle? (b) Jestliže jeden z iontů Cs+ chybí, říkáme, že krystal má defekt. Jaká je v tomto případě velikost výslednice elektrostatických sil, kterými na iont Cl-působí sedm zbývajících iontů Cs+? Obr. 22.26 Úloha 35 36Ú. Víme, že velikost záporného náboje elektronu a kladného náboje protonu je stejná. Předpokládejme však, že by se tyto hodnoty Ušily o 0,000 10 %. Jakou silou by se pak odpuzovaly dvě měděné mince o hmotnosti 3,11 g vzdálené l,0m? Jaký závěr můžete učinit? (Jlp: Viz př. 22.4.) 37Ú. Dva studenti Jan s hmotností 90 kg a Marie s hmotností 45 kg jsou od sebe vzdáleni 30 m. Předpokládejte, že každý z nich má 0,01 % nerovnováhy v množství svého kladného a záporného náboje, Jan je nabit kladně a Marie záporně. Odhadněte zhruba přitažlivou elektrostatickou sílu působící mezi nimi. Studenty v provedené úvaze nahradle stejně těžkými koulemi vody. ODST. 22.6 Zachování náboje 38C. Při ^-rozpadu se jedna částice mění na jinou, přičemž je emitován buď elektron, nebo pozitron, (a) Jaká částice je emitována, jestliže se z protonu stane /J-rozpadem neutron? (b) Jaká částice je emitována, jestliže se neutron mění y3-rozpadem na proton? 39C. Určete X v následujících jaderných reakcích (dodatek F): (a) 'H + 9Be —>- X + n; (b) 12C + XH -» X; (c^N-^H-^He + X. 40C. Při radioaktivním rozpadu 238U (rov. (22.15)) je střed vznikající částice 4He v určitém okamžiku ve vzdálenosti 9,0-10-15 m od dceřiného jádra 234Th. (a) Jaká je v tomto okamžiku velikost elektrostatické síly, která působí na částici 4He? (b) Jaké je v tomto okamžiku zrychlení částice? PRO POČÍTAČ 41Ú. V úloze 18 označme Q\ = aQ. (a) Napište výraz pro velikost F síly působící mezi náboji pomocí a, Q a vzdálenosti nábojů d. (b) Sestrojte graf závislosti F na a. Graficky nalezněte hodnotu a, která dává (c) maximální hodnotu F, (d) polovinu maximální hodnoty F. 42Ú. Dvě částice, každá s kladným nábojem Q, jsou pevně umístěny na ose x, jedna v bodě x = 0, druhá v bodě x = d. Částice s nábojem gi má být umístěna na této ose v poloze x = ad. (a) Zapište pomocí a výrazy pro výslednou elektrostatickou sílu F působící na třetí částici, která se nachází postupně v oblastech x < 0; 0 < x < d\ d < x. Výrazy by měly dát kladný výsledek, má-li F kladný směr osy x, a záporný výsledek, je-li F orientována v záporném směru osy x. (b) Sestrojte graf závislosti F na a v intervalu — 2 < a < 3. Elektrické pole Voda se ohřívá v mikrovlnné troubě tak snadno, že ji můžeme zahřát až na teplotu o 8°C vyšší, než je normální teplota varu, aniž by začala vřít. jestliže pak nasypeme do šálku vody kávový prášek nebo kostky ledu, nastane prudký var, jak je vidět na fotografii, a voda se rozstřikuje na všechny strany, takže nás může snadno opařit. Proč mikrovlny ohřívají vodu{ 594 KAPITOLA 23 ELEKTRICKÉ POLE 23.1 NÁBOJE A SÍLY; BLIŽŠÍ POHLED Umístěme pevně v prostoru částici s kladným nábojem <2i a přibližme k ní druhou částici s kladným nábojem Q2. Z Coulombova zákona víme, že částice Q\ působí na Q2 odpudivou elektrostatickou silou, a pokud máme dostatek vstupních údajů, můžeme určit její velikost a směr. Zůstává však zásadní otázka: Jak „ví" náboj Q\ o existenci náboje £?2?Pokud se náboje nedotýkají, jak může Q\působit silou na 02? Tuto otázku o působení na dálku můžeme zodpovědět tak, že náboj Q\ vytváří kolem sebe v prostoru elektrické pole. V každém bodě P prostoru lze pole popsat veličinou, která má velikost a směr. Její velikost závisí na velikosti <2i a na vzdálenosti mezi Q\ a bodem P, ve kterém pole působí; její směr závisí na směru od Q\ k P a na znaménku náboje Q\. Umístíme-li náboj £?2 do bodu P, pak gi interaguje s Q2 prostřednictvím pole v bodě P. Velikostí a směrem tohoto pole je určena velikost a směr síly působící na Q2- Další problém vzniká tehdy, když posuneme např. náboj Q\ blíže k náboji Q2. Podle Coulombova zákona platí, že čím blíže je gi ke Q2, tím větší musí být odpudivá síla, která na Q2 působí. Tak tomu také je. Ale: změní se síla působící na Q2 okamžitě? Neboli — změní se při změně polohy <2i okamžitě elektrické pole ve všech (i ve vzdálených) místech, např. tam, kde se nachází Q2I Odpověď zní: nikoli. Informace o pohybu náboje Q\ se šíří od Q\ ve všech směrech jako elektromagnetická vlna rychlostí svěda c. Změna elektrického pole v bodě, kde je náboj Q2, a tím také změna síly působící na Q2, se projeví, až když vlna dojde do tohoto bodu. 23.2 ELEKTRICKÉ POLE S některými příklady pole jsme se již ve fyzice setkali. Vzduch v místnosti má v každém místě jistou teplotu. Umís-tíme-li teploměr kdekoli nás to zajímá, můžeme ji změřit. Říkáme, že teplotu T v místnosti lze popsat teplotním polem T(r). Úplně stejně si můžeme představit tlakové pole pif) v atmosféře; udává nám, jaký tlak je v kterémkoli konkrétním bodě sledované oblasti. Toto byly dva příklady skalárního pole, protože jak teplota, tak i úak jsou skalární veličiny. Z hlediska matematického popisu je tedy pole funkcí souřadnic (polohového vektoru r) definovanou v oblasti, která nás zajímá. (Může samozřejmě záviset i na dalších proměnných, např. na čase t apod.) Podobně zavádíme vektorové pole, jesdiže uvažovaná veličina má vektorovou povahu. Proudění kapaliny jsme mohli popsat rychlostním polem v(r), udávajícím okamžitou rychlost v kapaliny v místě r. Můžeme zavést silové pole F(r), udávající sílu f, která by působila na zkoumanou částici, kdyby se nacházela v místě r. A takto také popíšeme elektrické pole kolem nabitého tělesa, např. v bodě P na obr. 23. la: do bodu P umístíme kladný náboj Qo, nazývaný testovací náboj, a změříme elektrostatickou sílu f, která na něj působí. («) {b) Obr, 23.1 (a) Kladný testovací náboj Qo umístěný do bodu P v blízkosti nabitého tělesa. Na testovací náboj působí elektrostatická síla f. (b) Intenzita £ elektrického pole v bodě P, které je buzeno nabitým tělesem. Elektrické pole popíšeme vektorovou veličinou e, kterou nazýváme intenzita elektrického pole nebo stručněji elektrická intenzita, která je definována vztahem e=— (intenzita elektrického pole). (23.1) Qo V bodě P má elektrická intenzita velikost E = F/Qq a její směr je dán směrem síly f působící na kladný testovací náboj. Elektrickou intenzitu e zobrazujeme vektorem umístěným v bodě P (obr. 23.1). Abychom určdi elektrické pole v nějaké oblasti, musíme provést podobné měření ve všech jejích bodech. V soustavě SI je jednotkou elektrické intenzity newton na coulomb (NC_1); později pro ni odvodíme i jiná, pro praxi názornější vyjádření. V tab. 23.1 jsou uvedeny velikosti intenzity v některých konkrétních případech. Zároveň se tu setkáváme s dalším, užším významem fyzikálního pole: zavedli jsme ho jako prostředníka interakce mezi nabitými částicemi. Vzájemné působení nyní můžeme schematicky zapsat takto: náboj =>• pole =>• náboj. 1. První náboj budí ve svém okolí elektrické pole. 2. Elektrické pole se šíří prostorem. 3. Druhý náboj interaguje s polem (prvního náboje), ve kterém se nachází. Obr. 23.2 ilustruje elektrické pole zprostředkující interakci dvou nábojů. Na obr. 23.2a budí náboj Q\ ve svém 23.3 ELEKTRICKÉ SILOČÁRY 595 Tabulka 23.1 Některá elektrická pole Velikost intenzity Elektrické pole (N-CT1) Na povrchu jádra uranu 3-1021 Uvnitř atomu vodíku (Bohrův poloměr, úloha 56 z kap. 24) 5-1011 Při elektrickém průrazu ve vzduchu 3-106 V blízkosti nabitého válce fotokopírovacího stroje 105 V blízkosti nabitého plastikového hřebenu 103 V dolní vrstvě atmosféry 102 Uvnitř měděného vodiče v elektrických obvodech v domácnosti io-2 okolí elektrické pole (znázorněno vytečkováním). Toto pole působí na náboj £?2 silou r\. Z hlediska Q\ (obr. 23.2b) můžeme však stejně dobře předpokládat, že pole budí náboj Qi a že síla F\ působící na Q\ je výsledkem jeho interakce s polem buzeným nábojem Qi. Síly mají ovšem stejnou velikost a opačný směr (F\ = —F2), i když obě elektrická pole mohou být různě silná, pokud se náboje od sebe Uší velikostí. (a) (b) Obr. 23.2 (a) Náboj gi budí pole, které působí silou Fi na náboj Qi. (b) Náboj Q2 budí pole, které působí silou F\ na náboj Q\. Mají-li náboje různou velikost, výsledná pole budou různá. Síly však mají vždy stejnou velikost a opačný směr; tj. Fi = -F2. Ačkoli pro určení elektrického pole nabitého tělesa používáme testovací náboj, pole samozřejmě existuje nezávisle na něm. Pole v bodě P na obr. 23.1b existuje předtím i poté, co jsme do tohoto bodu testovací náboj umístili. (Předpokládáme, že testovací náboj je natolik malý, že jeho přítomnost neovlivní rozdělení náboje na nabitém tělese a že se jeho vložením tedy nezmění to elektrické pole, které určujeme.) Pro vyšetření úlohy, jakou hraje elektrické pole při interakci nabitých těles, musíme vyřešit dva úkoly: (1) Vypočítat intenzitu pole vytvářeného daným rozdělením nábojů. (2) Vypočítat sílu, kterou dané pole působí na náboj umístěný do pole. Prvnímu úkolu se budeme věnovat v čl. 23.4 až 23.7 pro několik konfigurací nábojů. Druhý úkol budeme řešit v čl. 23.8 a 23.9 pro bodový náboj a dvojici bodových nábojů nacházejících se v elektrickém poU. Nejprve se ale budeme zabývat způsobem zobrazení elektrických polí. 23.3 ELEKTRICKÉ SILOČÁRY Michael Faraday, který v 19. století zavedl pojem elektrického pole, si představoval prostor kolem nabitého tělesa vyplněný siločárami. Tyto čáry — budeme je pro určitost nazývat elektrické siločáry — jsou myšlené orientované křivky, které názorně zobrazují elektrické pole. Vztah mezi siločárou a vektorem elektrické intenzity je následující: (1) Kvalitativně: v každém bodě určuje směr tečny k siločáře směr vektoru e. (2) Kvantitativně: chceme-li vyjádřit nejen směr, ale i velikost elektrické intenzity, nakresUme tolik siločar, aby jejich počet na jednotku plochy kolmé k siločárám byl úměrný velikosti e. V tom případě tam, kde jsou sUo-čáry blízko u sebe, je pole silné (velikost intenzity E je velká) a tam, kde jsou daleko od sebe, je pole slabé. Na obr. 23.3a je koule s rovnoměrně rozloženým záporným nábojem. Jestliže umístíme kladný testovací náboj kamkoli do blízkosti koule, bude na něj působit elektrostatická síla směřující do středu koule (obr. 23.3a). Jinými slovy, vektor elektrické intenzity směřuje v každém bodě v bUzkosti koule radiálně do jejího středu. Toto vektorové poleje zobrazeno na obr. 23.3b siločárami, které jsou orientovány stejně jako síla a vektor intenzity. Navíc rozbíhání siločar se vzdáleností od koule ukazuje, že velikost intenzity se vzdáleností od koule klesá. Kdyby byla koule na obr. 23.3 rovnoměrně nabita kladným nábojem, vektor intenzity v každém bodě blízko koule by směřoval radiálně od koule. Proto by se také elektrické siločáry rozbíhaly radiálně od koule. Z kladných nábojů siločáry vycházejí (zdroj, zřídlo). V záporných nábojích siločáry končí (nor, propad). 596 KAPITOLA 23 ELEKTRICKÉ POLE t kladný testovací náboj elektrické siločáry (a) {b) Obr. 23.3 (a) Elektrostatická síla F působící na kladný testovací náboj v blízkosti koule s rovnoměrně rozloženým záporným nábojem, (b) Vektor elektrické intenzity E v místě testovacího náboje a elektrické siločáry v okolí koule. Siločáry vedou směrem k záporně nabité kouli. (Jejich počátek je v nekonečnu nebo ve vzdálených kladných nábojích.) Je-li úhrnný náboj zkoumané soustavy kladný, pak některé siločáry z ní vedou do nekonečna (pokud ovšem nekončí na záporných nábojích mimo zkoumanou soustavu). Analogicky, je-li úhrnný náboj zkoumané soustavy záporný, pak některé siločáry do ní vedou z nekonečna (pokud ovšem nevycházejí z kladných nábojů mimo zkoumanou soustavu). Na obr. 23.4a je část nekonečné nevodivé vrstvy (nebo roviny), která je na jedné straně rovnoměrně nabita kladným nábojem. Umístíme-li kladný testovací náboj do libovolného bodu poblíž roviny, bude výsledná elektrostatická síla na něj působící k rovině kolmá, protože složky síly ve směrech rovnoběžných s rovinou se navzájem zruší v důsledku symetrie v rozložení náboje vzhledem k bodu S. Výsledná síla směřuje kolmo od roviny (obr. 23.4a); proto také intenzita v každém bodě prostoru na obou stranách roviny směřuje kolmo od ní (obr. 23.4b, c). Protože je náboj na rovině rozložen rovnoměrně, mají všechny vektory intenzity tutéž velikost. Pole, jehož intenzita má v každém bodě nějaké oblasti stejný směr a velikost, nazýváme homogenní (E = konst). Žádná reálná nevodivá vrstva samozřejmě není nekonečně velká. Uvažujeme-li však oblast blízko reálné roviny a dostatečně daleko od jejích krajů, jsou siločáry pole uspořádány tak, jak je to zobrazeno na obr. 23.4b, c. Obr. 23.5 ukazuje siločáry pole dvou stejně velkých kladných nábojů, obr. 23.6 siločáry dvou nábojů stejné velikosti, ale opačného znaménka. Toto uspořádání nábojů se nazývá elektrický dipól. Ačkoli nepoužíváme siločáry v kvantitativním významu často, jsou pro popis velmi výstižné. Můžeme téměř „vidět", jak se náboje na obr. 23.5 odstrkují a na obr. 23.6 k sobě přitahují. kladný testovací náboj -----1- X X_X X X —f- -7T 1- X X .--X._£_ _____X.. X (b) (c) Obr. 23.4 (a) Elektrostatická síla F působící na kladný testovací náboj poblíž velmi velké, nevodivé roviny, která je na jedné straně rovnoměrně nabita kladným nábojem, (b) Vektor intenzity E v místě testovacího náboje a siločáry elektrického pole v blízkosti roviny. Siločáry směřují od kladně nabité roviny, (c) Boční pohled na situaci (b). Obr. 23.5 Siločáry pole dvou stejně velkých kladných bodových nábojů. Náboje se navzájem odpuzují. Abychom „viděli" skutečný trojrozměrný model elektrických siločar, je třeba v duchu otáčet zobrazeným modelem kolem osy ležící v rovině stránky a procházející oběma náboji. Trojrozměrný model a elektrické pole, které reprezentuje, jsou rotačně symetrické kolem této osy. V jednom bodě pole je zobrazen vektor intenzity. Má směr tečny k siločáře procházející tímto bodem. 23.4 ELEKTRICKÉ POLE BODOVÉHO NÁBOJE 597 Obr. 23.6 Siločáry pole dvou stejně velkých bodových nábojů opačných znamének. Náboje se navzájem přitahují. Model siločar a elektrické pole, které reprezentuje, jsou rotačně symetrické kolem osy procházející oběma náboji. V jednom bodě je zobrazen vektor intenzity. Má směr tečny k siločáře procházející tímto bodem. PŘIKLAD 23.1 Jak se na obr. 23.3 mění velikost elektrické intenzity se vzdáleností od středu rovnoměrně nabité koule? ŘEŠENÍ: Předpokládejme, že na kouli z obr. 23.3 končí N siločar. Představme si soustřednou kouli o poloměru r obklopující nabitou kulovou plochu. Počet siločar připadajících na jednotku této plochy je N/(4w2). Protože intenzita E je úměrná této hodnotě, můžeme psát E ~ 1/r2. Intenzita pole vytvářeného rovnoměrně nabitou koulí tedy také klesá se čtvercem vzdálenosti od středu koule. Směr vektoru £ je stejný jako směr síly působící na kladný testovací náboj: směřuje od bodového náboje, je-li náboj Q kladný, a směrem k němu, je-li záporný. Elektrické pole v prostoru kolem bodového náboje najdeme tak, že v jednotiivých bodech tohoto prostoru umísťujeme testovací náboj. Na obr. 23.7 jsou znázorněny vektory intenzity pole kladného bodového náboje (nikoli siločáry). \ t / í •H>H> i i Obr. 23.7 Vektory elektrické intenzity v několika bodech kolem kladného bodového náboje. Výsledné pole způsobené několika bodovými náboji můžeme najít pomocí principu superpozice. Jestliže umístíme kladný testovací náboj Qo do blízkosti n bodových nábojů Qi, Q2, Qn, pak podle rov. (22.7) je výsledná síla Fo, kterou působí n bodových nábojů na testovací náboj, rovna Fo = Foi + F02 + ■■■ + Fuň- Podle rov. (23.1) je tedy intenzita výsledného elektrického pole v místě testovacího náboje 23.4 ELEKTRICKÉ POLE BODOVÉHO NÁBOJE Hledáme-li intenzitu pole bodového náboje Q (nabité částice zanedbatelných rozměrů), vložíme do libovolného bodu ve vzdálenosti r od bodového náboje kladný testovací náboj Qo- Podle Coulombova zákona (rov. (22.4)) je velikost elektrostatické síly působící na Qo rovna £ — — 4. 4 ^0» ~ Qo ~ Qo Qo "' Qo = El+E2 + ... + En, (23.4) kde je intenzita pole, které by budil osamocený bodový náboj Qi. Rov. (23.4) je vyjádřením principu superpozice pro intenzitu elektrického pole. 1 Ißllßol 4tc£o (23.2) Síla F směřuje od bodového náboje, je-li náboj Q kladný, a směrem k němu, je-li záporný. Velikost elektrické intenzity je podle rov. (23.1) rovna E = — = l 161 Qo 4tc£o r2 (bodový náboj). (23.3) j^ONTROLA 1: Na obrázku je znázorněn proton p a elektron e na ose x. Jaký je směr intenzity elektrického pole buzeného elektronem (a) v bodě S, (b) v bodě R7 Jaký je směr intenzity výsledného pole (c) v bodě R, (d) v bodě SI - -e - -P 598 KAPITOLA 23 ELEKTRICKÉ POLE PŘIKLAD 23.2 Na obr. 23.8a jsou Iři částice s náboji Q\ = +2g, Q2 = = —2g, Q3 = — 4g, každá ve vzdálenosti d od počátku. Jaká je intenzita výsledného elektrického pole v počátku souřadnic? ŘEŠENÍ: Náboje gi, Q2 a g3 budí pole o intenzitách £1, E2 a £3. Hledáme vektorový součet £ = E\ + £2 + £3- Nejprve musíme nalézt velikost a směr všech tří vektorů intenzity. Velikost vektoru £1, který je buzen nábojem gi, najdeme z rov. (23.3) dosazením d za r a 2g za |g|: Ei = 1 2g 4ti£o d2 ' Podobně najdeme velikosti vektorů £2 a £3: 1 2g 1 4g E2 =---75- a E3 = 4jie0 d2 4ueo d2 ' Nyní musíme zjistit, jaká bude orientace těchto tří vektorů v počátku souřadnic. Protože gi je kladný náboj, směřuje vektor intenzity směrem od něho. Protože náboje g2 a g3 jsou oba záporné, směřují vektory intenzity polí, která budí, směrem k nim. Vektory intenzity jsou znázorněny na obr. 23.8b. (Počátky vektorů jsme umístili do bodu, v němž máme určit výsledné pole.) Intenzity nyní obvyklým postupem vektorově sečteme. Vyjádřením jc-ové a y-ové složky každého vektoru a jejich sečtením získáme výslednou x-ovou a y-ovou složku vektoru £. Jeho velikost najdeme pomocí Pythagorovy věty a pro určení směru £ použijeme definici tangenty úhlu. Pro zjednodušení výpočtu můžeme však také využít symetrie úlohy. Z obr. 23.8b plyne, že £1 a £2 mají stejný směr. Proto i jejich vektorový součet má tento směr a velikost bude £1 + E2 = 1 2g 1 2g 4tt:£o d2 1 4g 4keo d2 + 4iiso d2 což je stejná velikost, jakou má £3. Zbývá sečíst dva vektory, a to £3 a £1 + £2, které mají stejnou velikost a jsou symetrické vzhledem k ose x (obr. 23.8c). Z toho plyne, že y-ové složky těchto dvou vektorů se navzájem ruší. Protože x-owé složky obou vektorů jsou kladné, má výsledná intenzita £ směr osy x a její velikost je E = 2E3x = 2E3 cos 30° 2 1 4g 4ti£o d2 (0,866) = 1 6,93 g 4ji£o d2 (Odpověď) 30° 03 30° 30° 02 (a) ^XV30° /30° El ^30° ----E1+E2 (b) (c) Obr.23.8 Příklad 23.2. (a) Tři částice s náboji gi, 62, Q^ se nacházejí ve stejné vzdálenosti d od počátku souřadnic, (b) Vektory intenzit £1, £2. £3 polí buzených v počátku souřadnic těmito třemi částicemi, (c) Vektor intenzity £3 a vektorový součet £1 +£2 v počátku souřadnic. PŘIKLAD 23.3 Předpokládejme pro jednoduchost, že jádro atomu uranu je kulově symetrické a má poloměr R = 6.8-10-15 m. Za předpokladu, že kladný náboj jádra je rozložen rovnoměrně, určete elektrickou intenzitu, kterou tento náboj budí v bodě na povrchu jádra. ŘEŠENÍ: Jádro má kladný náboj Ze, kde atomové číslo Z = 92 udává počet protonů v jádře a e = 1,60-10_19C je náboj protonu. Je-li náboj v jádře rozložen rovnoměrně, lze použít první slupkový teorém z kap. 22. Elektrostatická síla působící na kladný testovací náboj umístěný vně jádra je stejná, jako by celý náboj jádra byl soustředěn v jeho středu. Z rov. (23.1) plyne, že také intenzita pole buzeného j ádrem je stejná, jako by byl všechen jeho náboj soustředěn v jeho středu. Podle rov. (23.3) je velikost intenzity E = 1 Ze _ 4tis0 R2 ~ (8,99-109 N-m2-C-2) (92) (1,60-10~19 C) (6,8-10-15m)2 = 2,9-1021 N-CT1. (Odpověď) Protože náboj jádra je kladný, směřuje vektor intenzity £ směrem od středu jádra. 23.5 ELEKTRICKÉ POLE DIPÓLU 599 j^ONTROLA 2: Obrázek znázorňuje čtyři situace, v nichž jsou nabité částice ve stejné vzdálenosti od počátku. Seřadle tyto případy sestupně podle velikosti intenzity výsledného elektrického pole v počátku souřadnic. .-5ß .-5ß -3ß 3ß (a) y -2ß (ŕ) '-ß 40 -ß ß <5Q -4ß •4ß (c) (d) 23.5 ELEKTRICKÉ POLE DIPÓLU Na obr. 23.9a jsou dva náboje + Qa — Q. Poloha náboje + Q vůči — Q je dána vektorem d. Jak už bylo uvedeno v souvislosti s obr. 23.6, takové uspořádání se nazývá elektrický dipól. Určeme intenzitu pole dipólu v bodě P, který je ve vzdálenosti z od středu dipólu na ose dipólu (tj. na přímce procházející oběma náboji tvořícími dipól). Vektor intenzity £ v bodě P — a také intenzit £(+) a £(_) polí buzených jednotlivými náboji tvořícími dipól — leží v ose dipólu; zvolíme ji za osu z. Použitím principu superpozice najdeme velikost E intenzity v bodě P: E = - = 1 Q 1 Ô 4ti£o í (+) Q 4k£o i (-) (23.5) 4%so(z - \d)2 47t£o(z + \d)2 Po malých úpravách můžeme tuto rovnici přepsat do tvaru Q E = Atísqz' ((»-er-KD- **> z =(-> -++Q -Q - (a) (b) Obr. 23.9 (a) Elektrický dipól. Intenzity £(+) a £(_) v bodě P na ose dipólu j sou buzeny náboji + Q a — Q. Vzdálenost bodu P od jednotlivých nábojů, které tvoří dipól, je r(+) a r(_). (b) Dipólový moment dipólu p = Qd směřuje od záporného náboje ke kladnému. Obvykle se zajímáme o elektrické působení dipólu ve vzdálenostech, které jsou velké ve srovnání s jeho rozměry, tj. ve vzdálenostech z > d. Pro tak velké vzdálenosti v rov. (23.6) platí d/(2z) Vynechané členy v obou rozvojích v rov. (23.7) obsahují d/z ve vyšších mocninách. Protože d/z <í 1, příspěvky těchto členů jsou stále menší a při aproximaci E ve velkých vzdálenostech je můžeme zanedbat. V naší aproximaci můžeme rov. (23.7) zapsat ve tvaru Q 2d 1 Qd 4ksqz2 z 2ksq z3 (23.8) Součin Qd udává velikost p vektorové veličiny, kterou nazýváme elektrický dipólový moment p. Rov. (23.8) 600 kapitola 23 elektrické pole můžeme tedy psát ve tvaru 1 P E =-^ (elektrický dipól). (23.9) 2k£o z Vektorp = Qd podle definice směřuje od záporného konce dipólu ke kladnému (obr. 23.9b). Jak plyne z rov. (23.9), měříme-li elektrické pole dipólu pouze ve vzdálených bodech, nemůžeme určit odděleně hodnoty Q a d, ale pouze hodnotu jejich součinu. Pole ve vzdálených bodech se nezmění, jestliže se například zdvojnásobí Q a současně d klesne na polovinu. Dipólový moment je tedy základní vlastností dipólu. Ačkoli rov. (23.9) platí pouze pro vzdálené body na ose dipólu, lze dokázat, že velikost intenzity E pole dipólu klesá se vzdáleností: E ~ 1/r3 pro všechny vzdálené body bez ohledu na to, leží-li na ose dipólu nebo ne; r zde označuje vzdálenost mezi uvažovaným bodem a středem dipólu. Ze srovnání obr. 23.9 s průběhem siločar na obr. 23.6 je vidět, že směr intenzity E pro vzdálené body na ose dipólu je vždy stejný jako směr dipólového momentu p. To platí bez ohledu na to, kam jsme umístili bod P na ose dipólu. Z rov. (23.9) plyne, že zdvojnásobíme-li vzdálenost uvažovaného bodu od dipólu, klesne intenzita pole osmkrát. Zdvojnásobíme-li však vzdálenost od bodového náboje, zmenší se intenzita pole pouze čtyřikrát (viz rov. (23.3)). Intenzita pole dipólu klesá tedy se vzdáleností mnohem rychleji než intenzita pole náboje. Fyzikálním důvodem pro tento rychlý pokles je skutečnost, že ze vzdálených bodů se dipól jeví jako dva stejně velké, ale opačné náboje, které téměř — ale ne zcela — splývají. Proto se také jejich pole ve vzdálených bodech téměř — i když ne zcela — ruší. PŘÍKLAD 23.4 Molekula vodní páry budí ve svém okolí stejné elektrické pole jako dipól na obr. 23.9. Její dipólový moment má velikost p = 6,2-10_30C-m. Jaká je velikost intenzity pole ve vzdálenosti z = 1,1 nm od molekuly na její dipólové ose? (Tato vzdálenost je dostatečně velká, abychom mohli použít rov. (23.9)). ŘEŠENÍ: Z rov. (23.9) plyne 1 P 2ti£o z3 (6,2-10_30C-m) _ ~~ 2n(8,85-10-12C2-N-1-m-2)(l,l-10-9m)3 ~~ = 8,4-107N-C_1. (Odpověď) 23.6 ELEKTRICKÉ POLE NABITÉHO VLÁKNA Dosud jsme uvažovali pole vytvářené jedním nebo nanejvýše několika bodovými náboji. Nyní uvažujme rozložení náboje, které je tvořeno velkým množstvím velmi těsně vedle sebe umístěných bodových nábojů, prostírajících se na vlákně, na ploše, nebo uvnitř nějakého objemu. Mluvíme o spojitém rozložení náboje. V tomto odstavci vyšetříme elektrické pole spojitě nabitého vlákna a plochy. S nabitým objemem jsme se již setkali v př. 23.3, kde jsme určili intenzitu pole vně rovnoměrně nabité koule. V kap. 24 vypočteme intenzitu i uvnitř takové koule. Když se zabýváme spojitě rozloženým nábojem, popisujeme náboj na tělese pomocí hustoty náboje. Je to náboj, který připadá na jednotku délky (nabitého vlákna), nebo na jednotkovou plochu (nabité plochy), nebo na jednotku objemu (nabitého tělesa). V tab. 23.2 jsou uvedeny příslušné hustoty nábojů s jejich označením a jednotkou v soustavě SI. Tabulka 23.2 Některé charakteristiky popisující rozložení elektrického náboje název Značka Jednotka SI Náboj Q c Délková hustota náboje X c-nr1 Plošná hustota náboje a C-m-2 Objemová hustota náboje Q C-m-3 Na obr. 23.10 je tenký nevodivý prstenec o poloměru R s rovnoměrně rozloženým kladným nábojem o délkové hustotě x. Jaká je intenzita E elektrického pole v bodě P, který je ve vzdálenosti z od roviny prstence na jeho ose souměrnosti? Obr. 23.10 Prstenec s rovnoměrně rozloženým kladným nábojem. Na element délky dí připadá element náboje r ds, který budí v bodě P pole o intenzitě d£. Složka d£ ve směru osy prstence je dE cos 6. 23.6 ELEKTRICKÉ POLE NABITÉHO VLÁKNA 601 Abychom našli odpověď, nemůžeme přímo použít rov. (23.3), která udává intenzitu pole vytvářeného bodovým nábojem: prstenec není bod. Můžeme ho však myšlené rozdělit na infinitezimální elementy tak malé, že je můžeme považovat za bodové, a pak pro každý z nich použít rov. (23.3). Intenzitu, kterou v bodě P budí prstenec, dostaneme podle principu superpozice jako vektorový součet intenzit, které budí jednotlivé nábojové elementy. Nechť ds je délka elementu prstence. Protože t je náboj připadající na jednotku délky, má element prstence infinitezimální náboj o velikosti dß = Tds (23.10) a ten vytváří v bodě P ve vzdálenosti r pole o intenzitě dE. Element považujeme za bodový náboj a s užitím rov. (23.10) můžeme z rov. (23.3) vyjádřit velikost dE dE = 1 dß 1 rds 4tc£o r2 4kbo r2 (23.11) Protože r2 = z2 + R2, můžeme rov. (23.11) přepsat do tvaru 1 t ds dE =--z-z-. (23.12) 4k£0 (z2 + R2) K Z obr. 23.10 plyne, že d£ svírá s osou prstence (kterou jsme zvolili za osu z) úhel 6 a má nenulovou složku jak ve směru kolmém k této ose, tak i rovnoběžném s ní. Každý element náboje na prstenci vytváří v bodě P infinitezimální pole o intenzitě dE, jejíž velikost je dána rov. (23.12). Všechny tyto vektory dE mají stejné z-ové složky. Průměty kolmé k ose souměrnosti mají stejnou velikost, ale míří do různých směrů. Ke každému z nich přitom existuje druhý, opačně orientovaný; takové dvojice průmětů se spolu vyruší. Výsledná intenzita v bodě P proto leží v ose z a má velikost rovnou součtu z-ových složek intenzit dE. Podle obr. 23.10 má z-ová složka d£ velikost dE cos 0. Dále odsud plyne, že z z COS0 — - — —z-„~.,n. r (z2 + R2)1/2 Z rov. (23.13) a (23.12) dostáváme zr (23.13) dE cos 0 4tís0(z2 + R2)3/2 ds. (23.14) Velikost výsledné intenzity získáme integrací rovnice (23.14) podél obvodu prstence, tj. od s = 0 do s = = 2tzR. Protože s je jediná veličina v rov. (23.14), která se během integrace mění, můžeme ostatní veličiny vytknout před integrál. Integrace pak dává dEcosé? I zt 4ti£o (z2 + R2)3'2 p2izR jo zt(2kR) 4k£0(z2 + /?2)3/2" ds = (23.15) Protože t je náboj připadající na jednotkovou délku prstence, je člen r(2nR) v rov. (23.15) roven celkovému náboji prstence Q. Rov. (23.15) můžeme tedy zapsat ve tvaru Qz 4k£0(z2 + R2Ý12 (nabitý prstenec). (23.16) Je-li náboj na prstenci záporný, je velikost intenzity v bodě P také dána rov. (23.16), ale vektor E je orientován směrem k prstenci. Uvažujme nyní rov. (23.16) pro bod na ose z, který je tak daleko od prstence, že z » R. Pro takový bod můžeme výraz z2 + R2 v rov. (23.16) nahradit výrazem z2; rov. (23.16) přejde do tvaru 1 ß (nabitý prstenec 4k£q z2 ve velké vzdálenosti). (23.17) To je pochopitelný výsledek, protože z velké vzdálenosti se prstenec jeví jako bodový náboj. Dosadíme-li v rov. (23.17) r za z, dostaneme skutečně rov. (23.3) pro intenzitu elektrického pole bodového náboje. Uvažujme dále rov. (23.16) pro bod ve středu prstence, tj. pro z = 0. V tomto bodě vychází E = 0. To je opět pochopitelný výsledek, protože když umístíme testovací náboj do středu prstence, nebude na něj působit žádná výsledná síla: síla, kterou působí libovolný element prstence, se bude rušit se silou, kterou působí element k němu protilehlý. To znamená, že je nulová také intenzita elektrického pole. PŘIKLAD 23.5 Na obr. 23.11a je ebonitová tyč rovnoměrně nabitá nábojem—g. Tyč je ohnuta do oblouku o středovém úhlu 120° a poloměru r. Zvolme souřadnicový systém tak, že osa x splývá s osou oblouku a počátek je v jeho středu křivosti P. ■Vyjádřete pomocí Q ar intenzitu e elektrického pole vytvořeného tyčí v bodě P. ŘEŠENÍ: Uvažujme infinitezimální element tyče o délce ds, který je nad osou x a jehož průvodič svírá s osou x úhel 6 (obr. 23.1 lb). Nechť r je délková hustota náboje na tyči. Pak element ds má infinitezimální náboj o velikosti dß = rds. (23.18) 602 KAPITOLA 23 ELEKTRICKÉ POLE Ten vytváří v bodě P, který je ve vzdálenosti r od elementu, pole o infinitezimální intenzitě dE. Považuj eme-li element za bodový náboj, můžeme pomocí rov. (23.3) vyjádřit velikost dE vztahem 1 dg 1 rds dE = - 4n:£o r1 4jreo rL Protože náboj dQ je záporný, směřuje d£ k ds. ebonitová tyč s nábojem—Q (23.19) (a) symetrický element ds' (« (c) Obr. 23.11 Příklad 23.5. (a) Ebonitová tyč s nábojem -Q tvoří oblouk o poloměru r se středovým úhlem 120°; bod P je středem křivosti oblouku, (b) Infinitezimální element ds v horní části tyče, jehož průvodič svírá s osou x úhel 9, budí v bodě P elektrické pole dE. Element ds', symetrický k ds podle osy x, budí v bodě P pole dE', které má stejnou velikost, (c) Oblouku délky ds odpovídá úhel dS. Ke každému elementu ds existuje symetricky umístěný element ds' (zrcadlový obraz) na spodní polovině tyče. Intenzita dE', kterou budí v bodě P element ds', má velikost rovněž danou rov. (23.19), přičemž vektor intenzity směřuje směrem k ds' (obr. 23.11b). Je zřejmé, že y-ové složky vektorů dE a dE' jsou stejně velké, ale mají opačná znaménka; jejich součet je proto nulový. Dále vidíme, že jejich jc-ové složky jsou stejné. Abychom našli intenzitu pole buzeného tyčí, stačí sečíst (integrovat) pouze x-ové složky infinitezimálních intenzit buzených všemi elementy tyče. Z obr. 23.1 lb a rov. (23.19) dostáváme pro velikost jc-ové složky dEx buzené elementem ds 1 x dEx = dE cos 6 =--r cos 6 ds. (23.20) 4tt:£o r1 Rov. (23.20) má dvě proměnné, Q a s. Ty však nejsou nezávislé. Element ds vyjádříme vztahem ds = r d0, kde d6 je úhel, příslušný oblouku ds (obr. 23.1 lc). Nyní můžeme integrovat rov. (23.20) přes středový úhel od 6 = —60° do e = 60°. Pro intenzitu pole, které v bodě P budí celá tyč, dostaneme f f 1 t Ex = / dEx = /---5-rcosöde = J J-m" 4ti£0 rz 1 r f60" 1 t 60° =---/ cos6>d0 =---sinö „o = — -[sin60° - sin(-60°)] = 4ti£o r 1,73t 4ji£or (23.21) Určíme ještě r. Týči odpovídá středový úhel 120°, tj. tyč tvoří třetinu celé kružnice. Její délka je tedy 2nr/3 a délková hustota náboje náboj Q 0ATIQ délka 2nr/3 r Dosazením do rov. (23.21) a úpravou dostáváme _ 1,73(0,4776) _ 0,836 x 4u£or2 4-íisor2' Vektor E směřuje k tyči, podél osy symetrie rozložení náboje. (Odpověď) RADY A NÁMETY Bod 23.1: Výpočet pole nabitého vlákna Podáme obecný návod, jak určit intenzitu pole, které v bodě P budí rovnoměrně nabité vlákno, buď přímé, nebo ve tvaru oblouku. Zvolíme element náboje dQ, najdeme intenzitu d£ buzenou tímto elementem a d£ integrujeme přes celé nabité vlákno. 1. Má-li nabité vlákno tvar oblouku, je ds délka elementárního oblouku. Je-li přímé, zvolíme v jeho směru osu x a pak dx je délka elementu. Délkový element si označíme na náčrtku. 2. 'Vyjádříme element náboje dQ zvoleného délkového elementu buďjako dQ = rds, nebo dQ = rdx. 3. \ýjádříme intenzitu dE pole buzeného v bodě P nábojem dQ z rov. (23.3), kde dQ je rovno t ds (nebo r dx). Je-li náboj vlákna kladný, zakreslíme v bodě P vektor d£, který směřuje od elementu dQ. Je-li náboj záporný, zakreslíme vektor směřující k dQ. Vždy hledáme, zdaje v rozložení nábojů symetrie. Jestliže bod P leží na ose symetrie, rozložíme vektor intenzity df 23.7 ELEKTRICKÉ POLE NABITÉHO DISKU 603 do dvou směrů, z nichž jeden je k ose symetrie kolmý a druhý je s ní rovnoběžný. Pak zavedeme element dg' symetrický s dg. V bodě P zakreslíme vektor d£' pole, které je buzeno elementem dg', a rozložíme ho do výše uvedených směrů. Jedna ze složek buzená dg se ruší s odpovídající složkou buzenou dg' a nemusíme ji dále uvažovat. Složky ve směru kolmém se však sčítají. Integrováním sečteme tyto složky od všech elementů. 5. Existují čtyři typy rovnoměrného rozdělení náboje, kde můžeme zjednodušit integrál podle kroku 4. Každý typ můžeme ještě zobecnit tím, že část vlákna bude nabita kladně a část záporně. Prstenec, leží-li bod P na jeho ose (obr. 23.10): Ve výrazu pro dE dosadíme r2 = z2 + i?2jakovrov. (23.12). 'Vyjádříme sčítanou složku d£ pomocí 9. Tím se zavede cos 9, ale 9 je pro všechny elementy stejné a není tedy proměnnou. Vyjádříme cos 9 z rov. (23.13). Integrujeme přes s podél obvodu kružnice. Oblouk kružnice, leží-li bod P vjejím středu (obr. 23.11): Vyjádříme sčítanou složku d£ pomocí 9. Tím se zavede buď sin 9, nebo cos 9. Zredukujeme výsledné dvě proměnné s a9 na jednu (8) nahrazením ds = r d9. Integrujeme přes 6 jako v př. 23.5 od jednoho konce oblouku ke druhému. (fl) H4-4-4-4-4-4-4-4- 44-* -14-4-4-4-4-4-4-4- 44-* (c) Obr. 23.12 (a) Bod P leží v prodloužení nabitého vlákna, (b) Bod P leží v rovině symetrie vlákna ve vzdálenosti y. (c) Totéž jako (b), ale P neleží v rovině symetrie. Přímé vlákno, leží-li bod P v prodloužení vlákna jako na obr. 23.12a: Ve výrazu pro d£ nahradíme r = x. Integrujeme přes x od jednoho konce vlákna ke druhému. Přímé vlákno, leží-li bod P ve vzdálenosti y jako na obr. 23.12b: Ve výrazu pro d£ nahradíme r výrazem obsahujícím x a y. Je-li P na ose vlákna, najdeme výraz pro sčítanou složku d£. Tím se zavede buď wa.9, nebo cos0. Zredukujeme výsledné dvě proměnné x a 6 na jednu (je) nahrazením goniometrické funkce výrazem obsahujícím x a y. Integrujeme přes x od jednoho konce vlákna k druhému. Jestliže P neleží na ose (obr. 23.12c), sestavíme integrál pro součet složek dEx a integrujeme přes x, abychom našli Ex. Sestavíme také integrál pro součet složek dEy a integrujeme opět přes x, abychom našli Ey. Obvyklým způsobem najdeme ze složek Ex a Ey velikost E a směr E. Má-li být výsledek vyjádřen pomocí celkového náboje g, nahradíme r = Q/s, kde s je délka vlákna (např. pro prstenec je s rovno obvodu prstence). j^ONTROLA 3: Na obrázku jsou tři nevodivé tyče, jedna ohnutá do oblouku a dvě přímé. Na obou polovinách každé z nich je rovnoměrně rozložen uvedený náboj. Určete pro každou tyč směr intenzity výsledného pole v bodě P. +Q\ +Q\ (c) 23.7 ELEKTRICKÉ POLE NABITÉHO DISKU Na obr. 23.13 je kruhový ebonitový disk o poloměru R, který má na svém horním povrchu rovnoměrně rozložený kladný náboj o plošné hustotě a (tab. 23.2). Jaká je elektrická intenzita v bodě P, který je ve vzdálenosti z od roviny disku na jeho ose souměrnosti? dE Obr. 23.13 Disk o poloměru R rovnoměrně nabitý kladným nábojem. Vyznačený prstenec má poloměr r a radiální šířku dr. V bodě P na ose souměrnosti budí prstenec infinitezimální intenzitu dE. 604 KAPITOLA 23 ELEKTRICKÉ POLE Rozdělíme disk na soustředné prstence a spočítáme intenzitu v bodě P sečtením (tj. integrací) všech dílčích příspěvků. Na obr. 23.13 je jeden takový prstenec o poloměru r a šířce dr. Protože a je náboj připadající na jednotku plochy, je náboj na prstenci roven áQ=aáS = or(2wdr), kde dS je element plochy prstence. (23.22) Je-li elektrická intenzita v okolí nabitého tělesa dostatečně velká, dojde k elektrickému průrazu okolního vzduchu: molekuly vzduchu jsou ionizovány (z molekul se uvolní elektrony) a vznikají přechodné vodivé dráhy. Elektrické jiskry, které zde vidíte, tyto dráhy ukazují. Pole, které budí nabitý prstenec, jsme už počítali. Do rov. (23.16) za Q dosadíme dQ z rov. (23.22) a za R proměnnou r. Tím získáme výraz pro velikost intenzity dE, kterou v bodě P budí zvolený prstenec: neboli dE = dE = zcr2nr dr 4tc£0(z2 + r2)3/2 2r dr Nyní můžeme najít velikost E integrací přes celý povrch disku, tj. integrací podle proměnné r od r = 0 do r = R, přičemž z zůstává během integrace konstantní. Dostáváme E = f dE = í (z2 + r2)-3/2(2r) dr. (23, J 4e0 Jo 23) Integrál převedeme na tvar f Xm dX substitucí X = (z2 + + r2), m = —\ a dX = (2r)dr. Pro upravený integrál máme ym+l XmdX = / m + 1 a z rov. (23.23) dostáváme E = crz 4en (z2 + r2)-l/2' Po dosazení mezí a úpravě dostáváme pro velikost intenzity pole buzeného plochým kruhovým nabitým diskem v bodě P na jeho ose E = £-(l- nZ ) (nabitý disk). (23.24) 2«o V Vz2 + Ä2/ Směr intenzity e je kolmý k disku. Pro R oo a z konečné se v rov. (23.24) druhý člen v závorce blíží k nule a rovnice se redukuje na tvar a E =- (nekonečná vrstva). (23.25) 2eo To je intenzita pole buzeného nekonečnou vrstvou náboje rovnoměrně rozloženého na jedné straně nevodíce. Siločáry v takové situaci jsou zobrazeny na obr. 23.4. Rov. (23.25) dostaneme i v případě, že z —>■ O a R zůstává konečné. To znamená, že v bodech velmi blízko disku je intenzita stejná, jako kdyby byl disk nekonečný. 4eo(z2 + r2)3/2" PŘIKLAD 23.6 Disk na obr. 23.13 je na svém horním povrchu nabit nábojem s plošnou hustotou a = +5,3 jiC-m-2. (To odpovídá situaci na fotosenzitivním válci kopírovacího stroje.) (a) Jaká je elektrická intenzita u povrchu disku? ŘEŠENÍ: Směr e je kolmý k disku a velikost E plyne z rov. (23.25): a_ _ (5,3-lQ-6 C-m~2) 2e0 ~ 2(8,85-10-12C2-N-1-m-2) = 3,0-105N-CT (Odpověd) 23.8 BODOVÝ NÁBOJ V ELEKTRICKÉM POLI 605 Tato hodnota platí pro všechny body, které jsou blízko povrchu disku, a přitom dostatečně daleko od jeho okraje. Je-li intenzita pole v látce dostatečně velká, dojde k elektrickému průrazu, při kterém v materiálu náhle vznikají vodivé cesty. Ve vzduchu k němu za atmosférického tlaku dochází, jestliže intenzita přesáhne hodnotu 3-106N-C_1. Při průrazu probíhají elektrony jednou či více vodivými dráhami a vytvářejí elektrické jiskry. Protože vypočítaná intenzita v tomto přikladu je pouze 3-105 N-C-1, k jiskření ještě nedojde. (b) Užitím binomické věty najděte elektrickou intenzitu v bodě na ose disku ve velké vzdálenosti od něj. ŘEŠENÍ: Slova ve velké vzdálenosti od disku znamenají, že vzdálenost z je mnohem větší než rozměry disku. To nám umožní použít binomickou větu pro aproximaci odmocniny vystupující v rov. (23.24). Binomická věta má tvar (dodatek E) a+*)" = l + ^x + ^^*2 + ..., (23.26) kde |x| < 1. Odmocninu vyjádříme ve tvaru z2 VF+Ř2' «2 = (1 + 7t) -1/2 který je vhodný pro užití binomické věty s x = R2/z2 a n = = — 5 ■ Protože zje mnohem větší než R, je také |jc | < 1. Podle rov. (23.26) můžeme rozvinout A R2\-W , -\ R2 -i(-i-l) RA + ■ z'-' i! z" 2! zĹ Následující členy na pravé straně jsou stále menší. Požadovaný výsledek můžeme dostatečně přesně aproximovat zanedbáním členů menších než R2/z2, což dává R2 2z2' Dosazením tohoto výrazu do rov. (23.24) dostáváme E>2, a_R^_ 4e0 z2 (Odpověď) Tento výraz můžeme vyjádřit pomocí náboje Q rozloženého na povrchu disku, neboť a = Q/S, kde S = kR2. Je tedy 4e0 z2 1 G Q R2 = 4kě0R2 z2 ~ (Odpověď) (23.27) 4neo z2 V bodech na ose disku, pro které je z » í, je podle rov. (23.27) pole buzené nábojem Q na povrchu disku stejné jako pole buzené bodovou částicí se stejným nábojem Q. 23.8 BODOVÝ NABOJ V ELEKTRICKÉM POLI V předcházejících čtyřech článcích jsme se zabývali prvním z našich dvou úkolů: nalézt pro dané rozdělení náboje elektrické pole, které je nábojem buzeno v okolním prostoru. Nyní se budeme zabývat druhým úkolem: co se stane s nabitou částicí, která se nachází v elektrickém poli, buzeném jinými statickými nebo pomalu se pohybujícími náboji. Na takovou částici působí elektrostatická síla vyjádřená vztahem F = QE, (23.28) kde Q je náboj částice (zahrnující i znaménko) a £ je intenzita pole, které v místě, kde se částice nachází, budí ostatní náboje. (Toto pole nazýváme někdy vnějším polem, abychom zdůraznili, že nezahrnuje vlastní pole částice. Nabitá částice není ovlivněna svým vlastním elektrickým polem.) Z rov. (23.28) je vidět, že platí: Na nabitou částici působí ve vnějším elektrickém poli E elektrostatická síla F. Má směr E, jestliže je náboj Q částice kladný, a opačný směr, jestliže je náboj Q záporný. j^ONTROLA 4: (a) Určete na obrázku, jaký je směr elektrostatické síly, kterou na elektron působí znázorněné elektrické pole. (b) Ve kterém směruje elektron urychlován, jestliže se před vstupem do elektrického pole pohybuje rovnoběžně s osou y? (c) Jestliže se na počátku pohybuje ve směru osy x, bude velikost jeho rychlosti vzrůstat, klesat, nebo zůstane stejná? Měření elementárního náboje Rov. (23.28) se uplatní při měření velikosti náboje elektronu, tj. elementárního náboje e, které prováděl americký fyzikRobert A. Millikan v letech 1910-1913. Na obr. 23.14 je zobrazeno jeho zařízení. Vstřikujeme-li drobné olejové kapky do komory A, některé z nich se při srážkách s ionty vzduchu nabijí kladně, jiné záporně. Uvažujme kapku o poloměru r a hmotnosti m, která padá dolů malým otvorem v desce Pi do komory C. Předpokládejme, že kapka má záporný náboj —Q\. Pomalu se pohybující kapku brzdí síla odporu prostředí o velikosti 606 KAPITOLA 23 ELEKTRICKÉ POLE izolační stěna komory mikroskop Obr. 23.14 Millikanovo zařízení pro měření elementárního náboje e. Jestliže nabitá olejová kapka prochází otvorem v desce Pi do komory C, můžeme její pohyb řídit zapínáním a vypínáním spínače S, tedy vytvářením nebo rušením elektrického pole v komoře C. Kapku pozorujeme mikroskopem a z doby průchodu mezi dvěma vodorovnými vlákny v ohniskové rovině okuláru měříme její rychlost. F = 6-Krirv (Stokesův vzorec), kde r) je dynamická viskozita vzduchu. Proto kapka záhy dosáhne mezní rychlosti, kterou určíme z rovnováhy sil. Je-li spínač S na obr. 23.14 vypnut, není v komoře C žádné elektrické pole, a podmínka rovnováhy sil dává* mg = ÓTtíjruo- Mezní rychlost vo se určí z doby průchodu mezi dvěma vodorovnými vlákny v ohniskové rovině okuláru mikroskopu, kterým pozorujeme kapku. Zapneme-li spínač S, spojíme komoru C s kladným pólem baterie a ta nabije vodivou desku Pi kladně a desku P2 záporně. Nabité desky budí v komoře C elektrické pole, jehož intenzita e směřuje dolů. Podle rov. (23.28) působí toto pole elektrostatickou silou na každou nabitou kapku, která se nachází v komoře, a ovlivňuje její pohyb. Pád kapky se zastaví a kapka začne stoupat. Její mezní rychlost v\ je určena podmínkou rovnováhy sil Q\E — mg = ótirjrvi. Změní-li se náboj kapky (srážkou s jiným iontem vzduchu) na — Q2, změní se mezní rychlost jejího stoupání na 112: Q2E —mg = 6nr]rv2. Z těchto tří vztahů dostaneme mg A<2 = 02 - Ql = -^-(V2 - «l). Potom kondenzátor vybijeme a znovu změříme rychlost do-Jednu kapku tak mnohokrát proměříme a z každé náhlé změny její rychlosti vypočteme podle výše uvedené rovnice změnu jejího náboje. Mnohonásobným proměřením kapek Millikan zjistil, že rozdíly A Q byly vždy celistvými násobky jistého náboje e, tedy AQ=ne, n = 0, ±1, ±2, ±3, (23.29) Hodnota e = l,601(r19C patří mezi základní fyzikální konstanty a nazývá se elementární náboj. Millikanův pokus byl důkazem toho, že elektrický náboj je kvantován, a Millikan získal v roce 1923 Nobelovu cenu za fyziku částečně i za tuto práci. Nyní dokážeme měřit elementární náboj mnohem přesněji, a to nepřímo, výpočtem z veličin, které jsou snadněji a přesněji měřitelné. Inkoustová tiskárna Potřeba vysoce kvalitního a rychlého tisku si vyžádala * Vztlakovou sílu působící na kapku pro jednoduchost neuvažujeme. hledání alternativ k dotykovému tisku, který se uplatňuje V elektrostatickém odlučovači působí elektrostatické pole na nabité částice popílku. Popílek je zachycen v komíně a neznečistí atmosféru. Odlučovač je v provozu na levé, ale nikoli na pravé fotografii. 23.8 BODOVÝ NÁBOJ V ELEKTRICKÉM POLI 607 např. v mechanickém psacím stroji. Jednou alternativou je tisk nastřikováním drobných inkoustových kapek. Na obr. 23.15 se záporně nabitá kapka pohybuje mezi dvěma nabitými vychylovacími deskami, mezi kterými je homogenní elektrické pole o intenzitě E směřující svisle dolů. V souladu s rov. (23.28) se kapka vychyluje vzhůru a pak dopadá na papír v místě, které je závislé na velikosti intenzity e a náboje Q. V praxi se postupuje tak, že e je konstantní a polohu kapky na papíře ovládáme nábojem Q, jenž kapka získá v nabíjecí jednotce, kterou prochází, než vletí do vychylo-vacflio systému. Nabíjecí jednotka je řízena elektronickými signály, v nichž je zakódováno to, co má být vytištěno. papír vstupní signály generátor nabíjecí kapek jednotka vychylovací desky Obr. 23.15 Základní princip inkoustové tiskárny. Vstupním signálem z počítače určujeme náboj předávaný každé kapce a tím polohu na papíře, kam kapka dopadne. K vytvoření jednoho znaku je potřeba asi 100 drobných kapek. PŘIKLAD 23.7 V Millikanově zařízení na obr. 23.14 má kapka oleje o poloměru R = 2,76 um přebytečný náboj tří elektronů. Jaká je velikost a směr intenzity, která způsobí, že kapka zůstává v zařízení v klidu? Hustota g oleje je 920kg-m-3 (vztlak vzduchu je malý vzhledem k tíhové síle mg a můžeme jej zanedbat). ŘEŠENÍ: Aby byla kapka v rovnováze, musí elektrostatická síla působící na kapku směřovat vzhůru a mít velikost mg. Z rov. (23.28) a (23.29) plyne velikost elektrostatické síly F = (3e)E. Hmotnost kapky vyjádříme jako součin jejího objemu a hustoty. Rovnováha sil pak dává lnR3Qg : (3e)E. Odtud E = 4iiR3Qg _ ~9e 4ti(2,76- 10~6 m)3 (920 kg-nT3) (9,8 m-s-2) 9(1,610-19C) = 1,65-106N-C_1. (Odpověď) Protože kapkaje nabitá záporně, plyne z rov. (23.28), že £ a F mají opačný směr: f = —3e£. Vektor £ musí tedy směřovat svisle dolů. PŘIKLAD 23.8 Na obr. 23.16 jsou vychylovací desky inkoustové tiskárny se zavedenými souřadnicovými osami. Kapka inkoustu o hmotnosti m = 1,3-10—10 kg a se záporným nábojem o velikosti Q = 1,5-10_13C je vstříknuta do prostoru mezi deskami ve směru osy x rychlostí vx = 18m-s_1. Délka d desek je 1,6 cm. Desky jsou nabity a budí tedy mezi sebou elektrické pole. Předpokládejme, že pole je homogenní, se svisle dolů orientovanou intenzitou £ o velikosti 1,4-106 N-C-1. Jaká je svislá odchylka kapky od původního směru na úrovni konce desek? (Tíhová síla působící na kapku je malá vzhledem k elektrostatické síle a můžeme ji zanedbat.) Obr. 23.16 Příklad 23.8. Kapka inkoustu o hmotnosti m se záporným nábojem —Q je vychylována elektrickým polem inkoustové tiskárny. ŘEŠENÍ: Protože kapka je nabita záporně a elektrické pole směřuje směrem dolů, působí podle rov. (23.28) na kapku směrem vzhůru elektrostatická síla o velikosti QE a kapkaje urychlována vzhůru s konstantním zrychlením ay. Použitím druhého Newtonova zákona získáme a =^ = 91 m (23.30) Nechť t je doba, kterou potřebuje kapka k tomu, aby prošla oblastí mezi deskami. Za dobu t mají svislá a vodorovná souřadnice kapky hodnotu y = \ayt2 a d = vxt, (23.31) neboť ve směru osy x nepůsobí žádná síla a kapka se tedy pohybuje ve vodorovném směru konstantní rychlostí vx. Vyloučením t a dosazením z rov. (23.30) za ay získáme y = QEd2 = 2mv2 (l.S-lO-^CXM-l^N-C^Xl.ó-lO^m)2 _ : 2(l,3-10-10kg)(18m-s-1)2 ~ : 6,4-10-4 m = 0,64mm. (Odpověď) 608 KAPITOLA 23 ELEKTRICKÉ POLE 23.9 DIPÓL V ELEKTRICKÉM POLI Dipólový moment p elektrického dipólu jsme definovali jako vektor, který směřuje od záporného pólu ke kladnému. Uvidíme, že pro popis chování dipólu ve vnějším homogenním elektrickém poli stačí znát vektor p. Jak už bylo uvedeno v př. 23.4, tvoří molekula vody (H2O) elektrický dipól. Obr. 23.17 ukazuje, proč je tomu tak. Černé body označují jádro kyslíku (mající osm protonů) a dvě jádra vodíku (z nichž každé má jeden proton). Barevné plochy představují oblasti, v nichž se vyskytují elektrony obíhající jádro. kladná strana záporná strana Obr. 23.17 Molekula H2O: jsou zobrazena tři jádra (reprezentována černými body) a oblasti, v nichž se pohybují elektrony. Dipólový moment p směřuje od (záporné) kyslíkové části molekuly ke (kladné) vodíkové části. Atomy vodíku a atom kyslíku neleží v molekule vody v jedné přímce, ale svírají úhel 105° (obr. 23.17). V důsledku toho má molekula „kyslíkovou část" a „vodíkovou část". Navíc všech deset elektronů molekuly se pohybuje v blízkosti kyslíkového jádra. Proto je kyslíková část molekuly o něco negativnější než vodíková část, a tak se vytváří elektrický dipólový moment p. Je-li molekula vody umístěna do vnějšího elektrického pole, chová se stejně jako dipól na obr. 23.9. Sledujme, jak se chová dipól ve vnějším homogenním poli o intenzitě £ (obr. 23.18a). Předpokládejme, že se dipól skládá ze dvou opačných nábojů o stejné velikosti Q ve vzdálenosti d, je tuhý vzhledem k působení vnějších elektrostatických sil, ale může se otáčet. Dipólový moment p svírá s vektorem intenzity E úhel 9. Na nabité konce dipólu působí elektrostatické síly F a —F. Působí v opačném směru a mají stejnou velikost F = QE, takže tvoří silovou dvojici. Výslednice sil, kterými působí pole na dipól, je tedy nulová. Tyto síly však působí na dipól momentem síly. Z rov. (11.30) při r = d/2 plyne d d M = F- sin0 + F— sin0 = Fdsin9. (23.32) 2 2 (b) Obr. 23.18 (a) Dipól v homogenním elektrickém poli o intenzite E. Dva stejně velké, ale opačné náboje jsou ve vzdálenosti d. Těžiště T soustavy je uprostřed mezi nimi. Týč mezi náboji představuje jejich tuhé spojení, (b) Pole o intenzitě E působí na dipól momentem síly M. Vektor M směřuje kolmo od nás, což je znázorněno symbolem (3). Moment síly můžeme také vyjádřit pomocí velikosti intenzity E a dipólového momentu p — Qd: M = pEsm9. (23.33) Pro vektor M platí M = p x E (moment síly působící na dipól). (23.34) Vektory p a £ jsou zobrazeny na obr. 23.18b. Moment sily působící na dipól se snaží otočit p do směru £, tj. zmenšit úhel 9. Na obr. 23.18 je tato rotace ve směru otáčení hodinových ručiček. Tomu odpovídá podle kap. 11 orientace M proti směru osy z. Platí tedy Mx = My = 0, Mz = -pE sinO. (23.35) Potenciální energie dipólu Potenciální energie dipólu závisí na jeho orientaci v elektrickém poli. Jeho energie je nejmenší, je-li ve své stabilní rovnovážné poloze, tj. jestliže moment p má stejný směr a orientaci jako intenzita £ (pak M = p x £ = 0). Při všech ostatních orientacích je potenciální energie dipólu větší. Dipól je tedy podobný kyvadlu, které má nejmenší gravitační potenciální energii ve své rovnovážné poloze — v nejnižším bodě. Pro otočení kyvadla nebo dipólu do libovolné jiné polohy je potřeba práce vnějších sil. Konfiguraci odpovídající nulové potenciální energii můžeme vždy zvolit zcela libovolně, protože fyzikální význam má pouze rozdíl jejích hodnot. Ukazuje se, že výraz 23.9 DIPÓL V ELEKTRICKÉM POLI 609 pro potenciální energii dipólu ve vnějším elektrickém poli je nejjednodušší, jestliže zvolíme nulovou hodnotu potenciální energie pro úhel 9 = 90° (obr. 23.18). Potenciální energii £p dipólu pro libovolnou hodnotu 6 pak určíme podle rov. (8.1) (AZsp = —W) tak, že vypočteme práci, kterou pole vykoná při otočení dipólu z polohy 6' = 90° do polohy 6' = 8. Z rov. (11.44) (W — f Mdô) a rov. (23.35) dostaneme: ŕ Ep = -W = - I MA6' = J90° ŕ = / pE sinO'd0'. (23.36) J90° Odtud plyne £p = -PE cose. (23.37) Ve vektorovém tvaru můžeme zapsat .Ep = —p • £ (potenciální energie dipólu). (23.38) Z rov. (23.37) a (23.38) plyne, že potenciální energie dipólu je nejmenší (£p = — pE) pro 6=0, tj. když p a £ mají tentýž směr a orientaci; dipól je ve stabilní rovnováze. A naopak, potenciální energie je největší (Ep = pE) pro e = 180°, tj. když p a £ mají opačnou orientaci; dipól je přitom v rovnováze labilní. j^ONTROLA 5: Na obrázku jsou čtyři různé polohy dipólu ve vnějším elektrickém poli. Seřaďte je sestupně (a) podle velikosti momentu sil působícího na dipól, (b) podle potenciální energie dipólu. Mikrovlnné vaření Ve vodě, v níž se molekuly mohou relativně volně pohybovat, ovlivňuje elektrické pole buzené každým molekulárním dipólem jiné dipóly v jeho okolí. V důsledku toho se molekuly mohou vázat do skupin po dvou nebo po třech, protože záporný (kyslíkový) konec jednoho dipólu a kladný (vodíkový) konec jiného dipólu se navzájem přitahují. Při vytváření takových skupin se elektrická potenciální energie dipólů přeměňuje na kinetickou energii chaotického pohybu skupin i jejich okolních molekul. Současně se skupiny rozbíjejí srážkami mezi molekulami a přenos energie probíhá také opačně (energie chaotického pohybu se mění v potenciální elektrickou energii molekulárních dipólů). Teplota vody (která souvisí se střední kinetickou energií molekul) se tudíž nemění, protože v průměru je výsledný přenos energie nulový. V mikrovlnné troubě, v níž jsou generovány mikrovlny, je však situace jiná. Elektrické pole mikrovln rychle osciluje. Je-li v troubě voda, toto oscilující pole působí na molekuly vody časově proměnným momentem síly, který otáčí molekulami tam a zpět ve snaze natočit jejich dipólový moment souhlasně se směrem vektoru intenzity pole. Molekuly, které jsou vázány ve skupinách po dvou, se mohou otáčet kolem osy dané vazbou mezi nimi a zůstávají spojené, ale ve skupině tří spojených molekul se alespoň jedna ze dvou vazeb musí porušit (obr. 23.19). Obr. 23.19 Skupina tří molekul vody. Moment síly způsobený oscilujícím elektrickým polem v mikrovlnné troubě rozbije jednu z vazeb mezi molekulami a tím celou skupinu. Energii potřebnou k rozbití těchto vazeb dodává elektrické pole mikrovln. Molekuly, které se odštěpí ze skupin, mohou vytvářet nové skupiny a přenášet tak potenciální elektrickou energii, kterou právě získaly, do kinetické energie chaotického pohybu. Tuto energii voda získává při vytváření skupin, ale neztrácí ji, když jsou skupiny rozbíjeny (působením elektrického pole mikrovln), a proto teplota vody stoupá. Potraviny tedy mohou být uvařeny v mikrovlnné troubě díky ohřívání vody, kterou obsahují. Kdyby molekula vody netvořila elektrický dipól, mikrovlnná trouba by nemohla pracovat. Frekvence mikrovln (2,45 GHz) odpovídá rezonanční frekvenci molekul vody. 610 KAPITOLA 23 ELEKTRICKÉ POLE PŘÍKLAD 23.9 Neutrální molekula vody má ve svém plynném stavu elektrický dipólový moment 6.2-10-30 C-m. (a) Jaká je vzdálenost středů kladného a záporného náboje v molekule? ŘEŠENÍ: V této molekule je deset protonů a deset elektronů. Velikost dipólového momentu je tedy p = Qd = (10e)(d), kde d je vzdálenost, kterou hledáme, a e je elementární náboj. Proto P (6,2-10-30C-m) ~~ IÔŠ ~~ 10(1,60-10-19C) ~~ = 3,9-10_12m = 3,9pm. (Odpověď) Tato vzdálenost je velmi malá, je menší než poloměr atomu vodíku. (b) Jakým maximálním momentem síly může na molekulu působit pole o intenzitě 1,5-104N-C_1? (Takové pole se dá snadno vytvořit v laboratoři.) ŘEŠENÍ: Z rov. (23.33) vidíme, že moment síly je maximální pro 6 = 90°. Dosazením této hodnoty do rov. (23.33) dostáváme M = pE sine = = (6,2-10-30C-m)(l,5-104N-C-1)sin90° = = 9,3-10_26N-m. (Odpověď) (c) Jakou práci musí vykonat vnější síla, aby otočila molekulu vody o 180°, je-li molekula na počátku ve stabilní rovnovážné poloze 0 = 0? ŘEŠENÍ: Práce je rovna rozdílu potenciální energie v poloze 6 = 180° a 6 = 0. Užitím rov. (23.37) dostáváme Wen = £P(180°) - £p(0) = = (-pE cos 180°) - (-p£cos0) = = 2pE = 2(6,2-10"30C-m)(l,5-104N-C_1) = = 1,9-10_25J. (Odpověď) PŘEHLED & SHRNUTÍ Elektrické pole Elektrostatické působení nabitých těles vysvětlujeme tím, že každý náboj budí v prostoru kolem sebe elektrické pole. Elektrostatická síla působící na libovolný náboj je způsobena elektrickým polem, které v daném místě budí ostatní náboje. Definice intenzity elektrického pole Intenzita elektrického pole £ (neboli elektrická intenzita) v daném bodě je definována pomocí elektrostatické síly F, kterou v tomto bodě působí pole na kladný testovací náboj Qo: E = Qo' (23.1) Elektrické siločáry Elektrické siločáry slouží k zobrazení směru a velikosti elektrického pole. Vektor elektrické intenzity v určitém bodě leží v tečně k siločáře procházející tímto bodem. Hustota siločar v určitém místě je úměrná velikosti intenzity v tomto místě. Siločáry začínají v kladných nábojích (nebo v nekonečnu) a končí v záporných nábojích (nebo v nekonečnu). Pole bodového náboje Velikost E elektrické intenzity £ buzené bodovým nábojem Q je ve vzdálenosti r od tohoto náboje rovna 1 \Q\ 47i£o r2 (23.3) Elektrická intenzita £ je orientována směrem od budicího náboj e, pokud je kladný, a směrem k němu, pokud je záporný. Pole elektrického dipólu Elektrický dipól je soustava dvou bodových nábojů stejné velikosti Q, ale opačného znaménka; jejich vzdálenost je d. Dipólový moment p má velikost Qd a směřuje od záporného náboje ke kladnému. Velikost elektrické intenzity buzené dipólem ve vzdáleném bodě na ose dipólu (která probíhá oběma náboji) je E = 2tiso z3 (23.9) kde z je vzdálenost daného bodu od středu dipólu. Pole spojitě rozložených nábojů Intenzitu elektrického pole spojitě rozloženého náboje najdeme tak, že nábojové elementy považujeme za bodové náboje a integrací sečteme dílčí pole jimi buzená. Síla působící na bodový náboj v elektrickém poli Je-li bodový náboj Q umístěn do elektrického pole o intenzitě £, působí na něj elektrostatická síla F=QE. (23.28) Je-li náboj Q kladný, má F stejnou orientaci jako £, pro Q záporné má F orientaci opačnou. OTÁZKY 611 Dipól v elektrickém poli Je-li elektrický dipól s momentem p umístěn do elektrického pole o intenzitě £, působí na něj pole silovým momentem M: M = pxE. (23.34) Dipól má potenciálni energii Ep, která souvisí s jeho směrem vzhledem k vektoru elektrické intenzity: Ep = -p ■ E. (23.38) Tato potenciálni energie je rovna nule, je-li moment dipólu p kolmý k intenzitě £; je nejmenší (£p = —pE), má-li p stejný směr a orientaci jako £, a je největší (Ep = p E), má-li p stejný směr, ale opačnou orientaci než £. OTÁZKY 1. Na obr. 23.20jsou tri elektrické siločáry. Jaký je směr a orientace elektrostatické síly, která působí na kladný testovací náboj, umístěný (a) v bodě A, (b) v bodě BI (c) Jestliže testovací náboj uvolníme, ve kterém z těchto bodů bude mít větší zrychlení? y Obr. 23.20 Otázka 1 2. Obr. 23.21a zobrazuje dvě nabité částice na přímce, (a) Kde je na ní bod (jinde než v nekonečnu), v němž je výsledné elektrické pole nulové: mezi náboji, vlevo od nich, nebo vpravo? (b) Existuje bod mimo přímku (jiný než v nekonečnu), v němž je výsledné elektrické pole nulové? +Q -36 e p p («) (ŕ) Obr. 23.21 Otázky 2 a 3 3. Na obr. 23.21b jsou dva protony a jeden elektron na přímce, ve stejných vzdálenostech. Kde je na této přímce bod (jinde než v nekonečnu), ve kterém je výsledné elektrické pole nulové: vlevo od částic, vpravo od nich, mezi dvěma protony, nebo mezi elektronem a bližším protonem? 4. Na obr. 23.22 jsou dvě čtvercová uspořádání nabitých částic. -2Q +6Q, -2Q, +3Q __«+2Q i P r +2QÍ- .-■-■ -i-32 +3(2 -2Q Obr. 23.22 Otázka 4 +6g Čtverce mají společný střed P, ale různoběžné strany. Částice jsou rozložené po obvodu čtverců ve vzdálenostech d nebo d/2. Jaká je velikost a směr výsledné intenzity v bodě P7 5. Na obr. 23.23 jsou dvě částice s nábojem — g umístěny symetricky vzhledem k ose y; každá budí v bodě P na této ose elektrické pole. (a) Je velikost intenzit těchto polí v bodě P stejná? (b) Směřuje vektor každé z intenzit směrem k náboji, který ji budí, nebo směrem od něho? (c) Je velikost výsledné intenzity v bodě P rovna součtu velikostí intenzit polí jednotlivých nábojů (tj. je rovna 2E)1 Zesílí se, nebo se vyruší (d) jc-ové, (e) y-ové složky vektorů intenzit? (f) Jaký směr má výsledná intenzita v bodě Pl y -Q H— -d- -Q Obr. 23.23 Otázka 5 6. Tři nevodivé rovnoměrně nabité tyče mají tvar segmentů kružnice se stejným poloměrem. Tyč A má náboj +2Q a tvoři oblouk, jemuž odpovídá středový úhel 30°; tyč B má náboj +6g a tvoří oblouk, jemuž odpovídá středový úhel 90°; tyč C má náboj +4 g a tvoří oblouk se středovým úhlem 60°. Seřadte tyče sestupně podle velikosti jejich délkové hustoty náboje. 7. Na obr. 23.24 jsou dva stejné kruhové nevodivé prstence se středy na společné ose. Ve třech různých případech jsou na prstencích A a B rovnoměrně rozloženy náboje (1) go a go, (2) — go a — go, (3) — go a go. Seřaďte jednotlivé případy sestupně podle velikosti výsledné intenzity (a) v bodě P\ uprostřed mezi prstenci, (b) v bodě P2 ve středu prstence B, (c) v bodě P3 vpravo od prstence B. prstenec A\_/ \J prstenec B Obr. 23.24 Otázka 7 8. Plastiková tyč tvaru čtvrtiny kružnice s rovnoměrně rozloženým nábojem +g (obr. 23.25a) budí ve středu kružnice (v po- 612 KAPITOLA 23 ELEKTRICKÉ POLE čátku souřadnicového systému) elektrické pole s intenzitou o velikosti E. Na obr. 23.25b, c, d jsou postupně přidávány další podobné tyče se stejným rovnoměrně rozloženým nábojem+Q, až je kružnice úplná. Páté uspořádání (které by mohlo být označeno jako obr. 23.25e) je podobné jako obr. 23.25d s tím rozdílem, že tyč ve čtvrtém kvadrantu má náboj —Q. Seřadíte těchto pět uspořádání sestupně podle velikosti elektrické intenzity ve středu kružnice. y y (c) (.ď) Obr. 23.25 Otázka 8 9. Na obr. 23.26 prochází elektron e malým otvorem v desce A a pohybuje se směrem k desce B. Homogenní elektrické pole AU BU Obr. 23.26 Otázka 9 v prostom mezi deskami zpomaluje elektron, aniž by ho vychy-lovalo. (a) Jaký je směr pole? (b) Čtyři jiné částice (proton p, pion ti+, mion \i~ a neutron n) procházejí podobně malými otvory buď v desce A, nebo v desce B a pak se pohybují v prostoru mezi deskami. Určete pro každou z těchto částic, zda velikost její rychlosti v oblasti mezi deskami stoupá, klesá, nebo se nemění. 10. Obr. 23.27 ukazuje trajektorii, kterou proletěla nabitá čás- tice 1 v pravoúhlé oblasti s homogenním elektrickým polem; částice byla vychýlena směrem k hornímu okraji stránky, (a) Je intenzita E orientována směrem vlevo, vpravo, k hornímu okraji, nebo k dolnímu okraji stránky? (b) Tri jiné nabité částice vstupují do elektrického pole. Které budou vychýleny směrem k hornímu okraji oblasti a které směrem k dolnímu? Obr. 23.27 Otázka 10 11. Na obr. 23.28 j sou tři uspořádání elektrických siločar. V každém uspořádání je v bodě A z klidu uvolněn proton, je urychlován elektrickým polem a prochází bodem B. Body AaB mají ve všech třech uspořádáních stejnou vzdálenost. Seřadle sestupně tato uspořádání podle velikosti hybnosti, které proton dosáhne v bodě B. (a) (b) Obr. 23.28 Otázka 11 12. (a) V kontrole 5 určete, zda je práce vykonaná polem při otočení dipólu z polohy (1) do polohy (2) kladná, záporná, nebo nulová, (b) Jestliže se místo toho dipól otočí z polohy (1) do polohy (4), je práce vykonaná polem větší, menší, nebo stejná jako v (a)? 13. Hodnoty potenciální elektrické energie pro čtyři polohy dipólu v elektrickém poli jsou (1) —5Ep, (2) —7£p, (3) 3Ep (4) 5EP, kde Ev je kladné. Seřadle polohy sestupně podle velikosti (a) úhlu mezi dipólovým momentem p a intenzitou E, (b) momentu síly působícího na dipól. 14. Jestliže za suchého dne přejdete po některém druhu koberce a pak se dotknete kovové kliky dveří nebo (pro větší legraci) něčí šíje, může přeskočit jiskra. Proč se tato jiskra objeví? Její jas a hlasitost můžete zvýšit, jestliže dotek provedete nataženým prstem nebo ještě lépe kovovým klíčem. CVIČENÍ & ÚLOHY 613 CVIČENÍ & ÚLOHY ODST. 23.3 Elektrické siločáry Na obr. 23.29 jsou znázorněny siločáry elektrického pole ležícího v rovině nákresny. V levé části obrázku mají siločáry dvojnásobnou vzdálenost než v části pravé, (a) Jak velká síla působí na proton v bodě A, je-li velikost elektrické intenzity v tomto bodě 40 N-C-1 ? (b) Jaká je velikost intenzity v bodě B? -- -*A- Obr. 23.29 Cvičení 1 2C. Načrtněte kvalitativně elektrické siločáry pro dva blízké bodové náboje +g a — 2Q. 3C. Na obr. 23.30jsou tři bodové náboje, které leží ve vrcholech rovnostranného trojúhelníka. Načrtněte siločáry pole, které budí náboje +g a — g a určete z nich směr síly, která působí na náboj +Q\ v důsledku přítomnosti ostatních dvou nábojů. (Tip: obr. 23.6.) Obr. 23.30 Cvičení 3 4C. Načrtněte kvalitativně siločáry pole vně a mezi dvěma soustřednými vodivými kulovými slupkami. Na vnitřní slupce je rovnoměrně rozložen kladný náboj Q\, na vnější slupce je rovnoměrně rozložen záporný náboj —Qi- Uvažujte případy fii > fi2, gi = 02 a Qi < g2. 5C. Načrtněte kvalitativně siločáry pole, které budí tenký kruhový rovnoměrně nabitý disk o poloměru R. (Tip: Uvažujte jako Umitní případy body velmi blízké disku, v nichž je vektor elektrické intenzity kolmý k jeho povrchu, a body velmi vzdálené, v nichž je elektrické pole podobné poli bodového náboje.) ODST. 23.4 Elektrické pole bodového náboje 6C. Jak velký je bodový náboj, který v bodě vzdáleném 1,00 m budí elektrické pole o intenzitě 1,00 N-C-1? 7C. Jak velký je bodový náboj, který v bodě vzdáleném 50 cm budí elektrické pole o intenzitě 2,00 N-C-1? 8C. Dva opačné bodové náboje stejné velikosti 2,0-10-7 C jsou od sebe vzdáleny 15 cm. Jaká je velikost a směr elektrické intenzity v bodě, který je uprostřed mezi oběma náboji? 9C. Atom plutonia 239 má poloměr jádra 6,64fm a atomové číslo Z = 94. Určete velikost a směr elektrické intenzity na povrchujádra za předpokladu, že je kladný náboj v jádře rozdělen rovnoměrně. 10Ú. Částice s nábojem —Q\ se nachází v počátku osy x. (a) Kam bychom měli umístit druhou částici s nábojem — 4gi, aby výsledné elektrické pole bylo nulové v bodě x = 2,0 mm? (b) Jestliže je naopak do nalezeného bodu umístěna částice s nábojem +4gi, jaký bude v bodě x = 2,0mm směr výsledné intenzity? 11Ú. Na obr. 23.31 jsou dva bodové náboje gi =+1,0-10-6 C a Q2 = +3,0-10-6C ve vzdálenosti d = 10 cm od sebe. Zakreslete intenzitu jejich výsledného elektrického pole E(x) jako funkci x pro kladné i záporné hodnoty x. (Považujte E za kladné, směřuje-li vektor £ vpravo.) v Obr. 23.31 Úlohy U a 12 12Ú. (a) Na obr. 23.31 jsou dva bodové náboje gi = -5g a Q2 = +2 g ve vzdálenosti d od sebe. Nalezněte bod (nebo body), v nichž je jejich výsledné elektrické pole nulové, (b) Načrtněte kvalitativně elektrické siločáry. 13Ú. Na obr.23.32 jsou dva bodové náboje +l,0g a -2,0g ve vzdálenosti d od sebe. (a) Určete elektrickou intenzitu £ v bodech A, B, C. (b) Načrtněte průběh elektrických siločar. -d-►^§^•^§^0--d- A +1,0(2 B -2,0(2 C Obr. 23.32 Úloha 13 14Ú. Dva náboje gi = 2,1-10-8C a g2 = -4,0gi jsou od sebe vzdáleny 50 cm. Najděte takový bod na přímce procházející oběma náboji, ve kterém je elektrická intenzita nulová. 15Ú. Na obr. 23.33 určete, jaká je v bodě P intenzita pole, buzeného čtyřmi zobrazenými náboji. d Obr. 23.33 Úloha 15 614 KAPITOLA 23 ELEKTRICKÉ POLE 16Ú. Proton a elektron leží ve dvou vrcholech rovnostranného trojúhelníka o straně délky 2,0-10_6 m. Jaká je velikost elektrické intenzity ve tfetím vrcholu? 17Ú. Na hodinovém ciferníku jsou rozmístěny záporné bodové náboje — Q, —2Q, —3g, ..., —Y1Q v místech odpovídajících číslic (1, 2, 12). Hodinové ručičky neovhvňují výsledné elektrické pole buzené bodovými náboji. V kolik hodin ukazuje malá ručička ve směru intenzity pole ve středu ciferníku? (Tip: 'Využijte symetrii úlohy.) 18Ú. V každém vrcholu rovnostranného trojúhelníka o straně délky 20 cm je umístěn jeden elektron. Jaká je velikost elektrické intenzity ve středu jedné strany? 19Ú. Na obr. 23.34 určete směr a velikost elektrické intenzity v bodě P. +Q +x \ \ \ / a Vp +2,0ß +Q Obr. 23.34 Úloha 19 20Ú. Na obr. 23.35 jsou náboje umístěny ve vrcholech rovnostranného trojúhelníka. Určete, pro jakou hodnotu Q (velikost i znaménko) je výsledné elektrické pole v bodě C (v těžišti trojúhelníka) nulové. Q A " a -a--h^ +l,0[xC +l,0[xC Obr. 23.35 Úloha 20 22Ú. Jaká je velikost a směr elektrické intenzity uprostřed čtverce na obr. 23.37, je-li Q = 1,0-10~8 C a a = 5,0 cm? +6 -2,0(2 -e +2,oe Obr. 23.37 Úloha 22 ODST. 23.5 Elektrické pole dipólu 23C. Vypočítejte elektrický dipólový moment soustavy elektronu a protonu, které jsou od sebe vzdáleny 4,30nm. 24C. Nechť j sou oba náboje na obr. 23.9 kladné. Za předpokladu z~5> d dokažte, že velikost intenzity E v bodě P na obrázku je E = J_2ß 4jtso z2 25Ú. Nalezněte na obr. 23.38 velikost a směr elektrické intenzity buzené dipólem v bodě P, který leží ve vzdálenosti r od středu dipólu. Výsledek zapište pro r S> d pomocí dipólového momentu p. +Q(f d/2 -Q d/2 Obr. 23.38 Úloha 25 21Ú. Na obr. 23.36 jsou čtyři náboje umístěné ve vrcholech čtverce a čtyři další leží uprostřed jeho stran. Vzdálenost sousedních nábojů na obvodu čtverce je d. Jaká je velikost a směr vektoru elektrické intenzity ve středu čtverce? y i +3ß Ä—d—d-h f d 4- d T d \ —t d l-ß I -5Q 2Q Obr. 23.36 Úloha 21 +3ß 26Ú*. Elektrický kvadrupól. Elektrický kvadrupól na obr. 23.39 -z- +P Obr. 23.39 Úloha 26 je vytvořen dvěma elektrickými dipóly, jejichž dipólové momenty p, —p jsou stejně velké, opačně orientované a posunuté o d vůči sobě (zde* d \\ p). Dokažte, že intenzita elektrického * Druhý typ (d _L p) by odpovídal obr. 23.37 s náboji uvedených znamének, ale stejných velikostí. CVIČENÍ & ÚLOHY 615 pole buzeného kvadrupólem v bodě P, který leží na jeho ose daleko od jeho středu (z 3> d), má velikost E = 1 3-2Qd2 4kbo z4 kde 2Qd2 je kvadrupólový moment tohoto nábojového seskupení. ODST. 23.6 Elektrické pole nabitého vlákna 27C. Načrtněte zhruba průběh elektrické intenzity na ose nabitého prstence o poloměru 6,0 cm s rovnoměrně rozloženým nábojem úhrnné velikosti 1.0-10-8 C. 28C. Na obr. 23.40 jsou dva rovnoběžné nevodivé prstence se společnou osou. Prstenec 1 je rovnoměrně nabit nábojem Q\ a má poloměr R; prstenec 2 je rovnoměrně nabit nábojem Q2 a má stejný poloměr R. Vzdálenost prstenců je 3R. V bodě P na ose ve vzdálenosti R od prstence 1 je výsledné elektrické pole nulové. Jaký je poměr nábojů Ô1/G2? P prstenec 1 prstenec 2 Obr. 23.40 Cvičení 28 29Ú. V jaké vzdálenosti od středu rovnoměrně nabitého prstence o poloměru R na jeho ose má elektrická intenzita maximální velikost? 30Ú. Nechťje elektron vázán na osu nabitého prstence z čl. 23.6. Ukažte, že pod vlivem elektrostatické síly bude podél osy kmitat s úhlovou frekvencí 1 eQ 4ji£q mR3' kde Q je náboj prstence a m je hmotnost elektronu. 31Ú. Na obr. 23.41a dvě plastikové tyče ohnuté do tvaru půlkružnice tvoří kružnici o poloměru R ležící v rovině xy. Osa x prochází styčnými body půlkružnic a náboj na obou tyčích je rozložen rovnoměrně. Jedna tyč má kladný náboj +Q, druhá záporný náboj — Q. Jaká je velikost a směr intenzity £ v bodě P ve středu kružnice? (a) (*) Obr. 23.41 Úlohy 31 a 32 32Ú. Tenká skleněná tyč je ohnuta do tvaru půlkružnice o poloměru r. Na její horní polovině je rovnoměrně rozložen náboj +Q, na dolní polovině náboj — Q (obr. 23.41b). Najděte velikost a směr intenzity £ ve středu půlkružnice. 33U. Tenká nevodivá tyč konečné délky d je rovnoměrně nabita nábojem Q. Dokažte, že velikost elektrické intenzity E v bodě P na ose kolmé k tyči (obr. 23.42) je Q 1 2™oy (d2+4y2)1/2' 1+ + + +" + + +1 -d- Obr. 23.42 Úloha 33 34Ú. Na obr. 23.43 je nevodivá tyč délky d rovnoměrně nabitá nábojem — Q. (a) Určete délkovou hustotu náboje tyče. (b) Určete elektrickou intenzitu v bodě P ve vzdálenosti a od konce tyče. (c) Kdyby byl bod P velmi daleko od tyče vzhledem k její délce d, chovala by se tyč jako bodový náboj. Ukažte, že odpověď na otázku (b) se pro a » d redukuje na vztah pro intenzitu pole bodového náboje. -q p Obr. 23.43 Úloha 34 35Ú*. Na obr. 23.44 je „polonekonečná" nevodivá tyč rovnoměrně nabitá nábojem o délkové hustotě r. Ukažte, že vektor elektrické intenzity v bodě P svírá s tyčí úhel 45° a že tento výsledek nezávisí na vzdálenosti R. (Tip: Najděte v bodě P složku vektoru intenzity s tyčí rovnoběžnou a k tyči kolmou a porovnejte je.) r R l i+, + + + + + + + Obr. 23.44 Úloha 35 ODST. 23.7 Elektrické pole nabitého disku 36C. Disk o poloměru 2,5 cm má na svém horním povrchu plošnou hustotu náboje 5,3 \j.C-m~2. Jaká je velikost elektrické intenzity na ose disku v bodě ve vzdálenosti z = 12 cm od disku? 616 KAPITOLA 23 ELEKTRICKÉ POLE 37U. (a) Jaký náboj musí mít disk z př. 23.6 (obr. 23.13), aby elektrická intenzita na jeho povrchu měla v jeho středu velikost, při níž dochází k jiskrovému elektrickému průrazu vzduchu (vznik jiskry)? Uvažujte disk o poloměru 2,5 cm a použijte údajů pro vzduch z tab. 23.1. (b) Předpokládejte, že každý atom má efektivní průřez 0,015 nm2. Kolik atomů tvoří povrch disku? (c) Náboj v (a) vzniká v důsledku toho, že některé z povrchových atomů mají jeden přebytečný elektron. Jaká část povrchových atomů musí mít přebytečný elektron, aby došlo k průrazu? 38Ú. V jaké vzdálenosti na ose rovnoměrně nabitého plastikového disku o poloměru R je velikost elektrické intenzity rovna polovině hodnoty, kterou má na povrchu disku v jeho středu? ODST. 23.8 Bodový náboj v elektrickém poli 39C. Elektron je uvolněn z klidu v homogenním elektrickém poli o intenzitě 2,00-104N-C_1. Vypočítejte jeho zrychlení. (Vliv gravitačního pole zanedbejte.) 40C. Elektron je urychlován elektrickým polem východním směrem se zrychlením l,80-109m-s-2. Určete velikost a směr elektrické intenzity. 41C. Vypočítejte velikost síly, kterou působí elektrický dipól s dipólovým momentem 3,6-10_29C-m na elektron, který se nachází na ose dipólu ve vzdálenosti 25 nm od jeho středu. Předpokládejte, že tato vzdálenost je velká vzhledem k rozměru dipólu. 42C. K průrazu vlhkého vzduchu (jeho molekuly jsou ionizovány) dochází v elektrickém poli o intenzitě 3,0-106 N-C-1. Jak velkou elektrostatickou silou působí toto pole na (a) elektron, (b) jednomocný kladný iont (tj. jemuž chybí jeden elektron)? 43C. Částice a (jádro atomu helia) má hmotnost 6,64-10-27 kg a náboj +2e. Jaká je velikost a směr elektrické intenzity, která vyrovná účinek tíhové síly? 44C. Nabitý mrak budí ve vzduchu v blízkosti zemského povrchu elektrické pole. Je-li do tohoto pole umístěna částice s nábojem —2,0-10_9C, působí na ni směrem dolů elektrostatická síla 3,0-10-6 N. (a) Jaká je velikost elektrické intenzity? (b) Jaká je velikost a směr elektrostatické síly, která působí na proton umístěný v tomto elektrickém poli? (c) Jaká je velikost gravitační síly působící na proton? (d) Jaký je v tomto případě poměr velikostí elektrostatické síly a síly gravitační? 45C. Vektor elektrické intenzity v atmosféře blízko zemského povrchu směřuje dolů a má velikost asi 150 N-C-1. Chceme nabít kouli ze síry, jejíž váha je 4,4 N tak, aby „plula" v atmosféře, (a) Jaký náboj (velikost i znaménko) musíme použít? (b) Proč je experiment neproveditelný? 46C. (a) Jaké má zrychlení elektron v homogenním elektrickém poli o intenzitě 1,40-106 N-C-1 ? (b) Elektron je na počátku v klidu. Za jak dlouho by dosáhl rychlosti rovné jedné desetině rychlosti světla? (c) Jakou dráhu by za tuto dobu urazil? (Užijte newtonovskou mechaniku.) 47C. Svazky protonů s vysokou energií mohou být vytvářeny v „dělech", v nichž j sou urychlovány elektrickým polem, (a) Jaké bude zrychlení protonu, je-li intenzita elektrického pole v dělu 2,00-104 N-C-1 ? (b) Jakou rychlost proton získá, jestliže ho pole urychluje na dráze 1,00 cm? 48C. Elektron pohybující se rychlostí 5,00-108 cm-s"1 vletí do elektrického pole o intenzitě 1.00-103 N-C-1 ve směru vektoru intenzity, takže se zpomaluje, (a) Jakou dráhu elektron v poli urazí, než se zastaví? (b) Jaká doba přitom uplyne? (c) Oblast, v níž působí elektrické pole, zúžíme na 8,00 mm. Jakou část své počáteční kinetické energie elektron v poli ztratí? 49C. Kulová vodní kapka o průměru 1,20 jam se vznáší v nepohyblivém vzduchu v důsledku působení atmosférického elektrického pole o intenzitě E = 462 N-C-1 s orientací svisle dolů. (a) Jaká je hmotnost kapky? (b) Kolik má kapka přebytečných elektronů? 50C. V Millikanově pokusu (obr. 23.14) se olejová kapka o poloměru 1,64 [im a hustotě 851 kg-m-3 vznáší v komoře C, kde působí směrem dolů elektrické pole o intenzitě 1,92-105 N-C-1. Vyjádřete náboj kapky pomocí e. Vztlak vzduchu zanedbejte. 51Ú. Při jednom ze svých experimentů zjistil Millikan na jedné kapce v různých okamžicích následující náboje: 6,563-10-19C, 13,13-10-19C, 19,7M0-19 C, 8,204-10-19C, 16,48-10-19C, 22,89-10-19 C, 11,50 -10-19C, 18,08-10_19C, 26,13-10_19C. Jakou hodnotu elementárního náboje e mohl odvodit z těchto údajů? 52Ú. V prostoru mezi dvěma opačně nabitými deskami je homogenní elektrické pole. Z povrchu záporně nabité desky se z klidu uvolní elektron a dopadne za dobu 1,5-10—8 s na protější desku, která je ve vzdálenosti 2,0 cm. (a) Jakou má elektron rychlost při dopadu na druhou desku? (b) Jaká je velikost elektrické intenzity El 53Ú. Těleso o hmotnosti 10,0 g s nábojem +8,00-10-5 C se nachází v elektrickém poli o intenzitě E, jejíž složky jsou Ex = = 3,00-lffiN-C-1, Ey = -600N-C-1, Ez = 0. (a) Jaká je velikost a směr elektrické síly působící na těleso? (b) Určete souřadnice tělesa v čase 3,00 s, je-li pro ř = 0 v klidu v počátku souřadnicového systému. 54Ú. V určitém okamžiku jsou složky rychlosti elektronu, pohybujícího se mezi dvěma rovnoběžnými nabitými deskami, vx = l.S-^m-s-1 a vy = 3,0-103 m-s-1. Intenzita elektrického pole mezi deskami je E = (120 N-C-1)/ (a) Jaké je zrychlení elektronu? (b) Jaká bude rychlost elektronu poté, co jeho souřadnice x vzroste o 2,0 cm? 55Ú. Na obr. 23.45 jsou dvě velké nabité rovnoběžné měděné desky, jejichž vzdálenost je 5,0 cm. Mezi deskami je homogenní elektrické pole. Ve stejném okamžiku se uvolní elektron ze záporné desky a proton z kladné desky. V jaké vzdálenosti od kladné desky se budou částice míjet? (Zanedbejte sílu, kterou na sebe částice působí navzájem.) Nepřekvapuje vás, že k řešení tohoto problému nepotřebujete znát intenzitu elektrického pole? CVIČENÍ & ÚLOHY 617 kladná I___ I záporná deska *p deska e £ Obr. 23.45 Úloha 55 56Ú. Na obr. 23.46 je kyvadlo, zavěšené na horní ze dvou velkých vodorovných desek. Kyvadlo se skládá z malé nevodivé koule o hmotnosti m s nábojem +Q a z nevodivého vlákna délky /. Jaká je perioda kmitů kyvadla, je-li mezi deskami vytvořeno homogenní elektrické pole o intenzitě e (a) nabitím horní desky záporně a dolní desky kladně, (b) opačným nabitím desek? I + QQm Obr. 23.46 Úloha 56 57Ú. Na obr. 23.47 jsou dvě vodorovné desky, dolní je nabita kladně, horní záporně. Mezi deskami je tedy homogenní elektrické pole, jehož intenzita e směřuje vzhůru a má velikost 2,00-103N-Cr1. Délka desek je d = 10,0cm a jejich vzdálenost h = 2,00 cm. Z levého okraje dolní desky je mezi desky vstřelen elektron. Jeho počáteční rychlost vq svírá s dolní deskou úhel 6 = 45,0° a má velikost 6.00-106 m-s-1. (a) Narazí elektron na jednu z desek? (b) Pokud ano, na kterou desku a v jaké vzdálenosti od jejího levého okraje? ľa/7 } l-ä | Obr. 23.47 Úloha 57 ODST. 23.9 Dipól v elektrickém poli 58C. Elektrický dipól skládající se z nábojů o velikosti 1,50 nC, jejichž vzdálenost je 6,20 \im, se nachází v elektrickém poli o intenzitě 1100 N-C . (a) Jak je velký jeho elektrický dipólový moment? (b) Jaký je rozdíl potenciálních energií dipólu, odpovídajících jeho paralelní a antiparalelní orientaci vzhledem k vektoru intenzity elektrického pole? 59C. Elektrický dipól se skládá z nábojů +2e a —2e, jejichž vzdálenost je 0,78 nm. Nachází se v elektrickém poli o intenzitě 3,4-106N-C_1. Vypočítejte velikost momentu sil působícího na dipól, je-li dipólový moment orientován (a) souhlasně rovnoběžně, (b) kolmo, (c) nesouhlasně rovnoběžně vzhledem k elektrickému poli. 60Ú. Vyjádřete práci potřebnou k otočení dipólu o 180° v homogenním elektrickém poli o intenzitě e pomocí velikosti p dipólového momentu, velikosti E elektrické intenzity a počátečního úhlu Oq, který svírají vektory p a e. 61Ú. Najděte úhlovou frekvenci kmitů elektrického dipólu s dipólovým momentem o velikosti p a momentem setrvačnosti / v homogenním elektrickém poli s intenzitou o velikosti E (pro malé úhlové amplitudy oscilací kolem rovnovážné polohy). 62Ú. Elektrický dipól s dipólovým momentem p = (3,00/ + 4,0q/)(l,2410_30C-m) se nachází v elektrickém poli o intenzitě e = (4 000 N-C-1)/. (a) Jakou má dipól potenciální energii? (b) Jaký moment síly na něj působí? (c) Jakou práci vykoná vnější síla, která otočí dipólem do polohy, v níž je dipólový moment roven p = (-4,00/ + 3,00/)(1,24-10-30 C-m)? PRO POČÍTAČ 63Ú. Dvě částice, každá s kladným nábojem Q, jsou umístěny pevně na ose y v bodech y = Oay = —d. (a) Napište výraz, který udává velikost výsledné elektrické intenzity v bodech na ose x určených vztahem x = ad. (b) Sestrojte graf závislosti E (a) pro oblast 0 < a < 4. Z grafu určete hodnoty a, které dávají (c) maximální hodnotu E, (d) polovinu maximální hodnoty E. 64Ú. Pro údaje z úlohy 51 předpokládejte, že náboj Q kapky je dán vztahem Q = ne, kde n je přirozené číslo a e je elementární náboj, (a) Najděte n pro každé měření Q. (b) Provedte lineární regresi hodnot Q = f (n) a určete z ní e. Podívejte se na zářivou krásu blesků při bouřce nad Manhattanem. Každý blesk přitom přenese z mraků na zemský povrch přibližně 1020 elektronů. Je možné určit průměr blesku? Vzhledem k tomu, že se na blesk díváme ze vzdálenosti několika kilometrů, můžeme porovnat jeho rozměry např. s rozměry automobilu? 24.2 TOK 619 24.1 NOVÝ POHLED NA COULOMBŮV ZÁKON Chcete-li nalézt těžiště brambory, můžete to provést buď experimentálně, nebo pomocí složitého číselného výpočtu trojného integrálu. Jestliže má však brambora tvar elipsoidu, můžete z její symetrie určit přesně těžiště i bez výpočtu. V tom je značná výhoda symetrie. Se symetrickými situacemi se setkáváme ve všech oborech fyziky. Je-li to možné, snažíme se vyjádřit fyzikální zákony v takovém tvaru, aby se výhody symetrie mohly plně projevit. Coulombův zákon je hlavním zákonem elektrostatiky, ale nemá bohužel tvar, který by nám podstatně ulehčoval práci v situacích, které se vyznačují symetrií. Proto v této kapitole zavedeme jinou formulaci Coulombova zákona, kterou odvodil německý matematik a fyzik Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Tento zákon, zvaný Gaussův zákon elektrostatiky, může být s výhodou použit v některých případech symetrie v rozložení nábojů. Pro elektrostatické problémy je přitom zcela ekvivalentní Coulombovu zákonu. Který z těchto zákonů zvolíme, závisí pouze na povaze zkoumaného problému. U Gaussova zákona je důležitá volba myšlené uzavřené plochy, zvané Gaussova plocha. Ta může mít libovolný tvar, ale nejvýhodnější je takový, který vyjadřuje symetrii zkoumaného problému. Proto volíme za Gaussovu plochu nejčastěji povrch koule, válce či jiného symetrického útvaru. Musí to však být vždy plocha uzavřená. Představme si, že jsme vytvořili Gaussovu plochu kolem jisté konfigurace nábojů. Potom můžeme použít Gaussův zákon elektrostatiky. Gaussův zákon vyjadřuje vztah mezi intenzitou elektrického pole na (uzavřené) Gaussově ploše a celkovým nábojem, který se nachází uvnitř této plochy. Na obr. 24.1 je znázorněna jednoduchá situace, kdy Gaussovou plochou je kulová plocha. Předpokládejme, že v každém bodě jejího povrchu existuje elektrické pole o intenzitě konstantní velikosti a směřující ven z koule. I bez znalosti Gaussova zákona můžeme usoudit, že uvnitř plochy musí existovat určitý (kladný) náboj. Jestliže známe Gaussův zákon, můžeme vypočítat, jak velký náboj se nachází uvnitř plochy. K výpočtu potřebujeme pouze vědět, „jak mnoho pole" je na povrchu Gaussovy plochy. Toto „jak mnoho" vyjadřujeme tokem elektrické intenzity danou plochou. Obr. 24.1 Kulová Gaussova plocha. Mají-li vektory elektrické intenzity ve všech bodech povrchu stejnou velikost a rníří-li ven z koule, je možné učinit závěr, že v objemu ohraničeném Gaussovou plochou se nachází kulově symetricky rozložený kladný náboj. 24.2 TOK Předpokládejme podle obr. 24.2a, že proud vody o konstantní rychlosti v prochází malou čtvercovou plochou proud vody (c) (d) Obr. 24.2 (a) Homogenní proud vody pohybující se rychlostí v kolmo k ploše čtverce o obsahu AS. (b) Vektor v svírá s kolmicí k ploše čtverce úhel 6; složka vektoru v ve směru této kolmice je rovna v cos 9. (c) Vektor plochy AS je kolmý k rovině čtverce a svírá s vektorem v úhel 6. (d) Rychlostní pole v ploše čtverce. 620 KAPITOLA 24 GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY o obsahu AS. Nechť A

AS. Je-li vektorrychlostivrovnoběžný s plochou čtverce, pak jím neproudí žádná voda aA$ =0. Obecně A # závisí na průmětu vektoru v do kolmice k ploše čtverce (obr. 24.2b). Proto A

= vAScosO = v • AS, (24.2) kde 6 je úhel mezi v a AS. Slovo „tok" má smysl, jestliže hovoříme např. o proudu vody plochou. Můžeme se však na rov. (24.2) dívat abstraktněji. Abychom to vysvědili, uvědomme si, že můžeme přiřadit vektor rychlosti každému bodu v proudu vody. Soubor všech těchto vektorů vytváří pole rychlostí. Nyní můžeme interpretovat rov. (24.2) jako tok rychlostního pole plochou, která je ohraničena uzavřenou křivkou (obr. 24.2d). Podle této interpretace již tok neznačí, že plochou AS? musí téci něco hmatatelného rychlostí v. Místo rychlosti v můžeme použít libovolné vektorové pole o a hovořit o jeho toku A

e = X! a 90° dovnitř plochy záporný 2 = 90° rovnoběžně nulový s plochou 3 < 90° ven z plochy kladný a tok intenzity elektrického pole definujeme vztahem 0 — Á E dS e^tr^c^ intenzity „ jy Gaussovou plochou 5?). Kroužek na integrálu znamená, že integrace probíhá přes uzavřenou plochu 5?. Tok intenzity elektrického pole je skalární veličinou a jeho jednotkou v SI je N-m2-C_1. Rov. (24.4) je možné interpretovat ještě jinak, když použijeme hustotu elektrických siločar procházejících plochou jako míru intenzity elektrického pole E na této ploše. Velikost E je pak úměrná počtu elektrických siločar připadajících na jednotkovou plochu. Skalární součin E • dS z rov. (24.4) je tedy úměrný počtu siločar, které procházejí plochou d=y. Protože integrace v rov. (24.4) probíhá přes celou uzavřenou Gaussovu plochu, vidíme odtud, že platí: Tok 0e intenzity Gaussovou plochou je úměrný celkovému počtu siločar procházejících touto plochou. PŘIKLAD 24.1 Na obr. 24.4 je znázorněna Gaussova plocha tvořená povrchem válce o poloměru R, který se nachází v homogenním elektrickém poli E. Osa válce je rovnoběžná se směrem pole. Jaký je tok £ = <^EdS = ÍEdS+ÍEdS+ÍEdS. (24.5) J Ja Jb Jc Pro všechny body na levé podstavě je úhel 6 mezi £ a dS roven 180° a velikost intenzity E poleje konstantní. Je tedy L E-dS -L = -E í dS = J a £(cosl80°)dS = ES, kde / dS = S je obsah podstavy ti/?2. Podobně pro pravou podstavu, kde 0 = 0: £(cos0°) dS = ES. Konečně pro plášť válce, kde úhel 6 = 90° pro každý bod, je í E-dS= f £(cos90°)dS = 0. Jb Jb Dosazením těchto výsledků do rov. (24.5) dostaneme <ř£ = -ES + 0 + ES = 0. (Odpověď) Tento výsledek nás zřejmě nepřekvapí, protože elektrické siločáry, které reprezentují elektrické pole, procházejí Gaussovou plochou tak, že vstupují do válce levou podstavou a vystupují z něj pravou podstavou; jejich celkový tok je tedy nulový. dS A k4 dS <—4-s ' a - Gaussova plocha dS Obr. 24.4 Příklad 24.1. Gaussova plocha (plášť válce+podstavy) se nachází v homogenním elektrickém poli. Osa válce je rovnoběžná se směrem pole. j^ONTROLA 1: Na obrázku je Gaussova plocha tvořená povrchem krychle, jejíž jedna stěna má obsah S. Krychle se nachází v homogenním elektrickém poli o intenzitě £, které směřuje v kladném směru osy z. Vyjádřete pomocí EaS tok (a) čelní stěnou (ležící v rovině xy), (b) zadní stěnou, (c) horní stěnou a (d) celým povrchem krychle. PŘIKLAD 24.2 Nehomogenní elektrické pole o intenzitě E = 3,0xi + 4,0/ prochází Gaussovou plochou ve tvaru povrchu krychle podle obr. 24.5 (E je vyjádřeno v newtonech na coulomb a x v metrech). Jaký je tok intenzity elektrického pole pravou stěnou, levou stěnou a horní stěnou krychle? 622 KAPITOLA 24 GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY Gaussova plocha x = l,0m ^ = 3,0m Obr. 24.5 Příklad 24.2. Gaussova plocha ve tvaru povrchu krychle, jejíž jedna hrana leží na ose x, se nachází v nehomogenním elektrickém poli. ŘEŠENÍ: Pravá stěna: Vektor plochy je vždy kolmý k této ploše a je orientován směrem ven z krychle (z Gaussovy plochy). To znamená, že vektor dS musí pro pravou stěnu směřovat vždy ve směru +x. Při použití jednotkových vektorů j e dS = dSi. Z rov. (24.4) plyne, že tok e,i levou stěnou 4>e\ = -12N-m2-C_1. (Odpověď) je *£,h = f (3,0x/ + 4,0/) • (dSj) = = j [(3,ox)(dS)/-y+(4,o)(dS)/-y] = = j(0 + 4,0dS) = 4,0 J dS = 16N-m2-C_1. (Odpověd) 24.4 GAUSSUV ZÁKON ELEKTROSTATIKY Gaussův zákon vyjadřuje vztah mezi celkovým tokem &e intenzity elektrického pole uzavřenou Gaussovou plochou a celkovým nábojem Q obklopeným touto plochou: so&e = Q (Gaussův zákon). (24.6) Dosazením rov. (24.4), tj. definice toku elektrické intenzity, můžeme přepsat Gaussův zákon do tvaru £0 j> e ■ dS = Q (Gaussův zákon). (24.7) Zatím se budeme zabývat elektrickými náboji a elektrickým polem ve vakuu. V čl. 26.8 ukážeme, v jakém tvaru se zapisuje a používá Gaussův zákon v dielektrickém prostředí, jako jsou např. slída, olej nebo sklo. V rov. (24.6) a (24.7) je celkový náboj Q = J^k Qk algebraickým součtem všech kladných i záporných nábojů obklopených Gaussovou plochou a může být tedy kladný, záporný, nebo nulový. Znaménko výsledného náboje, nacházejícího se uvnitř plochy, určuje znaménko toku elektrické intenzity Gaussovou plochou: je-li Q > 0, je celkový tok &e kladný a intenzita e směřuje převážně ven z plochy, je-li Q < 0, je celkový tok e záporný a intenzita e směřuje převážně dovnitř. Libovolně velký náboj ležící vně Gaussovy plochy, není v Gaussově zákonu zahrnut v Q. Také není rozhodující, jak jsou rozloženy jednotlivé náboje uvnitř Gaussovy plochy. Jediné, co je nutno uvažovat na pravé straně rov. (24.7), je velikost a znaménko celkového uzavřeného náboje. Intenzita elektrického pole e na levé straně rov. (24.7) vyjadřuje intenzitu elektrického pole od všech nábojů, ať se nacházejí uvnitř či vně Gaussovy plochy. To se může jevit jako rozpor, ale lze dokázat (a ilustruje to př. 24.1), že elektrické pole od nábojů, které se nacházejí Horní stěna: Vektor plochy dS, přes niž integrujeme, směřuje ve směru osy y, tedy dS = dSj. Tok E=Q = Q1 + Q2 + Qs = eo £0 _ (+3,1 -5,9-3,1)-10-9 C _ ~~ (S.SS-lO-^C^N-i-m-2) ~ = -670N-m2-C-1. (Odpověď) Záporné znaménko značí, že celkový náboj uvnitř uzavřené plochy 3* je záporný. Celkový tok pole plochou 3* je tedy také záporný. Obr. 24.7 Příklad 24.3. Pět nabitých plastových tělísek a elektricky neutrální mince. Zvolená Gaussova plocha, znázorněná v řezu, obklopuje tři plastová tělíska a minci. j^ONTROLA 2: Obrázek znázorňuje tři situace, v nichž se Gaussova plocha tvořená povrchem krychle nachází v elektrickém poli. Šipky ukazují směr intenzity E a číslice vyjadřují velikosti toků (v N-m2-C_1) stěnami 624 KAPITOLA 24 GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY každé krychle. Určete, ve kterém případě krychle ohraničuje (a) celkový kladný náboj, (b) celkový záporný náboj, (c) nulový náboj. (1) (2) (3) 24.5 GAUSSŮV ZÁKON A COULOMBŮV ZÁKON Jsou-li Gaussův zákon a Coulombův zákon ekvivalentní, je možné odvodit jeden z druhého. Zde odvodíme Coulombův zákon ze zákona Gaussova s využitím symetrie v rozložení nábojů a jimi vytvořeného elektrického pole. Obr. 24.8 Kulová Gaussova plocha, v jejímž středu leží bodový náboj Q. Na obr. 24.8 je znázorněn bodový kladný náboj Q ležící ve středu Gaussovy kulové plochy o poloměru r. Představme si, že povrch koule rozdělíme na jednotlivé infinitezimální plošky o obsahu dS. Podle definice je vektor dS kolmý k ploše a směřuje z ní ven ve směru vnější normály. Ze symetrie plyne, že i vektor intenzity elektrického pole E v každém bodě kulové plochy je kolmý k povrchu a směřuje ven z plochy ve směru vnější normály. Uhel 6, který svírají E a dS, je roven nule. Proto z Gaussova zákona plyne eoj>E-dS = eoj)EdS= Q. (24.8) Protože velikost intenzity je na povrchu koule stejně velká, můžeme E vytknout před integrál. Dostáváme e0EE = EScosO = E(2nrh). Náboj obepnutý plochou je Q = xh, takže Gaussův zákon £o#£ = Q dává SoE(2Krh) = xh. Odtud E = (nabité vlákno), (24.12) 2neor což vyjadřuje velikost elektrické intenzity pole nekonečně dlouhého nabitého vlákna ve vzdálenosti r od osy vlákna. Vektor E směřuje radiálně od vlákna, je-li náboj kladný, a radiálně k němu, je-li záporný. PŘÍKLAD 24.5 Viditelnému záblesku při úderu blesku předchází neviditelné stádium, v němž vznikne kanál elektronů sahající z mraků až k zemskému povrchu. Tyto elektrony pocházejí jednak z mraků, jednak z molekul tvořících vzduch, které jsou ionizovány v kanálu. Typická hodnota délkové hustoty náboje v kanálu je r = —1-10-3 C-m-1. Když blesk udeří na zem, elektrony v jeho vodivém kanálu rychle přecházejí do zemského povrchu. Při srážkách elektronů s molekulami vzduchu dochází k ionizaci, což se projeví jako jasné záblesky svěda. Určete poloměr kanálu, jestliže se molekuly vzduchu ionizují, překročí-li elektrická intenzita hodnotu 3-106 N-C-1. ŘEŠENÍ: I když kanál není ani přímý, ani nekonečně dlouhý, použijeme model lineárně rozloženého náboje (obr. 24.12). (Protože obsahuje záporný náboj, míří E dovnitř sloupce.) Podle rov. (24.12) klesá velikost intenzity E elektrického pole s rostoucí vzdáleností od osy kanálu. Povrch kanálu je v takové vzdáleností r, v níž má elektrická intenzita E velikost 3-106 N-C-1. Molekuly vzduchu uvnitř kanálu jsou ionizovány, molekuly vzdálenější nikoli. Řešením rov. (24.12) dostáváme pro poloměr kanálu |t| ľ 2Tte0|E| (l-10-3C-m-1) ~~ 2t:(8,85-10-12C^N"1 -m-2)-(3-106N-C"1) ~~ = 6 m. (Odpověď) (Poloměr zářivé části blesku je však menší, přibližně jen 0,5 m. Představu o rozměrech blesku si můžete udělat dle obr. 24.13.) I když poloměr sloupce je jen 6 m, nemyslete si, že jste v bezpečí, nacházíte-li se trochu dál od místa dopadu 628 KAPITOLA 24 GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY blesku na zem. Elektrony z blesku putují po zemském povrchu a takové povrchové zemní proudy jsou smrtelné. Na obr. 24.14 jsou patrné zřetelné stopy těchto proudů. Obr. 24.13 Blesk udeřil do 20 m vysoké sekvoje. Protože byl strom mokrý, prošla většina z nábojů vodou po jeho povrchu a strom zůstal nepoškozen. 24.8 POUŽITI GAUSSOVA ZÁKONA: ROVINNÁ SYMETRIE Nevodivá vrstva Na obr. 24.15 je část tenké, nekonečně velké nevodivé vrstvy, na níž je rovnoměrně rozložen kladný náboj s plošnou hustotou a. Za jednoduchý model nám může posloužit kus tenké plastové fólie. Naším úkolem je určit elektrickou intenzitu e ve vzdálenosti r od vrstvy. Vhodnou Gaussovou plochou je povrch válce s podstavami o obsahu S, jehož osa je kolmá k vrstvě (obr. 24.15). Z důvodů symetrie je intenzita e kolmá k rovině vrstvy, tzn. i k ploše podstav. Pro kladný náboj směřuje e od roviny a prochází tedy oběma podstavami Gaussovy plochy směrem ven z válce. Protože siločáry neprotínají plášť válce, neprochází touto částí Gaussovy plochy žádný tok. Obr. 24.14 Vypálené stopy zemních proudů blesku na trávníku golfového j amkoviště. Obr. 24.15 (a) Celkový pohled, (b) boční pohled na část tenké velmi velké plastové vrstvy, rovnoměrně nabité na jedné straně nábojem s plošnou hustotou a. Osa válcové Gaussovy plochy protíná kolmo vrstvu a je rovnoběžná se směrem pole. Celkový tok je tedy roven součtu toků oběma podstavami válce; pro každou platí f e ■ dS = ES. Z Gaussova zákona plyne e0(ES + ES) = aS, kde crS je náboj uzavřený v Gaussově ploše. Odtud dostaneme E = — (nabitá plocha). (24.13) 2eo Uvažovali jsme nekonečně velkou rovinu s konstantní plošnou hustotou náboje. Ve výsledku se nevyskytuje r, takže 24.8 POUŽITÍ GAUSSOVA ZÁKONA: ROVINNÁ SYMETRIE 629 intenzita má stejnou velikost v každém bodě prostoru. Rov. (24.13) odpovídá rov. (23.25),kteroujsme dostali integrací složek intenzity elektrického pole vyvolaného jednotlivými náboji. (Podívejte se, kolik bylo třeba integrování, a všimněte si, jak snadno lze dostat tentýž výsledek pomocí Gaussova zákona. To je jeden z důvodů, proč věnujeme celou kapitolu Gaussovu zákonu elektrostatiky: pro určitá symetrická rozložení náboje je opravdu mnohem výhodnější jej použít, než integrovat složky pole.) Dvě vodivé desky Na obr. 24.16a je řez tenkou, nekonečně velkou vodivou deskou, na niž byl přenesen kladný náboj. Z čl. 24.6 víme, že tento náboj leží na povrchu desky. Protože deska je tenká a velmi velká, můžeme předpokládat, že se v podstatě celý náboj nachází na obou stranách desky. -o\- H («) -Ol £=0 £ = 0 (c) Obr. 24.16 (a) Tenká, velmi velká, kladně nabitá vodivá deska, (b) Stejná záporně nabitá deska, (c) Dvě desky rovnoběžné a blízko u sebe. Jestliže není přítomen žádný vnější náboj, který by rozložení náboje ovlivnil, budou náboje rozloženy na obou stranách desky s konstantní plošnou hustotou a\. Z rovnice (24.11) plyne, že těsně vedle desky má vzniklé pole intenzitu o velikosti E\ = ci/eo- Protože náboj je kladný, směřuje pole £1 od desky. Na obr. 24.16b je znázorněna táž deska, ale záporně nabitá, mající stejnou velikost plošné hustoty náboje a\. Jedinou změnou proti předchozí situaci je, že intenzita pole směřuje k desce. Předpokládejme, že umístíme obě desky tak, aby byly rovnoběžné a blízko u sebe (obr. 24.16c). Protože desky jsou vodivé, začne náboj na jedné desce přitahovat náboj na druhé desce. Proto se všechny náboje přemístí na vnitřní stěny desek (obr. 24.16c). Na každé z vnitřních stěn desek bude nyní dvojnásobně velký náboj, takže nová plošná hustota náboje a bude dvojnásobkem a\. Elektrická intenzita v každém bodě mezi deskami bude mít velikost 2&i a E = — = —. £0 £0 (24.14) Toto pole směřuje od kladně nabité desky k záporné. Protože na vněj ší stěnu desek nebyl přiveden žádný náboj, bude elektrické pole vlevo i vpravo od desek rovno nule. Může se vám zdát podivné, proč se zabýváme tak nepravděpodobnou situací, jako je pole buzené nekonečně dlouhou nabitou přímkou, nekonečnou rovinou či dvojicí nekonečných nabitých desek. Není to jen proto, abychom analyzovali takové situace pomocí Gaussova zákona (ačkoli i to je pravda). Podstatnější je, že tyto analýzy případů, v nichž se vyskytují nekonečně velké rozměry, nám poslouží jako velmi dobrá aproximace reálných situací. Tak se např. dá velmi dobře použít rov. (24.13) pro nevodivou vrstvu konečných rozměrů, pokud zjišťujeme velikost pole v blízkosti vrstvy a dosti daleko od jejích okrajů. Podobně rov. (24.14) platí pro dvojici konečných vodivých desek, pokud opět nebereme v úvahu místa v blízkosti jejich hran. Potíže s okraji vrstev nebo desek a důvody, proč se k nim příliš nepřibližujeme, spočívají v tom, že v jejich blízkosti již není možné použít rovinnou symetrii při určování intenzity polí. Siločáry se zde zakřivují (vlivem okrajů) a detaily pole se pak velmi obtížně počítají. Při řešení elektrostatických úloh s vodiči nemůžeme jednoduše rozdělit problém na několik úloh, každou s jedním vodičem, a pak sčítat jejich dílčí řešení. Princip superpozice sice platí i zde, ale musíme uvážit, že rozložení náboje na vodiči je výrazně ovlivněno přítomností dalších vodičů či nábojů v jeho okolí. Jinými slovy, kdybychom zmrazili rozložení nábojů na vodičích v soustavě a soustavu rozdělili na části, pak by opravdu pole soustavy bylo součtem polí těchto částí. Jakmile ovšem připustíme, že náboje na vodičích nejsou „zmrazený", mohou se pod vlivem ostatních částí přerozdělit jinak, než jak byly rozmístěny. PŘIKLAD 24.6 Na obr. 24.17a je znázorněna část dvou velkých rovnoběžných nevodivých desek, z nichž každá nese na jedné stěně rovnoměrně rozložený náboj. Plošné hustoty nábojů jsou <7(+) = 6,8[aC-m-2 pro kladně nabitou desku a o-(_) = = —4,3 [iC-m-2 pro záporně nabitou desku. 630 KAPITOLA 24 GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY Vyjádřete intenzitu elektrického pole E (a) vlevo od desek, (b) mezi deskami, (c) vpravo od desek. CT(+) (a) Obr. 24.17 Příklad 24.6. (a) Dvě velké rovnoběžné desky rovnoměrně nabité po jedné straně. (b) Elektrická pole jednotlivých desek. (c) Výsledné pole vytvořené superpozicí polí obou nabitých desek. m P I [ (c) ŘEŠENÍ: Protože se náboje nemohou pohybovat, můžeme najít elektrické pole desek z obr. 24.17a tak, že (1) najdeme pole od každé desky samostatně, (2) sečteme pole od samostatných desek pomocí principu superpozice. Z rov. (24.13) plyne, že velikost intenzity elektrického pole E(+) od kladně nabité desky je v libovolném bodě rovna E(+) = ff(+) _ (6,8-lQ-ŔC-m-2) 2eo" ~~ 2(8,85-10-12C2-N-1-m-2) :3,84-105N-C_1. Podobně pro záporně nabitou desku je (4,3-10-6C-m-2) 2e0 2(8,85-10-12C2-N-1-m-2) = 2,43-105N-C_1. Na obr. 24.17b je konfigurace polí od jednotlivých desek vlevo od desek (L), mezi deskami (M) a vpravo od desek (P). Výsledná pole v těchto oblastech získáme z principu superpozice. Vlevo od desek je velikost intenzity pole El = £(+) - £(-) = = (3,84-10:'N-C-1) = 1,4M05N-C i-i (2,43-105N-C_1) = (Odpověď) Protože E(+) je větší než £(->, směřuje výsledná intenzita El vlevo (obr. 24.17c). Vpravo od desek bude elektrické pole £p stejně velké, ale bude směřovat vpravo (obr. 24.17c). Mezi deskami mají obě pole stejný směr, a proto Em = £(+) + £(-) = = (3,84-105 N-C-1) + (2,43-105 N-C-1) = = 6,27-105 N-C-1. (Odpověď) Výsledné pole Em míří vpravo. Všimněme si, že vně desek je elektrické pole stejné, jako by pocházelo od jediné desky, jejíž plošná hustota náboje by byla or'(+) = ff(+) + or(_) = 2,5-10-6 C-m-2. 24.9 POUŽITI GAUSSOVA ZÁKONA: KULOVÁ SYMETRIE Nyní dokážeme pomocí Gaussova zákona oba slupkové teorémy, které jsme uvedli bez důkazu v čl. 22.4: Rovnoměrně nabitá kulová vrstva (slupka) přitahuje, nebo odpuzuje nabitou částici vně této vrstvy stejnou silou, jako kdyby se celý náboj vrstvy nacházel v jejím středu. Pro nabitou částici uvnitř (v dutině) této vrstvy je výsledná síla, kterou působí vrstva, rovna nule. Na obr. 24.18 je znázorněna nabitá kulová vrstva o poloměru R, nesoucí celkový náboj Q, a dvě soustředné kulové Gaussovy plochy 5?\ a 5?%. Pomocí postupu navrženého v čl. 24.5 a použitím Gaussova zákona na plochu S?i, pro niž platí r > R, zjistíme, že E = 1 Q (pole kulové vrstvy 4tc£q r2 ve vzdálenosti r > R). (24.15) Je to stejné pole, jaké by vytvořil bodový náboj, umístěný ve středu nabité kulové vrstvy. Velikost síly, kterou působí kulová vrstva na nabitou částici ležící vně, je tedy stejná jako velikost síly v případě, že by vrstva byla nahrazena bodovým nábojem Q ležícím v jejím středu. Tím je dokázán první slupkový teorém. 24.9 POUŽITÍ GAUSSOVA ZÁKONA: KULOVÁ SYMETRIE 631 Obr. 24.18 Řez tenkou kulovou vrstvou, nesoucí rovnoměrně rozložený náboj Q, a dvěma Gaussovými plochami 5f\ a S^i. Plocha 5^2 obklopuje kulovou vrstvu, plocha č?\ obklopuje pouze prázdný prostor uvnitř vrstvy. Použijeme-li Gaussův zákon na druhou plochu 5?\, pro niž r < R, dostaneme E = 0 (P^ kulové vrstvy ve vzdálenosti r < R), protože tato Gaussova plocha neobepíná žádný náboj. Výsledná síla působící na náboj uvnitř rovnoměrně nabité kulové vrstvy je tedy rovna nule, což vyjadřuje druhý slupkový teorém. Libovolné kulově symetrické rozložení náboje, jako je např. na obr. 24.19, může být vytvořeno ze soustředných kulových vrstev. Abychom mohli použít slupkového teorému, musí být koule nabita po vrstvách homogenně; hustota náboje q je tedy funkcí pouze vzdálenosti r od středu koule. Pak můžeme zkoumat vliv rozložení náboje v jednotlivých vrstvách odděleně, vrstvu po vrstvě. Na obr. 24.19a leží celkový náboj uvnitř Gaussovy plochy tvaru povrchu koule o poloměru r > R. Tento náboj Gaussova (a) (b) Obr. 24.19 Tečky představují kulově symetrické rozložení náboje v kouli o poloměru R, jehož objemová hustota je funkcí pouze vzdálenosti od středu. Nabitá koule není vodič, takže se v ní náboj nemůže pohybovat, (a) Soustředná kulová Gaussova plocha o poloměru r > R. (b) Obdobná Gaussova plocha o poloměru r < R. vytváří stejné elektrické pole na této Gaussově ploše jako stejně velký bodový náboj téhož znaménka, umístěný ve středu kulové plochy. Na obr. 24.19b je znázorněna Gaussova plocha o poloměru r < R. Abychom určili velikost elektrického pole na této ploše, budeme rozlišovat nabité kulové vrstvy uvnitř a vně Gaussovy plochy. Z rov. (24.16) plyne, že náboj ležící vně Gaussovy plochy na ní nevytváří žádné elektrické pole. Z rov. (24.15) plyne, že náboj obklopený uzavřenou plochou vytváří elektrické pole stejné, jako by tento náboj byl soustředěn ve středu kulové vrstvy. Nechť q' je náboj obklopený uzavřenou plochou; pak podle rov. (24.15) platí E _ 1 &_ (pole kulové vrstvy 4tt:£o f"2 ve vzdálenosti r < R). PŘIKLAD 24.7 Jádro atomu zlata má poloměr R = 6,2-10_15m a nese kladný náboj Q = Ze, kde Z = 79 je atomové číslo zlata. Nakreslete průběh intenzity elektrického pole od středu jádra až do vzdálenosti 2R. Předpokládejme, že jádro má kulový tvar s prostorově homogenním rozložením náboje. ŘEŠENÍ: Celkový náboj jádra je Q = Ze = 79(1,602-10"19 C) = 1,264-KT17 C. Pole vně jádraje popsáno rov. (24.15). Gaussovu plochu zvolíme podle obr. 24.19a. Pro bod na povrchu jádra je elektrická intenzita E= 1 Q 4jie0 R2 ~ __(l,264-l(r17C)__ ~~ 4ji(8,85-10-12C2-N-1-m-2)(6,2-10-15m)2 ~~ = 3-1021N-C_1. Pro výpočet pole uvnitř jádra použijeme rov. (24.17) a Gaussovu plochu podle obr. 24.19b. Nechť Q' je náboj obklopený kulovou Gaussovou plochou o poloměru r < R. Poněvadž je náboj rozložen v objemu jádra homogenně, je náboj uvnitř Gaussovy plochy úměrný objemu koule: Q> _ f w3 a odtud Q |tlR3 q' = e-r- ^ ^R3 (24.18) Dosazením tohoto výsledku do rov. (24.17) dostaneme 1 6' Q 4n:£o r2 4nsoR3 r (r < R). (24.19) 632 KAPITOLA 24 GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY Výraz v závorce je konstantní. Uvnitř jádra roste tedy elektrická intenzita přímo úměrně poloměru r, ve středu jádra je E = O.Jakrov. (24.19) pro pole uvnitř jádra, tak i rov. (24.15) pro vnějšek dávají na hranici jádra (pro r = R) tutéž hodnotu E = 3-1021 N-C-1. Navazují tedy na hranici jádra spojitě. Na obr. 24.20 je celý výsledek vyjádřen graficky. Ú 3,0 a 2,0 o 0. 1 1 1 1 1 R 5 ! 10 15 20 r (10"15 m) Obr. 24.20 Přiklad 24.7. Závislost intenzity elektrického pole na vzdálenosti od středu jádra atomu zlata. Předpokládáme homogenní rozdělení kladného náboje v objemu jádra. j^ONTROLA 5: Na obrázku jsou dvě rovnoběžné, velké, nevodivé vrstvy se stejnými plošnými hustotami kladného náboje a koule s homogenní objemovou hustotou kladného náboje. Určete intenzity elektrického pole v bodech 1 až 4 a seřaďte tyto body sestupně podle velikosti intenzity. • 1 + + + + -2 + • 3 • 4 Ě -d- PŘEHLED & SHRNUTÍ Gaussův zákon elektrostatiky Gaussův zákon a Coulombův zákon, ačkoli mají různé tvary, jsou ekvivalentní způsoby pro popis vztahu mezi nábojem a elektrickým polem v elektrostatice. Gaussův zákon zní eq&e = Q (Gaussův zákon), (24.6) kde Q je celkový náboj uvnitř pomyslné uzavřené plochy 5? (Gaussovy plochy) a 0e je celkový tok vektoru elektrické intenzity touto plochou: (p — Á E áS elektrické intenzity „ E ~ J^, Gaussovou plochou S^). Coulombův zákon lze snadno odvodit z Gaussova zákona. PoužM Gaussova zákona Pomocí Gaussova zákona můžeme při využití podmínek symetrie odvodit některé důležité výsledky pro elektrostatiku. Mezi ně patří např. tyto: 1. Náboj na izolovaném vodiči se celý nachází na vnějším povrchu vodiče. 2. Elektrická intenzita vně nabitého vodiče v jeho těsné blízkosti je kolmá k povrchu vodiče a má velikost E = — (vodivá plocha). (24.11) Uvnitř vodiče je E = 0. 3. Elektrická intenzita pole buzeného dlouhým přímým vláknem s rovnoměrně rozloženým nábojem má radiální směr a velikost E = —— (nabité vlákno), (24.12) 2neor kde r je délková hustota náboje a r je vzdálenost uvažovaného bodu od vlákna. 4. Elektrická intenzita pole nekonečně velké roviny s konstantní plošnou hustotou náboje a je kolmá k této rovině a má velikost a E = — (nabitá plocha — vrstva náboju). (24.13) 2eo 5. Elektrická intenzita vně rovnoměrně nabité kulové vrstvy o poloměru R a celkovém náboji Q má radiální směr a velikost E = -í— 4 (kulová vrstva, r > R), (24.15) 4ti£o rz kde r je vzdálenost od středu kulové vrstvy k bodu, v němž určujeme E. (Náboj se projevuje tak, jako by byl všechen soustředěn ve středu vrstvy.) Intenzita pole uvnitř rovnoměrně nabité kulové vrstvy je rovna nule: E = 0 (kulová vrstva, r < R). (24.16) 6. Elektrická intenzita uvnitř homogenně nabité koule o poloměru R,r < R, má radiální směr a velikost OTÁZKY 633 OTÁZKY 1. Plocha je charakterizována vektorem s = (2i + 3/) m2. Jaký je tok intenzity elektrického pole touto plochou, je-li (a) e = = 4/N-CT1, (b) e = 4*N-Cr1? 2. Určete / dS pro (a) čtvercovou plochu o straně a, (b) kruh o poloměru r, (c) plášť válce o výšce h a poloměru r. 3. Na obr. 24.21 jsou čtyři valcovité Gaussovy plochy se stejným pláštěm a podstavami různého tvaru. Tyto plochy se nacházejí v homogenním elektrickém poli o intenzitě e, která je rovnoběžná s osou válcových ploch. Podstavy S"\ mají tvar povrchu konvexních polokoulí, podstavy konkávních polokoulí, podstavy J*3 kuželů a podstavy J*4 tvar kruhů. Seřadte sestupně tyto plochy podle (a) velikosti celkového toku intenzity elektrického pole, (b) podle toku elektrické intenzity horními podstavami. a---- Obr. 24.21 Otázka 3 4. Na obr. 24.22 obepíná Gaussova plocha dvě ze čtyř kladně nabitých částic, (a) Určete, které částice přispívají k vytvoření elektrického pole v bodě P na Gaussově ploše, (b) Který z toků elektrické intenzity touto plochou je větší: tok pole buzeného náboji gi a Q2, nebo tok pole buzeného všemi čtyřmi náboji? + q3 /QGi 1 1 G4 • p 1 1 1 q2 j Gaussova / plocha \^___y Obr. 24.22 Otázka 4 5. Mějme osm částic s náboji +2g, +3Q, +4Q, +5Q, -2Q, —3g, —4g, — 5g. Zkuste vytvořit různé Gaussovy plochy obklopující jeden či více z těchto nábojů tak, aby celkový tok plochou byl 0,+g/£o,+2g/eo,... ,+14g/e0. Kterou z těchto hodnot není možné dosáhnout? 6. Tok elektrického pole kulovou Gaussovou plochou o poloměru r obklopující proton je R, (b) r < R. Nakreslete graf této funkce v intervalu od r = 0 do r = 5,0 cm, jestliže t = 2-10_8C-m_1 a/J = 3,0cm.(7íp: Použijte valcovou Gaus-sovu plochu, souosou s kovovou trubkou.) Obr. 24.32 Úloha 24 25Ú. Na obr. 24.33 je řez dvěma dlouhými souosými válci o poloměrech a, b, kde a < b. Válce nesou stejně velké, ale opačné náboje rozložené s konstantní délkovou hustotou x. Užitím Gaussova zákona dokažte, že (a) pro r < a je E = 0, (b) mezi válci, tj. pro a < r < b, je Obr. 24.33 Úloha 25 26Ú. Dlouhý přímý drát nese záporný náboj s délkovou hustotou x = 3,6nC-m-1. Drát je obklopen souosým nevodivým dutým válcem o vnějším poloměru 1,5 cm. Válec má mít přitom na své vnější stěně kladný náboj s plošnou hustotou a takovou, aby celkové vnější pole bylo nulové. Vypočtěte potřebnou hodnotu a. 27Ú. Velmi dlouhá vodivá válcová tyčinka délky L nesoucí náboj +Q se nachází uvnitř vodivé válcové trubky (rovněž délky L), která má náboj —IQ (obr. 24.34). Použitím Gaussova zákona najděte (a) elektrickou intenzitu pole v bodech vně vodivé trubky, (b) rozložení náboje na vodivé trubce, (c) elektrickou intenzitu pole mezi tyčinkou a trubkou. Obr. 24.34 Úloha 27 28Ú. Dva dlouhé nabité souosé válce mají poloměry 3,0 cm a 6,0 cm. Délková hustota náboje na vnitřním válci je +5,0 • • 10-6 C-m-1, na vnějším válci -7,0-10-6 C-m-1. Určete elektrickou intenzitu ve vzdálenosti (a) r = 4,0 cm, (b) r = 8,0 cm od osy válců. 29Ú. Na obr. 24.35 je princip Geigerova čítače pro detekci ionizujícího záření. Jeho součástí je tenký, kladně nabitý drátek, kolem něhož je soustředný dutý vodivý váleček nesoucí stejně velký záporný náboj. Tím se uvnitř válečku vytvoří silné radiální částice Obr. 24.35 Úloha 29 pole. Uvnitř válečku je inertní plyn pod nízkým tlakem. Vnikne-li záření dovnitř válečku, ionizuje několik atomů plynu. Vzniklé volné elektrony jsou přitahovány směrem ke kladně nabitému drátku. Elektrické poleje tak intenzivní, že volné elektrony získají mezi srážkami s jinými atomy plynu energii dostatečnou pro další ionizaci. Tím narůstá počet volných elektronů a proces se opakuje, dokud elektrony nedorazí k drátku. Výsledná „lavina" elektronů dopadá na drátek a vytváří signál, který indikuje průchod původní částice záření. Předpokládejte, že drátek má poloměr 25 [im, váleček má poloměr 1,4 cm a délku 16 cm. Určete celkový náboj drátku, je-li intenzita elektrického pole na vnitřní stěně válečku 2,9-104 N-C-1. 30Ú. Pozitron s nábojem 1,60-10-19 C obíhá po kruhové dráze o poloměru r mezi válci z úlohy 25. Určete jeho kinetickou CVIČENÍ & ÚLOHY 637 energii v elektronvoltech. Předpokládejte, že a = 2,0 cm, b = = 3,0 cm, r = 30nC-m_1. 31C. Náboj je rovnoměrně rozložen v objemu nekonečně dlouhého válce o poloměru R. (a) Dokažte, že ve vzdálenosti r od osy válce (r < R) platí E = 2s0' kde q je objemová hustota náboje, (b) Napište výraz pro E, jestliže r > R. ODST. 24.8 Použití Gaussova zákona: rovinná symetrie 32C. Na obr. 24.36 je řez dvěma veľkými, rovnoběžnými nevodivými deskami, na nichž je rovnoměrně rozložen kladný náboj s plošnou hustotou a. Určete E v bodech (a) nad vrstvami, (b) mezi nimi, (c) pod nimi. + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Obr. 24.36 Cvičení 32 33C. Čtvercová kovová deska zanedbatelné tloušťky o straně 8,0 cm nese celkový náboj 6,0-10-6 C. (a) Určete velikost intenzity elektrického pole těsně nad středem desky (např. ve výšce 0,50 mm), je-li náboj rozdělen rovnoměrně po obou stěnách desky, (b) Určete E ve vzdálenosti 30 m, můžeme-li z této vzdálenosti považovat desku za bodový náboj. 34C. Ve středu velké rovinné nevodivé plochy s plošnou hustotou náboje a je vyražen malý kruhový otvor o polomem R (obr. 24.37). Zanedbejte zakřivení siločar kolem okrajů a vypočtěte elektrickou intenzitu v bodě P na ose otvoru ve vzdálenosti z od jeho středu. (Tip: Rov. (23.24) a princip superpozice.) |z yyy\yyyyyyy ^ ^ t!^ 7^ 7^ 7^ 7^ 7^ ^^^iM 7^7^7^7^ Obr. 24.37 Cvičení 34 35Ú. Naobr. 24.38jenevocuvákuhčkaohmotnostim = l,0mg nesoucí náboj Q = 2,0-10-8 C rovnoměrně rozložený v celém objemu. Kulička je upevněna na nevodivém závěsu, který svírá úhel 6 = 30° se svislou rovnoměrně nabitou nevodivou deskou. Vypočtěte plošnou hustotu náboje a na desce, přičemž berte v úvahu hmotnost kuličky a předpokládejte, že deska není prostorově ohraničená. 36Ú. Dvě velké, tenké a rovnoběžné kovové desky leží blízko sebe (obr. 24.16c); levá deska je záporně nabitá. Desky mají na Obr. 24.38 Úloha 35 vnitřních stěnách náboje opačných znamének s plošnou hustotou a = 7,0-10-22C-m-2. Určete velikost a směr elektrické intenzity £ (a) vlevo od desek, (b) vpravo od nich, (c) mezi nimi. 37Ú. Elektron je vystřelen kolmo k velké kovové desce, která nese záporný náboj s plošnou hustotou 2,0-10-6 C-m-2. Počáteční kinetická energie elektronu je 100 eV. V důsledku odpudivých sil se elektron zastaví právě v okamžiku, kdy se dotkne desky. Určete vzdálenost, ze které byl vystřelen. 38Ú. Dvě rovnoběžné kovové desky o ploše l,0m2 jsou od sebe vzdáleny 5 cm a nesou na vnitřních stěnách stejně velké opačné náboje. Jak velký je náboj na deskách, je-li velikost intenzity elektrostatického pole mezi deskami rovna 55N-C-1? Neuvažujte změny pole v blízkosti hran desek. 39Ú. Při laboratorním pokusu je tíhová síla elektronu právě vyvážena silou, kterou na něj působí elektrostatické pole vytvořené dvěma velkými, rovnoběžnými nevodivými opačně nabitými deskami vzdálenými od sebe 2,3 cm. Určete (a) velikost plošné hustoty náboje na deskách (za předpokladu, že je homogenní), (b) směr intenzity pole. 40Ú*. Kladný náboj Q, který se nachází ve vzdálenosti a od nekonečně velké vodivé roviny, indukuje na této rovině záporný náboj s plošnou hustotou a = — ga/(2w3), kde r je vzdálenost bodu P od náboje +Q na rovině (obr. 24.39). Určete (a) velikost Obr. 24.39 Úloha 40 složky elektrické intenzity £ kolmé k vodivé rovině pocházející od indukovaného náboje, (b) celkový záporný náboj indukovaný na této rovině, (c) Jaká je elektrostatická síla mezi nábojem +Q a nábojem indukovaným na vodivé rovině? Je pritažlivá, nebo 638 KAPITOLA 24 GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY odpudivá? (d) Jaký náboj, umístěný ve stejné vzdálenosti, ale na opačné straně roviny, by vytvořil tutéž sílu? 41Ú*. Rovinná vrstva tloušťky d je rovnoměrně nabitá s objemovou hustotou náboje g. Určete velikost elektrické intenzity pole v bodech (a) uvnitř, (b) vně vrstvy, a to jako funkci x, tj. kolmé vzdálenosti měřené od střední roviny vrstvy. ODST. 24.9 Použití Gaussova zákona: kulová symetrie 42C. Vodivá koule o poloměru 10 cm nese neznámý náboj. Intenzita elektrostatického pole ve vzdálenosti 15 cm od středu koule má velikost 3,0-103N-C_1 a směřuje ke středu koule. Určete náboj na povrchu koule. 43C. Bodový náboj způsobí tok intenzity elektrického pole —750N-m2-C_1 kulovou Gaussovou plochou o poloměru 10,0 cm se středem v tomto náboji, (a) Určete, jak velký je tok elektrické intenzity Gaussovou plochou, zvětší-li se její poloměr dvakrát, (b) Určete velikost bodového náboje. 44C. Tenkostenná kovová koule o poloměru 25 cm nese náboj 2,0-10-7 C. Určete velikost E pro bod (a) uvnitř koule, (b) těsně nad povrchem koule, (c) ve vzdálenosti 3,0 m od středu koule. 45C. Bodový náboj Q = 1,0-10_7C je umístěn ve středu kulové dutiny o poloměru 3,0 cm, která je vytvořena v kovovém bloku. Pomocí Gaussova zákona elektrostatiky vyjádřete velikost elektrické intenzity v bodě (a) P\, který je v poloviční vzdálenosti mezi nábojem a stěnou dutiny, (b) Pí uvnitř kovu. 46C. Dvě nabité soustředné kulové plochy mají poloměry 10,0 cm a 15,0 cm. Náboj na vnitřní z nich je 4,00-10-8 C a náboj na vnější je 2,00-10-8 C. Určete velikost elektrické intenzity ve vzdálenosti (a) r = 12,0cm, (b) r = 20,0cm od jejich středu. 47C. Tenká kovová kulová vrstva o poloměru a nese náboj Qa. S ní soustředná tenká kulová vrstva o poloměru b (b > a) nese náboj Qb. Vypočtěte velikost elektrické intenzity ve vzdálenosti r od středu, je-li (a) r < a, (b) a < r < b, (c) r > b. (d) Jaké jsou náboje na vnitřních i vnějších stěnách obou vrstev? 48C. V článku z r. 1911 Ernest Rutherford napsal: Abychom si vytvořili určitou představu o silách, které by mohly letící částici a vychýlit, uvažujme atom, který má uprostřed bodový kladný náboj Ze, kolem něhož jsou rovnoměrně rozloženy záporné náboje —Ze v kouli o poloměru R. Elektrická intenzita E ve vzdálenosti r od středu má v bodě nacházejícím se uvnitř atomu velikost 4jie0Vr2 R3/' Ověřte tuto rovnici (tzv. Rutherfordův vztah). 49C. Rov. (24.11) E = o/eq vyjadřuje elektrickou intenzitu v bodě, který se nachází v blízkosti nabité vodivé plochy. Použijte tuto rovnici na nabitou kouli o poloměru r nesoucí náboj Q a dokažte, že elektrické pole vně koule je stejné jako pole bodového náboje, umístěného ve středu koule. 50Ú. Proton obíhá po kružnici rychlostí v = 3-105 m-s-1 těsně nad nabitou koulí o poloměru r = 1,00 cm. Určete náboj koule. 51Ú. Bodový náboj +2 se nachází ve středu elektricky neutrální duté vodivé koule o vnitřním poloměru a a vnějším poloměru b. Jaký náboj se objeví (a) na vnitřní stěně, (b) na vnější stěně koule? Najděte výrazy pro celkovou intenzitu elektrického pole ve vzdálenosti r od středu koule, jestliže (c) r < a, (d) b > r > a, (e) r > b. Nakreslete siločáry pro tyto tři oblasti. Pro případ r > b určete intenzitu elektrického pole pocházející (f) od středového bodového náboje a náboje vnitřní stěny, (g) od vnější nabité stěny. Nyní umístěte vně duté koule další bodový náboj — Q. Změní tento náboj rozložení nábojů na (h) vnější ploše, (i) vnitřní ploše? Nakreslete pro tyto případy elektrické siločáry, (j) Zjistěte, zda působí na druhý bodový náboj nějaká elektrostatická síla. (k) Působí nějaká další elektrostatická síla na první bodový náboj? (1) Odporuje tato situace třetímu Newtonovu zákonu? 52Ú. V plné nevodivé kouli o poloměru R je nerovnoměrně rozložen náboj s objemovou hustotou g = gor/R, kde go je konstanta a r je vzdálenost od středu koule. Dokažte, že (a) celkový náboj na kouli je Q = tigoR3, (b) intenzita elektrického pole uvnitř koule má velikost E =--rr . 4ite0 R4 53Ú. Na obr. 24.40 je koule o poloměru a a s ní soustředná kulová vodivá vrstva o vnitřním poloměru b a vnějším poloměru c. Koule má náboj +Q, který je rovnoměrně rozložen v jejím objemu a vodivá kulová vrstva má náboj —Q. Vyjádřete závislost elektrické intenzity na poloměru r (a) uvnitř koule (r < a), (b) mezi koulí a vrstvou (a < r < b), (c) uvnitř vrstvy (b < r < c), (d) vně vrstvy (r > c), (e) Jak velký náboj se nachází na vnitřní a vnější stěně vrstvy? Obr. 24.40 Úloha 53 54Ú. Na obr. 24.41a je znázorněna nabitá kulová vrstva (vnitřní poloměr a = 10 cm, vnější poloměr b = 20 cm) s objemovou hustotou náboje g = 1,0-10-6 C-m-3. Nakreslete závislost velikosti E na vzdálenosti r pro r od 0 do 30 cm. 5SÚ. Na obr. 24.41b je nevodivá kulová vrstva o vnitřním poloměru a, vnějším poloměru b s objemovou hustotou náboje g = A/r (uvnitř vrstvy), kde A je konstanta a r je vzdálenost od středu kulové vrstvy. Do středu systému umístěte bodový náboj Q. Jaká by měla být velikost A, aby pole ve vrstvě CVIČENÍ & ÚLOHY 639 {a ú r ú b) bylo homogenní? (Tip: Konstanta A závisí na a, ale ne na b.) /+++++++\ /+ + + + + + + + +\ ^ + + A + + / ^+ + + + + í 1 + + + + 1 + + \ V+ + + \ + + + + + + + +/ \ + + + b+ + +/ (a) (b) Obr. 24.41 Úlohy 54 a 55 56Ú. Atom vodíku můžeme považovat za soustavu, kterou tvoří proton s kladným nábojem +e a obíhající elektron, jehož náboj — e je rozložen kolem protonu s objemovou hustotou g = Ae_2r/a°, kde A je konstanta, ao = 0,5310_10mjeBoAn Ez_ Q \ x 4-neo r3' y 4-n:eo r3 ' z Atisq r3' kde r = y/x2 + (y — y')2 + z2. Polohu y' náboje zvolte takto: (a) y' = 0 (náboj ve středu krychle), (b) y' = 0,200 m (náboj uvnitř krychle), (c) y' = 0,400 m (náboj uvnitř krychle), (d) y' = = 0,600 m (náboj vně krychle). Elektrický potenciál Blesk zabíjel... Když se na vyhlídkové ■plošině tato žena těšila z pohledu na okolí, zjistila, že jí na hlavě stojí vlasy, její bratr ji tak vyfotografoval. Pět minut po jejich odchodu udeřil do plošiny blesk, zabil jednu osobu a sedm dalších zranil. Proč se ženě zježily vlasy? Z jejího pohledu lze soudit, že to nebyl strach — i když k němu byl pádný důvod. 25.1 ELEKTRICKÁ POTENCIÁLNI ENERGIE 641 25.1 ELEKTRICKÁ POTENCIÁLNI ENERGIE Newtonův zákon pro gravitační sílu a Coulombův zákon pro elektrostatickou sílu mají stejný matematický tvar, takže některé obecné závěry týkající se gravitační síly, ke kterým jsme došli v kap. 14, mohou být zřejmě použity i pro sílu elektrostatickou. Především je zřejmé, že elektrostatická síla je silou konzervativní. Systému složenému ze dvou nebo více nabitých částic lze tedy přiřadit potenciální energii Ep, kterou nazýváme elektrostatickou nebo též elektrickou. Změní-li se v takovém systému poloha částic z počáteční konfigurace J% do koncové Jřf, pak elektrostatická síla vykoná na částicích práci W. Z rov. (8.1) plyne, že odpovídající změna AEV potenciální energie systému je AEp = £p,f - £Pii = -W. (25.1) Pro elektrostatickou sílu platí stejně jako pro jiné konzervativní síly, že práce touto silou vykonaná nezávisí na trajektorii. Předpokládejme, že se jedna z nabitých částic patřících do systému přesune z počáteční polohy rj do koncové polohy rf vlivem elektrostatické síly od ostatních nabitých částic. Za předpokladu, že se polohy ostatních částic nemění, je práce vykonaná touto silou stejná při libovolném tvaru (tedy i délce) trajektorie částice mezi body s polohovými vektory ě\ a rf (dále jen mezi body (i) a (f)). Za vztažnou (referenční) konfiguraci dané soustavy nabitých částic je vhodné zvolit takové vzájemné rozmístění částic, při němž jsou částice „v nekonečnu", tedy tak daleko od sebe, že jejich vzájemné působení můžeme zanedbat. Potenciální energie, která takovéto konfiguraci částic odpovídá, se obvykle volí rovna nule. Předpokládejme, že několik nabitých částic přejde z počátečního stavu s nekonečně velkými rozestupy (konfigurace JČ[) do nového stavu a vytvoří tak uvažovaný systém částic (v konfiguraci Jřf). Nechť počáteční potenciální energie částic Epií je nulová a nechť symbol představuje práci vykonanou elektrostatickými silami působícími mezi částicemi pří jejich přesunu z nekonečna do poloh v konfiguraci Jřf.* Pak podle rov. (25.1) potenciální energie £p systému částic v koncové konfiguraci Jčf je EP = -Woo. (25.2) Elektrickou potenciální energii považujeme stejně jako jiné druhy potenciální energie za jednu z forem energie. * Abychom mohli elektrické síly považovat za elektrostatické, musí se částice pohybovat natolik pomalu, aby se neuplatnily jevy spjaté s pohybem náboje, např. elektrický proud. Připomeňme z kap. 8, že (mechanická) energie izolovaného systému se zachovává, pokud v systému působí pouze konzervativní síly. Tento fakt náležitě využijeme v další části této kapitoly. RADY A NÁMĚTY Bod 25.1: Elektrická potenciální energie. Práce vykonaná elektrickým polem Elektrickou potenciální energii spojujeme se systémem částic jako s celkem. Setkáme se však i s výroky (poprvé u př. 25.1), v nichž je tato energie přiřazena pouze jediné částici systému. Například čteme „elektron v elektrickém poli má elektrickou potenciální energii 10-7 J." I takové výroky jsou přijatelné, ale vždy si musíme uvědomit, že ve skutečnosti je potenciální energie vlastností celého systému — v uvedeném příkladu celé konfigurace elektron+nabité částice, které vytvářejí elektrické pole. Přiřazujeme-li potenciální energii jen jediné částici z celého systému, říkáme často, že práce vykonaná na částici je vykonána elektrickým polem. Tím rozumíme, že práci na částici vykoná výsledná síla vyvolaná ostatními částicemi systému prostřednictvím jejich společného elektrického pole. Zapamatujme si také, že přiřadit hodnotu potenciální energie částici nebo systému částic (jako v uvedeném příkladu hodnotu 10-7 J) má smysl jen tehdy, zadáme-li hodnotu potenciální energie ve vhodném referenčním stavu. PŘIKLAD 25.1 Elektrony se uvolňují náhodnými srážkami molekul vzduchu s částicemi kosmického záření přicházejícího z vesmíru. Uvolněný elektron podléhá působení elektrostatické síly F vyvolané elektrickým polem o intenzitě E, které je v atmosféře vytvořeno nabitými částicemi nacházejícími se vždy v nějakém množství na zemském povrchu. Blízko zemského povrchu má elektrická intenzita velikost E = 150 N-C-1 a směřuje k zemi. Jaká je změna AEV elektrické potenciální energie uvolněného elektronu, jestliže se působením elektrostatické síly posunul vzhůru po svislé dráze délky á = 520m(obr.25.1)? Obr. 25.1 Příklad 25.1. Elektron v atmosféře se přemísťuje svisle vzhůru do vzdálenosti d vlivem elektrostatické síly F = QE. ŘEŠENI: Rov. (25.1) uvádí do vzájemného vztahu změnu elektrické potenciální energie elektronu AEp a práci W vykonanou na elektronu elektrickým polem. Podle kap. 7 je práce 642 kapitola 25 elektrický potenciál vykonaná konstantní silou F, působící na částici a vyvolávající posunutí d částice, rovna W = F d. (25.3) Podle rov. (23.28) platí F = QE. Připomeňme, že znaménko náboje Q je do této vektorové rovnice zahrnuto a že g je náboj elektronu (Q = -e = -1,60-10-19 C). Do rov. (25.3) dosadíme za sílu F, čímž dostaneme W = QE d = QEdcosi (25.4) kde 9 je úhel mezi směry vektorů E a d. Intenzita E směřuje k zemskému povrchu a posunutí d má směr svisle vzhůru. Proto 9 = 180°. Dosadíme-li tuto hodnotu spolu s ostatními hodnotami do rov. (25.4), dostaneme W = (-l,60-10-19C)(150N-C_1)(520m)-(-l) = = 1,20-10-14 J. Podle rov. (25.1) pak je AEP = - W = -1,20-10-14 J. (Odpověď) To znamená, že během 520 m dlouhého výstupu klesne elektrická potenciální energie elektronu o 1,20-10-14 J. j^ONTROLA 1: Na obrázku znázorněný proton se pohybuje ve směru šipky v homogenním elektrickém poli o intenzitě e z bodu (i) do (f). (a) Koná elektrické pole působící na proton kladnou, nebo zápornou práci? (b) Roste, nebo klesá elektrická potenciální energie protonu při jeho pohybu? 25.2 ELEKTRICKY POTENCIÁL, _NAPĚTÍ_ Z př. 25.1 je vidět, že elektrická potenciální energie nabité částice v elektrickém poli závisí na velikosti jejího náboje. Avšak potenciální energie vztažená na jednotkový náboj má jednoznačnou hodnotu, závislou už jen na poloze v elektrickém poli. Předpokládejme například, že jsme za testovací částici zvolili proton s kladným nábojem 1.60-10-19 C a umístili ho do pole v bodě, v němž má tato částice potenciální energii 2,40-10-17 J. Potenciální energie připadající na jednotkový náboj je tedy 2'4°-1(rl7j = 150J-C-1 1,6010-19 C • Dále předpokládejme, že proton nahradíme a-částicí, která má dvakrát větší kladný náboj, tedy 3,20-10"19 C. Zjistili bychom, že a částice má energii dvakrát větší než proton, tj. 4,80-10-17 J. Energie připadající na jednotkový náboj však zůstává stejná (150 J-C-1). Energii připadající na jednotkový náboj můžeme zapsat podílem Ep/Q. Je nezávislá na náboji Q částice, kterou jsme k testování použili, a charakterizuje pouze elektrické pole, které v bodě s polohovým vektorem r vyšetřujeme. Nazýváme ji elektrický potenciál cp (neboli potenciál elektrického pole; v dalším píšeme též jen potenciál, pokud nehrozí záměna s potenciály polí jiných sil — gravitační, pružnosti,...): f — 0 směřuje od něj. Z obr. 25.7 je vidět, že vektory E a ds jsou souhlasně rovnoběžné, a také, že ds = dr'. Proto E • ds = £(ds)(cos 0°) = E ds = E dr', (25.20) Dosadíme tuto rovnici do rov. (25.18), přičemž položíme r{ — r & rf — oo, dostaneme: 0. Vskutku, podle rov. (25.26) potenciál

= = -ecp = (-1,60-10"19C)(6,78V) = -1,09-10_18J = -6,78 eV. (Odpověď) (c) Kdyby se elektron přiblížil k jádru, zvětšila by se, nebo zmenšila jeho potenciální energie? ŘEŠENÍ: Potenciál

o(v^6 - 5,0) = R = (550V)(0,099) =54 V. (Odpověď) Obr. 25.14 Nevodivý disk poloměru R je na horní ploše rovnoměrně nabit elektrickým nábojem s plošnou hustotou náboje a. Hledáme potenciál

2 ip,12 : 1 QlQl 4neo d Nakonec přemístíme třetí (poslední) náboj g 3 z nekonečna na jeho místo v soustavě. Práce, kterou musíme vykonat v tomto posledním kroku, je rovna součtu dvou prací: práce Wext, 13, kterou musíme vykonat, abychom náboj Q3 priblížili z nekonečna k náboji Q\, a práce Wext,23, kterou musíme vykonat, abychom náboj Q3 současně přiblížili k náboji Q2. Práce, kterou vykonáme při přemístění náboje Q3, je tedy Wext, 13 + Wext,23 = #p,13 + £p,23 = 1 GlG3 , 1 g2g3 + 4iteo d 4jieq d Celková elektrická potenciálni energie soustavy tři nábojů je rovna součtu potenciálních energií tří dvojic nábojů, které lze z nábojů vytvořit. Tento součet (který je nezávislý na pořadí nábojů ve dvojicích) je roven Ep = £p,12 + £p,13 + £p,23 = = J_ (Q(-4Q) + Q(2Q) + (-40(20^ = 4ti£o V d d d 1 lOg2 _ 4tiso d (8,99-109-N-m2-C-2)-10-(15010-9-C)2 (0,12 m) = -l,710_z J. (Odpověď) Energie je záporná, tzn., že je záporná i celková práce vynaložená na přemístění těchto tří nábojů z nekonečna do poloh podle obr. 25.17. A obráceně, abychom úplně rozrušili tuto strukturu a vzdálili náboje od sebe do nekonečna, musíme vykonat práci 17 mJ, ta je rovna vazební energii soustavy. Qi Qs Obr. 25.17 Příklad 25.8. Tři náboje jsou umístěny ve vrcholech rovnostranného trojúhelníka. Jaká je jejich potenciální energie? PŘIKLAD 25.9 Částice a (která se skládá ze dvou protonů a dvou neutronů) letí z velké dálky k atomu zlata, prolétá jeho elektronovým obalem a míří přímo na jeho jádro, které je tvořeno 79 protony a 118 neutrony. Zpomaluje se, až se zastaví ve vzdálenosti r = 9,23 fm od středu atomového jádra* a pak se vrací zpět po původní dráze (obr. 25.18). Jaká byla její počáteční kinetická energie E^l (Protože jádro atomu zlata je mnohem hmotnější než a-částice, můžeme předpokládat, že poloha jádra se při této interakci prakticky nezmění.) Uvažujte pouze elektrickou interakci, vliv silné jaderné interakce vzhledem k uvedené vzdálenosti zanedbejte. a-částice jádro atomu zlata Obr. 25.18 Příklad 25.9. Částice a, pohybující se přímo na střed jádra atomu zlata, se zastavila v okamžiku, kdy se její kinetická energie celá přeměnila v elektrickou potenciální energii. ŘEŠENÍ: Během celého procesu se zachovává mechanická energie systému a-částice + atom zlata. Pokud je a-částice vně atomu, je elektrická potenciální energie systému nulová, protože atom má stejný počet elektronů jako protonů, a je tedy navenek elektricky neutrální, nevytváří vnější elektrické pole. Jakmile však a-částice pronikne elektronovým obalem atomu, působí již jen odpudivá elektrostatická síla, zpočátku slabá, ale rychle se zesilující se zmenšující se vzdáleností středů částice a jádra atomu. Je vyvolána odpuzováním protonů a-částice protony atomového jádra. (Neutrony, které jsou elektricky neutrální, k této odpudivé síle nepřispívají a jejich silnou interakci lze vzhledem k uvedené vzdálenosti zanedbat. Elektrony, nyní vně oblasti výskytu a-částice, působí jako homogenně nabitá kulová vrstva, jejíž pole uvnitř je nulové.) Vlivem odpudivé síly se a-částice zpomaluje a její kinetická energie se přeměňuje v elektrickou potenciální energii celého systému. Tato přeměna je ukončena v okamžiku, kdy rychlost a-částice klesne na nulu. Ze zákona zachování mechanické energie plyne, že počáteční kinetická energie fit částice a se musí rovnat elektrické potenciální energii Ev systému v okamžiku, kdy se a-částice zastaví: Ei = Ep, (25.44) kde £p je dáno rov. (25.43). Dosazením Q\ =2e, Qi = 19e (kde e je elementární náboj, jehož velikost je 1,60-10-19 C) * Můžeme také říci, že se v této vzdálenosti částice odrazila od jádra. 656 KAPITOLA 25 ELEKTRICKÝ POTENCIÁL a r = 9,23 fm dostaneme 1 (2e)(79e) _ k 47ie0 (9,23 fm) _ (8,99-109N-m2-C-2)(158)(l,60-lQ-19C)2 _ ~~ (9,23-10-15m) ~~ = 3,94-KT12 J = 24,6MeV. (Odpověď) j^ONTROLA 7: Zaměňme v př.25.9 částici a jedním protonem se stejnou kinetickou energií. Odrazí se tento proton od jádra ve stejné vzdálenosti jako a-částice (tj. 9,23 fm od jádra atomu zlata), dále od něho, nebo blíž k němu? 25.11 POTENCIÁL NABITÉHO VODICE V čl. 24.6 jsme došli k závěru, že ve všech vnitřních bodech izolovaného vodiče je E = O. Pomocí Gaussova zákona elektrostatiky jsme dokázali, že volný náboj je rozložen na jeho vnějším povrchu. (To platí i v případě, že vodič má uvnitř prázdnou dutinu.) Z toho, že E = 0 ve všech vnitřních bodech vodiče, odvodíme další poznatek: Volný náboj na izolovaném vodiči se samovolně rozprostře po vnějším povrchu vodiče tak, že všechny body vodiče — a je jedno zda na povrchu nebo uvnitř — mají stejný potenciál. To platí bez ohledu na to, zda vodič má či nemá dutinu. Důkaz vyplývá přímo z rov. (25.18), tj. ze vztahu i = —■----r- = (25.5) (25.6) Napětí a potenciál Napětí U neboli rozdíl potenciálů Atp mezi dvěma body poleje definováno vztahem W U = A(p = b? 7C. Na obr. 25.34 jsou tři vzájemně rovnoběžná vlákna, kolmá Obr. 25.33 Cvičení 6 k nákresné rovině, nabitá s uvedenými délkovými hustotami náboje. Načrtněte několik elektrických siločar a několik ekvipotenciálních čar (tj. průsečnic ekvipotenciálních ploch s nákresnou). -2r O O O +t +t Obr. 25.34 Cvičení 7 8C. Dvě velké vodivé a rovnoběžné desky jsou vzdáleny 12 cm od sebe a nesou na plochách k sobě přivrácených stejně velké elektrické náboje opačných znamének. Na elektron mezi těmito deskami (daleko od jejich okrajů) působí elektrostatická síla o velikosti 3,9-10_15N. (a) Vypočítejte intenzitu elektrického pole v místě, kde je elektron, (b) Jak velké je napětí mezi deskami? 9C. Nekonečně velká nevodivá vrstva je po jedné straně nabita elektrickým nábojem s plošnou hustotou a = 0,10 jaC-m-2. Jak daleko od ní se nachází ekvipotenciální plocha mající potenciál o 50 V nižší? 662 KAPITOLA 25 ELEKTRICKÝ POTENCIÁL 10Ú. Na obr. 25.35 je znázorněn boční pohled na nekonečně velkou nevodivou vrstvu nabitou rovnoměrně po jedné straně s plošnou hustotou a. (a) Jak velikou práci vykonají síly pole při přemístění malého testovacího náboje Qo z počáteční polohy na vrstvě do koncové polohy ve vzdálenosti z od ní? (b) Použijte rov. (25.18) a výsledku z části (a) této úlohy a dokažte, že potenciál nekonečně velké nabité vrstvy je dán vztahem

r2, (b) r2 > r > r\, (c) r < r\. (d) Shodují se dílčí řešení v bodech r = r2, resp. r = ri? (Tip: Viz př. 24.7.) ODST. 25.6 Potenciál soustavy bodových nábojů 15C. Na obr. 25.36 je bodový náboj Q = 1,0 jaC. Ve vzdálenosti d\ = 2,0 m napravo od něj je bod A a ve dvou různých polohách ve vzdálenosti d2 = 1,0 m od náboje je bod B. Určete rozdíl potenciálů q>\ — q>s, jsou-li body A, B umístěny (a) podle obr. 25.36a, (b) podle obr. 25.36b. B í —di B -di- -di- Q Q (a) (b) Obr. 25.36 Cvičení 15 16C. Uvažujme osamocený bodový náboj Q = 1,5-10_8C a zvolme

P f P i + + + + + + L/2- + + + + TT1 I + + + + + + + -L/2 L/2- ■L/2 (a) Obr. 25.42 Cvičení 35 36C. Plastiková tyč na obr. 25.43, nesoucí rovnoměrně rozložený elektrický náboj — Q, má tvar kruhového oblouku o poloměru R se středovým úhlem 120°. Zvolte

2 obou koulí? (b) Jaké budou výsledné náboje Q\ a Q2 na koulích? (c) Jak velký je poměr výsledných plošných hustot nábojů na obou koulích? 78Ú. Kovový předmět, zobrazený v příčném řezu na obr. 25.53, vznikl rotací kolem osy. Předpokládejte, že je nabit záporně a načrtněte několik ekvipotenciálních ploch a elektrických siločar. Jde jen o fyzikální úvahu, nikoli o matematický výpočet. osa Obr. 25.53 Úloha 78 79Ú. (a) Kdybychom na povrch nenabité Země položili 1 elektron na každý čtverečný metr, jaký by byl její potenciál? Uvažujte

) Obr. 26.4 (a) Baterie B, spínač S a elektrody V a N kondenzátoru tvoří elektrický obvod, (b) Schéma elektrického obvodu s obvodovými prvky, které jsou reprezentovány svými symboly. Obvod znázorněný na obr. 26.4a, b není uzavřený, protože spínač S je vypnutý, tj. nespojuje vodivě ty spojovací dráty, ke kterým je připojen. Když spínač zapneme, propojí je, obvod se uzavře a spínačem i spojovacími dráty může procházet elektrický náboj. V kap. 22 jsme se dozvěděli, že nosiče elektrického náboje, které mohou procházet takovým vodičem, jako je měděný drát, jsou elektrony. Je-li obvod na obr. 26.4 uzavřen, pak elektrické pole (vytvořené baterií podél vodičů) přinutí elektrony pohybovat se těmito vodiči od elektrody V kondenzátoru ke kladné svorce baterie; tím se elektroda V, ztrácející elektrony, nabíjí kladně (tj. bude mít vyšší potenciál). Zároveň toto elektrické pole nutí elektrony pohybovat se ze záporné svorky baterie na elektrodu N kondenzátoru; tím se elektroda N, získávající elektrony, nabíjí záporně (na nižší potenciál). Obě elektrody kondenzátoru se těmito procesy nabíjejí současně, takže v každém okamžiku mají stejně velké náboje opačných znamének. Napětí mezi původně nenabitými elektrodami kondenzátoru bylo nulové. Protože se elektrody kondenzátoru nabíjejí opačnými náboji, napětí mezi nimi vzrůstá, dokud se 26.3 VÝPOČET KAPACITY 671 nevyrovná s napětím U mezi svorkami baterie. Když se napětí vyrovnají, mají elektroda V a kladná svorka baterie stejný potenciál; elektrické pole ve spojovacím drátu mezi nimi vymizí. Podobně elektroda N a záporná svorka mají také stejný potenciál a elektrické pole v drátu, který je spojuje, vymizí. S vymizením elektrického pole zanikne i síla, která uváděla elektrony do pohybu. V tomto stavu je kondenzátor nabit a jeho napětí U je rovno napětí baterie B před sepnutím spínače S. Elektrický náboj Q je určen rov. (26.1). RADY A NAMETY Bod 26.1: Napětí a potenciál V této knize i jinde se rovněž setkáme s různými výrazy vztahujícími se k pojmům „potenciál" a „rozdíl potenciálů" neboli „napětí". Potenciál se vždy vztahuje pouze k jednomu bodu, přitom však musí být z kontextu jasné, kde jsme zvolili hladinu nulového potenciálu. Napětím neboli rozdílem potenciálů rozumíme rozdíl hodnot potenciálu mezi dvěma danými body, přičemž potenciál jednoho z nich může být určen předběžnou dohodou (např. v přístroji „nulový vodič", „uzemnění", „kostra přístroje" apod.) Tak např. výrok „kondenzátor je nabit na 5 V" znamená, že napětí mezi jeho elektrodami je 5 V. Baterie může být charakterizována napětím, např. jako „9 V baterie". Elektrická síť v automobilu má 12 V (rozumí se vůči kovové kostře vozidla) atp. j^ONTROLA 1: Co se stane s kapacitou C kondenzátoru, když se (a) náboj Q kondenzátoru zdvojnásobí, nebo (b) napětí U na kondenzátoru ztrojnásobí? Stoupne kapacita kondenzátoru, klesne, či zůstane nezměněna? 26.3 VYPOČET KAPACITY Máme vypočítat kapacitu kondenzátoru, známe-li jeho tvar a rozměry. Protože kondenzátory mohou mít nejrůznější provedení i velikost, uvedeme nejprve obecný postup pro výpočet: (1) předpokládáme, že na kondenzátoru je náboj <2; (2) pomocí Gaussova zákona elektrostatiky určíme intenzitu £ elektrického pole mezi elektrodami kondenzátoru a vyjádříme ji pomocí náboje Q\ (3) známe-li £, můžeme vypočítat napětí U mezi elektrodami kondenzátoru podle rov. (25.18); (4) vypočítáme C z rov. (26.2). Výpočet jak intenzity elektrického pole, tak i napětí můžeme zpravidla zjednodušit přijetím vhodných předpokladů, odpovídajících konkrétní situaci. Výpočet intenzity elektrického pole Intenzita £ elektrického pole mezi elektrodami kondenzátoru souvisí s nábojem Q kondenzátoru podle Gaussova zákona elektrostatiky vztahem s0(bE-dS=Q, (26.3) kde Q je celkový náboj uvnitř (uzavřené) Gaussovy plochy a § E ■ dS je tok intenzity elektrického pole touto plochou. Jsou-li vektory £ a dS rovnoběžné a je-li Gaussova plocha volena tak, že na ní má intenzita £ konstantní velikost E, pak se rov. (26.3) redukuje na tvar Q = s0ES (zvi. případ rov. (26.3)). (26.4) Veličina 5 v rov. (26.4) je obsah té části Gaussovy plochy, kterou prochází vektor intenzity elektrického pole. Pro zjednodušení výpočtu budeme volit Gaussovu plochu tak, aby zcela obklopila náboj kladně nabité elektrody kondenzátoru; viz obr. 26.5 jako příklad. (Připomeňme z čl. 24.1, že Gaussova plocha je vždy uzavřená.) d S- -Hfi Gaussova plocha integrační cesta Obr. 26.5 Nabitý deskový kondenzátor. Gaussova plocha zcela obklopuje náboj kladně nabité elektrody. V rov. (26.6) se integruje podél trajektorie vedoucí nejkratší cestou mezi oběma elektrodami. Výpočet napětí V kap. 25 je uvedena rov. (25.18), podle které napětí mezi elektrodami kondenzátoru souvisí s vektorem intenzity £ elektrického pole vztahem (+) Integračními mezemi v rov. (26.6) jsou znaky (+) a (—), které nám připomínají, že integrační cesta začíná na kladně nabité a končí na záporně nabité elektrodě. Nyní můžeme použít rov. (26.4) a (26.6) na několik konkrétních případů. Deskový kondenzátor Budeme předpokládat, že elektrody deskového kondenzátoru jsou tak velké a tak blízko u sebe, že lze zanedbat rozptyl elektrického pole na jejich okrajích (obr. 26.5). Předpokládáme tedy, že vektor intenzity £ je konstantní (co do velikosti i směru) v celém prostoru mezi elektrodami; všude jinde nechť je roven nule. Představme si Gaussovu plochu, obklopující pouze náboj Q kladně nabité elektrody kondenzátoru (obr. 26.5). Podle rov. (26.4) můžeme napsat Tuto konstantu jsme v úlohách týkajících se Coulombova zákona (čl. 22.4) vyjadřovali v jiných jednotkách, a to (26.7) Q = e0ES, kde S je obsah plochy elektrody. Rov. (26.6) vede k výsledku /•(-) r d U= Eds = E ds = Ed. (26.8) J(+) Jo V rov. (26.8) lze vytknout před integrál velikost intenzity E, protože je konstantní; takto zjednodušený integrál pak vyjadřuje vzdálenost d elektrod. Dosadíme-li Q z rov. (26.7) aU z rov. (26.8) do rov. (26.2), dostaneme e0S C — —— (deskový kondenzátor). (26.9) d Vidíme, že kapacita C deskového kondenzátoru skutečně závisí pouze na jeho geometrických parametrech, konkrétně na obsahu plochy 5 elektrod a na vzdálenosti d mezi nimi. Všimněme si, že kapacita C vzrůstá se zvětšováním S a se zmenšováním d. Dodejme, že v důsledku volby konstanty v Coulom-bově zákonu ve tvaru 1/(4ti£o) vychází často používaný vzorec (26.9) v jednoduchém tvaru. Dále poznamenejme, že rov. (26.9) nám dovoluje vyjádřit permitivitu vakua en v jednotkách vhodnějších pro úlohy o kondenzátorech, totiž £0 = 8,85-10-12F-m_1 = 8,85pF-m_1. (26.10) £0 = 8,85-10-12C2-N_1-m-2. (26.11) V základních jednotkách SI je vyjádření jednotky permiti-vity £o málo přehledné: sq = 8,85-10_12kg_1-m_3-s4-A2. Válcový kondenzátor Obr. 26.6 ukazuje příčný řez válcovým kondenzátorem délky L, jehož vnitřní elektroda má tvar válce o poloměru a a vnější elektrodu tvoří souosý dutý válec o vnitřním poloměru b. celkový náboj +Q celkový náboj — Q integrační cesta Gaussova plocha Obr. 26.6 Příčný řez dlouhým válcovým kondenzátorem ukazuje válcovou Gaussovu plochu poloměru r a radiální integrační cestu pro výpočet integrálu v rov. (26.6). Týž obrázek zároveň poslouží k ilustraci příčného řezu vedeného středem kulového kondenzátoru. Předpokládejme, že L » b, takže lze zanedbat rozptyl elektrického pole, ke kterému dochází na koncích elektrod. Obě elektrody kondenzátoru nesou stejně velké elektrické náboje Q opačných znamének. Zvolme Gaussovu plochu ve tvaru souosé válcové plochy délky L o poloměru r, uzavřenou z obou stran základnami a umístěnou tak, jak je znázorněno na obr. 26.6. Pak podle rov. (26.4) platí Q = s0ES = s0E(2TirL), kde 2nrL je obsah pláště válce. Elektrický tok oběma základnami zvolené Gaussovy plochy je nulový. Z této rovnice dostaneme Q (26.12) E = 2neo Lr Dosazením tohoto výsledku do rov. (26.6) obdržíme ■(-) Q Eds = -^T /(+) 2k£qL Ja Ja r Q , b ■ ln -. 2ksqL a (26.13) 26.3 VÝPOČET KAPACITY 673 Při úpravě jsme využili toho, že v tomto případě platí ds = = dr. Pomocí vztahu C = Q/U určíme kapacitu C = 2tx£q ln(b/a) (válcový kondenzátor). (26.14) Kapacita válcového kondenzátoru (stejně jako deskového) tedy závisí pouze na geometrických parametrech, v tomto případě konkrétně na poloměrech a, b a na délce Ĺ válcových elektrod. Kulový kondenzátor Obr. 26.6 může posloužit také jako příčný řez vedený středem kulového kondenzátoru, skládajícího se z plné koule poloměru a a s ní soustředné kulové vrstvy o vnitřním poloměru b > a. Gaussova plocha má tvar soustředné kulové plochy poloměru r, kde a < r < b. Použitím rov. (26.4) na tuto plochu dostaneme Q = s0ES = £0E(4nr2), kde 4Ttr2 je obsah Gaussovy plochy. Řešení této rovnice dává vztah E = (26.15) který vyjadřuje velikost intenzity elektrického pole, vyvolaného nábojem rovnoměrně rozloženým na vnitřní elektrodě (rov. (24.15)). Dosadíme-li tento vztah do rov. (26.6), dostaneme JM 4ti£o Ja rL (« ~ b) = -(-) Q Eds = — /(+) 4ti£o Q 47I£o - Q b~a 4ti£o ab Porovnáním s rov. (26.1) zjistíme, že ab (26.16) C = 4k£o ■ (kulový kondenzátor). (26.17) Osamocená vodivá koule I jedinému osamocenému vodiči lze přiřadit kapacitu, před-stavíme-li si, že byl původně obklopen dalším vodičem — dutou koulí, kterou jsme poté „nafukovali" tak, že její vnitřní poloměr b rostl nade všechny meze. Během „nafukování" kapacita soustavy klesala, ale ne až k nule. Konec konců, všechny elektrické silokřívky, které mají jeden konec na povrchu nabitého osamoceného vodiče, musí někde mít i druhý konec; stěny místnosti, ve které je vodič umístěn, mohou docela dobře nahradit onu pomyslnou dutou kouli. Představme si, že osamoceným vodičem je koule, která má poloměr R. Abychom určili její kapacitu, upravíme nejprve rov. (26.17) do tvaru „ , a C = 4ti£o---. 1 — a/b Jestliže poloměr b poroste nade všechny meze a místo a dosadíme R, pak v limitě dostaneme C — 4ksoR (kapacita osamocené koule). (26.18) Poznamenejme, že podle tohoto vzorce i všech ostatních, které byly odvozeny pro kapacitu (rov. (26.9), (26.14) a (26.17)), má kapacita rozměr rovný rozměru konstanty £o vynásobené rozměrem délky. Kontrola 2: Tří různé kondenzátory jsou zapojeny k téže baterii. Zjistěte, zda a jak se změní náboj na jejich elektrodách, jestliže (a) vzdálenost mezi elektrodami deskového kondenzátoru zvětšíme, (b) poloměr vnitřní válcové elektrody válcového kondenzátoru zvětšíme, (c) poloměr vnější kulové elektrody kulového kondenzátoru zvětšíme. PŘIKLAD 26.1 Elektrody deskového kondenzátoru mají vzdálenost d = = 1,0 mm. Jak velká by musela být jejich plocha, aby měl kondenzátor kapacitu 1,0 F? řešení: Pomocí rov. (26.9) vypočítáme Cd _ (l,0F)(l,0-lQ-3m) ~ "ěJT ~ (S.SS-lO-^F-m-1) = l,M08m2. (Odpověď) Je to obsah čtverce o straně delší než 10 km. Kapacita 1 fa-rad je opravdu velká. Moderní technologie však umožnila sestrojit kondenzátory i o tak velké kapacitě a přitom velmi skromných rozměrů. Tyto „superkondenzátory" se používají jako zdroje napětí např. pro kritické situace počítačů; mohou např. při výpadku proudu v síti uchovat data v paměti počítače až po dobu 30 dnů. PŘIKLAD 26.2 Paměťový prvek dynamické paměti RAM na čipu má kapacitu 55 fF. Kolik elektronů je nutno dodat na jeho zápornou elektrodu, aby získal napětí 5,3 V? 674 KAPITOLA 26 KAPACITA ŘEŠENÍ: Počet n elektronů je dán podílem Q/e, kde e je | elementární náboj. Z rov. (26.1) plyne _ Q _ CU e e = 1,8-106. (55-l —— . . . . „ (2o.2(J) C. ^—' C i spojene senové). 5 j=l J Podle rov. (26.20) je výsledná kapacita sériové kombinace kondenzátoru vždy menší než kapacita kteréhokoli z nich. V př. 26.3 uvidíme, jak lze složitou kombinaci kondenzátoru zjednodušit rozložením na menší části s paralelním nebo sériovým řazením kondenzátoru. Každá taková menší část pak může být nahrazena výslednou kapacitou. To zjednodušuje původní kombinaci kondenzátoru i analýzu elektrických obvodů. j^ONTROLA 3: Baterie o napětí U udržuje náboj Q na kombinaci dvou stejných kondenzátoru. Jaké je napětí a náboj na každém z obou kondenzátoru, když jsou spojeny (a) paralelně, (b) sériově? PŘIKLAD 26.3 (a) Určete výslednou kapacitu kombinace kondenzátoru na obr. 26.9a. Je dáno Ci = 12,0 nF, C2 = 5,30 [iF, C3 = 4,50 ^F. U 7^ p c't_^j c3 J (a) C12 1 I J u ^123! (.b) (c) Obr. 26.9 Příklad 26.3. (a) Kombinace tří kondenzátoru, (b) Paralelní kombinace kondenzátoru Ci a Ci je nahrazena ekvivalentním kondenzátorem C\%. (c) Sériová kombinace kondenzátoru C\% a c3 je nahrazena ekvivalentním kondenzátorem c123. ŘEŠENÍ: Kondenzátory C\ a C2 jsou spojeny paralelně. Z rov. (26.19) vyplývá vztah pro jejich výslednou kapacitu C12 = Ci +C2 = (12,0 nF) + (5,30 nF) = 17,3 yF. 676 KAPITOLA 26 KAPACITA Podle obr. 26.9b kondenzátory C\i a C? tvoří sériovou kombinaci. Z rov. (26.20) pro jejich ekvivalentní kapacitu C123 (zobrazenou na obr. 26.9c) dostáváme 1 1 1 C123 C12 C3 (17,3 nF) (4,50 nF) z čehož plyne Cl23 = 0,28oU-i=3'57^ (°dp0Věťí) (b) Na vstupní svorky kombinace kondenzátoru, zobrazené na obr. 26.9a, je připojeno napětí U = 12,5 V. Jaký náboj je na kondenzátoru C\ ? ŘEŠENÍ: Pro náboj na ekvivalentním kondenzátoru C123 (obr. 26.9c) dostaneme 6i23 = C123U = (3,57 iiF)(12,5 V) = 44,6 nC. Stejně velký náboj je na každém kondenzátoru sériové kombinace zobrazené na obr. 26.9b. Označme Qn náboj na kondenzátoru C\i (platí Qu = Qm)- Napětí na svorkách ekvivalentního kondenzátoru C12 je tedy Uu=Qu = mw = C12 (17,3 ^F) Stejné napětí se objeví na svorkách kondenzátoru C\ a C2 (obr. 26.9a). Označme U\ napětí mezi svorkami kondenzátoru Ci. Pak CyUi = (12,0nF)(2,58 V) : 31,0nC. (Odpověď) PŘIKLAD 26.4 Kondenzátor o kapacitě Ci = 3,55 [iF je nabit baterií na napětí 6,30 V. Poté je baterie odpojena a kondenzátor je spojen přes spínač S s nenabitým kondenzátorem o kapacitě C2 = 8,95 jiF (obr. 26.10). Sepneme-li spínač, začne náboj přecházet od kondenzátoru Ci ke kondenzátoru C2, a to tak dlouho, dokud se napětí U na obou kondenzátorech nevyrovnaj í. Jaké bude nakonec napětí U na kondenzátorech? Qi, 1Č! 1 I Obr. 26.10 Příklady 26.4 a 26.5. Kondenzátor Ci je nabit na napětí ř/0 a nabíjecí baterie je odstraněna. Poté je zapnut spínač S, takže část náboje přejde z kondenzátoru C\ na kondenzátor C2. ŘEŠENÍ: Původní náboj Qo kondenzátoru Ci je nyní rozdělen mezi oba kondenzátory tak, že platí Ôo=Ôi + Ô2- Použijeme vztah Q = CU a dostaneme CiU0 = CiU + C2U. Odtud vyplývá Ci (6,30V)(3,55nF) U = U0 C1+C2 (3,55 iiF +8,95 iiF) = 1,79 V. (Odpověď) Jakmile kondenzátory dosáhnou tohoto napětí, pohyb náboje ustane. RADY A NAMETY Bod 26.2: Obvody s více kondenzátory Rozebereme postup, který jsme použili při řešení př. 26.3, v němž bylo několik kondenzátoru zapojeno do bloku. Abychom nalezli výslednou kapacitu bloku, zjednodušujeme dané uspořádání kondenzátoru postupně a použijeme rov. (26.19) při paralelním spojení a rov. (26.20) při spojení sériovém. Náboj nahromaděný na ekvivalentním kondenzátoru vypočítáme z rov. (26.1), kde napětí U je napětí dané připojenou baterií. Součin CU vyjadřuje celkový náboj nahromaděný na všech kondenzátorech daného uspořádání. Chceme-li však určit náboj nebo napětí na kterémkoli kondenzátoru zvlášť, je nutné postupovat v opačném pořadí. Při každém obráceném kroku používáme těchto dvou pravidel: Jsou-li kondenzátory spojeny paralelně, je na každém z nich stejné napětí U jako na jejich ekvivalentním kondenzátoru a pro výpočet náboje na každém kondenzátoru použijeme rov. (26.1). Jsou-li kondenzátory spojeny do série, je na každém z nich stejně velký náboj jako na jejich ekvivalentním kondenzátoru a pomocí rov. (26.1) či (26.2) určíme napětí na každém z nich. Bod 26.3: Baterie a kondenzátory Baterie udržuje určité napětí na svých svorkách. Připojíme-li kondenzátor o kapacitě Ci (mnohdy stručněji jen kondenzátor Ci) z př. 26.4 k baterii o napětí 6,30 V, budou mezi oběma elektrodami kondenzátoru a baterií procházet náboje tak dlouho, dokud kondenzátor nezíská stejné napětí, jaké by bylo na nezapojené baterii. Kondenzátor se liší od baterie v tom, že v něm neprobíhají vnitřní elektrochemické reakce, které by uvolňovaly nabité částice (elektrony) z jeho atomů a molekul. Když tedy nabitý kondenzátor Ci z př. 26.4 odpojíme od baterie a potom spojíme s nenabitým kondenzátorem C2 (spínač S je zapnutý), napětí na kondenzátoru Ci se neudrží. Jedinou veličinou, 26.5 ENERGIE ELEKTRICKÉHO POLE 677 která se zachovávaje celkový náboj Qo soustavy těchto dvou kondenzátoru. Zákon zachovaní platí pro elektrický náboj, nikoli pro elektrický potenciál. Nyní si vysvětlíme, co se děje s nábojem. Když je spínač S vypnutý tak jako na obr. 26.10, náboj Qo je jen na kondenzátoru Ci. Náboj nemůže přecházet mezi kondenzátory, aniž by byl obvod vodivě uzavřen. Sepnutím spínače S se obvod uzavře a část náboje Qo přejde z kondenzátoru C\ na kondenzátor C^. Tím se zvýší napětí na C2 a současně sníží napětí na C\. To probíhá tak dlouho, dokud se napětí U obou kondenzátoru nevyrovnají. Potenciály propojených horních elektrod obou kondenzátoru na obr. 26.10 si jsou rovny a také potenciály propojených spodních elektrod si jsou rovny. Obvodem již dále náboj neprochází, říkáme, že kondenzátory jsou v rovnovážném stavu. (Celý uvedený proces proběhne velice rychle, jak je vyloženo v čl. 28.8.) j^ONTROLA 4: Předpokládejte, že v příkladu 26.4 a na obr. 26.10 je kondenzátor C2 nahrazen sériovou kombinací kondenzátoru c3 a c4. (a) Jaký vztah platí mezi celkovým počátečním nábojem Qq, nábojem Q\ na kondenzátoru C\ a nábojem £?34 na ekvivalentním kondenzátora c34 po zapnutí spínače a ustálení náboje? (b) Jestliže C3 > C4, je náboj Qj na C3 větší, menší, nebo roven náboji Q4 na C4? 26.5 ENERGIE ELEKTRICKÉHO POLE K nabití kondenzátoru musí být vykonána práce vnějším působením. Představme si například, že použitím „kouzelné pinzety" přemísťujeme elektrony, jeden po druhém, z jedné elektrody na druhou elektrodu původně nenabitého kondenzátoru. Elektrické pole, které se přitom vytváří v prostora mezi nimi, má takový směr, že brání dalšímu přenosu náboje. Čím větší náboj se shromažduje na elektrodách kondenzátoru, tím více práce je nutné vykonat k přenosu dalších elektronů. V praxi není tato práce konána „kouzelnou pinzetou", ale baterií na úkor její chemické energie. Práce, která byla potřebná k nabití kondenzátoru, je obsažena v elektrickém poli mezi jeho elektrodami ve formě elektrické potenciální energie* £p. Tuto energii můžeme uvolnit vybitím kondenzátora v elektrickém obvodu obdobně, jako můžeme uvolnit mechanickou potenciální energii nahromaděnou v nataženém luku uvolněním tětivy, aby se tato energie přeměnila na kinetickou energii šípu. * Dejte prosím pozor na značení v tomto článku: elektrická intenzita £ je vektor a má velikost E (obojí je bez indexů), energie je skalár a má zde vždy nějaký index: Ep, Epií, EVif, Ee\, E&j, E^f apod. Předpokládejme, že v určitém okamžiku byl přemístěn elektrický náboj Q' z jedné elektrody na druhou. Napětí U' mezi elektrodami v tomto okamžiku bude Q'/C. Jestliže přemístíme další infinitezimální náboj dQ', musíme na to podle rov. (25.7) vynaložit práci dWsxt = U'dQ'=^dQ'. Práce potřebná k přenesení celkového náboje Q pak je /l ÍQ O2 dWext=- J Q'dQ' = ^. Tato práce je uložena (obsažena) v elektrickém poli kondenzátoru jako jeho elektrická energie, takže Q2 = 2C (ekktrická energie kondenzátoru). (26.21) Tento vztah můžeme s přihlédnutím k rov. (26.1) zapsat ve tvaru Ee\ = \CU2 (elektrická energie kondenzátoru). (26.22) Rov. (26.21) a (26.22) platí nezávisle na geometrickém tvaru kondenzátoru. Abychom získali fyzikální představu o uložení energie, uvažujme dva deskové kondenzátory C\ a C2 se stejně velkou plochou elektrod, ale lišící se tím, že kondenzátor C2 má dvojnásobnou vzdálenost elektrod než kondenzátor C\. Kondenzátor C2 má proto podle rov. (26.9) dvakrát menší kapacitu než kondenzátor C\. Jestliže oba kondenzátory mají stejný náboj, z rov. (26.21) plyne, že kondenzátor C2 má dvojnásobnou elektrickou energii než C\. Ze dvou kondenzátora se stejně velkým nábojem má tedy ten kondenzátor, který má dvojnásobný objem mezi svými elektrodami, dvojnásobnou elektrickou energii. Uvědomme si současně, že podle rov. (26.4) jsou intenzity elektrických polí mezi elektrodami obou kondenzátoru stejné. To vše nás vede k následujícímu závěru: Energie nabitého kondenzátoru je soustředěna v elektrickém poli mezi jeho elektrodami. To je podstatou polního pojetí: energii nabitého kondenzátoru nepřisuzujeme nábojům rozloženým na deskách, ale přísluší poli mezi deskami. Lékařský defibrilátor Schopnost kondenzátora akumulovat elektrickou energii je základem dejíbrilačních zařízení, která používají lékaři 678 KAPITOLA 26 KAPACITA k potlačení srdečních fibrilací pacienta. Baterie nabíjí v přenosném zařízení kondenzátor na vysoké napětí a ten akumuluje v době kratší nezjedná minuta velkou energii. Baterie sama má jen nevelké napětí; elektronický obvod ho však opakovaně převádí na vyšší napětí a nabíjí jím kondenzátor, přičemž potřebný výkon během tohoto procesuje malý. Vodivé elektrody se přiloží na hrudník postiženého. Po zapnutí ovládacího spínače vyšle kondenzátor dávku své akumulované energie z jedné elektrody tělem pacienta do druhé elektrody. Je-li např. kondenzátor o kapacitě 70 liF v defibrilátoru nabit na 5 000 V, pak podle rov. (26.22) je energie kondenzátoru Eä = \CU2 = ±(70-10_6F)(5-103 V)2 = 875 J. Řekněme, lezní projde tělem postiženého energie E'el = = 200 J během pulzu trvajícího 2,0 ms. Tento pulz má tedy výkon (200 J) 100 kW, t (2,0-10-3 s) který je o mnoho řádů větší než je výkon samotné baterie. Hustota energie elektrického pole Zanedbáme-li rozptyl, má elektrické pole ve všech bodech mezi elektrodami deskového kondenzátoru stejnou intenzitu. Objemová hustota elektrické energie tuei, tj. elektrická energie v objemu jednotkové velikosti, má proto v celém prostoru mezi elektrodami také stejnou velikost. Hodnotu wei získáme vydělením celkové elektrické energie objemem V = Sd prostoru mezi elektrodami, takže Eel CU2 2Sd Dosazením z rov. (26.9) obdržíme Protože podle rov. (25.42) je podíl U/d roven intenzitě elektrického pole, dostáváme pro objemovou hustotu energie vztah wei = 2soE (hustota energie). (26.23) Ačkoli jsme tento výsledek odvodili pro zvláštní případ deskového kondenzátoru, je platný obecně pro jakékoli elektrické pole. Při fotografování střely prorážející banán vybil vynálezce stro-boskopie Harold Edgerton elektrickou energii kondenzátoru do jedné ze svých stroboskopických lamp. Ta pak jasně ozářila banán v krátkém intervalu 0,3 y.s. PŘIKLAD 26.5 Jaká je elektrická energie soustavy dvou kondenzátoru na obr. 26.10 v př. 26.4 v okamžicích před a po zapojení spínače S? ŘEŠENÍ: Na začátku je nabit pouze kondenzátor C\ na napětí Uo = 6,30 V. Jeho počáteční elektrická energie je podle rov. (26.22) %U = jCíř/o2 = i(3,55-10-ŘF)(6,30V)2 = : 7,04-10~5 J = 70,4 [jj. (Odpověď) Po sepnutí spínače bude na obou kondenzátorech stejné napětí U = 1,79 V. Konečná elektrická energie obou kondenzátoru je pak £el,f = \C{U2 + \C2U2 = i(Ci + C2)U2 = = i(3,55-10_6F-|-8,95-10-6F)(l,79V)2 = = 2,00-10-^ = 20,0^. (Odpověď) Je tedy E^t < E^j, asi o 72 % Eeii. Tento závěr není v rozporu se zákonem zachování energie. Zdánlivě „chybějící" energie byla především disipována ve vodičích (jak bude diskutováno v kap. 27) a část se vyzářila. PŘIKLAD 26.6 Izolovaná vodivá koule o poloměru R = 6,85 cm má náboj Q = 1,25 nC. (a) Jak velkou elektrickou energii má její elektrické pole? 26.6 KONDENZÁTOR S DIELEKTRIKEM 679 RESENI: Z rov. (26.21) a (26.18) plyne EĚ\ = — 2C &Tze0R __(1,25-10~9C)2__ ~~ STiíS.SS-lO-^F-m-^ÍO.OóSSm) ~~ = 1,03-10-7 J = 103 nJ. (Odpověď) (b) Jaká je hustota energie těsně nad povrchem koule? ŘEŠENÍ: Podle rov. (26.23) je wei = jBqE2. Proto musíme nejprve určit velikost intenzity E těsně nad povrchem koule, tj. pro r -»■ R (r > R). Taje podle rov. (24.15) rovna výrazu 1 Q E = 4jie0 R2' Hustota energie pak je (26.24) (1,25-10"9C)2 32ji2(8,85-10-12 C2-N-! -m-2)(0,068 5 m)4 = 2,54-10-5 J-m-3 = 25,4 nJ-m-3. (Odpověď) (c) Jaký je poloměr Ro pomyslné kulové plochy, která by uvnitř obsahovala polovinu celkové elektrické energie nabité koule? ŘEŠENÍ: Při uvedeném požadavku platí pR0 j poo / d£ei = z / dEá. (26.25) J R 2 JR Dolní mez integrálů je R a nikoli 0, protože uvnitř vodivé kouleje konstantní potenciál, tedy nulová intenzita elektrického pole, a tím i nulová elektrická energie. Energie dEe\, která je v pomyslné infinitezimálně tenké kulové vrstvě mezi jejím vmtřním a vnějším poloměrem r a r + dr (pro r > R), je d£ei = u>ei(4jir2) dr, (26.26) kde iwei je hustota energie a výraz 4nr2 dr je objem kulové vrstvy. Dosadíme-li rov. (26.24) do rov. (26.26) a zaměníme-li R za r v rov. (26.24), dostaneme dEá. Q2 dr Stieq r 2 • (26.27) Dosazením rov. (26.27) do rov. (26.25) dostaneme po zjednodušení rRo dr 1 ľKo dr _ 1 dr což po integraci dává Odtud 1 1 _ 1 R~~R~^~2Ř~' R0 = 2R = 2(6,85cm) = 13,7cm. (Odpověď) Polovina elektrické energie je tedy obsažena uvnitř kulové plochy, jejíž poloměr Rq je dvojnásobkem poloměru nabité vodivé koule. 26.6 KONDENZÁTOR S DIELEKTRIKEM Co se však stane s kapacitou kondenzátoru, jestliže vyplníme prostor mezi jeho elektrodami dielektrikem, tedy izolačním (elektricky nevodivým) materiálem, např. minerálním olejem nebo plastickou hmotou? Tímto problémem se poprvé zabýval Michael Faraday v r. 1837. Faraday má hlavní zásluhu na zavedení pojmu kapacita, a proto po něm byla jednotka kapacity v SI pojmenována. Užitím jednoduchých zařízení velice podobných těm, která jsou znázorněna na obr. 26.11, zjistil, že dielektrika lze charakterizovat veličinou er, kterou nazval dielektrická konstanta a kterou nyní nazýváme relativní permitivita. Relativní permitivita Obr. 26.11 Jednoduché elektrostatické přístroje používané Fa-radayem. Složený přístroj (druhý zleva) se skládá z vnitřní mosazné koule a z vnější soustředné mosazné kulové vrstvy. Do prostoru mezi kouli a kulovou vrstvu vložil Faraday vrstvu dielektrika. udává, kolikrát vzroste kapacita kondenzátoru, vyplníme-li prostor mezi jeho elektrodami zkoumaným izolátorem. (Pro vakuum plyne z definice er = 1, pro vzduch je nepatrně 680 KAPITOLA 26 KAPACITA vyšší.) V tab. 26.1 jsou uvedena některá dielektrika a jejich relativní permitivity. Tabulka 26.1 Některé vlastnosti dielektrik0 Materiál St ^max kV-mm-1 vzduch* 1,00054 3 polystyren 2,6 24 papír 3,5 16 transformátorový olej 4,5 pyrex (varné sklo) 4,7 14 slída 5,4 porcelán 6,5 křemík 12 germanium 16 ethanol 25 voda (20 °C) 80,4 voda (25 °C) 78,5 titanová keramika 130 titaničitan strontnatý 310 8 Pro vakuum je er = 1. " měřeno při 20 °C, není-li uvedeno jinak * za normálních podmínek Jinou veličinou, která charakterizuje dielektrikum, je průrazné napětí. Je to při dané tloušťce dielektrika nejnižší napětí, při němž nastane elektrický průraz dielektrika. Při průrazu se vytvoří v dielektriku vodivá dráha mezi elektrodami, dielektrikum ztrácí své izolační vlastnosti, poškodí se. Každé dielektrikum má charakteristickou dielektrickou pevnost; taje rovna maximální intenzitě £max elektrického pole, při níž ještě k průrazu nedojde. Několik těchto hodnot je uvedeno v tab. 26.1. Jak jsme uvedh v souvislosti s rov. (26.18), může být kapacita každého kondenzátoru zapsána ve tvaru C = eqL, (26.28) kde L má rozměr délky. Např. v případě deskového kondenzátoru je L = S/d. Už Faraday zjistil, že pro kondenzátor, který má prostor mezi elektrodami zcela vyplněný dielektrikem, lze rov. (26.28) upravit na tvar C = ETec)L = erCo, (26.29) kde Co je kapacita kondenzátoru bez dielektrika, tj. s vakuem mezi elektrodami (anebo, pro nepříliš náročná měření, se vzduchem). Veličina s = £r£n se nazývá (absolutní) permitivita. Obr. 26.12 poskytuje představu o Faradayových experimentech. Podle obr. 26.12a baterie udržuje konstantní napětí U mezi elektrodami kondenzátoru. Faraday objevil, U = konst. Q = konst. («) (b) Obr. 26.12 (a) Je-li mezi elektrodami kondenzátoru udržováno konstantní napětí (např. pomocí baterie), pak vlivem vloženého dielektrika vzroste náboj na elektrodách, (b) Jestliže na elektrodách kondenzátoru zůstává nezměněný náboj, pak dielektrikum vložené mezi elektrody způsobí pokles napětí mezi nimi. Tento pokles napětí vidíme na stupnici elektrometru (elektrostatického voltmetru), kterým můžeme měřit napětí, aniž jím prochází proud (tj. aniž se elektrický náboj mezi měřenými místy přesunuje). Kondenzátor se tedy nemůže přes takový elektrometr vybít. že je-li mezi elektrody kondenzátoru vložena deska dielektrika, pak náboj Q vzroste £r-krát a baterie dodá na elektrody kondenzátoru další náboj. V situaci znázorněné na obr. 26.12b však baterie připojena není a náboj Q se tedy nezmění. Je-li nyní vložena dielektrická deska, pak napětí U mezi elektrodami kondenzátoru klesne £r-krát. Obě tato pozorování (vzhledem k platnosti vztahu Q = C U) potvrzují závěr, že vložením dielektrika vzroste kapacita kondenzátoru. Porovnání rov. (26.28) a (26.29) ukazuje, že vliv dielektrika můžeme zahrnout do našich dosavadních rovnic obecněji: V prostoru zcela vyplněném dielektrikem s relativní per-mitivitou £r platí i nadále všechny rovnice elektrostatiky vakua, pokud výraz £n nahradíme výrazem £n£r. Bodový náboj vložený do (rozlehlého) dielektrika v něm tedy vytváří elektrické pole, jehož intenzita má velikost E = 1 Q 4Tt£r£n r2 (26.30) Vztah pro intenzitu elektrického pole těsně nad povrchem osamoceného vodiče umístěného v dielektriku (viz rov. (24.11)) pak zní a £r£n (26.31) 26.7 DIELEKTRIKA 681 Oba tyto vztahy ukazují, že při neměnném rozložení nábojů je účinek dielektrika takový, že zmenšuje intenzitu elektrického pole v porovnání s vakuem. Mohli bychom říci, že dielektrikum vložené mezi náboje částečně odstíní jejich vzájemné silové působení. Jestliže by se např. deska mohla posouvat mezi elektrodami bez j akéhokoli odporu a bez tření, kmitala by tam a zpět, jak by byla vtahována do prostoru mezi elektrodami kondenzátoru a setrvačností vždy překmitem vystoupila druhou stranou ven. Mechanická energie kmitů 893 pJ by se zachovávala. Kinetická energie pohybující se desky by se stále měnila na energii elektrického pole a obráceně. PŘIKLAD 26.7 Deskový kondenzátor s kapacitou C = 13,5 pF je nabit na napětí U = 12,5 V. Odpojíme baterii a mezi jeho elektrody zasuneme porcelánovou desku (er = 6,50). Jaká j e elektrická energie kondenzátoru před vsunutím desky a po něm? ŘEŠENÍ: Počáteční elektrická energie je vyjádřena vztahem (26.22), tedy Eei,i = hCU2 = i(13,5-10"12F)(12,5V)2 = = 1,055-10_9J= 1055pJ. (Odpověď) Tuto veličinu můžeme podle rov. (26.21) vyjádřit též ve tvaru Q2 Tento vztah je v této situaci zvláště vhodný, protože podle zadání zůstává po vložení desky konstantní Q (a nikoli U). Protože kapacita C vzroste po vložení desky er-krát, je -el,f = _fi*_ = EéA= (1055pj) = _ 2sTC ~ st ~ (6,50) _ = 162 pJ. (Odpověď) Energie kondenzátoru se tedy po vsunutí desky zmenší sr-krát. Pokles energie je vyvolán tím, že se část energie spotřebovala na práci spojenou se zasunutím desky. Elektrické pole kondenzátoru vtahuje desku mezi elektrody kondenzátoru a vykoná pň tom práci W = £ei,i - £ei,f = (1055 - 162) pJ = 893 pJ. K ONTROLA 5: Jaký důsledek bude mít vložení desky pro níže uvedené veličiny, jestliže baterie v př. 26.7 zůstane zapojena: zvětší se, zmenší, či zůstane beze změny hodnota (a) napětí na elektrodách kondenzátoru, (b) kapacity kondenzátoru, (c) náboje kondenzátoru, (d) elektrické energie kondenzátoru, (e) intenzity elektrického pole mezi elektrodami? (Tip: Pro odpověď (e) vezměte v úvahu, že náboj na kondenzátoru nezůstává konstantní.) 26.7 DIELEKTRIKA Co probíhá v dielektriku z hlediska atomové a molekulové struktury, vložíme-li ho do vnějšího elektrického pole? Podle typu molekul, které ho tvoří, mohou nastat dvě situace: 1. Polární dielektrika. Molekuly některých dielektrik, např. vody, mají stálé (permanentní) elektrické dipólové momenty. V takových materiálech (zvaných polární dielektrika) se elektrické dipóly natáčejí do směru vnějšího elektrického pole, jak je znázorněno na obr. 26.13. Protože se však molekuly nepřetržitě navzájem srážejí v důsledku svého nahodilého tepelného pohybu, nejsou uspořádány úplně (orientace elektrických dipólů ne zcela souhlasí se směrem pole). Přitom je orientace tím úplnější, čím větší je intenzita působícího pole a čím nižší je teplota dielektrika -i f (a) (b) Obr. 26.13 (a) Molekuly se stálým elektrickým dipólovým momentem mají náhodnou orientaci elektrických dipólů, nenachází-li se dielektrikum ve vnějším elektrickém poli. (b) Nacházejí-li se molekuly v elektrickém poli, dochází k částečnému uspořádání dipólů. Neuspořádaný (tepelný) pohyb brání úplnému uspořádání. 682 KAPITOLA 26 KAPACITA (a tudíž i intenzita srážek molekul). Uspořádáním elektrických dipólů se vytváří elektrické pole, které má opačnou orientaci než přiložené vnější pole, a má menší intenzitu než pole vnější. 2. Nepolární dielektrika. Nezávisle na tom, zda mají, či nemají permanentní dipólové momenty, získávají molekuly umístěné do vnějšího elektrického pole indukované dipólové momenty. V čl.25.7 (obr. 25.12) jsme viděli, že se vnější pole projeví „protažením" molekuly, oddálením středů oblastí kladného a záporného náboje v molekule. Tyto indukované momenty jsou však ve srovnání s vlastními dipólovými momenty o několik řádů menší 10-35Cm); atomy a molekuly se významněji deformují až ve velmi silných elektrických polích. Na obr. 26.14a je deska z nepolárního dielektrika. Na obr. 26.14b na tuto desku působí vnější elektrické pole kondenzátoru o intenzitě Eo, s polaritou vyznačenou na obrázku. Vlivem pole Eo se trochu oddálí středy oblastí kladných a záporných nábojů v atomech (molekulách) dielektrika; to se projeví vznikem kladného povrchového náboje najedná straně desky a záporného na straně opačné. Desku tak můžeme považovat za velký makroskopický dipól. Deska jako celek však zůstává elektricky neutrální, neboť uvnitř desky nepřevládá náboj ani kladného, ani záporného znaménka ve kterémkoli objemovém elementu obsahujícím dostatečný počet molekul. Z obr. 26.14c vidíme, že indukovaný povrchový náboj na čelních plochách desky vytváří elektrické pole £', které je orientováno opačně než přiložené vnější pole Er> Výsledné pole E uvnitř dielektrika (E = Eq + £') má směr pole Eo, ale je slabší (má menší velikost intenzity než vnější pole, E < Eq). Jak pole E' vytvořené povrchovými náboji, tak i pole tvořené permanentními elektrickými dipóly na obr. 26.13 mají to společné, že jsou orientována proti poli Eo. Jak polární, tak i nepolární dielektrika po vložení do vnějšího elek- trického pole, které dielektrikem proniká, toto pole v sobě zeslabují. Nyní je zřejmé, proč je porcelánová deska v př. 26.7 vtahována do prostoru mezi elektrodami kondenzátoru; na-chází-li se deska (alespoň částečně) v prostoru mezi elektrodami, indukují se na jejích stěnách přilehlých k elektrodám náboje opačných znamének, než mají náboje na těchto přilehlých elektrodách kondenzátoru. V důsledku přitažlivých sil mezi náboji na elektrodách a náboji indukovanými na desce vzniká síla, která vtahuje desku do prostoru mezi elektrodami. 26.8 DIELEKTRIKA A GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY Při našem výkladu o Gaussově zákonu elektrostatiky v kapitole 24 jsme uvažovali náboje ve vakuu. Nyní budeme sledovat, jak se změní a zobecní tento zákon v dielektric-kém prostředí, např. v některém z dielektrik uvedených v tab. 26.1. Obr. 26.15 znázorňuje deskový kondenzátor s elektrodami o ploše S. Předpokládejme, že volný náboj Q na elektrodách kondenzátoru je stejný jak v případě s vloženým dielektrikem, tak i bez něj. Připomeňme, že pole mezi elektrodami indukuje vázané náboje na čelních plochách dielektrika jedním z procesů popsaných v čl. 26.7. V případě kondenzátoru bez dielektrika (obr. 26.15a) můžeme stanovit elektrické pole Eo mezi elektrodami tak, jak to bylo vysvětleno u obr. 26.5: obklopíme náboj + Q na horní elektrodě Gaussovou plochou a použijeme Gaussův zákon elektrostatiky. Je-li Eq velikost intenzity elektrického pole, můžeme psát eo j> E ■ dS = b0E0S = Q (26.32) a odtud E0 = — ■ (26.33) (a) (b) (c) Obr. 26.14 (a) Dielektrická deska. Kroužky znázorňují elektricky neutrální atomy uvnitř desky, (b) Elektrické pole je vytvořeno nabitými elektrodami kondenzátoru; pole mírně „protáhne atomy", oddělí od sebe středy oblastí kladných a záporných nábojů, (c) Uvedené oddělení vede ke vzniku povrchových nábojů na čelech desky. Tyto náboje vytvářejí pole o intenzitě Ě orientované opačně než vnější pole o intenzitě Eq. Intenzita výsledného pole uvnitř dielektrika E = Eq + E' má směr pole Eq avšak menší velikost. 26.8 DIELEKTRIKA A GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY 683 j- Gaussova plocha (b) Obr. 26.15 Deskový kondenzátor (a) bez dielektrika, (b) s vloženou deskou dielektrika. O náboji Q na elektrodách se předpokládá, že je stejný v obou případech. Pro případ podle obr. 26.15b, tedy za přítomnosti dielektrika, můžeme určit elektrické pole mezi elektrodami (tedy uvnitř dielektrika) pomocí téže Gaussovy plochy. Uvnitř uzavřené Gaussovy plochy jsou však nyní náboje dvojího druhu; je to jednak volný náboj + Q na horní elektrodě, jednak indukovaný náboj — Q' na horní ploše dielektrika. Náboj na vodivé elektrodě je volný náboj, protože se může pohybovat, jestliže změníme elektrický potenciál elektrody. Indukovaný náboj na povrchu dielektrika není volný, protože nemůže být z této plochy odveden. Celkový náboj uvnitř Gaussovy plochy je tedy Q — Q! (obr. 26.15b). Proto podle Gaussova zákona elektrostatiky platí sQj>E-áS = sqES =Q-Q' (26.34) a odtud Q ~ Q' E = -——. (26.35) e0S Z předchozích výkladů víme, že vložené dielektrikum zmenšuje intenzitu Eo původního pole er-krát. Proto platí (26.36) a je rovna nule za nepřítomnosti dielektrika, tj. je-li v rov. (26.37) bráno er = 1. Po dosazení za Q - Q' z rov. (26.37) do (26.34) můžeme zapsat Gaussův zákon elektrostatiky ve tvaru jf i- j, ^ (Gaussův zákon elektrostatiky s0fsrE-dS=Q prodielektrikum) (26.38) Tuto významnou rovnici jsme sice odvodili pro elektrické pole deskového kondenzátoru, ale platí obecně a je nejobec-nějším tvarem Gaussova zákona elektrostatiky. Doplňme k tomu následující: 1. Plošný integrál v rov. (26.38) nevyjadřuje tok vektoru E, nýbrž tok vektoru srE. Vektor eoSiE se nazývá elektrická indukce D a rov. (26.38) pak může být zapsána v jednodušším tvaru f D ■ dS = Q. 2. Náboj Q, který je uvnitř Gaussovy plochy, je pouze volný náboj. Indukovaný (vázaný) povrchový náboj není na pravé straně rov. (26.38) záměrně explicitně vyjádřen; jeho vliv na elektrické poleje započten zavedením relativní permitivity na levé straně rov. (26.38). 3. Rov. (26.38) se liší od rov. (24.7) tím, že obsahuje výraz £r£o namísto eo- Výraz er zahrnujeme do integrandu, čímž se umožní postihnout i takové případy, ve kterých er není konstantní na Gaussově ploše, protože je funkcí souřadnic: er = er(x, y, z). PŘÍKLAD 26.8 Obr. 26.16 znázorňuje deskový kondenzátor s elektrodami o obsahu S, které jsou ve vzdálenosti d. Na elektrodách je napětí Uq. Po nabití kondenzátoru byla baterie odpojena a mezi elektrody byla vsunuta deska z dielektrika tloušťky b o relativní permitivitě er tak, jak je znázorněno na obr. 26.16. Uvažujme hodnoty 5 = 115 cm2, d = 1,24 cm, Uq = 85,5 V, fc = 0,780cm,er = 2,61. (a) Jaká byla kapacita Co kondenzátoru před vložením dielektrika? ŘEŠENÍ: Z rov. (26.9) dostáváme _ s0S _ (S^S-lO-^F-m^XllS-lO^m2) _ 0 ~ T ~ (l,24-10-2m) ~ = 8,2M0"12F = 8,21 pF. (Odpověď) (b) Jak velký je volný náboj kondenzátoru? ŘEŠENÍ: Podle rov. (26.1) je Q = CoUq = (8,21-10_12F)(85,5 V) = = 7,02-10"10 C = 702 pC. (Odpověď) Porovnání rov. (26.35) a (26.36) dává Q - Q' = -■ (26.37) Rov. (26.37) ukazuje, že velikost indukovaného povrchového náboje Q' je menší než velikost volného náboje Q Protože baterie byla před vložením dielektrické desky odpojena, zůstává volný náboj nezměněn i po vložení této desky. 684 KAPITOLA 26 KAPACITA (c) Jaká je intenzita Eq v mezeře mezi elektrodami a dielektrickou deskou? Gaussova plocha I Gaussova plocha II Obr. 26.16 Přiklad 26.8. Mezi elektrodami deskového kondenzátoru je deska dielektrika, která jen částečně vyplňuje prostor mezi elektrodami. ŘEŠENÍ: Použijme Gaussova zákona elektrostatiky ve tvaru (26.38) s Gaussovou plochou I podle obr. 26.16. Tato Gaussova plocha obklopuje pouze volný náboj na horní elektrodě kondenzátoru. Skalární součin E-dSje nenulový jen v mezeře a v ní jsou tyto vektory souhlasně orientované směrem dolů. Proto e0j>exE- dS = e0(í)E0S=Q a odtud E =^- = ° s0S (7,02-10-10C) (8.85-10-12 F-m^Xl 15-10-4 m2) = 6 900 V-nT1 = 6,90 kV-m-1. (Odpověď) Poznamenejme, že v této rovnici bereme er = 1, protože ta část Gaussovy plochy, přes kterou integrujeme a kterou prochází nenulový tok vektoru intenzity, nevede dielektrikem. Poznamenejme ještě, že hodnota Eq se vložením desky nemění, protože se nemění velikost volného náboje uvnitř Gaussovy plochy I. (d) Jaká je velikost intenzity elektrického pole E\ v dielektriku? ŘEŠENÍ: Použijme rov. (26.38) pň volbě Gaussovy plochy H podle obr. 26.16. Uvnitř plochy je volný náboj — Q a indukovaný náboj +Q'\ při použití rov. (26.38) uvažujeme jen volný náboj — Q. Skalární součin E\ • dSje nenulový jen | v prostoru mezi elektrodami a zároveň jsou v tomto prostoru tyto vektory opačně orientované. Proto £o E1-dS = -e0eIEíS = -Q. (26.39) (První záporné znaménko zleva plyne ze skalárního součinu Ei ■ dS, protože vektor E\ směřuje dolů a vektor dS směřuje vzhůru — vektory jsou opačně orientovány.) Rov. (26.39) dává SiSoS Eo (ó^OkV-m"1) Ä6Í) 2,64kV-m_ (Odpověď) (e) Jaké je napětí U mezi elektrodami po vsunutí desky dielektrika? ŘEŠENÍ: Vyjdeme z rov. (26.6), přičemž budeme integrovat podél přímé integrační cesty kolmé k oběma elektrodám. Uvnitř dielektrika je délka integrační cesty b a intenzita elektrického pole je zde E\. Uvnitř obou štěrbin nad a pod dielektrikem má integrační cesta délku d — ba. intenzita elektrického poleje zde Eq. Rov. (26.6) pak dává U= / Eds = EQ(d -b) + Eib = = (6900V-m-1)(0,0124m-0,007 80m) + + (2 640 V-nT1) (0,007 80 m) = = 52,3 V. (Odpověď) Tato hodnota se Uší od původního napětí, které bylo 85,5 V. (f) Jaká je kapacita kondenzátoru s vloženým dielektrikem? ŘEŠENÍ: Podle rov. (26.1) je _ g _ (7,02-IQ"10 C) _ ~U~ (52,3 V) = 1,34-10-11 F = 13,4pF. (Odpověď) Tato hodnota je větší než původní hodnota Co = 8,21 pF. j^ONTROLA 6: Nechrne v př. 26.8 tloušťku b desky dielektrika vzrůstat. Budou se v důsledku toho následující veličiny zvětšovat, zmenšovat, či zůstanou beze změny? (a) Intenzita elektrického pole E\, (b) napětí mezi elektrodami, (c) kapacita kondenzátoru. PŘEHLED & SHRNUTÍ 685 PŘEHLED s^SHRNUTI Kondenzátor, kapacita Kondenzátor se skládá ze dvou vzájemně elektricky oddělených vodičů (elektrod), které v případě, že je kondenzátor nabit, mají stejně velké náboje opačných znamének +Q&—Q. Jeho kapacita je definována vztahem C = — (26.2) kde U je napětí mezi elektrodami. Jednotka kapacity v SI je farad (1 farad = 1F = 1C-V"1). Určení kapacity Obecně můžeme určit kapacitu každého kondenzátoru tak, že: (1) vyjádříme náboj Q kondenzátoru, (2) určíme intenzitu E elektrického pole vytvořeného náboji na elektrodách kondenzátoru, (3) určíme napětí U na kondenzátoru, (4) vypočteme C podle vztahu (26.2). Kapacity některých typů kondenzátoru: Deskový kondenzátor je tvořen rovinnými rovnoběžnými elektrodami. Je-li vzdálenost elektrod d a má-li každá elektroda plochu o obsahu S, je kapacita deskového kondenzátoru C = eoS d ' (26.9) Válcový kondenzátor je tvořen dvěma elektrodami tvaru souosých válcových ploch délky L, z nichž vnitřní má poloměr a a vnější b. (Předpokládáme b > a, L » b.) Kapacita válcového kondenzátoru je ln (b/a) Kulový kondenzátor je tvořen dvěma elektrodami ve tvaru soustředných kulových ploch, z nichž vnitřní má poloměr a a vnější b(b > a). Kapacita kulového kondenzátoru je C = 4jieo: ab (26.17) Jestíiže v rov. (26.17) b -> oo a současně položíme a = R, obdržíme vztah pro kapacitu osamocené vodivé koule poloměru R: C = 4-neoR. (26.18) Paralelně a sériově spojené kondenzátory Výsledná kapacita Cp, resp. Cs paralelního, resp. sériového spojení kondenzátoru je n Cp = VJCy (n kondenzátoru spojených paralelně), (26.19) j=l resp. 1 "1 — = ^2 ~pr (n kondenzátoru spojených sériově). (26.20) Tyto vzorce můžeme použít i k výpočtu kapacit komplikovanějších sériově-paralelních spojení. Elektrická energie a hustota energie elektrického pole Elektrická energie Ee\ nabitého kondenzátoru je Q2 i ? (26.21,26.22) Je rovna práci potřebné k nabití kondenzátoru. Tato energie je uložena v elektrickém poli kondenzátoru. Hustota energie we\ elektrického pole je vyjádřena vztahem £el i „2 wei = — = j£o£ , (26.23) kde V je objem oblasti, v níž je elektrické pole o intenzitě E. Kapacita kondenzátoru s dielektrikem Jestliže je prostor mezi elektrodami kondenzátoru zcela vyplněn dielektrikem, zvětší se jeho kapacita er-krát, kde er je relativní permitivita charakterizující materiál (dielektrikum). V prostoru zcela vyplněném dielektrikem musíme ve všech rovnicích elektrostatiky nahradit veličinu eo výrazem srso- Procesům probíhajícím v dielektriku nacházejícím se ve vnějším elektrickém poli můžeme fyzikálně porozumět na základě výkladu o působení elektrického pole na permanentní nebo na indukovaný elektrický dipól v dielektriku. Jako výsledek tohoto působení se objeví indukované náboje na povrchu dielektrika, což vede k tomu, že intenzita výsledného elektrického pole v dielektriku je menší než intenzita vnějšího elektrického pole. Gaussův zákon elektrostatiky v dielektriku Za přítomnosti dielektrika má Gaussův zákon elektrostatiky tvar resp. EdS=Q, DáS=Q, (26.38) kde D je elektrická indukce a g je volný náboj uvnitř Gaussovy plochy. Vliv indukovaného povrchového náboje je vyjádřen relativní permitivitou er, která je zahrnuta do integrálu v rov. (26.38). 686 KAPITOLA 26 KAPACITA OTÁZKY 1. Grafy na obr. 26.17 vyjadřují závislost náboje na napětí u tří deskových kondenzátoru. Velikosti ploch elektrod a jejich vzdálenosti jsou uvedeny v tabulce. Ke každému grafu z obr. 26.17 přiřadte odpovídající kondenzátor podle tabulky. KONDENZÁTOR PLOCHA VZDÁLENOST 1 S d 2 2S d 3 S 2d Obr. 26.17 Otázka 1 2. Obr. 26.18 ukazuje příčný řez osamocenou plnou kovovou koulí A o poloměru R a dvěma kulovými kondenzátory B a C s vnitřními poloměry R a vnějšími poloměry 2R. Vnitřní kulová elektroda kondenzátoru B je kulová plocha, zatímco vnitřní kulová elektroda kondenzátoru C je plná koule. Seřadte objekty A, B a C sestupně podle velikosti jejich kapacit. ® ® Obr. 26.18 Otázka 2 3. Rozhodněte, zda kapacita deskového kondenzátoru vzroste, klesne, nebo se nezmění, když mezi elektrody kondenzátoru vsuneme plochou velmi tenkou aluminiovou fólii tak, že (a) fólie je vodivě spojena s jednou elektrodou, (b) fólie je od elektrod izolována. (Tip: V části (b) uvažujte výslednou kapacitu.) 4. Jsou v elektrických obvodech znázorněných na obr. 26.19, kondenzátory spojeny sériově, paralelně, nebo jiným způsobem? Obr. 26.19 Otázka 4 5. Dva kondenzátory jsou připojeny k baterii: (a) Při kterém spojení kondenzátoru (paralelním, nebo sériovém) je napětí na obou kondenzátorech stejné a rovno napětí na ekvivalentním kondenzátom? (b) Při které kombinaci kondenzátoru je náboj na obou kondenzátorech stejný a roven náboji na jejich ekvivalentním kondenzátoru? 6. (a) Jsou kondenzátory C\ a c3 na obr. 26.20a spojeny do série? (b) Jsou kondenzátory C\ a C2 na tomtéž obrázku spojeny paralelně? (c) Čtyři elektrické obvody na obr. 26.20 seřadte sestupně podle velikosti výsledné kapacity. C3 Ci c2 c3 (a) (b) Ci Ci t + t Ci c2 Ci (?) (d) Obr. 26.20 Otázka 6 7. Vypočítejte výslednou kapacita tří kondenzátoru o stejných kapacitách C, jsou-li spojeny (a) sériově, (b) paralelně, (c) Při kterém spojení těchto kondenzátoru bude na jejich ekvivalentním kondenzátoru větší náboj? 8. Kondenzátory o kapacitách Ci a C2 (Ci > C2)jsoupřipojeny k baterii, nejprve jednotlivě, potom sériově a nakonec paralelně. Seřadte tato spojení sestupně podle velikosti náboje na nich uloženého. 9. (a) Je v př. 26.3 napětí na kondenzátom C2 ve srovnání s napětím na kondenzátom Ci větší, menší, nebo je stejné? (b) Je náboj kondenzátoru C2 ve srovnání s nábojem kondenzátom Ci větší, menší, nebo stejný? 10. K baterii byl nejprve připojen kondenzátor C\, potom byl k němu paralelně připojen kondenzátor C2. (a) Je napětí na kondenzátom Ci po této změně větší, menší, či stejně velké? (b) Je náboj Qi na kondenzátom Ci po této změně větší, menší, či zůstal stejně velký? (c) Je kapacita C12 paralelně spojených kondenzátom Ci a C2 větší, menší, či stejně velká ve srovnání s kapacitou Ci ? (d) Je celkový náboj akumulovaný kondenzátory Ci a C2 větší, menší, či stejně velký ve srovnání s nábojem, který měl kondenzátor Ci před připojením kondenzátom C2? 11. Řešte otázku 10 pro případ, že kondenzátor C2 byl připojen ke kondenzátom Ci sériově. 12. V př. 26.4 zvětšíme kapacitu C2. Zjistěte, co se stane s níže uvedenými vehčinami: zvětší se, zmenší se, či zůstanou beze změny? (a) Výsledné napětí na každém z kondenzátoru, (b) část celkového náboje Q uložená na kondenzátom Ci, (c) část celkového náboje Q uložená na kondenzátom C2. CVIČENÍ & ÚLOHY 687 Na obr. 26.21 jsou tři obvody, z nichž každý obsahuje spínač a dva kondenzátory, které jsou na počátku nabité tak, jak je znázorněno. Ve kterém z těchto obvodů náboj na levém kondenzátoru po sepnutí spínače (a) vzroste, (b) klesne, (c) zůstane beze změny? 6Ô 2C 3Q 6Q C 3C 3<2 C 6Q 2C 3Ô 2C (1) (2) Obr. 26.21 Otázka 13 (3) 14. Dvě osamocené kovové koule A a B mají poloměry R&2R a jsou nabité stejně velkými náboji. Porovnejte velikosti následujících veličin: (a) kapacity koulí, (b) objemové hustoty energie v blízkosti povrchů vně koulí, (c) hustoty energie ve vzdále- nosti 3R od středu koulí, (d) celkové energie elektrických polí vytvořených nabitými koulemi. 15. Olejový deskový kondenzátor má mít kapacitu C a má být bezpečně funkční až do napětí Um. Nebyl však navržen dobře a občas dochází k průrazu. Jak máme návrh změnit, aby s týmž olejem byl plně funkční při stejných hodnotách Um a C? 16. Deska dielektrika je vsunuta mezi elektrody jednoho ze dvou stejných kondenzátoru (obr. 26.22). Rozhodněte, zda se hodnoty níže uvedených veličin tohoto kondenzátoru zvětší, zmenší, či zda se nezmění: (a) kapacity, (b) náboje, (c) napětí, (d) elektrické energie, (e) Jak budou znít odpovědi na tytéž otázky pro druhý kondenzátor? Obr. 26.22 Otázka 16 CVIČENI 3* ÚLOHY ODST. 26.2 Kapacita 1C. Elektrometr je zařízení na měření statického náboje. Je to vlastně kondenzátor, na jehož elektrody přeneseme náboj neznámé velikosti a přečteme napětí. Jakou minimální hodnotu náboje můžeme změřit elektrometrem o kapacitě 50 pF a napěťové citlivosti 0,15 V? 2C. Kovová pilka a klíč (obr. 26.23) nesou náboje +70 pC Obr. 26.23 Cvičení 2 a —70 pC, které mezi nimi vyvolávají napětí 20 V. (a) Jaká je kapacita systému těchto dvou předmětů? (b) Co se stane s kapacitou systému, změní-li se hodnoty nábojů na +200 pC a —200 pC? (c) Jak se změní napětí? 3C. Kondenzátor na obr. 26.24 má kapacitu 25 ^F a je nenabitý. S, Obr. 26.24 Cvičení 3 Baterie poskytuje napětí 120 V. Jak velký elektrický náboj projde spínačem S po jeho zapnutí? ODST. 26.3 Výpočet kapacity 4C. 'Vyjádříme-li sq z rov. (26.9), zjistíme, že v mezinárodní soustavě jednotek (SI) je jednotkou této veličiny F-m-1. Dokaž- te, že tato jednotka j e ekvivalentní jednotce, kterou jsme pro sq uvedli dříve, tj. jednotce C2-N_1-m-2. 5C. Deskový kondenzátor má elektrody kruhového tvaru o poloměru 8,2 cm vzdálené od sebe 1,3 mm. (a) Vypočítejte jeho kapacitu, (b) Jak velký náboj se objeví na elektrodách, když na kondenzátor vložíme napětí 120 V? 6C. Máme k dispozici dvě ploché kovové desky, každá má obsah 1,00 m2. Máme z nich zkonstruovat deskový kondenzátor. V jaké vzdálenosti by se musely nacházet jeho elektrody, měla-li být kapacita kondenzátoru 1,00 F? Můžeme takový kondenzátor skutečně zkonstruovat? 7C. Elektrody kulového kondenzátoru mají poloměry 38,0 mm a 40,0 mm. (a) Vypočítejte jeho kapacitu, (b) Jak velký obsah by musely mít elektrody deskového kondenzátoru se stejnou vzdáleností elektrod, aby měl stejnou kapacitu jako tento kulový kondenzátor? 8C. Chlapec přešel po koberci za suchého počasí a rukou se přiblížil ke kovové klice dveří. Mezi jeho rukou a klikou přeskočila 5 mm dlouhá elektrická jiskra. Tak velká jiskra signalizuje, že mezi jeho tělem a klikou musí být napětí okolo 15 kV. Jak velký náboj se nahromadil na jeho těle chůzí po koberci, když napětí mezi tělem a kobercem dosáhlo uvedené hodnoty? V úvaze zhruba nahradte chlapcovo tělo rovnoměrně nabitou vodivou koulí o poloměru 25 cm, elektricky izolovanou od okolí. 9C. Dva stejně velké archy hliníkové fólie jsme umístili rovnoběžně 1,0 mm od sebe. Takto vzniklý kondenzátor o kapacitě 10 pF byl nabit na napětí 12 V. (a) "Vypočítejte obsah každého archu. Poté jsme archy přiblížili na vzdálenost 0,10 mm při nezměněném náboji, (b) Jaká je nová hodnota kapacity? (c) Jak se změnilo napětí? Vysvětlete, jak na základě těchto změn by mohl být konstruován mikrofon. 688 KAPITOLA 26 KAPACITA 10C. Kulová kapka rtuti o poloměru R má kapacitu C = 4-ksq R. Dvě takové kapky spojíme do jedné. Jaká bude její kapacita? 11Ú. Použijte přibližného vztahu ln(l + x) = x pro x 1 (viz dodatek E), a dokažte, že vzorec pro výpočet kapacity válcového kondenzátoru přejde ve vzorec pro výpočet kapacity deskového kondenzátoru, když je vzdálenost mezi elektrodami velmi malá. 12Ú. Předpokládejte, že elektrody kulového kondenzátoru mají přibližně stejné poloměry a, b, kde a < b. Za této podmínky se kapacita kulového kondenzátoru blíží kapacitě deskového kondenzátoru se vzdáleností elektrod d = b — a. Dokažte, že v takovém případě rov. (26.17) v limitě získá tvar rov. (26.9). 13Ú. Kondenzátor má být zkonstruován tak, aby pracoval s konstantní kapacitou v prostředí s kolísavou teplotou. Na obr. 26.25 je znázorněn kondenzátor deskového typu s dielektrickými rozpernými vložkami, které mají udržet elektrody navzájem rovnoběžné, (a) Dokažte, že poměr změny kapacity C a změny teploty T je dán vztahem: dC _ /1 dS ldx\ kde S je plocha jedné elektrody a x je vzdálenost elektrod, (b) Kdyby byly elektrody hliníkové, jakou hodnotu by měl mít součinitel teplotní délkové roztažnosti rozpěrek, aby bylo zaručeno, že se kapacita kondenzátoru nebude měnit s teplotou? (Zanedbejte vliv rozpěrek na permitivitu prostředí mezi elektrodami.) —|r l Obr. 26.25 Úloha 13 ODST. 26.4 Kondenzátory spojené paralelně a sériově 14C. Kolik kondenzátoru o kapacitě 1,00 musí být spojeno paralelně, aby celkový náboj na nich byl 1,00 C? Napětí vložené na každý kondenzátor je 110 V. 15C. Vypočítejte výslednou kapacitu bloku tří kondenzátoru spojených podle obr. 26.26. Jejich kapacity mají hodnoty C\ = = 10,0nF, C2 = 5,00[iF a C3 = 4,00 \jF. 16C. Určete výslednou kapacitu bloku kondenzátoru na obrázku 26.27. Jejich kapacity jsou: C\ = 10,0 ^F, C2 = 5,00 nF aC3 =4,00nF. '-JT~1 u c3 J Obr. 26.27 Cvičení 16, úlohy 24 a 45 17C. Každý ze tří nenabitých kondenzátoru na obr. 26.28 má kapacitu 25,0 ^F. Po zapnutí spínače se na kondenzátoroch ustálí napětí 4 200 V. Jak velký elektrický náboj (v coulombech) prošel ampérmetrem? C 4200V Obr. 26.28 Cvičení 17 18C. Kondenzátor o kapacitě C\ = 6,00 jaF je spojen do série s kondenzátorem o kapacitě C2 = 4,00 yF. Vstupní svorky této sestavy kondenzátoru byly připojeny ke zdroji napětí 200 V. (a) Vypočítejte výslednou kapacitu této sestavy, (b) Jak velký náboj je na každém kondenzátoru? (c) Jaké je napětí na každém kondenzátoru? 19C. Zopakujte cvič. 18 se stejnou dvojicí kondenzátoru spojených paralelně. 20Ú. Na obr. 26.29 jsou dva kondenzátory spojené do série. Obr. 26.26 Cvičení 15 a úloha 47 Obr. 26.29 Úloha 20 Střední část této sestavy kondenzátoru má délku b a je svisle pohyblivá. Dokažte, že výsledná kapacita této sestavy je nezávislá na poloze střední části a má velikost C = enS/{a — b). 21Ú. (a) Tři stejné kondenzátory jsou spojeny paralelně. Elektrody každého z nich jsou ve vzdálenosti d a mají obsah 5. Jakou vzdálenost by musely mít elektrody jednoho kondenzátoru, aby kapacita tohoto jediného kondenzátoru byla rovna kapacitě paralelní kombinace všech tří kondenzátoru? (b) Jakou vzdálenost CVIČENÍ & ÚLOHY 689 elektrod by musel mít jediný kondenzátor, aby se jeho kapacita rovnala kapacitě sériového spojení všech tří kondenzátoru? 22Ú. (a) Dva kondenzátory o kapacitách C\ = 2,0 yĹF a Ci = = 8,0 yF jsou spojeny do série a připojeny ke zdroji napětí 300 V. Jaký náboj a jaké napětí je na každém z nich? (b) Nabité kondenzátory byly rozpojeny a odpojeny od zdroje napětí. Poté byly opět spolu spojeny: kladná elektroda jednoho s kladnou elektrodou druhého kondenzátoru a záporná elektroda jednoho se zápornou elektrodou druhého. Jaký náboj a jaké napětí je na každém kondenzátoru nyní? (c) Předpokládejte, že nabité kondenzátory v části (a) této úlohy byly spolu spojeny v uzavřený okruh tak, že spolu byly spojeny elektrody s opačnými znaménky nábojů. Jaký náboj a jaké napětí bude na každém kondenzátoru po ustálení stavu? 23Ú. Na obr. 26.30 vidíme otočný vzduchový kondenzátor, typ používaný k ručnímu ladění rozhlasových přijímačů. Jsou v něm navzájem propojeny jednak všechny sudé elektrody, jednak všechny liché elektrody. Sudé elektrody jsou pevné, liché se mohou otáčet. Uvažujte blok n elektrod střídavé polarity. Každá elektroda má obsah S a mezi sousedními elektrodami je vzduchová mezera šířky d. Dokažte, že maximální kapacita tohoto kondenzátoru je „ (n - l)e05 d Obr. 26.30 Úloha 23 24Ú. V kondenzátoru c3 (obr. 26.27) došlo k elektrickému průrazu a kondenzátor se stal pro elektrický proud průchodným. Jaké změny (a) náboje a (b) napětí následovaly na kondenzátoru Ci? Předpokládejte, že napětí na svorkách uvedené sestavy kondenzátoru je U = 100 V. 25Ú. Je dáno několik kondenzátoru o kapacitách 2,0 jaF. Kondenzátory vydrží napětí maximálně 200 V bez elektrického průrazu. Jak byste z těchto kondenzátoru vytvořili sestavu kondenzátoru o výsledné kapacitě (a) 0,40 ^F, (b) 1,2 ^F, má-li být přitom každá z těchto sestav schopna vydržet napětí až do 1000 V včetně? 26Ú. Sestava na obr. 26.31 je připojena na napětí 10 V a každý z pěti kondenzátoru má kapacitu 10 jaF. Jaký náboj je na (a) kondenzátoru Ci a (b) na kondenzátoru C2? 27Ú. Kondenzátor o kapacitě lOOpF je nabit na napětí 50 V a poté odpojen od nabíjecí baterie. Nabitý kondenzátor je paralelně připojen k jinému, nenabitému kondenzátoru. Vypočítejte kapacitu připojeného, původně nenabitého kondenzátoru, jestliže napětí na spojených kondenzátorech kleslo z původních 50 V na 35 V. Ci T J 1 J Obr. 26.31 Úloha 26 28U. Napětí baterie na obr. 26.32 má hodnotu 20 V. (a) Stanovte výslednou kapacitu sestavy kondenzátoru spojených podle obr. 26.32. (b) Vypočítejte náboj odpovídající této výsledné kapacitě. Určete napětí a náboj na kondenzátoru (c) Ci, (d) C2, (e)C3. C2=2,0tiF 20V -± T x Z2,0[xF j 3,0tzF I 4,0 t^F C3 = 4,0[xF Ci = 3,0tiF Obr. 26.32 Úloha 28 29Ú. Kondenzátory na obr. 26.33 o kapacitách Ci = 1,0 ^F a C2 = 3,0 jaF jsou nabity každý na napětí 100 V, avšak s opačnou polaritou elektrod, (a) Jaké napětí bude mezi body A a B po zapnutí spínačů Si a S2? Jak velký náboj bude na kondenzátoru (b) Ci, (c) C2? .A 1 A Ci Obr. 26.33 Úloha 29 30Ú. Přepínač S na obr. 26.34 byl přepnut do levé polohy. Kondenzátor Ci se nabil a napětí na jeho elektrodách dosáhlo hodnoty Uq. Kondenzátory C2 a C3 byly zpočátku nenabité. Poté ■±U0 Ci\ Ci c3 Obr. 26.34 Úloha 30 690 KAPITOLA 26 KAPACITA byl přepínač přepnut do pravé krajní polohy. Určete náboje Q\, Qi a 03 na odpovídajících kondenzátorech. 31Ú. Baterie B na obr. 26.35 poskytuje napětí 12 V. (a) Určete náboje na kondenzátorech v případě, že je zapnut pouze spínač Si. (b) Určete náboje na kondenzátorech v případě, že jsou sepnuty oba spínače Si i S2. Kapacity kondenzátoru mají hodnoty Ci = 1,0iiF, C2 = 2,0nF, C3 = 3,0 nF a C4 = 4,0jiF. Ci C3 C2 c4 l'B Obr. 26.35 Úloha 31 32Ú. Na obr. 26.36 jsou dva stejné kondenzátory o kapacitě C v obvodu se dvěma ideálními diodami D. (Ideální diodou teče kladný náboj pouze ve směru šipky a záporný náboj teče pouze ve směru opačném.) Baterie o napětí 100 V je připojena na vstupní svorky nejprve tak, že svorka a je připojena ke kladnému pólu baterie a svorka b k zápornému. Potom je odpojena a zapojena obráceně, tj. ke kladnému pólu baterie je připojena svorka b. V obou případech určete napětí na výstupních svorkách. D vstup 1l_r bo- '. C výstup Obr. 26.36 Úloha 32 ODST. 26.5 Energie elektrického pole 33C. Kolik elektrické energie obsahuje jeden krychlový metr vzduchu za „pěkného počasí", kdy velikost intenzity elektrického pole bývá 150 V-m-1? 34C. Reaktor s řízenou termonukleární fůzí by mohl v případě úspěšné realizace dodávat obrovské množství energie z těžkého vodíku obsaženého v mořské vodě. Chod reaktoru obvykle vyžaduje značné elektrické proudy, které v krátkých časových intervalech procházejí vinutím vytvářejícím magnetické pole. Např. u reaktoru ZT-40 v Los Alamoské laboratoři mají místností zaplněné kondenzátory. Kondenzátorový blok má kapacitu 61,0 mF a napětí 10,0kV. Vypočtěte jeho energii (a) v joulech, (b) v kilowatthodinách. 35C. Jakou kapacitu by musel mít kondenzátor, aby akumuloval energii 10 kW-h při napětí 1000 V? 36C. Deskový vzduchový kondenzátor má kapacitu 130pF. (a) Jaká je energie jeho elektrického pole, je-li napětí na konden- zátoru 56,0 V? (b) Lze v tomto případě vypočítat hustotu energie elektrického pole v prostoru mezi elektrodami? Vysvětlete to. 37C. Kondenzátor j e nabit na napětí U. O kolik procent je nutno zvýšit toto napětí, chceme-li zvýšit jeho energii (tj. energii jeho elektrického pole) o 10 %? 38C. Deskový vzduchový kondenzátor o ploše elektrod 40 cm2 a vzdáleností elektrod 1,0 mm je nabit na napětí 600 V. Určete (a) jeho kapacitu, (b) velikost náboje na každé z elektrod, (c) jeho energii, (d) intenzitu elektrického pole mezi elektrodami, (e) hustotu energie elektrického pole mezi elektrodami. 39C. Dva kondenzátory s kapacitami 2,0 jaF a 4,0 jaF j sou připojeny paralelně ke zdroji napětí 300 V. Vypočtěte celkovou energii elektrických polí obou kondenzátoru. 40C. (a) Vypočtěte hustotu energie elektrického pole elektronu ve vzdáleností r od jeho středu, (b) Jaká by byla podle tohoto vztahu hustota energie v limitě pro r -*■ 0, kdybychom elektron považovali za bodový náboj? 41Ú. Nabitá osamocená kovová koule o průměru 10 cm má potenciál 8 000 V vzhledem k hodnotě

i er,2 er,3 Obr. 26.39 Úloha 65 ODST. 26.8 Dielektrika a Gaussův zákon elektrostatiky 66C. Deskový kondenzátor má kapacitu 100 pF, obsah elektrod 100 cm2 a slídové dielektrikum (er = 5,4). Vypočtěte(a) velikost intenzity elektrického pole ve slídě, (b) velikost volných nábojů na elektrodách, (c) velikost indukovaného povrchového náboje na slídě. 67C. V př. 26.8 předpokládejte, že při vsouvání desky dielektrika mezi elektrody deskového kondenzátoru zůstává baterie připojena. Po jejím vsunutí mezi elektrody vypočtěte (a) kapacitu, (b) náboje na elektrodách kondenzátoru, (c) velikost intenzity elektrického pole v mezeře, (d) velikost intenzity elektrického pole v desce dielektrika. 68Ú. Prostor mezi dvěma soustřednými vodivými kulovými velmi tenkými vrstvami o poloměrech b a a (kde b > a) je vyplněn látkou o relativní permitivitě £r. Mezi vnitřní a vnější vrstvou je napětí U. Určete (a) kapacitu této soustavy, (b) volný náboj Q na vnitřní vrstvě, (c) náboj Q' indukovaný podél povrchu vnitřní vrstvy. 69Ú. Na dvě rovnoběžné desky o obsahu 100 cm2 byly přeneseny náboje stejných velikostí 8.9-10-7 C, ale opačných znamének. Intenzita elektrického pole uvnitř dielektrika, vyplňujícího prostor mezi deskami, je 1,4-106 V-m-1. (a) 'Vypočtěte relativní permitivitu dielektrika, (b) určete velikost náboje indukovaného na povrchu dielektrika. 70Ú. Deskový kondenzátor má elektrody o obsahu 0,12m2, které jsou od sebe vzdáleny 1,2 cm. Baterie nabije kondenzátor na napětí 120 V a pak je odpojena. Deska dielektrika, mající tloušťku 4,0 mm a relativní permitivitu 4,8, je pak umístěna symetricky mezi elektrody, (a) Jakou kapacitu má kondenzátor před vložením desky? (b) Jakou kapacitu má kondenzátor s vloženou deskou? (c) Jak velký je volný náboj Q kondenzátoru před vložením a po vložení desky dielektrika? (d) Jaká je velikost intenzity elektrického pole v prostoru mezi elektrodami a dielektrikem? (e) Jaká je velikost intenzity elektrického pole v dielektriku? (f) Jaké je napětí na elektrodách při vložené desce dielektrika? (g) Jak velká je práce vnějších sil potřebná pro vložení desky? 71Ú. Uvažujte kondenzátor z př. 26.8 (obr. 26.16): (a) Jaká část energie je uložena ve vzduchových mezerách? (b) Jaká část energie je uložena v desce? 72Ú. Deska dielektrika o tloušťce b je vložena mezi elektrody deskového kondenzátoru, jejichž vzdálenost je d. Dokažte, že kapacita tohoto kondenzátoru je vyjádřena vztahem _ eTepS sľd — b(eľ — 1)' (Tip: Odvodíte tento vztah podle postupu v př. 26.8.) Dává uvedený vztah správný číselný výsledek př. 26.8? Ověřte, že tento vztah je platný i pro speciální případy, je-li b = 0, sr = 1, b = d. Chlouba Německa a technický zázrak své doby, vzducholoď Hindenburg, byla téměř tak dlouhá jako tři fotbalová hřiště — byl to největší létající stroj, který kdy byl postaven. Ačkoli ho nadnášelo šestnáct nádrží naplněných vysoce hořlavým a ve směsi se vzduchem výbušným vodíkem, mnohokrát přeletěl Atlantický oceán bez nehody. Avšak 6. května 1937 krátce po 19.21 h, právě když se Hindenburg chystal přistát na námořní a letecké základně Lakehurst ve státě New Jersey v USA, došlo ke katastrofě. Posádka nejprve čekala, až se zklidní bouřka, a potom spustila námořníkům z pozemní obsluhy manévrovací lana. Najednou bylo vidět, jak se asi ve třetině délky směrem od zádi vnější plaší vzducholodi vlní. O několik sekund později z tohoto místa vyšlehly plameny a červená záře oslnila celé okolí. Za 32 s spadla hořící vzducholoď na zem. Proč po tolika úspěšných letech vzducholodí plněných vodíkem právě tato vzducholoď shořela v plamenech? 694 KAPITOLA 27 PROUD A ODPOR 27.1 POHYBUJÍCÍ SE NÁBOJE A ELEKTRICKÉ PROUDY V kap. 22 až 26 jsme se podrobně zabývali elektrostatikou, tedy elektrickými náboji v klidu a jejich polem. V této kapitole začneme studovat elektrické proudy, tedy elektrické náboje v pohybu. Elektrické proudy se vyskytují všude kolem nás, od obrovských proudů při úderu blesku až k nepatrným proudům v nervových vláknech, které řídí pohyby našich svalů. Každý dobře zná elektrický proud v domovní elektroinstalaci, v žárovkách a v elektrických spotřebičích. Svazek elektronů se pohybuje ve vakuu v obrazovce televizního přijímače — i to je elektrický proud. Nabité částice obou znamének protékají v ionizovaném plynu zářivek, v bateriích tranzistorových radiopřijímačů nebo v automobilových bateriích. Elektrické proudy najdeme také v polovodičových součástkách kapesních kalkulaček a v čipech, které řídí mikrovlnné trouby nebo elektrické pračky. Nabité částice zachycené ve Van Allenových radiačních pásech se jako vlny převalují tam a zpět nad zemskou atmosférou mezi severním a jižním magnetickým pólem. Ohromné toky protonů, elektronů a iontů letí směrem od Slunce celou sluneční soustavou jako sluneční vítr. Kosmické paprsky, tvořené hlavně protony o velmi vysoké energii, prolétávají naší Galaxií a některé zasahují Zemi. Přestože jakýkoli elektrický proud je vždy proudem pohybujících se nábojů, ne všechny pohybující se náboje vytvářejí elektrický proud. Abychom mohli říci, že určitou plochou prochází elektrický proud, musí vzniknout výsledný tok náboje touto plochou, jak si vysvětlíme v následujících dvou příkladech. 1. Volné, vodivostní elektrony se v izolovaném kusu měděného drátu chaoticky pohybují rychlostí řádově 106 m-s-1. Představíme-li si rovinu protínající takový drát, budou elektrony rovinou procházet v obou směrech mi-liardkrát za sekundu. Žádný výsledný tok náboje nevzniká, a žádný proud tedy drátem neprochází. Připojíme-li však konce drátu k baterii, i její malé napětí mírně upřednostní tok elektronů v jednom směru, takže vyvolá výsledný tok náboje průřezem drátu a drátem tedy začne procházet elektrický proud. 2. Tok vody v zahradní hadici můžeme považovat za usměrněný tok kladných nábojů (protonů v molekulách vody) řádově několika milionů coulombů za sekundu. Žádný výsledný tok náboje však neexistuje, protože současně ve stejném množství a ve stejném směru teče záporný náboj (elektrony v molekulách vody). V této kapitole výrazně omezíme předmět našeho studia a v rámci klasické fyziky se budeme zabývat ustálenými proudy vodivostních elektronů pohybujících se v kovovém vodiči, jako je například měděný drát. 27.2 ELEKTRICKÝ PROUD Na obr. 27.1a vidíme izolovanou vodivou smyčku. Jak už víme, má celá smyčka tentýž potenciál, bez ohledu na to, zda nese nějaký náboj. Žádné elektrické pole nemůže existovat ani uvnitř vodiče smyčky ani vně smyčky rovnoběžně s jejím povrchem. Ačkoli jsou ve smyčce přítomny vodivostní elektrony, nepůsobí na ně žádná výsledná elektrická síla a nevzniká tedy žádný proud. Vložíme-li do vodivé smyčky baterii podle obr. 27.1b, nebude už potenciál smyčky všude stejný. Elektrické pole uvnitř materiálu, z něhož je smyčka vyrobena, působí elektrickou silou na vodivostní elektrony, vy volává jejich pohyb a způsobuje vznik proudu. Za velmi krátkou dobu dosáhne tok elektronů jisté konstantní hodnoty a proud ve smyčce pak bude ustálený (stacionární, tj. nezávislý na čase). (a) (b) Obr. 27.1 (a) Smyčka z měděného drátu v elektrostatické rovnováze. Celá smyčka má tentýž potenciál, takže intenzita elektrického poleje nulová ve všech bodech měděného drátu, (b) Vložením baterie vyvoláme rozdíl potenciálů, tedy napětí mezi konci smyčky připojenými ke svorkám baterie. Tím se vytváří uvnitř smyčky elektrické pole, které vyvolává pohyb nábojů ve smyčce, a tak vzniká proud /. Obr. 27.2 znázorňuje část vodiče, část vodivé smyčky, kterou prochází proud. Jestliže náboj dQ projde např. rovinným řezem a za dobu dř, pak proud protékající průřezem vodiče je definován vztahem I —- (definice proudu). dř (27.1) Náboj, který proteče průřezem vodiče během časového in- 27.2 ELEKTRICKÝ PROUD 695 (27.2) tervalu od 0 do t, určíme integrací Q = j ÚQ = j\át, přitom proud / může být funkcí času. a b Obr. 27.2 Ustálený proud / ve vodiči má stejnou velikost v průřezech a, bac. V ustáleném stavu teče stejný proud / všemi průřezy b a c i všemi rovinami, které protínají celý vodič, bez ohledu na jejich polohu nebo orientaci, neboť elektrický náboj se zachovává. Za každý elektron, který do vodiče na jednom jeho konci vstoupí, vystoupí jiný elektron na jeho druhém konci. Podobně je tomu např. při ustáleném toku vody v zahradní hadici. Za každou kapku vody, která vteče do hadice na jejím začátku, musí jiná kapka vystříknout ven tryskou na jejím konci a celkové množství vody v hadici se zachovává. Jednotkou proudu v soustavě SI je coulomb za sekundu a tato jednotka se nazývá ampér (A): 1 ampér = 1A = — 1 C-s-1. Ampér je jednou ze základních jednotek SI. Jak jsme řekli v kap. 22, coulomb je definován pomocí ampéru. S přesnou definicí ampéru se seznámíme v kap. 30. Proud definovaný rov. (27.1) je skalár, protože elektrický náboj i čas jsou skaláry. Proud často znázorňujeme šipkami jako na obr. 27.1b, abychom vyznačili směr pohybu nábojů. Tyto šipky však nepopisují nějaké vektory. Na obr. 27.3a je vodič, který se rozvětvuje do dvou větví. Protože se náboj zachovává, proudy ve větvích musí být takové, aby jejich součet dal proud v nerozvětveném vodiči, tedy Io = h + h- (27.3) Obr. 27.3b ukazuje, že ohnutí nebo otočení vodiče nemá vliv na platnost rov. (27.3). Proudové šipky ukazují jen jeden ze dvou možných směrů toku ve vodiči, ne směr v prostoru. Směr proudu Na obr. 27.1b jsme nakreslili proudové šipky ve směru, ve kterém by se vlivem elektrického pole pohybovaly smyčkou kladně nabité částice. Byly by to nosiče kladného náboje a pohybovaly by se směrem od kladného pólu baterie (a) (b) Obr. 27.3 Vztah Iq = I\ + h platí v bodě A nezávisle na tom, jak jsou vodiče orientovány v prostoru. Proudy jsou skaláry, nikoli vektory. k jejímu zápornému pólu. Ve skutečnosti však nosiči náboje v měděné smyčce na obr. 27. lb jsou elektrony se záporným nábojem. V elektrickém poli se pohybují v opačném směru, než ukazují šipky, tedy od záporného pólu ke kladnému. Z historických důvodů však používáme tuto konvenci: Proudové šipky kreslíme ve směru, ve kterém by se pohyboval kladný náboj. Děláme to i v případě, kdy skutečné nosiče náboje jsou záporné a pohybují se tedy v opačném směru. Tuto konvenci můžeme používat proto, že ve většině situací předpokládaný pohyb nosičů kladného náboje v jednom směruje ekvivalentní skutečnému pohybu nosičů záporného náboje v opačném směru. (Pokud by ovšem ekvivalentní nebyl, museli bychom samozřejmě uvažovat skutečný pohyb nosičů náboje. Tak je tomu např. při Hallově jevu v polovodičích, čl. 29.4.) j^ONTROLA 1: Obrázek znázorňuje část obvodu. Jaká je velikost a směr proudu I ve vodiči na obr. vpravo dole? -«-1A 2 a-»- 2 a- -2A 3a| 4ä| PŘÍKLAD 27.1 Voda protéká zahradní hadicí s objemovým průtokem R = = 450 cm3-s-1. Jaký je odpovídající proud záporného náboje? ŘEŠENÍ: Proud záporného náboje neseného molekulami vody je dán rychlostí, kterou molekuly vody procházejí libovolným průřezem hadice, vynásobené záporným nábojem, 696 KAPITOLA 27 PROUD A ODPOR který nese každá molekula vody. Jestliže q je hustota vody a mm je její molární hmotnost, pak počet molů za sekundu, který protéká průřezem vymezeným rovinou, je Rg/mm. Jestliže N je počet molekul vody a Na je Avogadrova konstanta, pak počet áN/át molekul za sekundu, který prochází průřezem, je áN _ RgNA _ dř mm = (450-10-6m3-s-1)(1000kg-nr3) • (ó.OŽ-lO^mor1) _ ' (0,018kgmol-1) ~~ = 1.51-1025 s_1. Každá molekula vody má 10 elektronů (8 v atomu kyslíku a 1 v každém ze dvou vodíkových atomů). Každý elektron nese náboj —e, takže proud odpovídající tomuto pohybu záporného náboje je I = ^. = máJL = dí dř = 10(l,60-10-19C)(l,5M025s-1) = = 2,42-107C-s_1 = 2,42-107A = = 24,2MA. (Odpověď) Tento proud záporného náboje je přesně vykompenzován proudem kladného náboje, který se nachází v jádrech atomů, jimiž je tvořena molekula vody. Výsledný tok elektrického náboje hadicí je tedy roven nule. 27.3 HUSTOTA PROUDU Někdy nás zajímá úhrnný proud I, jindy dáme přednost lokálnímu pohledu a studujeme tok náboje v určitém bodě uvnitř vodiče. Kladný nosič náboje v daném bodě se pohybuje ve směru intenzity elektrického pole E v tomto bodě. Abychom popsali pohyb nosičů náboje, zavedeme hustotu (elektrického) proudu J. Je to vektorová veličina a má stejný směr jako intenzita elektrického pole v daném bodě průřezu vodiče. Její velikost / je rovna proudu procházejícímu elementární ploškou průřezu vodiče kolmou ke směru proudu, dělenému velikostí této plošky. Proud dl protékající elementární ploškou je J • dS, kde dS je vektor elementu plochy (kolmý k dané plošce). Celkový proud celým průřezem vodiče pak je / = J J ■ dS. (21 A) Jestiiže je proud v celém průřezu vodiče konstantní a jeho směr je rovnoběžný s vektorem dS, pak hustota proudu J je také konstantní a rovnoběžná s dS. V takovém případě lze rov. (27.4) upravit do tvaru I = J JdS = jjdS = JS, což dává J = ^, (27.5) kde S je obsah celého průřezu vodiče. Z rov. (27.4), resp. (27.5) vidíme, že jednotkou hustoty proudu v soustavě SI je ampér na metr čtverečný, A-m-2. V kap. 23 jsme ukázali, že průběh vektoru intenzity elektrického pole můžeme znázornit pomocí siločar. Na obr. 27.4 je znázorněno, jak se průběh vektoru hustoty proudu dá znázornit obdobnými čárami, nazývanými proudové čáry. Proud, který na obr. 27.4 teče směrem doprava, přechází z vodiče o větším průřezu do vodiče o menším průřezu. Protože se elektrický náboj zachovává, náboj, který prochází libovolným průřezem, a tedy ani celkový proud jím procházející se nemění. Změní se však hustota proudu, a to tak, že ve vodiči o menším průřezu je větší. Vzdálenost mezi proudovými čárami odpovídá hustotě proudu — jsou-li proudové čáry těsněji u sebe, je hustota proudu větší. Obr. 27.4 Proudové čáry znázorňující vektory hustoty proudu při toku elektrického náboje zužujícím se vodičem. Driftová rychlost Jestiiže vodičem neprochází žádný proud, pohybují se jeho vodivostní elektrony chaoticky a nepřevládá žádný výsledný pohyb v nějakém směru. Jestliže vodičem prochází proud, elektrony se také pohybují chaoticky, ale navíc jsou unášeny driftovou rychlostí v& ve směru opačném, než je směr intenzity elektrického pole, která vyvolává jejich pohyb. Driftová rychlost je nepatrná ve srovnání s rychlostí chaotického pohybu. Například v měděném vodiči v domovní instalaci je driftová rychlost elektronů nanejvýš 10_5m-s_1, zatímco rychlost chaotického pohybuje asi 106 m-s-1. (Názorný příklad nám dává roj rychlých komárů, zvolna unášený vánkem.) 27.3 HUSTOTA PROUDU 697 I <— vd <-E Obr. 27.5 Kladný nosič náboje se pohybuje driftovou rychlostí ve směru přiloženého elektrického pole E. Podle používané konvence je orientace vektoru hustoty proudu J stejnájako orientace šipky znázorňující směr proudu /. Pomocí obr. 27.5 najdeme vztah mezi driftovou rychlostí irQ vodivostních elektronů ve vodiči protékaném proudem a hustotou proudu J. Podle zmíněné konvence je na obr. 27.5 znázorněn pohyb kladně nabitých nosičů ve směru intenzity E. Předpokládejme, že všechny tyto náboje se pohybují stejnou driftovou rychlostí va a že hustota proudu J je konstantní v celém průřezu vodiče, jehož obsah je S. Počet nosičů náboje na úseku vodiče délky L je nLS, kde n je počet nosičů v jednotkovém objemu, tedy koncentrace nosičů. Nese-li každý nosič náboj e, je na úseku délky L celkový náboj Q = (nSL)e. Protože všechny náboje ve vodiči se pohybují rychlostí v-, podle americké normy -WV-. Jestliže rov. (27.8) napíšeme ve tvaru vidíme, že slovo „odpor" je výstižné. Pro dané napětí totiž platí, že čím větší je odpor, který proudu klade vodič, tím menší proud vodičem prochází. Je zřejmé, že odpor je vlastnost rezistoru. Dříve se užíval termín odpor i pro součástku, tedy pro sám rezistor. Takové nedůslednosti lze běžně tolerovat v zájmu stručnosti vyjadřování, pokud nehrozí nedorozumění. Zde se však zabýváme problematikou natolik detailně, že rozlišení mezi veličinou (odpor, rezistance) a objektem (rezistor) je funkční, a budeme ho proto dodržovat. Obr. 27.7 Rezistory. Barevné proužky na rezistorech označují hodnotu jejich odporu. Převrácenou hodnotou odporu je vodivost (konduk-tance) G = Í/R; její jednotkou v SI je siemens, S = £2-1. Odpor vodiče může být ovlivněn způsobem, jakým je k němu napětí přiloženo. Na obr. 27.8 vidíme, jak totéž napětí může být přiloženo k vodiči dvěma různými způsoby. Jak napovídá hustota proudových čar, bude proud a tedy i naměřený odpor v obou případech jiný. Pokud neřekneme výslovně jinak, budeme předpokládat, že napětí je k vodiči přiloženo podle obr. 27.8b. Obr. 27.8 Dva způsoby jak přiložit napětí k vodivé tyči. Předpokládáme, že tmavě šedé přívody mají zanedbatelný odpor. Jestliže jsou připojeny podle (a), je naměřený odpor větší než při připojení podle (b). Nezabývejme se nyní určitým rezistorem, ale materiálem, z něhož je rezistor vyroben. Namísto napětí přiloženého k rezistoru použijeme intenzitu elektrického pole e 700 KAPITOLA 27 PROUD A ODPOR v určitém bodě materiálu rezistoru. Namísto celkového proudu / procházejícího rezistorem budeme pracovat s hustotu proudu J ve sledovaném bodě. Namísto odporu R celého vodiče použijeme veličinu nazvanou rezistivita (dříve měrný odpor) materiálu, označovanou q a definovanou vztahem e Q = — (definice rezistivity). (27.10) (Srovnejte tento vztah s definicí (27.8).) Dosadíme-li do definičního vztahu (27.10) jednotky e a / v soustavě SI, odvodíme, že jednotkou rezistivity q je Í2m: jednotka e Vm_1 V ——-—- =--=■ = —-m = Í2m. jednotka J Am_z A (Nezaměňujte jednotku rezistivity ohmmetr a měřicí přístroj ohmmetr, který se používá k měření odporu.) V tab. 27.1 jsou uvedeny rezistivity některých materiálů. Tabulka 27.1 Rezistivity q a teplotní součinitelé rezistivity a některých materiálů při pokojové teplotě (20 °C) MATERIÁL Q Q m a iFi typické kovy stříbro 1,62-10-8 4,1-HT3 měď 1,69-KT8 4,3-10-3 hliník 2,75-10-8 4,4-10-3 wolfram 5,25-KT8 4,5-10-3 železo 9,68-10-8 6,5- 1(T3 platina 10,6-10"8 3,9-10"3 manganin" 48,2-10-8 0,002-10-3 typické polovodiče křemík čistý 2,5-103 -70-10~3 křemík typu* n 8,710-4 křemík typuc p 2,8-10-3 typické izolanty sklo 1010-1014 tavený křemen = 1016 " Speciální slitina s malou hodnotou a. b Čistý křemík dopovaný fosforem tak, že počet nosičů náboje v jednotkovém objemu je 1023 m-3. c Čistý křemík dopovaný hliníkem tak, že počet nosičů náboje v jednotkovém objemu je 1023m-3. Rov. (27.10) můžeme přepsat do vektorového tvaru Vztahy (27.10) a (27.11) platí jen pro elektricky izotropní materiály, tedy materiály, jejichž elektrické vlastnosti jsou stejné ve všech směrech. Často používáme také veličinu nazývanou kondukti-vita materiálu, označovanou o. Je definována jako převrácená hodnota rezistivity o = — (definice konduktivity). (27.12) Q Jednotkou konduktivity v SI je (£2-m)-1. Definice konduktivity o nám umožňuje napsat rov. (27.11) v ekvivalentním tvaru J = oE. (27.13) Výpočet odporu pomocí rezistivity Nejprve musíme upozornit na významný rozdíl: Odpor (neboli rezistance) je vlastnost objektu (vodiče, rezistoru). Rezistivita je vlastnost materiálu. Známe-li rezistivitu látky, jako je například měď, můžeme vypočítat odpor vodiče z této látky vyrobeného. Nechť s je průřez vodiče, l jeho délka a nechť mezi jeho konci je napětí u (obr. 27.9). Jestliže proudové čáry znázorňující hustotu proudu jsou stejnoměrně rozloženy v celém --L-- / '^^^^^^^^^ I i_i u Obr. 27.9 Napětí u přiložené mezi konce vodiče o délce l a průřezu s způsobí, že vodičem prochází proud /. průřezu vodiče, budou elektrické pole a hustota proudu ve všech bodech uvnitř vodiče konstanto! a podle rov. (25.42) a (27.5) platí u I e = — a / = -. (27.14) l s Z rov. (27.14) dosadíme do rov. (27.10): e u/l o = - = -!—. (27.15) * J I/s v ' Avšak u/I je odpor R, takže z rov. (27.15) plyne E = qJ. (27.11) (27.16) 27.4 ODPOR A REZISTrVITA 701 Vztah (27.16) je použitelný pouze v případě homogenního izotropního vodiče konstantního průřezu, k němuž je přiloženo napětí v souladu s obr. 27.8b. Makroskopické veličiny u, I a R jsou veličiny, které odečítáme přímo na měřicích přístrojích, když měříme na určitém vodiči v elektrickém obvodu. Mikroskopické veličiny e, j a q používáme, když se zabýváme elektrickými vlastnostmi materiálu. KONTROLA 3: Na obrázku jsou nakresleny tři válcové měděné vodiče a je vyznačen jejich průřez a délka. Uspořádejte vodiče sestupně podle proudu, který jimi bude protékat, jestliže k jejich koncům přiložíme napětí u. 1,SL L/2 D icĽD icd (a) (b) (c) Závislost na teplotě Hodnoty většiny fyzikálních veličin se mění s teplotou a ani rezistivita není výjimkou. Na obr. 27.10 je jako příklad znázorněna rezistivita mědi v širokém rozsahu teplot. 10 - - eplota kojová t - u d. (Zb, eo) '0 200 400 600 800 1 000 1 200 r(K) Obr. 27.10 Rezistivita mědi v závislosti na teplotě. Tečka na křivce vyznačuje obvyklý referenční bod (To = 20 °C, qq = = l,69-10-8n-m). který je dostatečně přesný pro většinu inženýrských výpočtů. Zde 7b je určitá zvolená referenční teplota a qo je rezistivita při této teplotě. Obvykle volíme To = 20 °C, což je tzv. pokojová teplota; při ní je rezistivita mědi qo = l,69-10-8ň-m. V rov. (27.17) vystupuje jen rozdíl teplot a nezáleží tedy na tom, zda použijeme Celsiovu nebo Kelvinovu teplotní stupnici, protože velikost teplotního stupně je v obou stupnicích stejná. Veličina a v rov. (27.17) se nazývá teplotní součinitel rezistivity a její hodnota se určí tak, aby se rezistivita vypočtená z rov. (27.17) co nejvíce blížila rezisti-vitě určené experimentálně ve zvoleném rozsahu teplot. Hodnoty a pro některé kovy jsou uvedeny v tab. 27.1. Vzducholoď Hindenburg Když se zepelín* Hindenburg připravoval k přistání, manévrovací lana byla spuštěna dolů k pozemní obsluze. Protože pršelo, lana byla mokrá a mohla tedy vést proud. Lana tak uzemnila kovovou konstrukci vzducholodi, k níž byla upevněna. Mokrá lana tím vytvořila vodivou dráhu mezi konstrukcí vzducholodi a zemí, takže elektrostatický potenciál kovové konstrukce byl stejný jako potenciál země. Nebyl však uzemněn vnější plášť vzducholodi. Přitom Hindenburg byl první zepelín, jehož vnější plášť byl natřen těsnicím materiálem o vysoké rezistivitě. Tak se stalo, že plášť měl stále elektrický potenciál atmosféry ve výšce asi 43 m. Protože byla právě bouřka, byl tento potenciál poměrně vysoký vzhledem k potenciálu země. Při manévrování s lany se pravděpodobně roztrhla jedna z nádrží vodíku, ten unikl do prostoru mezi nádrž a vnější plášť a způsobil pozorované vlnění pláště. To byla nebezpečná situace. Plášť byl vlhký, pokrytý vodivou dešťovou vodou a jeho potenciál byl výrazně odlišný od potenciálu kostry vzducholodi. Podél vlhkého pláště zřejmě protekl elektrický náboj a potom přeskočila jiskra ke kovové konstrukci vzducholodi přes prostor vyplněný uniklým vodíkem a vodík zapálila. Oheň se během okamžiku rozšířil k ostatním nádržím s vodíkem a vzducholoďpadala k zemi. Kdyby měl těsnicí materiál vnějšího pláště Hindenburgu menší rezistivitu, jak tomu bylo u zepelínů před ním a po něm, žádná katastrofa by Hindenburg pravděpodobně nepotkala. Vztah mezi teplotou a rezistivitou mědi je téměř lineární v širokém teplotním rozsahu a toto tvrzení platí i pro jiné kovy. Znázorněnou závislost můžeme aproximovat lineárním vztahem q-q0 = q0a(T -T0), (27.17) * Hrabě Ferdinand von Zeppelin (1838-1917) byl německý inženýr a průkopník letectví. Zkonstruoval úspěšné vzducholodi doutníkového tvaru, vyztužené hliníkovou konstrukcí, plněné plynem a poháněné benzinovými motory. Společnost Luftschiffsbau Zeppelin, kterou založil, vyrobila přes sto vzducholodí nazývaných zepelíny. 702 kapitola 27 proud a odpor PŘÍKLAD 27.5 (a) Jaká je intenzita elektrického pole v měděném vodiči v příkladu 27.3? ŘEŠENÍ: V př. 27.3a jsme vypočítali, že hustota proudu J je 6,7-103 A-m-2. V tab. 27.1 najdeme rezistivitu mědi 1.69-10-8 fi-m. Pomocí rov. (27.11) vypočteme E = qJ = (1,69-lCT8 fi-m)(6,7-103 A-nT2) = = 1,1 • 1(T4 V-nT1 (měd). (Odpověď) (b) Jaká je intenzita elektrického pole v Iďemíku typu n zpř.27.4? ŘEŠENÍ: V př. 27.4 jsme vypočítali, že J = 6 500 A-m-2. V tab. 27.1 najdeme q = 8,710-4 £2-m. Pomocí rov. (27.11) vypočteme E = qJ = (8,7-10_4S2-m)(6500A-m_2) = = 5,7 V-nT1 (křemík typu n). (Odpověď) Všimněte si, že intenzita elektrického pole v polovodiči je mnohem větší než intenzita elektrického pole v měděném vodiči. Jestliže si sami příklad přepočítáte, zjistíte, že tento rozdíl je způsoben velmi odlišnou rezistivitou obou materiálů. Příčina, proč je v polovodiči mnohem větší intenzita elektrického pole, je obdobná příčině toho, že driftová rychlost elektronů v polovodiči je mnohem větší než driftová rychlost elektronů v kovu (viz př. 27.4). Jsou-li hustoty proudu v obou vzorcích srovnatelné, musí být intenzita elektrického pole v polovodiči mnohem větší, aby elektrony byly elektrickým polem více urychleny a získaly vyšší driftovou rychlost. ŘEŠENÍ: Obsah obdélníka je (l,2-10-2m)(0,15m) = = 1,80-10-3 m2. Z rov. (27.16) plyne l _ (9,68-10-8 £2-m)(l,2-10-2 m) _ R -É?5 ~~ (1,80-ÍO-3 m2) ~~ = 6,5-10~7 si = 0,65 iifi. (Odpověď) Tento odpor je mnohem menší než v předcházejícím případě, protože vzdálenost l je menší a plocha 5 je větší. V obou částech přikladu předpokládáme, že hustota proudu v železe je homogenní (jako na obr. 27.8b). V opačném případě by rov. (27.16) nebyla platná. 27.5 OHMŮV ZÁKON Jak jsme již uvedli v čl. 27.4, rezistor je vodič o určitém odporu nezávislém na tom, jaká je velikost nebo polarita přiloženého napětí. Některé vodivé součástky však mohou mít odpor, který na přiloženém napětí závisí. Obr. 27.11a naznačuje, jak takovou součástku poznáme. Přiložíme k ní napětí U, měníme jeho velikost a polaritu a měříme proud / procházející součástkou. Dohodneme se, že polaritu napětí označíme jako kladnou, jestliže levá svorka na obr. 27.11 bude mít vyšší potenciál než pravá svorka. Směr proudu zleva doprava budeme považovat za kladný a označíme znaménkem plus (+). Opačnou polaritu napětí U (kdy pravá svorka má vyšší potenciál) pak označíme jako zápornou a odpovídající proud označíme znaménkem minus (—). Na obr. 27.11b je nakreslen graf závislosti proudu / na napětí U pro jistou součástku. Grafem této závislosti je přímka procházející počátkem, takže poměr // U (což je směrnice této přímky) je stejný pro všechny hodnoty napětí U. To znamená, že odpor R = U/I součástky nezávisí na velikosti a polaritě přiloženého napětí U. Na obr. 27.11c je nakreslen graf pro jinou součástku. Proud touto součástkou prochází pouze tehdy, když polarita přiloženého napětí je kladná a napětí je větší než asi 1,5 V. Závislost mezi proudem / a napětím U u této součástky je výrazně nelineární. Oba uvedené typy součástek odlišíme tak, že řekneme, že některé se řídí Ohmovým zákonem a jiné součástky nikoli. Pro součástku řídící se Ohmovým zákonem je proud jí protékající přímo úměrný přiloženému napětí. (Ohmův „zákon", jak jsme viděli, je splněn jen v určitých situacích, z historických důvodů se však přesto označuje jako zákon.) Součástka charakterizovaná grafem na PŘÍKLAD 27.6 Kus železa má tvar kvádru o rozměrech 1,2 cm x 1,2 cm x x 15 cm. (a) Jaký je odpor tohoto kvádru měřený mezi protilehlými čtvercovými stěnami? ŘEŠENÍ: Podle tab. 27.1 je rezistivita železa při pokojové teplotě 9,68 • 10-8 S2-m. Čtvercové plochy na koncích kvádru mají obsah (l,2-10"2m)2 = l,44-10_4m2. Pro odpor dostáváme z rov. (27.16) L _ (9.68-10-8 fi-m)(0,15m) _ R ~ e~Š ~ (l,44-10-4m2) ~~ = 1.0-10"4 Í2 = 100 iifi. (Odpověď) (b) Jaký je odpor železného kvádru měřený mezi dvěma protilehlými obdélníkovými stěnami? 27.6 MIKROSKOPICKÝ POHLED NA OHMŮV ZÁKON 703 obr. 27.11b splňuje Ohmův zákon (je to rezistor o odporu 1000 £2). Součástka z obr. 27.11c je polovodičová dioda s přechodem p-n; ta se Ohmovým zákonem neřídí. V moderní mikroelektronice se téměř všude používají součástky, pro které Ohmův zákon neplatí. Každá kalkulačka je takových součástek plná. Často se míní, že vztahem U = RI je vyjádřen Ohmův zákon. To však není přesné. Tato rovnice je definiční rovnicí pro odpor a dá se použít pro všechny vodiče, ať už pro ně Ohmův zákon platí nebo ne. Jesúiže měříme napětí U na nějaké součástce a proud I, který součástkou prochází (může to být i dioda), vždy můžeme spočítat její odpor při daném napětí U podle vztahu R = U/I; ten obecně nemusí být konstantní. Podstatou Ohmová zákona je tvrzení, že odpor R konstantní je, tedy že graf závislosti proudu na napětí je lineární neboli že odpor R nezávisí* na napětí U. Ohmův zákon tvrdí, že odpor R je vlastností součástky a nezávisí na velikosti ani polaritě přiloženého napětí. Ohmův zákon můžeme vyjádřit obecněji, když se zaměříme na vodivé materiály, nikoli pouze na vodiče nebo součástky. Analogií vztahu U = RI je materiálový vztah (27.11), tj.e = ej. Vodivý materiál splňuje Ohmův zákon, jestiiže jeho re-zistivita nezávisí na velikosti a směru intenzity přiloženého elektrického pole. Všechny homogenní materiály, ať už to jsou vodiče, jako měď, nebo polovodiče, jako je křemík (dopovaný nebo čistý), splňují velmi dobře Ohmův zákon, není-li intenzita elektrického pole příliš silná. Odchylky od Ohmová zákona se projeví až ve velmi silných polích. Ovšem různé sou- * Obecně zavádíme diferenciální odpor R& = dV/dl. Pro součástku neřídící se Ohmovým zákonem není totožný s odporem R = U/I. Pro součástku řídící se Ohmovým zákonem platí Ri = R vždy. částky z těchto materiálů sestavené v různém uspořádání (např. přechod p-n) se již Ohmovým zákonem neřídí. Kontrola 4: v tabulce jsou uvedeny hodnoty proudu I (v ampérech) procházejícího dvěma různými součástkami pro několik hodnot napětí U (ve voltech). Pomocí těchto údajů určete, pro kterou součástku neplatí Ohmův zákon. Součástka 1 součástka 2 U I U I V Ä V Ä 2,00 4,50 2,00 1,50 3,00 6,75 3,00 2,20 4,00 9,00 4,00 2,80 27.6 MIKROSKOPICKÝ POHLED NA OHMŮV ZÁKON Abychom zjistili, proč pro určité materiály platí Ohmův zákon, musíme se podívat podrobně na proces vedení proudu na atomární úrovni. Zde se budeme zabývat pouze vodivostí kovů, jako je např. měď. Náš rozbor bude založen na modelu volných elektronů. Podle tohoto modelu se vodi-vostní elektrony mohou volně pohybovat v celém objemu kovu podobně jako molekuly plynu v uzavřené nádobě. Pro vysvětlení vodivosti budou podstatné srážky elektronů s atomy kovu, zatímco vzájemné srážky mezi elektrony nemění celkovou energii ani hybnost elektronového plynu a nejsou tedy pro vodivost podstatné. Podle klasické fyziky by rychlosti elektronů měly odpovídat Maxwellovu rozdělení rychlostí podobně jako rychlosti molekul v plynu. Při takovém rozdělení (viz čl. 20.7) by střední rychlost elektronů byla úměrná odmocnině z absolutní teploty. Pohyb elektronů se však neřídí zákony fyziky klasické, ale kvantové. Ukazuje se, že (a) (b) (c) Obr. 27.11 (a) Součástka, k jejímž svorkám je přiloženo napětí U, které vyvolá průchod proudu /. (b) Graf závislosti proudu / na napětí U, je-li součástkou rezistor o odporu 1000 £2. (c) Stejný graf, je-li součástkou polovodičová dioda s přechodem p-n. 704 KAPITOLA 27 PROUD A ODPOR kvantové realitě odpovídá mnohem více předpoklad, že se všechny elektrony pohybují stejnou rychlostí t^j (Fer-miho rychlost) téměř nezávislou na teplotě. Pro měď je vp = l,6-106m-s-1. Jestiiže přiložíme elektrické pole ke kovovému vodiči, poněkud se změní chaotický pohyb elektronů a elektrony se začnou velmi pomalu pohybovat driftovou rychlostí i>d ve směru opačném, než je směr intenzity elektrického pole. Jak jsme viděli v př. 27.3b, driftová rychlost v typickém kovovém vodiči je asi 4-10-7 ms_1, tedy o mnoho řádů menší než Fermiho rychlost (l,6106m-s_1). Obr. 27.12 naznačuje souvislost mezi oběma rychlostmi. Šedé čáry znázorňují možné náhodné dráhy elektronu bez vnějšího elektrického pole. Elektron se šestkrát srazí, než se dostane z bodu A do bodu B. Zelené čáry znázorňují, jak by se mohl elektron pohybovat v elektrickém poli o intenzitě E. Vidíme, že elektron je vytrvale unášen doprava a dostane se nakonec do bodu B', a ne do bodu B. Obr. 27.12 byl nakreslen za předpokladu, že t>d = 0,02up. Ve skutečnosti je Dd = 10_13up a drift znázorněný na obrázku je tedy mnohonásobně zvětšen. Ä \ -\ \ \ // // // // // A < E Obr. 27.12 Šedé čáry znázorňují chaotický pohyb elektronu z bodu A do bodu B bez přiloženého elektrického pole. Zelené čáry ukazují, jak by mohla trajektorie elektronu vypadat v elektrickém poli o intenzitě E. V obou případech se elektron šestkrát srazí. Všimněte si stálého unášení elektronu ve směru — E. (Ve skutečnosti by zelené čáry měly být lehce zakřiveny, aby mezi srážkami odpovídaly parabolickým dráhám elektronu v elektrickém poli.) Pohyb elektronu v elektrickém poli o intenzitě £ je tedy kombinací chaotického pohybu způsobeného náhodnými srážkami a unášivého pohybu vyvolaného elektrickým polem. Když uvážíme všechny volné elektrony, vidíme, že se (v každém okamžiku) neuspořádaně pohybují ve všech možných směrech, takže se jejich chaotické pohyby navzájem vykompenzují (přesněji: vektorový součet rychlostí chaotického pohybu všech elektronů je v každém okamžiku roven nule) a nepřispívají k unášivému pohybu driftovou rychlostí. Driftová rychlost je tedy dána jen působením elektrického pole na elektrony (mezi srážkami). Nachází-li se elektron o hmotnosti m v elektrickém poli, jehož intenzita má velikost E, pohybuje se podle druhého Newtonova zákona se zrychlením o velikosti _ F _eE m m (27.18) Elektrony se srážejí tak, že po typické srážce elektron úplně „zapomene" — můžeme-li to tak říci — na svůj předcházející pohyb. Každý elektron se tedy po každé nahodilé srážce začíná znovu pohybovat úplně náhodným směrem. Je-li střední doba mezi srážkami t, elektrony získají střední driftovou rychlost v& = ar. A nejen to — kdybychom stanovili driftové rychlosti všech elektronů v libovolném časovém okamžiku, zjistili bychom, že jejich střední driftová rychlost je rovněž ar. V libovolném okamžiku tedy mají elektrony střední driftovou rychlost = ar. Pomocí rov. (27.18) vypočteme Vá= ar = eEr m (27.19) Dosadíme-li tento výsledek do rov. (27.7) (/ = nev^), dostaneme / eEr Vd = — = - ne m a odtud plyne Porovnáním s rov. (27.11) (E = qJ) dostaneme (27.20) e2nr Vztah (27.20) můžeme považovat za potvrzení toho, že pro kovy platí Ohmův zákon, pokud prokážeme, že pro kovy je rezistivita q nezávislá na intenzitě přiloženého elektrického pole E. Protože n, m a e jsou konstanty, zbývá nám zdůvodnit, že střední doba mezi srážkami r je konstantní, nezávislá na intenzitě přiloženého elektrického pole. Dobu r však můžeme opravdu považovat za konstantní, protože driftová rychlost i>d, kterou elektrony získají působením elektrického pole, je řádově 1013krát menší než Fermiho rychlost vp, takže přiložené pole prakticky neovlivní rychlost elektronů, a tedy ani r. K popisu elektronů v kovu z hlediska kvantové teorie se ještě vrátíme v čl. 42.5. PŘIKLAD 27.7 (a) Jaká je střední volná doba r mezi srážkami pro vodivostní elektrony v mědi? 27.7 VÝKON V ELEKTRICKÝCH OBVODECH 705 RESENI: Z rov. (27.20) plyne r = ne1 q ' Počet n vodivostních elektronů v jednotce objemu mědi j sme spočítali v př. 27.3b, rezistívitu mědi q najdeme v tab. 27.1. Jmenovatel zlomku má tedy hodnotu (8,47-1028m_3)(l,60-10~19C)2(l,69-10~8í2-m) = = 3,66-10_17C2-í2-nT2 = 3,66-10-17 kg-s-1, kde jsme výslednou jednotku určili takto: C2-fi C2 • V C2 • J-CT1 kg-m2-! — =kg-s-1. m2 m2-A m2 • C-s-1 n Pro střední volnou dobu r mezi srážkami vychází r = n^ľn?g-u = 2.5-10-14 (Odpověď) (3,66-10 "kg-s l) (b) Jaká je střední volná dráha X elektronu mezi dvěma srážkami? Předpokládejme, že Fermiho rychlost je v? = = l,6106m-s_1. ŘEŠENÍ: V čl. 20.6 jsme definovali střední volnou dráhu jako střední vzdálenost, kterou částice proběhne mezi dvěma srážkami. V tomto příkladě je doba mezi dvěma srážkami volného elektronu x a rychlost pohybu elektronu je «f, takže X = tuf = (2,5-10-14s)(l,6-106m-s_1) = = 4,0-10_8m = 40nm. (Odpověď) To je asi 150krát větší délka než vzdálenost mezi nejbUžšími sousedními atomy v krystalové mřížce mědi. 27.7 VÝKON V ELEKTRICKÝCH OBVODECH V elektrickém obvodu na obr. 27.13 je baterie B spojena s nějakou blíže neurčenou vodivou součástkou pomocí vodičů, o nichž předpokládáme, že jejich odpor je zanedbatelný. Součástkou může být rezistor, akumulátorová baterie nebo cokoli jiného. Na svorkách baterie je napětí U, a protože baterie je spojena vodiči se součástkou, je stejné napětí i na svorkách součástky, přičemž svorka a má vyšší potenciál než svorka b. Protože vývody baterie j sou vně baterie vodivě spoj eny a napětí baterie je konstantní, prochází obvodem ustálený proud / od svorky a ke svorce b. Náboj, který projde mezi těmito svorkami za dobu dř, je / dř. Podél trajektorie, po 4 ľ a 7 ,b 4 1' Obr. 27.13 Baterie B dodává proud / do obvodu s nějakou blíže neurčenou vodivou součástkou. níž se tento náboj dg pohybuje, poklesne elektrický potenciál o hodnotu U, a proto elektrická potenciální energie poklesne o hodnotu dEp = áQ U = I dř U. Zákon zachování energie nám říká, že pokles elektrické potenciální energie podél trajektorie od a do b musí být doprovázen přeměnou energie do nějaké jiné formy. Výkon P s tímto přenosem spojený se definuje jako rychlost přenosu energie, tj. d£p/dř, takže UI (výkon = rychlost přenosu elektrické energie). (27.21) Jednotkou výkonu podle rov. (27.21) je voltampér. Platí 'v-a-Oc-X'tK-*- Výkon daný rov. (27.21) udává rychlost přenosu energie od baterie k součástce. Je-li součástkou elektromotor připojený k nějakému mechanickému zařízení, elektrická energie se přeměňuje v práci tohoto zařízení. Je-li součástkou akumulátorová baterie, nabíjí se a elektrická energie se přeměňuje v chemickou energii uloženou v akumulátoru. Je-li součástkou rezistor, elektrická energie je v něm disipována. Pro rezistor můžeme pomocí rov. (27.8) (R = U/I) a (27.21) napsat vztah pro rychlost disipace energie, tedy disipovaný výkon, ve tvaru P = I2R (disipace energie rezistorem) (27.22) neboli U2 (27.23) P = — R (disipace energie rezistorem). 706 KAPITOLA 27 PROUD A ODPOR Spirála z drátu uvnitř opékače topinek má značný odpor. Když spirálou prochází proud, elektrická energie se přeměňuje v teplo a teplota spirály vzrůstá. Ze spirály pak vychází viditelné světlo i infračervené záření, které chléb opeče (nebo připálí). Co se stane s touto energií? Pohybující se náboje se srážejí s atomy v rezistoru a předávají část své energie těmto atomům, a tím se zvětšuje vnitřní energie materiálu. To vede ke zvyšování teploty rezistoru a ten se stává zdrojem tepelného toku. Tomuto nevratnému procesu říkáme disipace energie. Musíme však odlišovat rov. (27.22) a (27.23) od rov. (27.21). Vztah P = IU se dá použít vždy, když jde o přenos elektrické energie v obecné situaci, zatímco vztahy P = I2R, či P = U2/R platí pouze v případě přeměny elektrické potenciální energie v rezistoru. (V elektrotechnice se zpravidla mluví o Joulově teple nebo s ohledem na funkci rezistoru o ztrátovém, resp. tepelném výkonu rezistoru.) j^ONTROLA 5: K rezistoru o odporu R je přiloženo napětí U a prochází jím proud I. Seřaďte sestupně ztrátové výkony (rychlosti přeměny elektrické energie v teplo) v rezistoru pří těchto změnách v obvodu: (a) napětí U se zdvojnásobí a odpor R se nezmění, (b) proud / se zdvojnásobí a odpor R se nezmění, (c) odpor R se zdvojnásobí a napětí U se nezmění, (d) odpor R se zdvojnásobí a proud / se nezmění. PŘIKLAD 27.8 Vodič zhotovený ze slitiny niklu, chrómu a železa (nazývané nichrom) má odpor R = 72 ň. Určete výkon elektrické energie v těchto případech: (1) napětí na celém vodiči je 120 V, (2) vodič rozpůlíme a napětí 120 V je přiloženo ke každé polovině vodiče. ŘEŠENÍ: Užitím rov. (27.23) v prvním případě dostaneme p.St. R (120 V)2 = 200W. (Odpověď) (72 Q.) Ve druhém případě je odpor poloviny drátu (72 Q.) /2 = = 36 Í2, takže rychlost disipace energie pro každou polovinu drátuje P'. (120 V)2 : 400 W. (Odpověď) (36 fi) Celkový výkon v obou polovinách je 800 W, tedy čtyřikrát větší než v celém vodiči v prvním případě. Mohlo by vás tedy napadnout, že byste si koupili ohřívací spirálu, rozpůhh ji, znovu zapojili paralelně a získali čtyřikrát více tepla. Proč to nejde? PŘIKLAD 27.9 Vodičem o délce L = 2,35 m a průměru d = 1,63 mm prochází proud I = 1,24 A. Ztrátový výkon ve vodiči je P = 48,5 mW. Z čeho je vodič vyroben? ŘEŠENÍ: Materiál vodiče určíme podle jeho rezistivity. Užitím rov. (27.16) a (27.22) dostaneme 2 I2QL 4I2eL P = I R = ~r = ^-' kde S = 7iťř2/4 je průřez vodiče. Rezistivita materiálu, z něhož je vodič vyroben, tedy je _ nPd2 _ 7i(48,5-10-3W)(l,63-10-3m)2 _ e ~ 4I2L ~ 4(l,24A)2(2,35m) ~~ = 2.80-10-8 to-m. (Odpověď) V tab. 27.1 zjistíme, že takovou rezistivitu má hliník. 27.8 POLOVODIČE Polovodičové součástky jsou srdcem mikroelektronické revoluce, která tak výrazně ovlivnila náš život. V tab. 27.2 jsou porovnány vlastnosti křemíku, typického polovodiče, a vlastnosti mědi, typického kovového vodiče. Vidíme, že čistý křemík má mnohem méně nosičů náboje, mnohem větší rezistivitu a velký záporný teplotní součinitel rezistivity. S rostoucí teplotou rezistivita mědi roste a rezistivita čistého křemíku naopak klesá. 27.8 POLOVODIČE 707 Tabulka 27.2 Některé elektrické vlastnosti mědi a křemíku" VLASTNOST MĚĎ KŘEMÍK druh materiálu kov polovodič koncentrace nosičů náboje n/m-3 9-1028 11016 rezistivita g/ íí-m 2-10"8 3-103 teplotní součinitel rezistivity a/K-1 +4-10-3 -70-10-3 " Kvůli snadnějšímu porovnání jsou hodnoty zaokrouhleny najednu platnou číslici. Rezistivita čistého křemíku je tak vysoká, že je to prakticky izolátor, a v mikroelektronice se téměř nepoužívá. Použití křemíku umožňuje okolnost, že se jeho rezistivita dá snížit kontrolovatelným způsobem přidáním nepatrného množství určitých cizích, příměsových atomů (viz tab. 27.1). Tento proces se nazývá dopování. Rozdíl v rezistivitě (a tedy i v konduktivitě) polovodičů a kovových vodičů se dá pochopit, jestiiže se podrobněji podíváme na energiové hladiny jejich elektronů. V čl. 8.9 jsme viděli, že energie elektronů v izolovaném atomu je kvantována, to znamená, že je omezena jen na určité hodnoty neboli hladiny, jak je nakresleno na obr. 8.17. Elektron může obsadit kteroukoli z těchto energiových hladin (tzn. může mít jí odpovídající energii), ale nemůže mít žádnou energii mezi hladinami. Elektrony v pevných látkách také obsazují kvantované hladiny, ale vzájemná blízkost atomů způsobuje „rozmazání" nesmírného počtu jejich energiových hladin do několika pásů (obr. 27.14). Elektron může obsadit energiovou hladinu uvnitř pásu, ale nemůže mít žádnou energii připadající do zakázaných pásů, které energiové pásy oddělují. Počet elektronů, které mohou obsadit jednu energiovou hladinu, je navíc omezen zákony kvantové fyziky. Elektron může získat větší energii jedině tak, že dostane energii dostačující k obsazení nezaplněné vyšší energiové hladiny buď v temže, nebo ve vyšším pásu. V kovu, jako je měď (obr. 27.14a), se nejvyšší obsazená hladina energie nachází blízko středu energiového pásu. Elektrony tak mohou snadno přejít na velké množství volných hladin výše v pásu, i když dostanou jen malé množství energie. Energii jim může dodat elektrické pole přiložené k vodiči. Elektrické pole uvádí některé z elektronů tohoto pásu do pohybu vodičem, zvyšuje jejich kinetickou energii, a tak je pozvedá na vyšší energiové hladiny. Takové elektrony jsou tedy vodivostní elektrony a tvoří proud vodičem. Elektrony v nižších pásech se nemohou podílet na vedení proudu, protože přiložené elektrické pole jim nedokáže poskytnout energii potřebnou k přechodu na prázdné hladiny. V izolátoru (obr. 27.14b) je nejvyšší obsazený pás úplně zaplněn. Nejbližší vyšší dostupné prázdné energiové vodivostní pás zakázaný pás--- pás I I valenční pás vodič izolátor polovodič («) {V) (c) Obr. 27.14 Energiové hladiny elektronu v pevné látce tvoří pásy dovolených a zakázaných energií. Zelenou barvou jsou nakresleny částečně nebo úplně zaplněné pásy. (a) V kovovém vodiči leží nejvyšší energiová hladina uprostřed energiového pásu (pás je částečně zaplněn), (b) V izolátoru je nejvyšší obsazený pás úplně zaplněn a zakázaný pás mezi ním a prázdným pásem umístěným nad ním je poměrně široký, (c) Polovodič připomíná izolátor s tím rozdílem, že zakázaný pás mezi valenčním a vodi-vostním pásem je poměrně úzký. hladiny leží v prázdném pásu, který je oddělen od nejvyš-šího zaplněného pásu značně širokým zakázaným pásem. Dokud přiložené elektrické pole nedodá elektronům energii dostatečnou k přeskoku na prázdné hladiny, nemůže procházet žádný proud. Polovodič (obr. 27.14c) se podobá izolátoru s tím rozdílem, že zakázaný pás mezi nejvyšším zaplněným pásem (nazývaným valenční pás) a prázdným pásem umístěným nad ním (nazývaným vodivostním pás) je poměrně úzký, takže pravděpodobnost, že tepelně excitovaný elektron přeskočí přes zakázaný pás, není zanedbatelně malá. Mnohem významnější však je, že určité záměrně přidané příměsi mohou dodávat nosiče náboje do vodivostního pásu. Většina polovodičových součástek, jako např. tranzistory nebo diody, se skládá z několika oblastí křemíku dopovaných různými příměsovými atomy. Vraťme se zpět k rov. (27.20) pro rezistivitu vodiče Q = —, (27.24) eLnx kde n je počet nosičů náboje v jednotkovém objemu a x je střední volná doba mezi srážkami. (Tuto rovnici jsme odvodili pro vodiče, ale dá se použít i pro polovodiče.) Položme si nyní otázku, jak se veličiny nat mění, když roste teplota. Ve vodiči je koncentrace n velká a prakticky konstantní, její hodnota se s teplotou významně nemění. Vzrůst rezistivity kovů s teplotou (obr. 27.10) je způsoben vzrůstem frekvence srážek nosičů náboje, a tedy snížením střední volné doby x mezi srážkami v rov. (27.24). 708 KAPITOLA 27 PROUD A ODPOR V polovodiči je n malé, ale s rostoucí teplotou se zvětšuje velmi rychle, protože teplem je excitováno stále více nosičů náboje. Rezistivita polovodiče tedy s rostoucí teplotou klesá, což vyjadřuje záporné znaménko teplotního součinitele rezistivity v tab. 27.2. Podobně jako v kovu se i v polovodiči zvyšuje frekvence srážek, ale tento jev je překryt rychlým nárůstem počtu nosičů elektrického náboje. První tranzistor, elektronická součástka vyrobená z polovodičového materiálu. Dnes najdeme tisíce a miliony takových součástek na tenké polovodičové destičce o velikosti několika tnilime-trů nebo centimetrů. 27.9 SUPRAVODIČE Holandský fyzik Kamerlingh Onnes v roce 1911 objevil, že při velmi nízkých teplotách, nižších než asi 4 K, rezistivita rtuti úplně vymizí (obr. 27.15). Tento jev, nazývaný supravodivost, v sobě skrývá velké možnosti využití v moderních zařízeních, protože by bylo velice užitečné, kdyby mohl elektrický náboj téci bez jakýchkoli ztrát. Například proud vybuzený v supravodivém prstenci přetrvává několik roků, aniž by se významněji snižoval. Elektrony, které tvoří tento proud, potřebují zdroj energie jen v počátečním okamžiku a už nikdy více. Před rokem 1986 brzdily rozvoj supravodivých technologií vysoké náklady potřebné k dosažení extrémně nízkých teplot. V roce 1986 však byly objeveny nové keramické materiály, které se stávají supravodivými při výrazně vyšších teplotách (a takové teploty jsou dosažitelné snadněji a levněji, např. kapalným vzduchem). Praktické použití supravodivých součástek při pokojové teplotě se může brzo stát skutečností. ^0,16 C3 0,08 °o— 2 4 6 r(K) Obr. 27.15 Odpor rtuti klesne prudce k nule při teplotě kolem 4 K. Supravodivost se v mnohém Uší od obyčejné vodivosti. Nejlepší běžné vodiče, jako je stříbro a měď, se nemohou stát supravodivými při žádné teplotě. Nové keramické supravodiče jsou vlastně izolátory, pokud nemají dostatečně nízkou teplotu k tomu, aby přešly do supravodivého stavu. Supravodivost se dá vysvětlit tak, že se elektrony, které vedou elektrický proud, pohybují v párech. Jeden z elektronů z páru elektricky naruší molekulární strukturu supravodivého materiálu tak, že v jeho nejbližším okolí vznikne na krátký okamžik nadbytek kladného náboje. Druhý elektron z páru je potom k tomuto kladnému náboji přitahován. Teorie říká, že taková koordinace mezi elektrony jim brání srážet se s molekulami, a tak zanikne elektrický odpor. Před rokem 1986 tato teorie dobře vysvětlovala vlastnosti nízkoteplotních supravodičů. Ukázalo se však, že k vysvětlení vlastností vysokoteplotních supravodičů jsou potřebné nové teorie. Magnet ve tvaru disku se vznáší nad supravodivým materiálem chlazeným kapalným dusíkem. Zlatá rybka se diví, co všechno už lidé umějí. PŘEHLED & SHRNUTÍ 709 PŘEHLED S^SHRNUTI Elektrický proud Elektrický proud I ve vodiči je definován vztahem dř ' (27.1) Zde d g j e náboj, který za dobu dř proj de průřezem vodiče. Podle konvence je směr elektrického proudu určen jako směr pohybu kladného náboje. Jednotkou elektrického proudu v soustavě SI je ampér (A). Hustota proudu Proud (skalár) souvisí s vektorem hustoty proudu J vztahem J-dS, (27.4) kde dS je vektor kolmý k elementu plochy o obsahu dS a integruje se přes průřez vodiče. Orientace J je stejná jako orientace intenzity elektrického pole, která vyvolává proud. Driftová rychlost nosičů náboje Je-li ve vodiči elektrické pole o intenzitě E, (kladné) nosiče náboje se pohybují driftovou rychlostí v& ve směru intenzity E. Rychlost Vá souvisí s hustotou proudu vztahem J = (ne)Vd, kde ne je objemová hustota náboje. (27.7) Odpor vodiče Odpor neboli rezistance R vodiče (součástky) je definován vztahem U R = j (definice R), (27.8) kde U je napětí přiložené na vodič a / proud procházející vodičem. Jednotkou odporu v soustavě SI je ohm (ň): 1 ň = IV-A-1. Rezistivita q a konduktivita a materiálu jsou definovány takto: o = — = — (definice d a a L (u drátu C). Uspořádejte dráty sestupně podle výkonu, s jakým se v nich vyvíjí teplo. CVIČENÍ & ÚLOHY 711 10. V obvodu na obr. 27.21a nabíjí baterie Bi baterii B2. Proud procházející baterií B2 a napětí na baterii B2 mohou být (a) 3 A a 4 V, (b) 2 A a 5 V, (c) 6 A a 2 V. Uspořádejte uvedené dvojice hodnot proudu a napětí sestupně podle rychlostí přenosu elektrické energie z baterie Bi do baterie B2. B, -± t b2 B-i- (a) (6) Obr. 27.21 Otázky 10 a 11 11. V obvodu na obr. 27.21b je spojena baterie B a rezistor o odporu R. Odpor R a proud / rezistorem mohou být (a) 4 SI a 2 A, (b) 3 fí a 3 A, (c) 3 fl a 2 A. Uspořádejte tyto možnosti sestupně podle rychlosti, jakou je elektrická energie disipována v rezistoru. 12. Je odpor vlákna žárovky značené 500 W/230 V větší, nebo menší než odpor vlákna žárovky značené 100 W/230 V? Na obr. 27.22 jsou vyznačeny závislosti rezistivity čtyř materiálů na teplotě, (a) Které materiály jsou kovy a které jsou polovodiče? U kterých materiálů způsobí zvýšení teploty (b) zvýšení koncentrace vodivostních elektronů, (c) zvětšení počtu srážek vodivostních elektronů? e Obr. 27.22 Otázka 13 CVIČENI 5* ÚLOHY ODST. 27.2 Elektrický proud 1C. Svazek elektronů dopadajících na stínítko televizní obrazovky odpovídá proudu 200 y.A. Kolik elektronů dopadá na stínítko obrazovky za sekundu? 2C. Rezistorem o odporu 10 £2 prochází po dobu 4,0 min proud 5,0 A. Kolik (a) coulombů, (b) elektronů projde za tuto dobu průřezem rezistoru? 3Ú. Pás van der Graafova generátoru široký 50 cm se pohybuje rychlostí 30m-s_1 mezi zdrojem náboje a dutou koulí. Přenos náboje na kouli odpovídá proudu 100 y.A. Vypočtěte povrchovou hustotu náboje pásu. 4Ú. Izolovaná vodivá koule má poloměr 10 cm. Jeden vodič do ní přivádí proud 1,000 0020 A, druhý vodič z ní odvádí proud 1,000 000 0 A. Za jak dlouho potenciál koule vzroste o 1000 V? ODST. 27.3 Hustota proudu 5C. V tabulce je uveden výpis z normy (USA), která udává maximální bezpečný (přípustný) proud /m pro měděné vodiče různých průměrů d s pryžovou izolací. Nakreslete graf závislosti maximální bezpečné hustoty proudu jako funkci průměru vodiče. Který typ vodiče má největší bezpečnou hustotu proudu? Typ vodiče (CW) 4 6 8 10 12 14 16 18 d/mm 5,20 4,13 3,28 2,60 2,06 1,64 1,30 1,03 7m/A 70 50 35 25 20 15 6 3 6C. Svazek iontů obsahuje 2,0-108 kladně nabitých iontů v krychlovém centimetru, každý iont nese náboj +2e. Všechny ionty se pohybují k severu rychlostí 1.0-105 m-s-1. (a) Jakou velikost a směr má hustota proudu JI (b) Můžete vypočítat celkový proud / v tomto iontovém svazku? Jestliže ne, jakou další informaci byste k tomu potřebovali? 7C. Malý, ale měřitelný proud 1,2-10_ 10 A prochází měděným drátem o průměru 2,5 mm. Předpokládejte, že proud je v celém průřezu vodiče konstantní, a vypočtěte (a) hustotu proudu, (b) driftovou rychlost elektronů (viz př. 27.3). 8C. Pojistka v elektrickém obvodu je v podstatě tenký drátek, který se má přetavit a tak rozpojit obvod, jestliže proud překročí danou hodnotu. Předpokládej te, že se drátek přetaví, když hustota proudu dosáhne 440 A-cm-2. Jaký průměr musí mít (válcový) drátek, aby vydržel bez přetavení maximální proud 0,50 A? 9C. V plynové výbojce poteče proud, je-li napětí mezi elektrodami uvnitř trubice dostatečně velké. Plyn se ionizuje, elektrony se pohybují směrem ke kladné elektrodě a kladně nabité ionty směrem k záporné elektrodě. Jaká je velikost a směr proudu ve vodíkové výbojce, v níž 3.1-1018 elektronů a 1.1-1018 protonů projde za sekundu průřezem trubice? 10C. Přechod p-n je vytvořen ze dvou polovodičů ve tvaru válce o poloměru 0,165 mm (obr. 27.23). Při určitém zapojení prochází přechodem 3,50-1015 elektronů za sekundu z polovodiče n do polovodiče p a 2,25-1015 děr za sekundu z polovodiče p do polovodiče n. (Díra se chová jako částice s nábojem +e.) Vypočtěte (a) celkový proud, (b) hustotu proudu procházejícího přechodem. Obr. 27.23 Cvičení 10 712 KAPITOLA 27 PROUD A ODPOR 11Ú. Protony ve slunečním větru se v blízkosti Země pohybují rychlostí 470km-s-1 a jejich koncentrace je 8,70cm-3, (a) Vypočtěte hustotu proudu protonů, (b) Kdyby magnetické pole Země protony nevychylovalo, dopadly by na Zemi. Jak velký elektrický proud by na Zemi dopadal? 12Ú. Svazek letících a-částic, z nichž každá nese náboj Q = = +2e a má energii 20MeV, vytváří proud 0,25 y.A. (a) Kolik a-částic dopadne na rovinný povrch za 3,0 s, jestliže svazek směřuje kolmo k němu? (b) Kolik a-částic se v každém okamžiku nachází ve 20 cm dlouhém úseku svazku? (c) Jakým napětím musela být a-částice urychlena z klidu, aby získala energii 20MeV? 13Ú. Jak dlouho elektronům trvá, než se dostanou z autobaterie do startéru? Předpokládejte, že prochází proud 300 A a elektrony se pohybují měděným vodičem o průřezu 0,21 cm2 a délce 0,85m. (Viz př. 27.3). 14U. V hypotetické výzkumné laboratoři jaderných reakcí je pň velmi vysoké teplotě helium úplně ionizováno, takže každý heliový atom je rozdělen na kladně nabité jádro (a-částici) a dva volné elektrony. Vnější elektrické pole způsobí, že a-částice se pohybují driftovou rychlostí 25m-s_1 směrem na východ a elektrony rychlostí 88 m-s-1 na západ. Koncentrace a-částic je 2,8-1015 cm-3. 'Vypočtěte výslednou hustotu proudu a určete směr proudu. 15Ú. (a) Hustota proudu ve válcovém vodiči o poloměru R se mění podle vztahu kde r je vzdálenost od osy válce. Hustota proudu tedy dosahuje maximální hodnoty Jq v ose vodiče (r = 0) a lineárně klesá k nule na povrchu vodiče (r = R). (a) Vypočtěte proud ve vodiči a vyjádřete ho pomocí proudové hustoty Jo a průřezu vodiče S = TiR2. (b) Uvažujte jinou situaci: hustota proudu má největší hodnotu Jo na povrchu válcového vodiče a lineárně klesá k nule v ose vodiče podle vztahu / = Jor/R. Opět vypočtěte proud. Proč vychází jiný proud než v otázce (a)? ODST. 27.4 Odpor a rezistivita 16C. Ocelová tramvajová kolejnice má průřez 56,0cm2. Jaký je odpor 10,0 km kolejí? Rezistivita oceli je 3,00-10-7 £2-m. 17C. Drátmáprůměr I,0mm,délku2,0maodpor50m£2. Jaká je rezistivita materiálu? 18C. Nichromový drát (slitina niklu, chrómu a železa užívaná často v topných článcích) j e 1,0 m dlouhý a má průřez 1,0 mm2. Při napětí 2,0 V jím prochází proud 4,0 A. Vypočtěte kondukti-vitu a nichromu. 19C. Člověka může zabít už elektrický proud 50 mA, pokud prochází v blízkosti jeho srdce. Opravář uchopí upocenýma rukama dva vodiče a propojí je tak svým tělem. Jaké napětí mu může být osudné, je-li odpor jeho těla 2000 £2? 20C. Cívka j e vytvořena navinutím 250 závitů izolovaného měděného drátu o průměru 1,3 mm v jedné vrstvě na válcové jádro o poloměru 12 cm. Jaký je její odpor? Tloušťku izolace zanedbejte. (Použijte údajů z tab. 27.1.) 21C. Drát dlouhý 4,00 m o průměru 6,00 mm má odpor 15,Om£2 a je k němu přiloženo napětí 23,0 V. (a) Jaký proud prochází drátem? (b) Jaká je hustota proudu v drátu? (c) 'Vypočtěte rezistivitu materiálu drátu a určete, co je to za materiál (použijte údajů v tab. 27.1). 22C. Měděné vinutí motoru má odpor 50 £2 při teplotě 20 °C, když motor neběží. Je-li motor několik hodin v chodu, odpor se zvýší na 58 £2. Jakou teplotu má přitom vinutí? Zanedbejte změny rozměrů vinutí. (Použijte údajů v tab. 27.1.) 23C. (a) Při jaké teplotě by byl odpor měděného vodiče dvakrát větší než jeho odpor při teplotě 20 °C? (Považujte teplotu 20 °C za referenční teplotu v rov. (27.17) a porovnejte svoji odpověď s obr. 27.10.) (b) Platí výsledek pro všechny měděné vodiče, bez ohledu na jejich tvar nebo velikost? 24C. Použijte údaje z obr. 27.11c a nakreslete graf závislosti odporu polovodičové diody na přiloženém napětí. 25C. Housenka dlouhá 4,0 cm se plazí ve směru pohybu elektronů po neizolováném měděném drátu o průměru 5,2 mm, kterým prochází proud 12 A. (a) Jaké je napětí mezi konci housenky? (b) Má její ocas vyšší, nebo nižší potenciál než její hlava? (c) Jak dlouho by housence trvalo, než by se odplazila o 1,0 cm, kdyby rychlost jejího plazení byla stejná jako driftová rychlost elektronů v drátu? 26C. Válcovou měděnou tyč délky L a průřezu S vytáhneme na dvojnásobnou délku, aniž by se změnil její objem, (a) Jaký je její nový průřez? (b) Jaký odpor má po vytažení, jestliže původně měla odpor R1 27C. Drát o odporu 6,0 £2 je protažen otvorem matrice tak, že se jeho délka ztrojnásobí. Vypočtěte odpor vytaženého drátu za předpokladu, že rezistivita a hustota materiálu se nezměnily. 28C. Určitý drát má odpor R. Jaký odpor má jiný drát ze stejného materiálu, jsou-li jeho délka a průměr poloviční? 29Ú. Drát A a trubice B jsou vyrobeny ze stejného materiálu a mají stejnou délku 1 m. Drát má průměr 1,0 mm, trubice má vněj ší průměr 2,0 mm a vnitřní průměr 1,0 mm. Vypočtěte poměr jejich odporů Ra/Rb- 30Ú. Měděný a železný drát mají stejnou délku a je k nim přiloženo stejné napětí, (a) Jaký musí být poměr jejich poloměrů, aby jimi procházel stejný proud? (b) Je možné najít takové poloměry drátů, aby hustota proudu byla stejná? 31Ú. Hliníková tyč je 1,3 m dlouhá a má čtvercový průřez o straně 5,2 mm. (a) Jaký odpor naměříme mezi jejími konci? (b) Jaký by musel být průměr válcové měděné tyče téže délky, aby měla stejný odpor? 32Ú. Kovová válcová tyč o průměru 5,50mm je l,60m dlouhá. Odpor (měřený mezi jejími konci) při teplotě 20 °C je 1,09-10-3 £2. (a) Z jakého je materiálu? (b) Ze stejného materiálu je vyroben kotouč o průměru 2,00cm a tloušťce 1,00 mm. Jaký je jeho odpor měřený mezi protějšími kruhovými plochami za předpokladu, že obě jsou ekvipotenciálními plochami? CVIČENÍ & ÚLOHY 713 33Ú. Elektrický kabel je tvořen svazkem 125 tenkých drátů, každý z nich má odpor 2,65 y.Q. Prochází jím celkový proud 0,750 A. (a) Jaký proud prochází každým drátem kabelu? (b) Jaké je napětí na kabelu? (c) Jaký je odpor kabelu? 34Ú. Je-li k válcovému vodiči o délce 10 m a poloměru 0,30mm přiloženo napětí 115 V, je hustota proudu ve vodiči 1,4-104 A-m-2. Vypočtěte odpor vodiče. 35Ú. Zábleskovou žárovkou prochází proud 0,30 A při napětí 2,9 V. Odpor vlákna žárovky při pokojové teplotě (20 °C) je 1,1 fl. Jaká je teplota vlákna při záblesku? Vlákno je z wolframu. 36Ú. Vzdálenost mezi přední a zadní stěnou kvádruje 15,8 cm, obsah každé z nich je 3,50 cm2 a odpor (měřený mezi nimi) je 935 si. Koncentrace vodivostních elektronů v materiálu, z něhož je kvádr vyroben, je 5,33-1022m-3. Mezi přední a zadní stěnu kvádru je přiloženo napětí 35,8 V. (a) Jaký proud prochází kvádrem? (b) Jaká je hustota proudu (předpokládáme-li, že je konstantní v celém průřezu)? (c) Jaká je driftová rychlost vodivostních elektronů? (d) Jaká je intenzita elektrického pole v kvádru? 37Ú. Z mědi i z hliníku se vyrábějí vysokonapěťové vodiče, kterými může procházet proud až 60,0 A. Odpor jednoho kilometru takového vodiče má být 0,150 £2-km_1. Vypočtěte pro oba materiály (a) hustoto proudu, (b) hmotnost jednoho metru kabelu. Hustota mědi je 8 960kg-m-3, hliníku je 2700 kg-m-3. 38Ú. V nižších vrstvách zemské atmosféry jsou záporné a kladné ionty vznikající ionizačním účinkem záření radioaktivních prvků v zemské kůře a kosmických paprsků. V určité oblasti má intenzita atmosférického elektrického pole velikost 120 V-m-1 a je orientována svisle dolů. Elektrické pole způsobuje, že kladné jednomocné ionty o koncentraci 620 cm-3 se pohybují směrem dolů a záporné jednomocné ionty o koncentraci 550 cm-3 se pohybují nahom (obr. 27.24). Naměřená konduk-tivita je 2,70-10-14 Í2_1-m_1. Vypočtěte (a) driftovou rychlost iontů za předpokladu, že je stejná pro kladné i záporné ionty, (b) hustotu proudu. Obr. 27.24 Úloha 38 39Ú. Typové číslo CW určuje průměr drátu takto: zvětší-li se o 6, průměr drátu se zmenší na polovinu, zvětší-li se o 1, průměr drátu se zmenší faktorem 21/6 (viz cvič. 5). Určete odpor 10 m měděného drátu typu CW22, víte-li, že 400 m dlouhý měděný drát typu CW10 má odpor 1,00 S2. 40Ú. Jestliže se kovová tyč zahřívá, nemění se jen její odpor, ale také její délka a průřez. Vztah R = qL/S napovídá, že při měření rezistivity q při různých teplotách je třeba vzít v úvahu změny všech tří veličin s teplotou, (a) O kolik procent se změní odpor R, délka L a průřez 5 měděného vodiče, změní-li se jeho teplota o 1 °C? Teplotní součinitel délkové roztažnosti mědi je 1.7-10-5 K_1. (b) Jaký závěr z toho můžete vyvodit? 41Ú. Rezistor má tvar komolého kužele (obr. 27.25). Poloměry jeho kruhových podstav jsou a, b a jeho výška je L. Jestliže se kužel zužuje jen málo, můžeme předpokládat, že zvolíme-li libovolný průřez kolmý k ose, bude v něm hustota proudu konstantní (a ovšem jiná než v jiném průřezu), (a) Vypočtěte odpor rezistom. (b) Ověřte si, že váš vzorec pro odpor se zjednoduší na q(L/S) ve zvláštním případě, že se kužel vůbec nezužuje (tedy pro a = b, tj. pro válec). --L-H Obr. 27.25 Úloha 41 ODST. 27.6 Mikroskopický pohled na Ohmův zákon 42Ú. Ukažte, že podle modelu elektrické vodivosti volných elektronů v kovu a klasické fyziky by rezistivita kovů byla úměrná -jť, kde T je teplota měřená v kelvinech (viz rovnici (20.27)). ODST. 27.7 Výkon v elektrických obvodech 43C. Student poslouchá radiopřijímač napájený ze zdroje o napětí 9,0V, puštěný na plný výkon 7,0W od 9.00h ráno do 14.00 h odpoledne. Jak velký elektrický náboj projde za to dobu radiopřijímačem? 44C. Rentgenovou lampou prochází proud 7,0 mA při napětí 80 kV. Jaký je odpovídající výkon ve wattech? 45C. Při průchodu proudu 3,0 A rezistorem se v něm vyvíjí teplo s výkonem 100 J-s-1. Jaký je jeho odpor? 46C. Naplno svítící světlomety jedoucího automobilu odebírají proud 10 A při napětí 12 V z generátom poháněného motorem. Předpokládejte, že účinnost generátom je 80 % (to znamená, že výstupní elektrický výkon je roven 80 % vstupního mechanického výkonu). Vypočtěte, jaký výkon musí mít motor, aby svěúomety naplno svítily. 47C. Topná spirála je připojena na napětí 230 V, odpor rozpálené spirály je 14 £2. (a) S jakým výkonem se ve spirále vyvíjí teplo? (b) Jestliže jedna Idlowattoodina elektrické energie stojí 1,75 Kč, kolik zaplatíme, budeme-li spirálou topit 5,0 h? 714 KAPITOLA 27 PROUD A ODPOR 48C. Topná spirála o výkonu 500 W je připojena na napětí 230 V. (a) Jaký je odpor rozpálené spirály? 0)) Jakou rychlostí (měřenou v C-s-1) je přenášen elektrický náboj elektronů libovolným průřezem spirály? 49C. Rezistor o neznámém odporu je připojen ke svorkám 3,00 V baterie. Elektrická energie je v rezistoru disipována rychlostí 0,540W. Tentýž rezistor je připojen ke svorkám 1,50V baterie. Jakým výkonem je pak disipována elektrická energie? 50C. Měděný drát s pryžovou izolací typu CW10 o průměru 2,6 mm má normou stanovený maximální bezpečný proud 25 A (viz cvič. 5). Při tomto proudu vypočtěte: (a) hustotu proudu, (b) intenzitu elektrického pole, (c) napětí mezi konci drátu, je-li jeho délka 300 m, (d) výkon, s jakým se v 300 m dlouhém drátu vyvíjí teplo. 51C. Ke koncům měděného drátu o průměru lmm a délce 33,0 m je přiloženo napětí 1,20 V. Vypočtěte: (a) proud, (b) hustotu proudu, (c) intenzitu elektrického pole, (d) výkon, s jakým se v drátu vyvíjí teplo. 52Ú. Ke koncům vodiče o délce L, průřezu S a rezistivitě g je přiloženo napětí U. Vaším úkolem je změnit přiložené napětí U a současně protáhnout drát tak, aby se disipovaný výkon elektrické energie v drátu zvětšil 30krát a proud 4krát. Jaká bude nová délka a nový průřez drátu? 53Ú. Válcový rezistor o poloměru 5,0 mm a délce 2,0 cm je vyroben z materiálu o rezistivitě 3.5-10-5 £2-m. Vypočtěte (a) hustotu proudu, (b) přiložené napětí, je-li výkon disipovaný rezisto-rem roven 1,0W. 54Ú. Jednoduchý topný článek je zhotoven tak, že ke koncům drátu z nichromu o průřezu 2,60-10_6m2 a rezistivitě 5,00-10-7 í2-mje přiloženo napětí 75,0 V. (a) Jak dlouhý je drát, je-li elektrická energie v článku disipována s výkonem 5 000 W? (b) Jaká musí být délka drátu, jestliže přiložené napětí se změní na 100 V a rychlost disipace má zůstat stejná? 55Ú. Žárovka o příkonu 100 W je připojena na napětí 230 V. (a) Kolik bychom zaplatili, kdyby žárovka svítila nepřetržitě celý měsíc? Předpokládejte, že 1 kW-h elektrické energie stojí 1,75 Kč. (b) Jaký je odpor svítící žárovky? (c) Jaký proud prochází žárovkou? (d) Je odpor zhasnuté žárovky větší, stejný, nebo menší? 56Ú. Teplomet o příkonu 1250W pracuje při napětí 230 V. (a) Jaký proud prochází teplometem? (b) Jaký je odpor topné spirály? (c) Kolik tepla se vyvine v teplometu za 1 hodinu? 57Ú. Topný článek z nichromového drátu je pňpojen na napětí 110 V. Elektrická energie je v něm disipována výkonem 500 W. Teplota drátu je 800 °C. Jaká by byla rychlost disipace energie, kdyby byl drát ponořen do chladicí olejové lázně a jeho teplota udržována na 200 °C? Přiložené napětí se nemění, teplotní součinitel rezistivity nichromu při 800 °C je 4,0-10-4 K_1. 58Ú. Na měděný terč dopadá svazek deuteronů urychlených v cyklotronu tak, že každý deuteron ve svazku má energii 16MeV. Elektrický proud přenášený svazkem je 15 [iA. (a) Jakou rychlostí vnikají deuterony do mědi? (b) S jakým výkonem se v měděném terči vyvíjí teplo? 59Ú. V Uneárním urychlovači vzniká pulzující svazek elektronů, proud pulzu je 0,50 A, délka pulzu je O.lO^s. (a) Kolik urychlených elektronů je v každém pulzu? (b) Jaká je střední hodnota proudu při 500 pulzech za sekundu? (c) Jaký je střední a špičkový výkon urychlovače, je-li energie každého urychleného elektronu 50 MeV? 60Ú. Spirála navinutá z nichromového drátu je ponořena do kapaliny v kalorimetru. Ke spirále je přiloženo napětí 12 V a prochází jí proud 5,2 A. Kapalina v kalorimetru vře a vypařuje se stálou rychlostí 21mg-s_1. Vypočtěte měrné skupenské teplo varu kapaliny (vyjádřené v jednotce J-kg-1). (Viz čl. 19.7.) 61Ú. Na obr. 27.26 je nakreslen elektrický obvod se spirálou umístěnou uvnitř tepelně izolovaného válce s ideálním plynem. Válec je uzavřen pístem, který se pohybuje bez tření. Spirálou prochází proud 240 mA, její odpor je 550 £2, hmotnost pístu je 12 kg. Jak velkou rychlostí v se musí píst zvedat, aby se teplota plynu ve válci neměnila? Obr. 27.26 Úloha 61 62Ú. Topné těleso o příkonu 500 W pracuje při napětí 115 V. (a) O kolik procent se sníží jeho tepelný výkon, jestliže napětí klesne na 110 V? Předpokládejte, že odpor se nezmění, (b) Nyní vezměte v úvahu i změnu odporu s teplotou. Bude pokles tepelného výkonu větší, nebo menší, než jste vypočítali v části (a)? PRO POČÍTAČ 63Ú. Odpor rezistoru byl měřen při několika teplotách, výsledky jsou uvedeny v tabulce. Zadejte údaje z tabulky do počítače a proveďte lineární regresi závislosti odporu R na teplotě T. Pomocí parametrů lineární regrese vypočtěte odpor při teplotě (a) 20 °C, (b) 0 °C. Určete teplotní součinitel odporu při referenční teplotě (c) 20 °C, (d) 0 °C. (e) Určete odpor rezistoru při teplotě 265 °C. T/°C 50 100 150 200 250 300 Ä/Í2 139 171 203 234 266 298 Obvody Paúhoř elektrický (Electrophorus electricus) číhá v řekách Jižní Ameriky a ryby, jimiž se živí, zabíjí pulzem elektrického proudu. Dělá to tak, že podél svého těla vytvoří napětí až několika set voltů, takže elektrický proud tekoucí okolní vodou, od úhořovy hlavy k ocasu, může dosáhnout až jednoho ampéru. Kdybyste se při plavání k paúhoři neopatrně přiblížili, asi byste se velice divili (samozřejmě až poté, co byste se vzpamatovali z velmi bolestivého zážitku): Jak je možné, že tento tvor dokáže vyprodukovat ták velký proud a sám sobě neublíží? 716 KAPITOLA 28 OBVODY 28.1 „PUMPOVANÍ" NÁBOJU Chceme-li přinutit nosiče náboje, aby protékaly rezistorem, musíme vytvořit napětí (tedy rozdíl potenciálů) mezi jeho konci. Můžeme to udělat tak, že vezmeme dvě vodivé koule, jednu nabitou kladným nábojem a druhou záporným, a spojíme je přes rezistor. To má ale velkou vadu: jak teče náboj, koule se vybíjejí a za krátkou dobu budou mít obě koule stejný potenciál a tok náboje se zastaví. Aby náboje tekly neustále, potřebujeme mít nějakou „nábojovou pumpu", tedy zařízení, které udržuje napětí mezi svými svorkami a přitom je za tím účelem schopné konat práci při přemísťování nosičů náboje. Takové zařízení se nazývá zdroj elektromotorického napětí. Říkáme pak, že zdroj vytváří elektromotorické napětí (zkratka emn). Elektromotorické napětí jako veličinu označujeme symbolem §. i; - : i-ilPV1'' ' *> nmmuumiiiiimimiiiiiiiMiHiífM/fff/ŕŕffí//////// ■lít '"i^^ĚBmist* Největší baterie na světě v Chino v KaUfornii je schopna dodávat výkon až 10MW. Používá se ve špičkách v elektrické síti společnosti Southern California Edison. Běžnými zdroji emn jsou baterie používané jako zdroje energie, od náramkových hodinek až po ponorky. Náš život však nejvíce ovlivňují jiné zdroje emn, a to elektrické generátory, které vytvářejí napětí pro domácnost i pro pracoviště. Jinými zdroji emn jsou sluneční články. Známe je např. z fotografií umělých družic (tam jsou navzájem pospojovány a sestavovány do velkých panelů). Postupně však pronikají i do domácností. Méně známými zdroji emn jsou palivové články sloužící jako zdroj energie v raketoplánu nebo termoelektrické baterie používané v některých kosmických lodích nebo na vzdálených polárních stanicích v Antarktidě. Zdrojem emn však nemusí vždy být nějaký přistroj. Některé živé organismy, například električtí pa-úhoři, ale i lidé, ba i určité rostliny, mají fyziologickézdroje emn. Přestože se vyjmenovaná zařízení výrazně liší způsobem své činnosti, všechna mají tutéž základní funkci: mohou konat práci přemísťováním nosičů náboje a udržují napětí mezi svými svorkami. 28.2 PRÁCE, ENERGIE A ELEKTROMOTORICKÉ NAPĚTÍ Na obr. 28.1 je nakreslen zdroj emn § (předpokládejme, že je to baterie) zapojený do jednoduchého obvodu s rezistorem R. Svorka zdroje o vyšším elektrickém potenciálu se nazývá kladný pól a označuje se symbolem +, druhá svorka se nazývá záporný pól a označuje se symbolem —. Elektromotorické napětí zdroje znázorňujeme šipkou, která vychází ze záporného pólu a směřuje ke kladnému pólu (obr. 28.1). Orientace šipky udává směr, kterým se uvnitř zdroje pohybují kladné náboje. Ve vnějším obvodu protéká elektrický proud ve stejném směru (na obr. 28.1 ve směru otáčení hodinových ručiček).* Obr. 28.1 Jednoduchý + elektrický obvod, v němž zdroj emn koná práci na nosičích náboje a udržuje ustálený proud / rezistorem. Uvnitř zdroje emn se kladné náboje pohybují z oblasti nižšího elektrického potenciálu, a tedy nižší potenciální * Ve fyzice tedy mají všechny šipky směr proudu. V elektrotechnice obvykle značí šipky směr poklesu potenciálů (úbytků napětí). Směry šipek jsou tedy ve fyzice oproti elektrotechnice opačné uvnitř zdrojů emn. Na ostatních prvcích obvodů se směry šipek shodují. 28.3 VÝPOČET PROUDU V JEDNODUCHÉM OBVODU 717 energie (u záporného pólu), do oblasti vyššího potenciálu, a tedy vyšší potenciální energie u kladného pólu. Pohybují se tedy právě v opačném směru, než v jakém by je intenzita elektrického pole mezi svorkami (orientovaná od kladného pólu k zápornému) uváděla do pohybu. Z toho vyplývá, že ve zdroji emn musí být nějaký zdroj energie, který mu umožňuje konat práci pří přemísťování nábojů do míst, kde je potřebujeme mít. Zdroj energie může být chemický, např. v bateriích nebo v palivových článcích. Může užívat mechanickou práci, jak je tomu u elektrických generátorů. Teplotního rozdílu se využívá v termočláncích, a konečně zářivé (elektromagnetické) energie dodávané Sluncem ve slunečních článcích. Rozeberme si nyní obvod na obr. 28.1 z hlediska práce a přenosu energie. V každém časovém intervalu dt prochází libovolným řezem protínajícím obvod—např. rovinou a — (kladný) náboj dg. Stejně velký náboj prochází i libovolným jiným řezem; musí také vstoupit do zdroje emn jeho záporným pólem a vystoupit z něj pólem kladným. Aby se náboj dg takto pohyboval, musí zdroj vykonat práci dWz. Pomocí této práce definujeme emn zdroje dWz dg (definice emn zdroje). (28.1) Vidíme, že emn zdroje je rovno práci, kterou zdroj vykoná při přemístění kladného jednotkového náboje uvnitř zdroje od záporného pólu ke kladnému. Jednotkou emn v soustavě SI je joule na coulomb, JC_1; tuto jednotku jsme v kap. 25 nazvali volt. Ideální zdroj emn je takový, který neklade žádný odpor pohybu nosičů náboje uvnitř zdroje od pólu k pólu, nemá tedy žádný vnitřní odpor. Napětí mezi jeho póly je rovno S, tedy jeho emn. Např. ideální baterie o S = 12,0 V má vždy napětí 12,0 V mezi svými póly bez ohledu na zátěž. Reálný zdroj emn, například reálná baterie, klade určitý odpor nosičům náboje pohybujícím se uvnitř zdroje, má tedy určitý vnitřní odpor. Pokud reálný zdroj emn není zapojen do obvodu, neprotéká jím proud a jeho vnitřní odpor se neprojeví: napětí mezi jeho svorkami, tzv. svorkové napětí, je rovno jeho emn. Prochází-li však zdrojem proud, liší se napětí mezi jeho svorkami od emn. Vlastnostmi skutečných baterií se budeme zabývat v čl. 28.4. Je-li zdroj zapojen do obvodu, předává energii nosičům náboje, které jím procházejí. Nosiče náboje pak předávají získanou energii jinému zařízení zapojenému do obvodu, například svítící žárovce. Na obr. 28.2a je nakreslen obvod se dvěma ideálními akumulátorovými bateriemi A a B, rezistorem R a elektromotorem M, který zvedá výtah a používá přitom energii, kterou dostává od nosičů náboje v obvodu. Všimněte si, že baterie jsou zapojeny tak, že by vyvolávaly pohyb nosičů náboje v obvodu každá v opačném směru. Výsledný směr proudu v obvodu určuje baterie o větším emn, což je v našem případě baterie B. Chemická energie v baterii B se tedy postupně zmenšuje tak, jak se předává energie nosičům náboje procházejících baterií. Avšak chemická energie baterie A se zvětšuje, protože proud uvnitř ní teče od kladného pólu k zápornému. Baterie B tedy nabíjí baterii A. Baterie B také dodává energii motoru M a rezistoru R. Na obr. 28.2b jsou znázorněny všechny toky energií z baterie B, z nichž každý snižuje její chemickou energii. u—ih (a) práce vykonaná motorem při zvedání výtahu úbytek chemické energie < baterie B i teplo vzniklé v rezistoru chemická energie uložená v baterii A Obr. 28.2 (a) Baterie B určuje směr proudu v obvodu, neboť &b > , při průchodu v opačném směru o hodnotu —§. j^ONTROLA 1: Na obrázku je jednoduchý obvod s baterií B a rezistorem R, kterým prochází proud / (spojovací vodiče mají zanedbatelný odpor), (a) Má šipka znázorňující emn baterie ukazovat doleva, nebo doprava? Určete (b) proud, (c) elektrický potenciál, (d) elektrickou potenciální energii nosiče náboje v bodech a, b,c a uspořádejte je sestupně podle jejich velikosti. 28.4 JINE JEDNODUCHÉ OBVODY V tomto odstavci si rozšíříme poznatky o jednoduchých obvodech. Vnitřní odpor Na obr. 28.4a je reálná baterie o vnitřním odporu r spojená s rezistorem o odporu R. Vnitřní odpor baterie je vlastně elektrický odpor materiálu baterie, a proto je neodstranitel-nou vlastností baterie. Na obr. 28.4a je reálná baterie symbolicky nakreslena tak, jako by ji šlo rozdělit na ideální baterii o elektromotorickém napětí S a rezistor o odporu r. Na pořadí, v jakém tyto symboly zakreslíme, nezáleží. Použijeme smyčkové pravidlo tak, že vyjdeme z bodu a a budeme postupovat ve směru otáčení hodinových ručiček. Sestavíme tak rovnici -Ir-IR=0 a z ní vypočteme proud R + r (28.3) (28.4) Všimněte si, že tento vztah přechází v rov. (28.2), je-li baterie ideální, tj. je-li r = 0. Na obr. 28.4b je průběh elektrického potenciálu podél obvodu. (Aby graf na obr. 28.4b lépe vystihoval uzavřený obvod, představme si ho stočený do ruličky tak, že bod a vlevo splyne s bodem a vpravo.) Uvědomte si, že průchod obvodem a návrat do výchozího boduje podobný putování kolem (potenciálové) hory a návratu do počáteční nadmořské výšky. Pokud výslovně neřekneme, že jde o reálnou baterii, nebo pokud nebude zadán vnitřní odpor baterie, budeme v této knize vždy předpokládat, že baterie je ideální. Baterie v reálném světě jsou ovšem reálné a ne vždy můžeme jejich vnitřní odpor zanedbat. zdroj emn rezistor -reálná baterie / («) (*) Obr. 28.4 (a) Jednoduchý obvod s reálnou baterií o vnitřním odporu r a elektromotorickém napětí §. (b) Nahoře je nakreslen obvod rozvinutý do úsečky. V grafu vidíme změny potenciálu při průchodu obvodem ve směru otáčení hodinových ručiček. Potenciál cpa je zvolen jako nulový a ostatní potenciály v obvodu jsou vztaženy k této nulové hladině. 720 KAPITOLA 28 OBVODY Sériové zapojení rezistoru Na obr. 28.5a jsou tři rezistory zapojené sériově neboli za sebou a připojené k ideální baterii o elektromotorickém napětí S. Při sériovém zapojení prochází všemi rezistory stejný proud a celkové napětí přiložené na rezistory je rovno součtu napětí na jednotlivých rezistorech. 1 + ■AAAA—i R3 ■VvVv—1 (a) (V) Obr. 28.5 (a) Tri rezistory jsou zapojeny sériově mezi body a a b. (b) Ekvivalentní obvod, v němž je trojice rezistoru nahrazena rezistorem o odporu Rs. Hledáme odpor Rs sériové kombinace tří rezistoru na obr. 28.5a. Jinými slovy, hledáme odpor jediného (ekvivalentního) rezistoru, kterým můžeme nahradit trojici rezistoru, aniž by se při stálém napětí mezi body a, b změnil proud / v obvodu. Použijeme smyčkové pravidlo, vyjdeme z bodu a a obejdeme obvod ve směru otáčení hodinových ručiček. Dostaneme - IRi - IR2 - IR3 = 0, tedy / =-. (28.5) Ri + R2 + R3 Kdybychom trojici rezistoru nahradili jediným rezistorem o odporu Rs podle obr. 28.5b, dostali bychom / = -J- (28.6) Porovnáme-li rov. (28.5) a (28.6), obdržíme Rs = Ri + R2 + R3- Výsledek lze snadno rozšířit na sériovou kombinaci n rezistoru: n Rs = ^2 R j (n rezistoru zapojených sériově). (28.7) Je zřejmé, že při sériovém zapojení rezistoru je ekvivalentní odpor Rs větší než odpor kteréhokoli z rezistoru. 28.5 NAPĚTÍ V OBVODECH Často chceme určit rozdíl potenciálů (tedy napětí) mezi dvěma body obvodu. Jaké je například napětí mezi body b a a v obvodu na obr. 28.4a? Abychom ho vypočítali, vyjděme z bodu b a postupujme obvodem ve směru otáčení hodinových ručiček k bodu a přes rezistor R. Jestliže tedy rychlosti, s jakou ubývá chemická energie baterie. Tedy Pemn = I (výkon zdroje emn). (28.14) Jestliže se baterie nabíjí (proud jí protéká opačným směrem, než když se vybíjí), nosiče nábojů přenášejí energii do baterie. Přitom se část energie přeměňuje v chemickou energii baterie a část je disipována na jejím vnitřním odporu. Rychlost změny (přírůstku) chemické energie je dána rov. (28.14); rychlost, s níž je energie disipována ve zdroji, je dána rov. (28.13); rychlost, s níž nosiče náboje dodávají baterii energii, je dána rov. (28.11). KONTROLA 2: Pro rezistory na obr. 28.5a platí R\ > > R2 > R3- Uspořádejte rezistory sestupně podle (a) velikosti proudu, který jimi prochází, (b) napětí na jejich svorkách. PŘIKLAD 28.1 ■Vypočtěte proud v obvodu na obr. 28.6a. Elektromotorická napětí a odpory rezistorů jsou: S\ = 4,4 V, &2 = 2, IV, r\ = 2,3 £2, r2 = 1,8 £2, R = 5,5 £2. baterie baterie 2 m 1 -Ä n R r2 j>2^ - Hl—WW-S-^vW-S-tWVN—ih- a baterie 1 rezistor baterie 2 Obr. 28.6 Příklady 28.1 a 28.2. (a) Jednoduchá smyčka obsahující dvě reálné baterie a rezistor. Baterie jsou zapojeny „proti sobě" — to znamená, že by samy o sobě vyvolávaly proudy v obvodu v opačných směrech, (b) Graf průběhu potenciálu podél obvodu pň průchodu obvodem od bodu a proti směru otáčení hodinových ručiček, přičemž potenciál bodu a je zvolen jako nulový. (Aby vztah mezi obvodem a grafem byl zřetelnější, představme si, že obvod přerušíme v bodě a, potom rozevřeme levou část obvodu směrem doleva a pravou část obvodu směrem doprava.) Protože přes baterii 1 procházíme od vyššího potenciálu k nižšímu proti směru proudu, potenciál se sníží o hodnotu S\ a zvýší o hodnotu Ir\. Protože přes rezistor R procházíme proti směru proudu, potenciál se zvýší o hodnotu IR. Protože přes baterii 2 procházíme od nižšího potenciálu k vyššímu proti směru proudu, potenciál se zvýší o hodnotu Si a poté o hodnotu Iri. ŘEŠENÍ: Baterie jsou zapojeny „proti sobě"; protože však S\ je větší než 82, určuje směr proudu v obvodu baterie 1. Použijeme-li smyčkové pravidlo aprojdeme-li obvodem proti směru otáčení hodinových ručiček od bodu a, dostaneme -b - In +£i= h = T3' kde U je napětí mezi body a a b. Použijeme-h uzlového pravidla pro uzel ležící vpravo od bodu a a dosadíme-li za proudy, dostaneme I = I1+h + h = U(± + -L + -L). (28.18) Kdybychom nahradili paralelní kombinaci tří rezistoru jediným rezistorem o odporu Rp (obr. 28.8b), dostali bychom / = U (28.19) Porovnáním rovnic (28.18) a (28.19) dospějeme k závěru, že 1111 — = — + — + —. (28.20) Rp Ri R2 R3 724 KAPITOLA 28 OBVODY Rozšíříme-li tento výsledek na n rezistoru zapojených paralelně, obdržíme vztah --Ž- (n rezistoru zapojených paralelně). (28.21) Jsou-li paralelně zapojeny jen dva rezistory, je výsledný odpor tedy roven součinu odporů obou rezistoru dělenému jejich součtem RlRz (28.22) RP = R1 + R2 Všimněte si, že pokud dva nebo více rezistoru zapojíme paralelně, je ekvivalentní odpor menší než odpor libovolného ze zapojených rezistoru. V tab. 28.1 jsou shrnuty vztahy pro hodnoty ekvivalentních odporů a kapacit pro rezistory a kondenzátory zapojené sériově nebo paralelně. Tabulka 28.1 Sériové a paralelní zapojení rezistoru a kondenzátoru SÉRIOVÉ ZAPOJENÍ (ZA SEBOU) PARALELNÍ ZAPOJENÍ (VEDLE SEBE) stejný proud každým z rezistoru Rezistory (28.7) (28.21) stejné napětí na každém rezistoru 1 " 1 - = T — j=i J Kondenzátory (26.20) Cp = stejný náboj na každém z kondenzátoru stejné napětí na každém kondenzátoru j^ONTROLA 4: Baterie, na jejichž svorkách je napětí U a kterou protéká proud /, je připojena ke dvěma stejným rezistorům. Jaké je napětí na jednotlivých rezisto-rech a jaký proud jimi protéká, jsou-li zapojeny (a) sériově, (b) paralelně? PŘIKLAD 28.3 Na obr. 28.9a je obvod s jednou ideální baterií S = 12 V a čtyřmi rezistory o odporech R\ = 20 £2, R2 = 20 SI, R3 = = 30 ň, R4 = 8,0 Si. (a) Jaký proud prochází baterií? ŘEŠENÍ: Proud procházející baterií protéká také rezisto-rem R\. Abychom mohli vypočítat proud, musíme napsat Kirchhoffův zákon pro nějakou smyčku obsahující re-zistor R\; může to být buďlevá smyčka, nebo celková smyčka. Šipka znázorňující emn baterie je orientována nahoru a proud, který baterie dodává do obvodu, teče ve směru otáčení hodinových ručiček. Pokud bychom použili smyčkového pravidla pro levou smyčku, a to ve směru otáčení hodinových ručiček s výchozím bodem a, mohli bychom napsat +<ř - IRi - IR2 - IR4 = 0 (nesprávně). Tato rovnice je však nesprávná, protože se v ní předpokládá, že rezistory R\, R2 a prochází stejný proud /. Rezistory R\ a /?4 opravdu prochází stejný proud, protože proud protékající rezistorem ä4 musí projít baterií a také rezistorem R\, aniž by se změnila jeho hodnota. Avšak tento proud se dělí v uzlu b na dvě části, jedna část teče do rezistoru R2 a zbytek do rezistoru ä3. 1-^/vV Ä4 ä3 *R2 HWVH Ri 4- - Ri< ä4 1 («0 (b) Obr. 28.9 Příklad 28.3. (a) Obvod složený z několika smyček s ideální baterií o elektromotorickém napětí S a se čtyřmi rezistory. (b) Proudy procházející rezistory. (c) Zjednodušený obvod. Rezistory R2 a ä3 jsou nahrazeny rezistorem o ekvivalentním odporu Ä23- Proud procházející rezistorem R23 je stejný jako proud rezistory Ri a r4. Abychom odlišili různé proudy v obvodu, musíme je označit různými symboly jako na obr. 28.9b. Pomocí smyčkového pravidla pak napíšeme rovnici pro levou smyčku ve tvaru +S - hRi - I2R2 - I1R4 = 0. Tato rovnice však obsahuje dvě neznámé veličiny I\ a I2. Proto potřebujeme ještě jednu rovnici, abychom mohli proudy vypočítat. Druhá a mnohem snadnější cesta k výsledku je zjednodušit obvod na obr. 28.9b pomocí ekvivalentního rezistoru. Všimněte si, že rezistory Ri a R2 nejsou zapojeny sériově, takže 28.6 OBVODY S VÍCE SMYČKAMI 725 nemohou být nahrazeny ekvivalentním rezistorem. Rezistory /?2 a 7?3 jsou však zapojeny paralelně, takže můžeme použít buď rov. (28.21), nebo rov. (28.22) a vypočítat odpovídající ekvivalentní odpor R23: R23 R2R3 (20Q)(30fí) R2 + R3 (50 ň) 12fí. Nyní překreshme obvod do podoby na obr. 28.9c. Všimněte si, že rezistorem R23 musí procházet proud 7i, protože tento proud teče rezistory R\ a R4 a musí tedy spojitě pokračovat i rezistorem R23. Máme tedy jednoduchý obvod s jedinou smyčkou a použitím smyčkového pravidla (ve směru otáčení hodinových ručiček od výchozího bodu a) dostaneme +g - hRi - I1R23 - hR4 = 0. Po dosazení číselných hodnot vyjde (12 V) - 7i(20fi) - /i(12S2) - 7^8,0 fi) = 0 a odtud proud (12 VI /1 = W^=°'30A- (°dP0Věd) (b) Jaký proud 72 prochází rezistorem 7*2? ŘEŠENÍ: Podívejme se opět na obr. 28.9c. Z předcházející části příkladu víme, že proud procházející rezistorem 7?23 je 7i = 0,30 A. Můžeme tedy použít rov. (27.8) (R = U/I), abychom vypočítali napětí U23 na rezistoru R23: U23 = 7i7ť23 = (0,30A)(12£2) = 3,6 V. Stejné napětí je také na rezistorech R2 a R3. Pomocí rov. (27.8) nyní dostaneme Ui (3,6 V) Í2 = Í = W=°'18A- (0dP°Věď) (c) Jaký proud 73 prochází rezistorem 7?3? ŘEŠENÍ: Použijeme uzlového pravidla pro uzel b na obr. 28.9b a pomocí předcházejících výsledků vyjde 73 = 7i - 72 = (0,30 A) - (0,18 A) = = 0,12 A. (Odpověď) PŘIKLAD 28.4 Na obr. 28.10 je obvod, jehož prvky mají hodnoty S\ = = 3,0 V, S2 = 6,0 V, 7?i = 2,0 Q, 7?2 = 4,0 £2. Tři baterie v obvodu jsou ideální zdroje. Určete velikost a směr proudu v každé ze tří větví obvodu. Obr. 28.10 Příklad 28.4. Obvod se třemi smyčkami, v němž jsou zapojeny tři ideální baterie a pět rezistoru. ŘEŠENÍ: V tomto případě není příliš užitečné pokoušet se obvod zjednodušit, protože žádné dva rezistory nejsou zapojeny paralelně a rezistory zapojené sériově (v pravé větvi nebo v levé větvi) nepředstavují žádný problém. Použijeme tedy smyčkové a uzlové pravidlo a budeme řešit získanou soustavu rovnic. Označíme libovolně směry proudů (obr. 28.10) a pomocí uzlového pravidla pro uzel a napíšeme 73 = 7i + 72. (28.23) Použití uzlového pravidla pro uzel b by vedlo ke stejné rovnici. Dále užijeme smyčkového pravidla pro libovolné dvě ze tři smyček obvodu. Vezměme třeba levou smyčku, zvolme bod a za výchozí a rozhodněme se projít touto smyčkou proti směru otáčení hodinových ručiček. Obdržíme tak rovnici -7i/?i -Si- hRi +£2 + I2R2 = 0, kterou můžeme ihned zjednodušit dosazením číselných hodnot do tvaru 7i(4,0fi)-72(4,0S2) = 3,0V. (28.24) Jako druhou zvolíme pravou smyčku. Projdeme-li jí z bodu a ve směru otáčení hodinových ručiček, dostaneme rovnici +737?i -S2 + I3R1 +£2 + I2R2 = 0 a po dosazení: 72(4,0 Q) + 73(4,0 fi) = 0. (28.25) Pomocí rov. (28.23) vyloučíme proud 73 z rov. (28.25), což dává 7i(4,0 ň) + 72(8,0 fi) = 0. (28.26) Nyní máme soustavu dvou rovnic (28.24) a (28.26) se dvěma neznámými proudy 7i a 72, kterou můžeme velmi snadno vyřešit. Nejprve vypočteme 72 = -0,25 A. 726 KAPITOLA 28 OBVODY Záporné znaménko napovídá, že proud I2 teče opačným směrem, než který jsme zvolili. Teče tedy vzhůru baterií £2 a rezistorem R2. Nyní dosadíme proud I2 = —0,25 A do rov. (28.26) a vypočteme 7i=0,50A. (Odpověď) Užitím rov. (28.23) určíme /3 = Ix + I2 = 0,25 A. (Odpověď) Kladné znaménko vypočtených proudů I\ a I3 potvrzuje, že jsme směr těchto proudů zvolili správně. Na závěr opravíme směr proudu I2 a dostaneme 72 = 0,25A. (Odpověď) PŘIKLAD 28.5 Elektrické ryby vytvářejí elektrické napětí ve zvláštních biologických buňkách nazývaných elektroplaxy, které jsou fyziologickými zdroji emn. Elektroplaxy jihoamerického pa-úhoře elektrického zobrazeného na fotografii na začátku této kapitoly jsou uspořádány ve 140 řádcích podél jeho těla, přičemž každý řádek obsahuje asi 5 000 elektroplaxů. Uspořádání je znázorněno na obr. 28.11a. Každý elektroplax má elektromotorické napětí £ = 0,15 V a vnitřní odpor 0,25 fi. (a) Jaký proud prochází vodou od paúhořovy hlavy k ocasu, je-li odpor vody v okolí paúhoře Rv = 800 fí? ŘEŠENÍ: Nejprve zjednodušíme obvod na obr. 28.1 la. Celkové emn 5 000 elektroplaxů v jednom řádku je součtem - elektroplax jrVvVMl-VvV— 5 000 elektroplaxů v řádku Hi-vW—|i-vW— -IrVvV- 140 řádků jMAMlV//------MAA ■vw- 750V -li-Ju, Rf 1 ! * -+- I I 1 Rt ■vW- Rt -VvNA- R\ ■VW- (c) Rv ■vw- Obr. 28.11 Příklad 28.5. (a) Elektrický obvod znázorňující paúhoře ve vodě. Každý elektroplax paúhoře má elektromotorické napětí £ a vnitřní odpor r. Každý ze 140 řádků, táhnoucích se od hlavy k ocasu, obsahuje 5 000 elektroplaxů. Odpor okolní vody je Rv. (b) Elektromotorické napětí £? a odpor Rf každého řádku, (c) Elektromotorické napětí mezi body a, b je áf. Mezi body b, c je 140 paralelně zapojených rezistorů Rf. (d) Zjednodušený obvod s Rp nahrazující paralelní kombinaci. 28.6 OBVODY S VÍCE SMYČKAMI 727 jejich elektromotrických napětí S, takže Si = 5 000<ř = (5 000)(0,15 V) = 750 V. Celkový odpor jednoho řádku elektroplaxů je součtem vnitřních odporů 5 000 elektroplaxů, Ri = 5 OOOr = (5 000) (0,25 £2) = 1250 £2. Každý ze 140 stejných řádků můžeme nyní znázornit jedním zdrojem elektromotorického napětí 3t a jedním odporem Rt, jak je nakresleno na obr. 28.1 lb. Elektromotorické napětí mezi bodem a a bodem b v libovolném řádku na obr. 28.1 lb je &t = 750 V. Protože všechny řádky jsou stejné a všechny jsou spojeny vlevo v uzlu a, mají všechny body b na obr. 28.11b stejný potenciál. Můžeme si tedy představit, že všechny body b jsou spojeny do jediného bodu b. Elektromotorické napětí mezi bodem a a tímto jediným bodem b je $í = 750 V, takže můžeme obvod překreslit do podoby na obr. 28.1 lc. Mezi body b a c na obr. 28.1 lc je 140 rezistorů o odporu Rf = 1250 £2 zapojených paralelně. Ekvivalentní odpor tohoto zapojení je podle rov. (28.21) 1 140 1 1 - = T— = 140- RV j=\ Rj Ri neboli 140 (1250 £2) Í4Ô : 8,93 £2. Nahradíme-U tuto paralelní kombinaci rezistorem o ekvivalentním odporu Rp, dostaneme zjednodušený obvod na obrázku 28.1 ld. Pomocí smyčkového pravidla (vyjdeme z bodu b a postupujeme proti směru otáčení hodinových ručiček) dostaneme -IRV- IR„ 0. Odtud vypočteme proud vodou: / = (750 V) Rv + Rp (800 £2) + (8,93 £2) = 0,927A = 0,93A. (Odpověď) Je-li hlava nebo ocas paúhoře v blízkosti nějaké ryby, většina tohoto proudu projde rybou a omráčí ji nebo usmrtí. (b) Jaký proud If prochází každým řádkem elektroplaxů na obr. 28.11a? ŘEŠENÍ: Protože jsou všechny řádky stejné, rozdělí se proud procházející vodou vně paúhoře mezi ně rovnoměrně, tedy / 0,927A ____, = 140 = Í4Ô- = ' (Odpověď) Elektrický proud procházející každým řádkem elektroplaxů je tedy malý, asi o dva řády menší než proud okolní vodou. Proto paúhoř sám sebe ani neomráčí ani nezabije, když omračuje nebo zabíjí rybu ve své blízkosti. RADY A NAMETY Bod 28.2: Řešení obvodů s bateriemi a rezistory Uvedeme dvě obecné metody použitelné pro řešení obvodů a pro výpočet neznámých proudů nebo napětí. (1) Je-li možné obvod zjednodušit nahrazením rezistorů zapojených sériově nebo paralelně pomocí rezistorů o odpovídajících ekvivalentních odporech, udělejte to. Podaří-li se vám zjednodušit obvod na jedinou smyčku, můžete vypočítat proud procházející touto smyčkou jako v př. 28.3a. Pak se vraťte k původnímu nezjednodušenému obvodu (s původními rezistory) a vypočtěte proud nebo napětí na každém z rezistorů jako v př. 28.3b. (2) Jestliže se obvod nedá zjednodušit na jedinou smyčku, použijte uzlové pravidlo a smyčkové pravidlo k sestavení soustavy rovnic jako v př. 28.4. Potřebujete jen tolik nezávislých rovnic, kolik je neznámých v těchto rovnicích. Potřebuj ete-li vypočítat proud nebo napětí na určitém rezistorů, musíte zvolit alespoň jednu smyčku tak, aby procházela tímto rezistorem; tak si zajistíte, že se hledaný proud nebo napětí objeví ve vaší soustavě rovnic. Bod 28.3: Co lze zvolit libovolně při řešení obvodů Při řešení př. 28.4 jsme několikrát volili libovolně: (1) Libovolně jsme zvolili směry proudů na obr. 28.10. (2) Libovolně jsme vybrali smyčky, pro které jsme psali rovnice. (3) Libovolně jsme zvolili směr, kterým jsme procházeli smyčkami. (4) Libovolně jsme zvolili počáteční a koncový bod při průchodu smyčkami. Tolik libovůle často znepokojuje začátečníka v řešení obvodů, ale zkušený odborník se nezalekne. Zapamatujme si především dvě pravidla. Za prvé, každou zvolenou smyčku musíme projít celou. Za druhé, jakmile jsme jednou zvolili určitý směr některého proudu, nesmíme ho změnit, dokud nevypočítame číselně hodnoty všech proudů. Zvolíme-li směr obráceně, znaménko minus (—) ve výsledku vás na to upozorní. Opravu provedeme jednoduše vypuštěním znaménka minus a obrácením šipky znázorňující původně zvolený směr proudu na obrázku obvodu. Nikdy však nesmíme provést tuto opravu dříve, než vypočítáme všechny potřebné proudy a napětí (tak jsme postupovali v př. 28.4). Bod 28.4: Řešení složitého obvodu s mnoha smyčkami Není příliš pravděpodobné, že by složitý obvod s mnoha smyčkami potřeboval řešit někdo jiný než odborník — elektrotechnik. Přesto snad čtenáře potěší, uvidí-li, že si se svými 728 KAPITOLA 28 OBVODY dosavadními znalostmi může poradit s libovolně složitou strukturou elektrického obvodu. Podle předchozího bodu již víme, jak převést řešení obvodu na řešení soustavy rovnic pro neznámé proudy / ve větvích, z nichž určíme napětí U na součástkách (rezistorech, bateriích,...). Každá rovnice bude popisovat jednu uzavřenou smyčku. Mohli bychom vypsat všechny rovnice pro všechny smyčky ve schématu; dostali bychom ovšem pro naše neznámé zbytečně mnoho rovnic. (Soustava by tedy byla přeurčená.) Rovnice by si však určitě neodporovaly — prostě by jich jen bylo zbytečně mnoho, některé by totiž byly součtem či rozdílem ostatních rovnic. Abychom vybrali úplný soubor všech N nezávislých rovnic pro N neznámých proudů, můžeme postupovat takto: (1) Podle zadaného schématu s vodiči, rezistory a zdroji emn vytvoříme graf, který sice zachová všechny uzly, tj. body, kde se stýkají 3 nebo více vodičů, ale jeho hrany, tj. spojnice mezi uzly, budou pouhé úsečky, které budou nahrazovat skutečné větve, tedy jak vodiče, tak i všechny součásti původního obvodu. Na poloze libovolného uzlu na papíře samozřejmě nezáleží, pokud ovšem neměníme počet hran do něj vcházejících a přiřazení každé hrany původní větvi se součástkami. Kdybychom kolem grafu nakreslili kružnici a všechny uzly na ni přesunuli, získali bychom mnohoúhelník s mnoha diagonálami. (2) V grafu vyznačíme libovolný úplný strom. Bude obsahovat všechny uzly, ale jen některé hrany, tj. takové, které by nikde nevytvořily uzavřenou smyčku. Strom je úplný, když mu už nejde doplnit žádnou další hranu, aniž by se vytvořila uzavřená smyčka. Pro daný graf lze vytvořit mnoho různých úplných stromů, všechny však mají stejný počet hran. Všechny také mají stejný počet N ve stromu nepoužitých hran. Ten je roven počtu neznámých proudů ve smyčkách a počtu rovnic, které pro ně nakonec získáme. Hrany tvořící strom budeme pokládat za hrany „použité". (3) Nyní do grafu s úplným stromem přidáme jednu z nepoužitých hran. Tím se nutně vytvoří jedna smyčka (jinak by nebyl strom úplný) a dá se dokázat, že se tím uzavře právě jedna smyčka — ne více. Této smyčce odpovídá jedna rovnice podle smyčkového pravidla z čl. 28.3. Zapíšeme ji do našeho seznamu nezávislých rovnic. Odpovídající hranu zařadíme mezi „použité". (4) Předchozí krok opakujeme tolikrát, až vyčerpáme všechny nepoužité hrany sítě. S každou dostáváme jednu rovnici; získané rovnice jsou nezávislé a právě postačují pro vyřešení naší úlohy. Obr. 28.12 Jednoduchý obvod znázorňující zapojení ampérmetru a voltmetru. Odpor voltmetru Ry musí být mnohem větší než odpor kteréhokoli prvku obvodu, k němuž je voltmetr připojen. V opačném případě by proud tekoucí měřicím přístrojem již nebyl zanedbatelný a zmenšil by měřené napětí. Často se můžeme setkat s měřicím přístrojem vybaveným přepínačem, který může sloužit (podle polohy přepínače) jako ampérmetr nebo jako voltmetr a obvykle i jako ohmmetr pro měření odporu připojeného mezi jeho svorky. Takový univerzální přístroj se nazývá multimetr. 28.8 OBVODY RC Až dosud jsme se zabývali pouze obvody, v nichž se proud neměnil s časem. Nyní začneme studovat proudy proměnné v čase. Nabíjení kondenzátoru Kondenzátor o kapacitě C na obr. 28.13 nejprve není nabit. Abychom ho nabili, přepneme přepínač S do polohy a. Po přepnutí dostáváme uzavřený sériový RC obvod obsahující kondenzátor o kapacitě C, rezistor o odporu R a ideální baterii o elektromotorickém napětí §. 28.7 AMPÉRMETR A VOLTMETR Přistroj používaný k měření proudu se nazývá ampérmetr. Abychom mohli změřit proud ve vodiči, musíme obvod přerušit a vložit ampérmetr, takže proud prochází měřicím přístrojem (obr. 28.12). Je důležité, aby odpor R\ ampérmetru byl velmi malý ve srovnání s ostatními odpory v obvodu. V opačném případě by přítomnost ampérmetru zmenšila měřený proud. Přístroj používaný k měření napětí (rozdílu potenciálů) se nazývá voltmetr. Při měření napětí mezi dvěma body obvodu připojujeme voltmetr mezi tyto body a měřený obvod nepřerušujeme (obr. 28.12). Obr. 28.13 Je-li přepínač S přepnut do polohy a, kondenzátor C se nabíjí přes rezistor R. Dáme-li potom přepínač do polohy b, kondenzátor se vybíjí přes rezistor R. Z čl. 26.2 už víme, že jakmile je přepínačem připojena baterie, začne na obou koncích kondenzátoru přecházet elektrický náboj (a tedy protékat proud) mezi elektrodou 28.8 OBVODY RC 729 kondenzátoru a svorkou baterie. Proud zvětšuje náboj Q na kondenzátoru a tím napětí U c = Q/C na jeho elektrodách. Když se toto napětí vyrovná s napětím na svorkách baterie (to je v našem prípade rovno elektromotorickému napětí š), proud klesne na nulu. Z rov. (26.1) (g = CU) plyne, že ustálený (koncový) náboj nabitého kondenzátoru má velikost CS. Nyní se budeme podrobně zabývat procesem nabíjení. Bude nás zejména zajímat, jak se v průběhu nabíjení mění s časem náboj Q(t) na deskách kondenzátoru, napětí V c (t) na kondenzátoru a proud / (ř) v obvodu. Začneme tím, že použijeme smyčkové pravidlo a projdeme obvodem od záporného pólu baterie ve směru otáčení hodinových ručiček; dostaneme tak rovnici S -IR- — = 0. C (28.27) Poslední člen na levé straně je napětí na kondenzátoru. Tento člen má záporné znaménko, protože horní deska kondenzátoru připojená ke kladnému pólu baterie má vyšší potenciál než dolní deska a průchodem kondenzátorem se tedy potenciál sníží. Samotnou rov. (28.27) nemůžeme vyřešit, protože obsahuje dvě neznámé I a Q. Tyto veličiny však nejsou nezávislé, protože pro ně platí dř Dosazením za proud / do rov. (28.27) obdržíme d<2 Q (rovnice pro nabíjení kondenzátom). (28.28) (28.29) Tato diferenciální rovnice popisuje časovou změnu náboje Q kondenzátoru na obr. 28.13. Řešit tuto rovnici znamená najít funkci času Q(t), která splňuje tuto rovnici a splňuje také počáteční podmínku, že na počátku byl kondenzátor nenabitý: Q = 0 pro ř = 0. Později ukážeme, že řešení rov. (28.29) je Q = Cď(l - e -t/(RC) (náboj při nabíjení kondenzátom). (28.30) (Zde e je základ přirozených logaritmů, e = 2,718 ..., a nikoli elementární náboj e.) Rov. (28.30) opravdu vyhovuje našim počátečním podmínkám. Pro t = 0 je exponenciální člen e-f/(ÄC) roven jedné, takže náboj Q je roven nule. Pro t —> oo (tj. prakticky vzato po dostatečně dlouhé době) je člen e_ř^AC' roven nule a rovnice dává správnou hodnotu ustáleného náboje kondenzátoru, a to Q = C§. Na obr. 28.14a je graf funkce Q(t) při nabíjení kondenzátoru. Derivováním náboje Q(t) podle času dostaneme časový průběh proudu při nabíjení kondenzátoru dQ dř f_e-í/(ÄC) R (proud při nabíjení kondenzátom). (28.31) Graf funkce I(t) při nabíjecím procesu je na obr. 28.14b. Počáteční hodnota proudu je é?/R a klesá postupně k nule, jak se kondenzátor nabíjí. Z této počáteční hodnoty proudu můžeme také usoudit, že v okamžiku ř = 0 se kondenzátor chová jako vodič se zanedbatelným odporem. 12 rs. O) C8 0 SI R --- 468 10 2468 t (ms) t (ms) (a) (b) Obr. 28.14 (a) Závislost náboje kondenzátom na čase podle rov. (28.30). Je vidět, jak se kondenzátor z obr. 28.13 postupně nabíjí, (b) Závislost nabíjecího proudu na čase podle rov. (28.31). Nabíjecí proud postupně klesá k nule. Křivky j sou nakresleny pro hodnoty R = 2 000 Í2, C = 1 (iF, S = 10 V. Malé trojúhelníčky vymezují intervaly o délce časové konstanty %c = RC. Pomocí rov. (26.1) (Q = CU) a rov. (28.30) vypočítáme časový průběh napětí na kondenzátoru během nabíjení r/c = M = (ř(i_e-'/(*c)) Pro t = 0 je V c = 0 a pro t úplně nabit, je U c = S. (napětí při nabíjení kondenzátom). (28.32) oo, kdy je kondenzátor Časová konstanta Součin RC v exponenciálních funkcích v rov. (28.30), (28.31) a (28.32) má rozměr času (jednoduše to plyne z toho, že argument exponenciální funkce musí být bez-rozměrový), tedy (1 £2)(1 F) = 1 s. Součin RC se nazývá časová konstanta sériového RC obvodu a označuje se symbolem xq'- xq = RC (časová konstanta). (28.33) Z rov. (28.30) plyne, že v okamžiku ř = xq se náboj původně nenabitého kondenzátoru zvětšil na hodnotu Q = CS{\ - e_1) = 0,63Cď. (28.34) 730 KAPITOLA 28 OBVODY Řečeno slovně, během prvního intervalu o délce časové konstanty xq se náboj zvětšil z nuly asi na 63 % své koncové hodnoty CS. Malé trojúhelníčky na časové ose na obr. 28.14 vyznačují intervaly o délce jedné časové konstanty během nabíjení kondenzátoru. Nabíjecí doba pro RC obvody se často udává pomocí veličiny xq: čím delší je xc, tím delší je nabíjecí doba. Vybíjení kondenzátoru Nyní budeme předpokládat, že kondenzátor na obr. 28.13 je již nabit na napětí Uo, které se rovná elektromotorickému napětí S baterie. V okamžiku ř = 0 přepneme spínač S z polohy a do polohy b, takže se kondenzátor začne vybíjet přes rezistor R. Jak se mění náboj kondenzátoru Q(t) a vybíjecí proud I(t) tekoucí kondenzátorem a rezistorem v závislosti na čase? Protože nyní v obvodu není baterie, bude v rov. (28.29) S = 0, a proto platí dř +§- (rovnice pro vybíjení kondenzátoru). (28.35) Její řešení je Q = ôoe-f/(ÄC) (náboj při vybíjení kondenzátoru), (28.36) kde <2o — CUo je počáteční náboj kondenzátoru v okamžiku ř — 0. Ověřte si dosazením, že rov. (28.36) je skutečně řešením diferenciální rovnice rov. (28.35). Z rov. (28.36) plyne, že náboj Q klesá exponenciálně s časem a rychlost poklesu je určena časovou konstantou xc = RC.S okamžiku ř = xq se náboj kondenzátoru zmenší na hodnotu <2oe_1, tedy přibližně na 37 % své počáteční hodnoty. Je-li časová konstanta větší, je vybíjecí doba delší. Derivováním rov. (28.36) podle času odvodíme vztah pro proud při vybíjení kondenzátoru É£ = -(9i\e-t/(RC) dř \RC/ (proud při vybíjení kondenzátoru). (28.37) Proud také klesá exponenciálně, rychlost poklesu je opět určena časovou konstantou xq- Počáteční proud /o je Qo/(RC). Všimněte si, že proud /o se dá snadno vypočítat, jestliže pro okamžik ř = 0 použijete smyčkové pravidlo: kondenzátor s počátečním napětím Uq je spojen s rezistorem R, takže proud musí být Iq = Uq/R = (Qo/C)/R = = Qo/(RC). Znaménko minus v rov. (28.37) vyjadřuje, že náboj kondenzátoru s časem klesá. Odvození rov. (28.30) Abychom mohli řešit rov. (28.29), přepíšeme ji nejprve do tvaru dg Q S — + — = -. (28.38) dř RC R v ' Obecné řešení této diferenciální rovnice má tvar Q = gp + K6 -at (28.39) kde gp je její partikulární řešení, K je konstanta, která se určí z počátečních podmínek, a a = 1 /(RC) je koeficient u proměnné Q v rov. (28.38). Abychom vypočetli <2P, položíme v rov. (28.38) d<2/dř = 0 (to odpovídá koncovému stavu, kdy už se kondenzátor dále nenabíjí a jeho náboj se nemění). Tím obdržíme gp = CS. (28.40) Abychom určili K, dosadíme rov. (28.40) do rov. (28.39), a tak dostaneme Q = CS' + Ke~at. Po dosazení počáteční podmínky Q — Oproř — 0 získáme 0 = CS + K, odkud K = —CS. Když nyní obě vypočtené hodnoty gp a K dosadíme do rov. (28.39), dospějeme ke konečnému výsledku Q = CS -CSeTtnRC), který je totožný s rov. (28.30). J£ontrola 5: v tabulce jsou uvedeny čtyři soubory hodnot prvků z obvodu na obr. 28.13. Uspořádejte tyto soubory sestupně podle (a) počáteční hodnoty proudu (když se spínač přepne do polohy a), (b) podle času potřebného k poklesu proudu na polovinu počáteční hodnoty. 1 2 3 4 S/S 12 12 10 10 R/Q, 2 3 10 5 C/siF 3 2 0,5 2 PŘIKLAD 28.6 Kondenzátor o kapacitě C se vybíjí přes rezistor o odporu R. (a) Vyjádřete pomocí časové konstanty xc = RC, za jak dlouho klesne náboj kondenzátoru na polovinu své počáteční hodnoty. 28.8 OBVODY RC 731 ŘEŠENÍ: Náboj kondenzátoru se mění podle vztahu (28.36) Q = Q0c-'«RC\ kde Qo je počáteční náboj. Hledáme takový okamžik t, kdy Q = Qo/2, tedy *Go=Goe-"<ÄC>. (28.41) Náboj Qo na obou stranách rovnice se zkrátí a hledaný čas t je v exponentu. Proto musíme obě strany rovnice logaritmovat (přirozený logaritmus je inverzní funkcí k exponenciálni funkci) a dostaneme tj- lni = \a(e-,/lRC)) = -t/(RC), t = (- ln \)RC = 0,69RC = 0,69tc. (Odpověď) (b) Za jak dlouho klesne elektrická potenciálni energie kondenzátoru na polovinu své počáteční hodnoty? ŘEŠENÍ: Elektrická potenciální energie kondenzátoru je podle rov. (26.21) a (28.36) EP=^ = |!e-2'/<*c> = £p,0e-W, (28.42) kde EPio je jeho počáteční energie. Hledáme takový čas ŕ, kdy Ep = Ep,o/2, tedy Í£p,o = /íp,oe-2^c>. Clen Tip, o se zkrátí a logaritmováním obou stran rovnice dostaneme lni = -2t/(RC), tj- to T í = -RC-+ = 0,35RC = 0,35rc. (Odpověď) Náboj kondenzátoru tedy klesne na polovinu své počáteční hodnoty za delší dobu (0,69tc) než elektrická potenciálni energie kondenzátoru (0,35rc). Nepřekvapil vás tento výsledek? (c) Jak rychle (tj. s jakým výkonem Pr) se v rezistoru vyvíjí teplo během procesu vybíjení? Jak rychle (tj. s jakým výkonem Pc) se při vybíjení zmenšuje elektrická potenciálni energie kondenzátoru? ŘEŠENÍ: Vybíjecí proud je dán rov. (28.37). Pomocí vztahu (27.22) (P = IZR) dostaneme Qo PÄ = /2Ä = (-i|e-) R RC Qo p-2í/(äc) R& (Odpověď) Elektrická potenciálni energie kondenzátoru se zmenšuje rychlostí Pc = dEp/át. Pomoci rov. (28.42) dostaneme Pc = = ■Í(£^0e-2ř/(IÍC)) = -^£e-2í/<ÄC> dŕ dŕ ' RC a po dosazení £p,o = Q\j2C vyjde 2£n p _ Qo -21KRC) ľc~ RC** (Odpověď) Všimněte si, že Pc + Pr = 0, což znamená, že elektrická potenciálni energie kondenzátoru je v rezistoru zcela disipována. PRÍKLAD 28.7 Obvod na obr. 28.15 se skládá z ideální baterie o elektromotorickém napětí S — 12 V, dvou rezistoru o odporech R\ = 4,0 ň, R2 = 6,0 £2 a z původně nenabitého kondenzátoru o kapacitě C = 6,0nF. V okamžiku í = 0 je obvod uzavřen sepnutím spínače S. Obr. 28.15 Příklad 28.7. Po sepnutí spínače se obvod uzavře a baterie začne nabíjet kondenzátor. (a) Jaké je napětí na deskách kondenzátoru v okamžiku ř = = 2,0rc? ŘEŠENÍ: Kondenzátor na obr. 28.15 se nabíjí přes rezistor Ri z baterie o elektromotorickém napětí S, tedy stejně jako v obvodu na obr. 28.13 (rezistor R2 nemá na nabíjení vliv). Napětí U c na kondenzátoru můžeme tedy vypočítat pomocí rov. (28.32), pouze místo R dosadíme R\, tedy Uc = á"(l -c-t/(RlC)). Dosadíme-li t = 2,0tc = 2,QR\C a další číselné hodnoty, dostaneme UC = (12 v)(l-e-2'0Äic/<*ic>) = = 12V(1 - e-2,0) = 10 V. (Odpověď) (b) Jaká jsou v okamžiku t = 2,0tc napětí Ur^ a Ur2 na rezistorech R\ a /?2? Jak se tato napětí mění (zvětšují se, zmenšují se, nebo zůstávají stejná), když se kondenzátor nabíjí? 732 KAPITOLA 28 OBVODY ŘEŠENÍ: Použijeme smyčkové pravidlo na velkou smyčku na obr. 28.15; projdeme-li jí ve směru otáčení hodinových ručiček od záporného pólu baterie, dostaneme rovnici S - Uc - URl = 0. (28.43) V části (a) j sme vypočítali, že v okamžiku ř = 2,0tc jenapětí na kondenzátoru Uc = 10 V. Dosadíme-li ještě S = 12 V, máme výsledek č/Rl=2,0V. (Odpověď) V průběhu nabíjení kondenzátoru zůstává emn baterie S konstantní a napětí Uc na kondenzátoru se zvyšuje. Přepí- PŘEHLED šeme-li rov. (28.43) do tvaru Ur1 = S — U c, vidíme, že napětí Usj musí při nabíjení klesat. Nyní použijeme smyčkové pravidlo pro levou smyčku na obr. 28.15a; projdeme-li jí také ve směru otáčení hodinových ručiček od záporného pólu baterie, obdržíme S - UR2 = 0, tedy Ur2 = S = 12 V. Napětí Ur2 se tedy při nabíjení kondenzátoru nemění. & SHRNUTÍ Elektromotorické napětí Zdroj elektromotorického napětí (neboli zdroj emn) udržuje jisté napětí mezi svými svorkami; aby ho udržel i při odběru proudu (při zatížení), musí být schopen konat práci na nosičích náboje. Je-li dWz práce, kterou zdroj vykoná při průchodu kladného náboje dg vnitřkem zdroje od záporného pólu ke kladnému, je jeho elektromotorické napětí S (práce vztažená na jednotkový náboj) rovno § = (definice emn). (28.1) Jednotkou emn v soustavě SI je volt, tedy stejná jednotka jako pro napětí. Ideální zdroj emn má nulový vnitřní odpor. Napětí na jeho svorkách je stále rovno elektromotorickému napětí S. Reálný zdroj emn má nenulový vnitřní odpor. Napětí na jeho svorkách je rovno elektromotorickému napětí S pouze v případě, že zdrojem neprochází žádný proud. Analýza obvodů Procházíme-li elektrickým obvodem (smyčkou) ve zvoleném směru, platí: Při průchodu rezistorem o odporu R ve směru proudu se potenciál změní o hodnotu —IR, při průchodu v opačném směru o hodnotu +IR. Při průchodu ideálním zdrojem emn ve směru šipky znázorňující toto napětí se potenciál změní o hodnotu +£ a při průchodu v opačném směru o hodnotu —S. Ze zákona zachování energie plyne smyčkové pravidlo: Smyčkové pravidlo: Algebraický součet úbytků napětí při průchodu libovolnou uzavřenou smyčkou je nulový. Ze zákona zachování elektrického náboje plyne uzlové pravidlo: Uzlové pravidlo: Součet proudů vstupujících do uzlu se rovná součtu proudů z uzlu vystupujících. Jednoduché obvody Proud v jednoduchém obvodu tvořeném jedinou smyčkou, kde je zapojen rezistor o odporu R a zdroj elektromotorického napětí 8 s vnitřním odporem r, je V případě ideálního zdroje emn (r = 0) přechází tento vztah do tvaru / = SIR. Výkon Jestliže reálnou baterií o elektromotorickém napětí S a vnitřním odporu r protéká proud /, pak výkon P, který dodává baterie prostřednictvím nosičů náboje do zbytku celého zapojení, je P = IU, (28.11) kde U je napětí na svorkách baterie. Ztrátový výkon Pr (uvnitř baterie) je Pr = I2r. (28.13) Výkon zdroje emn PemD (rj. rychlost, s jakou ubývá chemická energie baterie) je roven Pema = IS. (28.14) Sériové zapojení rezistorů Jsou-li rezistory zapojeny sériově neboli za sebou, prochází jimi stejný proud a celkové napětí na ně přiložené je rovno součtu napětí na jednotlivých rezistorech. Celkový odpor sériové kombinace rezistorů je n Rs = R j (n rezistorů zapojených sériově). (28.7) j=í (I jiné součástky než rezistory je možné zapojovat sériově.) Paralelní zapojení rezistorů Jsou-li rezistory zapojeny paralelně neboli vedle sebe, je napětí na každém rezistorů stejné jako napětí přiložené k jejich kombinaci a celkový proud procházející kombinací rezistorů je roven OTÁZKY 733 součtu proudů procházejících jednotlivými rezistory. Celkový odpor paralelní kombinace rezistorů je 1 "1 — = 2,— (« rezistorů zapojených paralelně). (28.21) R (I jiné součástky než rezistory je možné zapojovat paralelně.) Obvody RC Jsou-li ideální zdroj elektromotorického napětí 8, rezistor R a kondenzátor C zapojeny sériově (obr. 28.13) a spínač S je přepnut do polohy a, kondenzátor se nabíjí. Jeho náboj vzrůstá s časem podle vztahu e = C<ř(l-e-ř^c') (^b°JPHnaWJení (28.30) kondenzátoru), kde C8 = Qo je ustálený (koncový) náboj a RC = xc je časová konstanta sériového RC obvodu. Při nabíjení klesá proud s časem podle vztahu j _ É£ _ £e-«/(ÄC) (proud při nabíjení (28 31) dř R kondenzátoru). Jestliže se kondenzátor vybíjí přes rezistor R, jeho náboj se zmenšuje podle vztahu G = Goe-r/(*C) (náboj při vybíjení kondenzátoru) a proud klesá podle vztahu j _ d6 _ / Go \c-t/(gC) (proud při vybíjení dř \RCJ kondenzátoru). OTÁZKY 1. Na obr. 28.16 je znázorněn proud / procházející baterií. V ná-I R3 Obr. 28.16 Otázka 1 sledující tabulce jsou uvedeny čtyři soubory hodnot proudu /, emn baterie 8, jejího vnitřního odporu r a polarita svorek baterie. Uspořádejte tyto soubory sestupně podle rychlosti přenosu energie (příkonu) od baterie k nosičům náboje. 8 r I POLARITA (1) 15<ři 0 h + vlevo (2) 10 R2) k baterii, nejprve každý zvlášť, potom oba sériově a nakonec oba paralelně. Uspořádejte tato zapojení sestupně podle velikosti proudu procházejícího baterií. 6. Dva rezistory jsou připojeny k baterii, (a) Při jakém zapojení (sériovém nebo paralelním) je stejné napětí na každém rezistorů i na ekvivalentním rezistorů? (b) Při jakém zapojení teče stejně velký proud každým rezistorem i ekvivalentním rezistorem? 734 KAPITOLA 28 OBVODY 7. (a) Je-li v obvodu na obr. 28.18a R\ > R2, je napětí na rezistoru R2 větší, menší, nebo stejné jako napětí na rezistoru R\ ? (b) Je proud procházející rezistorem R2 větší, menší, nebo stejný jako proud procházející rezistorem R\l 8. K baterii nejprve připojíme samotný rezistor R\. Potom k němu připojíme paralelně další rezistor R2. Rozhodněte, zda se po připojení rezistoru R2 zvětší, zmenší, nebo nezmění (a) napětí na rezistoru R\, (b) proud I\ rezistorem R\. (c) Je odpor i? 12 ekvivalentní odporu paralelně zapojených rezistoru R\, R2 větší, menší, nebo stejný jako i?i? (d) Je celkový proud kombinací rezistoru R\ a R2 větší, menší, nebo stejný ve srovnání s původním proudem rezistorem /?i? 9. K baterii nejprve připojíme samotný rezistor R\. Potom do obvodu zapojíme sériově další rezistor R2. Rozhodněte, zda se po připojení rezistoru R2 (a) napětí na rezistoru R\, (b) proud I\ rezistorem R\ zvětší, zmenší, nebo nezmění, (c) Je odpor R\2 sériově zapojených rezistoru větší, menší, nebo stejný jako R\l 10. K obvodu na obr. 28.19 připojíme další větev s rezistorem R2. (a) Jak se změní rychlost disipace elektrické energie v rezistoru Ri: zvětší se, zmenší se, nebo zůstane stejná? (b) Jak se změní rychlost, jakou baterie dodává elektrickou energii do obvodu: zvýší se, sníží se, nebo zůstane beze změny? (c) Opakujte úlohy (b) a (c), je-li rezistor R2 připojen sériově k rezistoru Ri. Obr. 28.21 Otázka 12 13. Labyrint kondenzátoru. Všechny kondenzátory na obr. 28.22 mají kapacitu 6,0 jiF, všechny baterie jsou ideální a mají elektromotorické napětí S = 10 V. Jaký náboj má kondenzátor C? (Podaří-li se vám objevit v labyrintu vhodnou smyčku, dokážete na otázku odpovědět okamžitě a skoro bez počítání.) Obr. 28.19 Otázka 10 Obr. 28.22 Otázka 13 11. Určete napětí na každém z kondenzátoru na obr. 28.20. 15V Hi- ci 20V -H|- c4 I c3 30 V -Hl- es Obr. 28.20 Otázka 11 Labyrint rezistoru. Všechny rezistory na obr. 28.21 mají odpor 4,0 £2, všechny baterie jsou ideální a mají elektromotorické napětí S = 4,0 V. Jaký proud prochází rezistorem Rl (Podaří-li se vám objevit v labyrintu vhodnou smyčku, dokážete na otázku odpovědět okamžitě a skoro bez počítání.) Mezi uzly a, b obvodu na obr. 28.23a máte zapojit za sebou n stejných reálných baterií: n = 14,12,16. Uspořádejte tato zapojení sestupně podle (a) celkového emn mezi uzly a a b, (b) celkového odporu mezi uzly a, b. Mezi uzly c, d obvodu na obr. 28.23b máte zapojit tyto baterie vedle sebe. Opět uspořádejte zapojení sestupně podle (c) celkového emn mezi uzly c a d, (d) celkového odporu mezi uzly c, d. (a) Obr. 28.23 Otázka 14 15. Na obr. 28.24 je nakreslen průběh napětí U(t) pro tři kondenzátory, které se vybíjejí (každý samostatně) přes stejný rezistor R. Uspořádejte křivky a, b, c sestupně podle kapacit kondenzátoru. CVIČENÍ & ÚLOHY 735 Obr. 28.24 Otázka 15 16. V tabulce je uveden počáteční náboj kondenzátoru a odpor rezistoru, přes nějž se kondenzátor vybíjí. Uspořádejte uvedené možností 1, 2, 3 sestupně podle (a) proudu procházejícího rezistorem na počátku vybij ení, (b) doby potřebné k poklesu náboj e kondenzátoru na polovinu. 1 2 3 Počáteční náboj 126 12Ô Odpor 2R 3R R 17. Na obr. 28.25 jsou nakresleny tři části elektrických obvodů, •—AV—i ■- (i) (2) Obr. 28.25 Otázka 17 (3) které postupně připojujeme ke stejné baterii pomocí spínače S podobně jako na obr. 28.13. Všechny rezistory a kondenzátory jsou stejné. Uspořádejte části obvodů sestupně podle (a) konco- vého (ustáleného) náboje kondenzátoru, (b) doby potřebné k tomu, aby náboj kondenzátoru dosáhl 50 % své koncové hodnoty. 18. Na obr. 28.26 je nakresleno pět částí elektrických obvodů, které postupně připojujeme ke stejné 12 V baterii pomocí spínače S jako na obr. 28.13. Všechny rezistory a kondenzátory j sou stejné. Uspořádejte části obvodů sestupně podle doby potřebné k nárůstu napětí na kondenzátorech na 50 % koncové hodnoty. (D •—AV- —vW—1 (2) (3) •—AV-1 1 J (4) (5) Obr. 28.26 Otázky 18 a 19 19. Uspořádejte pět částí obvodů z otázky 18 sestupně podle napětí, které bude na libovolném rezistoru, když napětí na libovolném kondenzátoru dosáhne 4 V. 20. (a) Závisí doba potřebná k tomu, aby náboj kondenzátoru v RC obvodu dosáhl určitého procenta své ustálené hodnoty, na velikostí přiloženého emn? (b) Závisí doba potřebná k tomu, aby se náboj kondenzátoru změnil o Ag, na velikosti přiloženého emn? (c) Závisí množství náboje potřebné k úplnému nabití kondenzátoru na vnitřním odporu baterie, která ho nabíjí? CVIČENI 5s ÚLOHY ODST. 28.5 Napětí v obvodech 1C. Obyčejná baterie do kapesní svítilny může dodat asi 2,0 W-h energie, než se úplně vybije, (a) Kolik by stálo svícení 100W žárovkou po dobu 8h, kdybychom ji napájeli takovými bateriemi, pokud jedna baterie stojí 12 Kč? (b) Kolik stojí svícení žárovkou připojenou na veřejnou elektrickou síť, jestliže si elektrárna účtuje 1,75 Kč za kilowatthodinu? 2C. (a) Jakou práci vykoná ideální baterie o elektromotorickém napětí S = 12,0 V na elektronech, které jí procházejí od kladného pólu k zápornému? (b) Jaký je výkon baterie, projde-li baterií 3,4-1018 elektronů za sekundu? 3C. Akumulátorová baterie o S = 6,0 V zapojená do obvodu způsobí, že obvodem prochází po dobu 6,0min proud 5,0A. O kolik se tím sníží chemická energie baterie? 4C. Automobilová baterie o S — 12 V má počáteční náboj 120 A-h. Kolik hodin může dodávat energii při výkonu 100 W? Předpokládejte (nepříliš realisticky), že napětí na svorkách baterie zůstává konstantní, dokud se baterie úplně nevybije. 5C. Na obr. 28.27 je S\ = 12 V, S2 = 8 V. (a) Jaký je směr proudu v rezistoru? (b) Která baterie koná kladnou práci? (c) Má vyšší potenciál bod a, nebo bod bl Obr. 28.27 Cvičení 5 736 KAPITOLA 28 OBVODY 6C. Předpokládejte, že baterie na obr. 28.28 mají zanedbatelný vnitřní odpor. Určete (a) proud v obvodu, (b) výkon disipovaný každým rezistorem, (c) výkon každé baterie i to, zda energii dodává, nebo přijímá. Si = 6,0 V Ri =4,0Q ä2 = 8,0Í2- Obr. 28.28 Cvičení 6 g\ = 12V 7C. Vodič o odporu 5,0 £2 je připojen k baterii o elektromotorickém napětí s = 2,0 V a vnitřním odporu 1,0 £2. (a) Jaké množství chemické energie se přemění na energii elektrickou za 2,0 min? (b) Kolik tepla se za 2,0 min vyvine ve vodiči? (c) Vysvětlete rozdíl mezi odpovědmi na otázku (a) a (b). 8C. V obvodu na obr. 28.4a je s = 2,0 V a r = 100 £2. Nakreslete do jednoho grafu, jak závisí na velikosti odporu R v intervalu 0 až 500 £2 (a) proud, (b) napětí na rezistom R. (c) Nakreslete další graf tak, že pro danou hodnotu R vynásobíte spolu proud a napětí z grafů (a), (b). Co vyjadřuje graf z části (c)? 9C. Automobilová baterie s emn s = 12 V a vnitřním odporem 0,040 SI se nabíjí proudem 50 A. (a) Jaké je napětí na jejích svorkách? (b) Jakou rychlostí je elektrická energie disipována uvnitř baterie v teplo? (c) Jakou rychlostí se elektrická energie přeměňuje v chemickou energii? (d) Jak by se změnila odpověď na otázky (a) a (b), kdyby byla baterie použita jako zdroj proudu 50 A pro startér motom? 10C. V obvodu na obr. 28.29 má bod a potenciál 100 V. Jaký je potenciál bodu bl 150V? ± Obr. 28.29 Cvičení 10 ■A/W 3,0Í2 2,on ■A/VV -Í-J50V 11C. Úsek obvodu ab na obr. 28.30 spotřebovává výkon 50 W, jestliže jím prochází proud / = 1,0 A v naznačeném směru, (a) Jaké je napětí mezi body a a bl (b) Zdroj emn C má nulový vnitřní odpor. Jaké je jeho elektromotorické napětí si (c) Jaká je jeho polarita (tj. kde je kladná a záporná svorka zdroje)? >-AW Ä=2,0Í2 g Obr. 28.30 Cvičení 11 12C. V obvodu na obr. 28.5a vypočtěte napětí na rezistom R2, je-li = 12 V, Ri =3,0 £2, R2 =4,0 Si, R3 = 5,0 Si. 13C. V obvodu na obr. 28.6a vypočtěte napětí mezi body a, c tak, že projdete po cestě přes R, r2 a &2 (viz př. 28.2). 14C. Na obr. 28.31 je schematicky nakreslena automobilová benzinová měrka. Indikátor (na přístrojové desce) má odpor 10 Si. Plovák v nádrži je spojen s potenciometremjehož odpor se mění lineárně s objemem benzinu v nádrži — má hodnotu 140 Si, je-li nádrž prázdná, a 20 Si při plné nádrži. Vypočtěte proud v obvodu, je-li nádrž (a) prázdná, (b) naplněná do poloviny, (c) plná. indikátor 12V$T nádrž Obr. 28.31 Cvičení 14 1SÚ. Deset kilometrů dlouhý podzemní kabel vede od východu na západ a je tvořen dvěma paralelními vodiči, z nichž každý má odpor 13 Si na 1 km. Ve vzdálenosti x od západního konce dojde ke zkratu a k propojení vodičů vodivým spojem o odpom R (obr. 28.32). Celkový odpor vodičů a vodivého spoje je 100 Si při měření z východního konce a 200 £2 při měření ze západního konce. Určete (a) vzdálenost x, (b) odpor R. -vodivé spojení západ_/_východ Obr. 28.32 Úloha 15 16Ú. (a) Jak velký odpor musí mít rezistor R v obvodu na obr. 28.33, má-li obvodem procházet proud 1,0 mA? Elektromotorická napětí baterií jsou s\ = 2,0 V, s2 = 3,0 V a jejich vnitřní odpory r\ = r2 = 3,0 £2. (b) S jakým výkonem se v rezistom R vyvíjí teplo? Obr. 28.33 Úloha 16 -M/W 17Ú. Jednoduchou smyčkou obsahující rezistor R prochází proud 5,0 A. Jestliže do série s rezistorem R zapojíme další rezistor o odpom 2,0 Si, proud klesne na 4,0 A. Určete odpor rezistom R. 18Ú. Rezistor o odpom 0,10 £2 je připojen k baterii o elektromotorickém napětí s = 1,5 V, tepelný výkon rezistom má být 10 W. (a) Jaké napětí musí být na rezistom? (b) Jaký musí být vnitřní odpor baterie? CVIČENÍ & ÚLOHY 737 19Ú. Zdroj elektromotorického napětí § napájí telekomunikační vedení o odporu R. Vypočtěte poměr výkonů disipovaných na vedení pro S = 110 000 V a pro S = 110 V za předpokladu, že výkon dodávaný zdrojem je v obou případech stejný. 20Ú. Dva vodiče A, B o stejných délkách 40,0 m a stejných průměrech 2,60 mm jsou spojeny sériově a na celou sériovou kombinaci je přiloženo napětí 60,0 V. Odpory vodičů jsou 0,127 £2 a 0,729 £2. Vypočtěte (a) hustotu proudu v každém vodiči, (b) napětí na každém vodiči, (c) Pomocí údajů v tab. 27.1 určete materiál, z něhož jsou vodiče vyrobeny. 21Ú. Startér automobilu má příliš nízké otáčky a mechanici mají rozhodnout, zda vymění startér, kabel, nebo baterii. V dílenském manuálu je uvedeno, že 12 V baterie by neměla mít větší vnitřní odpor než 0,020 £2, startér by neměl mít větší odpor než 0,200 £2 a kabel nejvýše 0,040 £2. Mechanici spustili startér a naměřili napětí 11,4 V na baterii, 3,0 V na kabelu a proud 50 A. Která část je vadná? 22Ú. Dvě baterie o stejném elektromotorickém napětí S, ale o různých vnitřních odporech r\, r2 (ri > r2) jsou spojeny sériově a připojeny k vnějšímu rezistoru R. (a) Určete takovou hodnotu odporu R, aby napětí na svorkách jedné baterie bylo rovno nule. (b) Která baterie to bude? 23Ú. Sluneční článek dává napětí 0,10 V, je-li k němu připojen rezistor o odporu 500 £2, a napětí 0,15 V, je-li použit rezistor o odporu 1 000 £2. Určete (a) vnitřní odpor, (b) emn slunečního článku, (c) Plocha slunečního článku je 5,0 cm2, hustota toku energie dopadajícího světla (tj. výkon dopadající na jednotku plochy) je 2,0 mW-cm-2. Jaká je účinnost článku při přeměně světelné energie v teplo ve vnějším rezistoru o odporu 1000 £2? 24Ú. (a) Pro obvod na obr. 28.4a dokažte, že rychlost disipace energie v rezistoru R je maximální při R = r. (b) Dokažte, že tento maximální výkon je P = S2/4r. 25Ú. Baterie o elektromotorickém napětí 2,00 V a vnitřním odporu 0,500 £2 pohání elektromotor. Ten zvedá závaží 2,00 N konstantní rychlostí 0,500m-s-1. Předpokládejte, že nedochází k žádným ztrátám energie. Vypočtěte (a) proud v obvodu, (b) napětí na svorkách motoru, (c) Vysvětlete, proč existují dvě řešení této úlohy. 26Ú. Rezistor, jehož odpor téměř nezávisí na teplotě, je zhotoven jako sériová kombinace rezistoru křemíkového a rezistoru železného. Vypočtěte odpory těchto dvou rezistoru, má-li být výsledný odpor 1000 £2 v širokém teplotním intervalu kolem 20 °C. Potřebné údaje najdete v tab. 27.1. ODST. 28.6 Obvody s více smyčkami 27C. Čtyři rezistory o odporu 18,0 £2 jsou připojeny paralelně k ideální 25,0 V baterii. Jak velký proud prochází baterií? 28C. Rezistor o odporu 3,00 £2 má vzniknout spojením neznámého rezistoru a 12,0 £2 rezistoru. Jaký musí být odpor neznámého rezistoru a jak má být připojen (sériově, nebo paralelně)? 29C. Pomocí dvou rezistoru R\, R2 zapojených samostatně, sériově, nebo paralelně můžete dostat odpory 3,0 £2,4,0 £2,12 £2, 16 £2. Jaké jsou hodnoty odporů Ri, R21 30C. Pro obvod na obr. 28.34 najděte hodnotu ekvivalentního odporu mezi body (a) flai?,(b)aac,(c)ía c. (Tip: Představte si, že k bodům a, c je připojena baterie.) 20,0 £2 20,0 £2 20,0 £2 Obr. 28.34 Cvičení 30 31C. Pro obvod na obr. 28.35 najděte hodnotu ekvivalentního odporu mezi body d a e. (Tip: Představte si, že k bodům d, e je připojena baterie.) a 4,0 £2 -wv— 4,0 £2 1—Wr 2,5£2 -AVv—' Obr. 28.35 Cvičení 31 32C. V obvodu na obr. 28.36 vypočtěte proudy procházející oběma rezistory a napětí mezi body a a b. Je dáno S\ = 6,0 V, S2 = 5,0 V, Si = 4,0 V, R\ = 100 £2, R2 = 50 £2. Ri 1—Wv-1 Obr. 28.36 Cvičení 32 33C. Na obr.28.37 je obvod se třemi spínači Si, S2 a S3. Vypočtěte proud v bodě a pro všechny možné kombinace poloh spínačů. Je dáno S = 120 V, Ri = 20,0 £2, R2 = 10,0 £2, vnitřní odpor baterie je nulový. Obr. 28.37 Cvičení 33 34C. Dvě žárovky o odporech Ri,R2(R\ > R2) jsou připojeny k baterii (a) paralelně, (b) sériově. Která žárovka svítí jasněji? 35C. V obvodu na obr. 28.7 vypočtěte napětí mezi body c a d všemi možnými způsoby volby smyček. Hodnoty emn a odporů jsou: 8\ =4,0 V, S2 = 1,0 V, R1 = R2 = 10 £2, R3 = 5,0 £2. 738 KAPITOLA 28 OBVODY 36C. Devět měděných drátu délky l a průměru d je spojeno paralelně, takže dohromady tvoří jediný vodič o odporu R. Jaký by musel být průměr D jednoho měděného drátu téže délky /, aby měl stejný odpor? 37C. Elektrický rozvod o napětí 230 V je jištěn 16Apojistkou. Jaký nej větší počet 500 W reflektorů můžeme současně zapojit paralelně, aby se pojistka nepřepálila? 38C. Na obr. 28.38 je obvod s pěti rezistory připojenými k ideální baterii o elektromotorickém napětí s = 12,0 V. Jaké napětí je na rezistoru o odporu 5,0 £2? 6,0Í2 -vWA- 12,0£2 -vVW- 4,0Í2 fvVWS 3,OÍ2 -ww- 5,on -vVW- ♦ol2,0V Obr. 28.38 Cvičení 38 39Ú. Pro obvod na obr. 28.39 najděte hodnotu ekvivalentního odporu mezi body (a) / a h, (b) / a g. (Tip: Představte si, že k dané dvojici boduje připojena baterie.) 5,00 5,00 £2 Obr. 28.39 Úloha 39 40Ú. Dva rezistory Ri, R2 mohou být připojeny sériově, nebo paralelně k ideální baterii o elektromotorickém napětí s. Požadujeme, aby ztrátový výkon při jejich paralelním zapojení byl pětinásobkem ztrátového výkonu při jejich sériovém zapojení. Jaký odpor má rezistor R2, je-li R\ = 100 £2? (Tip: Existují dvě řešení.) 41Ú. Máte k dispozici rezistory o odporu 10 £2, každý z nich má maximální ztrátový výkon 1,0 W. Kolik takových rezistoru potřebujete a jak je musíte zapojit, aby vznikl rezistor o odporu 10 £2 se ztrátovým výkonem alespoň 5,0 W? 42Ú. Dvě baterie o elektromotorickém napětí § a vnitřním odporu r jsou připojeny paralelně k rezistoru R podle obr. 28.40a. (a) Jaký má být odpor R, aby rychlost disipace elektrické energie rezistorem byla maximální? (b) Jaká je nej větší rychlost disipace energie? 43Ú. (a) Vypočtěte proudy procházející ideálními bateriemi v obvodu na obr. 28.41. Hodnoty odporů a emn jsou Ri = 1,0 £2, Hi-vW— ■vVW- (a) Hr—vW-|l-WW—1 ■vVW- (b) Obr. 28.40 Úlohy 42 a 44 R2 = 2,0£2, r, nebo (c) R < r? 45Ú. N stejných baterií o elektromotorickém napětí s a vnitřním odporu r je spojeno buď sériově (obr. 28.42a), nebo paralelně (obr. 28.42b) a poté jsou připojeny k rezistoru R. Ukažte, že proud rezistorem R je stejný v obou případech, je-li R = r. N baterií sériově Hr-^vV-Ir-^AA- -|rWW—1 R -/vW— (a) N baterií paralelně Q>) Obr. 28.42 Úloha 45 CVIČENÍ & ÚLOHY 739 46Ú. Speciální žárovka se dvěma vlákny je konstruována na napětí 230 V a na výkony 100 W, 200 W, 300 W. Jedno vlákno se přepálilo. Žárovka potom svítí se stejnou intenzitou, je-li přepínač nastaven do polohy nejnižšího a nejvyššího výkonu, ale vůbec nesvítí, je-li přepínač v prostřední poloze, (a) Jak jsou vlákna žárovky propojena se třemi polohami přepínače? (b) Vypočtěte odpory vláken. 47Ú. (a) Vypočtěte ekvivalentní odpor rezistorové sítě na obr. 28.43. (b) Jaké proudy procházejí jednotlivými rezistory? Údaje: Rx = 100 Q, R2 = R3 = 50 O,, RA = 75 ň, s = 6,0 V, baterie je ideální. S |-^W-I A A ■* T Ri: Obr. 28.43 Úloha 47 48Ú. V obvodu na obr. 28.44 je sx = 3,00 V, s2 = 1,00 V, Ri = 5,00 £2, R2 = 2,00 ň, R3 = 4,00 ň, obě baterie jsou ideální, (a) S jakým výkonem je elektrická energie disipována v rezistorech R\, R2, ä3? (b) Jaký je výkon baterie 1 a 2? rWvH r^vW—i -r ^ ÍRí Obr. 28.44 Úloha 48 2,00ft* 5,00 ň ^ > R* Obr. 28.46 Úloha 50 51Ú. Měděný drát o poloměru a = 0,250 mm má hliníkový obal o vnějším poloměru b = 0,380 mm. (a) Celým vodičem prochází proud I = 2,00 A. Pomocí údajů v tab. 27.1 vypočtěte proud v každém materiálu, (b) Jak musí být vodič dlouhý, aby tento proud tekl při přiloženém napětí 12,0 V? 52Ú. Na obr. 28.47 je baterie připojena k potenciometru o celkovém odporu Rq. Jeho jezdec se může pohybovat od polohy x = 0 vlevo do polohy x = 10 cm vpravo. Pohybem jezdce se mění odpor částí potenciometru vlevo a vpravo od jezdce, přičemž odpor každé částí je úměrný její délce. Odvoďte vztah pro výkon disipovaný rezistorem R v závislosti na poloze x posuvného kontaktu. Nakreslete graf této funkce pro s = 50 V, /ť = 2ooon, /ř0 = 100 a R -|l- S Obr. 28.47 Úloha 52 49Ú. Je dán obvod na obr. 28.45. Jaký odpor musí mít rezistor R, aby ideální baterie dodávala energii do rezistoru s výkonem (a) 60,0W, (b) maximálně možným, (c) minimálně možným? Vypočtěte výkon v případech (b) a (c). 12,0Í2 24,0V Obr. 28.45 Úloha 49 ODST. 28.7 Ampérmetr a voltmetr 53C. Jednoduchý ohmmetr na obr. 28.48 vznikne sériovým spojením baterie o napětí 1,50 V, rezistoru o odporu R a ampérmetru o rozsahu 0 až 1,00 mA. Odpor rezistoru R je takový, aby při zkratovaných svorkách přívodních kabelů ukazoval ampérmetr maximální hodnotu l,00mA. Jak velký odpor připojený ke svorkám způsobí výchylku ručičky ampérmetru na (a) 10 %, (b) 50 %, (c) 90 % maximální hodnoty? (d) Jaký je odpor rezistoru R, je-li odpor ampérmetru 20,0 Si a vnitřní odpor baterie je zanedbatelný? Obr. 28.48 Cvičení 53 50Ú. V obvodu na obr. 28.46 má elektromotorické napětí s konstantní hodnotu a rezistor R má proměnný odpor. Určete jeho hodnotu tak, aby se co nejvíce zahříval. Baterie je ideální. 54C. K citlivému ručnímu nastavení proudu v obvodu můžete použít dva reostaty zapojené paralelně podle obr. 28.49. Předpokládejte, že celkový odpor R\ reostatu A je dvacetkrát větší 740 KAPITOLA 28 OBVODY "vWvlvW—i vwvivvv- ť zatez H|-— 4-., í (v) elektrický svěfla >r startér Obr. 28.52 Úloha 59 Obr. 28.49 Cvičení 54 než celkový odpor /?2 reostatu B. (a) Jak budete postupovat při nastavování určitého proudu II (b) Proč je toto zapojení dvou reostatů lepší než reostat jediný? 55Ú. (a) Určete proud, který naměří ampérmetr v obvodu na obr. 28.50, je-li s = 5,0V, baterie je ideální, R^ = 2,0 £2, R2 = 4,0 £2, Rs = 6,0 £2. (b) Dokažte, že se při vzájemné výměně ampérmetru a zdroje emn nezmění proud naměřený ampérmetrem. Obr. 28.50 Úloha 55 56Ú. Jaký proud naměří ampérmetr v obvodu na obr. 28.51? Předpokládejte, že jeho odpor je nulový a baterie je ideální. %2R R< >í R< Obr. 28.51 Úloha 56 57Ú. V obvodu na obr. 28.12 je s = 5,0 V, r = 2,0 £2, R\ =5,0 £2, R2 = 4,0 £2. Jaké relativní chyby (v %) se dopustíme pň měření proudu, je-li odpor ampérmetru Ra = 0,10 £2? Předpokládejte, že voltmetr není v obvodu zapojen. 58Ú. V obvodu na obr.28.12 je s = 3,0V, r = 100 £2, Ri = = 250 £2, R2 = 300 £2. Jaké relativní chyby (v %) se dopustíme při měření napětí na rezistorů R\, je-li odpor voltmetru Ry = = 5 k£2? Vliv ampérmetru v obvodu neuvažujte. 59Ú. Když se rozsvítí světla automobilu, ampérmetr ukazuje proud 10 A a voltmetr měří napětí 12 V (obr. 28.52). Když se zapne elektrický startér, ampérmetr ukáže 8,0 A a světla poněkud pohasnou. Vnitřní odpor baterie je 0,050 £2 a odpor ampérmetru je zanedbatelný, (a) Jaké je emn baterie? (b) Jaký proud prochází startérem při rozsvícených světlech? 60Ú. Voltmetrem o odporu Ry a ampérmetrem o odporu Ra měříme odpor rezistorů R v obvodu na obr. 28.53a. Odpor R = U/I, kde U je napětí měřené voltmetrem a / je proud procházející rezistorem. Část /' proudu měřeného ampérmetrem však prochází voltmetrem, takže poměr naměřených hodnot U/ľ dává odpor R', který se Uší od skutečného odporu R rezistorů. Dokažte, že platí 1 Ř 1 R1 1 Všimněte si, že pro Ry - oo je R' R. i-^aaa- R ■vVV^ (a) (b) Obr. 28.53 Úlohy 60,61 a 62 61Ú. Viz úloha 60. Při měření odporu mohou být přístroje také zapojeny jako na obr. 28.53b. Poměr naměřeného napětí a proudu dává odpor R', který se opět Uší od skutečného odporu rezistorů R. Dokažte, že platí R = R' — RA, kde Ra je odpor ampérmetru. Všimněte si, že pro Ra —> 0 je R' ->• R. 62Ú. Viz úlohy 60 a 61. Odpory ampérmetru a voltmetru na obr. 28.53 jsou 3,00 £2 a 300 £2. Položte s = 12,0 V pro ideální baterii, Rq = 100 £2, R = 85,0 £2. (a) Jaké hodnoty budou přístroje ukazovat v obou zapojeních? (b) Jaký odpor R' vypočteme z naměřených hodnot? 63Ú. Odpor termostatu Rp v obvodu na obr. 28.54 má být pomocí jezdce nastaven tak, aby potenciál bodů a, b byl stejný. (Dá se to ověřit tak, že mezi body a, b připojíme citíivý ampérmetr; mají-U stejný potenciál, ampérmetr neukáže žádný proud.) Dokažte, že je-li tato podmínka splněna, platí vztah CVIČENÍ & ÚLOHY 741 Užitím tohoto zapojení nazývaného Wheatstoneův můstek se Obr. 28.54 Úlohy 63 a 64 64Ú. (a) Jsou-li body a, b na obr. 28.54 spojeny vodičem o odporu r, dokažte, že proud procházející vodičem je i _ S{RV - Rx) (R + 2r)(Rp + Rx)+2RpRx' kde S je emn ideální baterie a R = R\ = R2. Předpokládejte, že Ro = 0. (b) Je odvozený vztah v souladu s výsledkem úlohy 63? ODST. 28.8 Obvody RC 65C. Kondenzátor s počátečním nábojem Qo se vybíjí přes re-zistor. Za jak dlouho kondenzátor ztratí (a) třetinu svého náboje, (b) dvě třetiny svého náboje (vyjádřete v násobcích časové konstanty Tc). 66C. V sériovém RC obvodu je S = 12,0 V, R = 1,40MÍ2, C = 1,80 jaF. (a) Vypočtěte časovou konstantu, (b) Určete maximální náboj, který kondenzátor získá během nabíjení, (c) Za jak dlouho se kondenzátor nabije nábojem 16 y.C? 67C. Vyjádřete v násobcích časové konstanty, za jak dlouho se původně nenabitý kondenzátor v sériovém RC obvodu nabije na 99,0 % koncového (ustáleného) náboje. 68C. Rezistor o odporu 15,0kf2 a kondenzátor jsou zapojeny do série a potom je k nim přiloženo napětí 12,0 V. Napětí na kondenzátoru se za 1,30 [is zvýší na 5,00 V. (a) Vypočtěte časovou konstantu obvodu, (b) Vypočtěte kapacitu kondenzátoru. 69Ú. Rezistor o odporu 3 MS2 a kondenzátor o kapacitě 1,00 jaF jsou spojeny sériově s ideální baterií o elektromotorickém napětí S = 4,00 V. Za 1,00 s po připojení baterie vypočtěte (a) rychlost nárůstu náboje kondenzátoru, (b) rychlost nárůstu elektrické potenciální energie kondenzátoru, (c) rychlost disipace energie v rezistoru, (d) rychlost, jakou baterie dodává energii do obvodu. 70Ú. V okamžiku ř = 0 je sepnut spínač a kondenzátor o počátečním napětí 100 V se začne vybíjet přes rezistor. V okamžiku ř = 10,0s je napětí na kondenzátoru 1,00V. (a) Jaká je časová konstanta obvodu? (b) Jaké bude napětí na kondenzátoru v čase t = 17,0s? 71Ú. Na obr. 28.55 je elektrický obvod zábleskové lampy, používané např. k označení opravovaných úseků dálnice. Výbojka L (zanedbatelné kapacity) je připojena paralelně ke kondenzátoru C sériového RC obvodu. Výbojkou prochází proud pouze tehdy, když napětí na ní dosáhne vybíjecího napětí í/l- Kondenzátor se pak přes ni vybije (předpokládejme, že úplně, tj. na nulové napětí) a ta zableskne. Předpokládejte, že zableskne dvakrát za sekundu. Jaký odpor R musí mít rezistor, je-li vybíjecí napětí t/L = 72,0 V, emn ideální baterie S = 95,0 V a kapacita kondenzátoru C = 0,150 (iF? R Obr. 28.55 Úloha 71 72Ú. Kondenzátor o kapacitě 1,0 i^F a počáteční energii 0,50 J se vybíjí přes rezistor o odporu 1,0 MSI. (a) Jaký je počáteční náboj kondenzátoru? (b) Jaký proud prochází rezistorem v okamžiku, kdy vybíjení kondenzátoru začíná? (c) Vyjádřete napětí na kondenzátoru U c a napětí na rezistoru Ur jako funkci času. (d) Vypočtěte rychlost disipace energie v rezistoru jako funkci času. 73Ú. Napětí na deskách částečně probitého kondenzátoru (tj. takového, že náboj může procházet z jedné desky na druhou) o kapacitě 2,0 jiF klesne na čtvrtinu své počáteční hodnoty za 2,0 s. Jaký je odpor vodivého spojení desek? 74Ú. Původně nenabitý kondenzátor o kapacitě C se plně nabije pomocí baterie o konstantním elektromotorickém napětí S zapojeném do série s rezistorem R. (a) Ukažte, že koncová energie nabitého kondenzátoru je rovna polovině energie dodané zdrojem emn. (b) Integrováním výrazu I2R podle času ukažte, že energie disipovaná rezistorem je také rovna polovině energie dodané zdrojem emn. 75Ú. Elektronická řídicí jednotka, která ovládá spínání světel ve světelné reklamě, obsahuje rezistor o proměnném odporu připojený ke kondenzátoru o kapacitě 0,220 jiF. Kondenzátor se nabije na napětí 5,00 V a potom se vybíjí přes rezistor. Doba, za kterou napětí na jeho deskách klesne na 0,800 V, se měří vestavěnými elektronickými hodinami. V jakém intervalu má být možné nastavit odpor rezistoru, aby se doba vybíjení mohla měnit od 10,0 jis do 6,00 ms? 76Ú. V obvodu na obr. 28.56je kondenzátor, dvě ideální baterie, dva rezistory a spínač S. Spínač byl nejprve dlouhou dobu rozpojen a potom byl na dlouhou dobu zase sepnut. O kolik se změnil náboj kondenzátoru po sepnutí? Předpokládejte C = 10\jF, Si = 1,0 V, S2 = 3,0 V, Rx = 0,20 SI, R2 = 0,40 Si. 742 KAPITOLA 28 OBVODY Obr. 28.56 Úloha 76 77Ú*. V obvodu na obr. 28.57 je S = l,2kV, C = 6,5 ^F, J?i = J?2 = i?3 = 0,73 MS2. Kondenzátor C je bez náboje, v okamžiku f = Oje sepnut spínač S. (a) Vypočtěte proud procházející každým z rezistoru pro f = 0 a pro t oo. (b) Načrtněte graf časové závislosti napětí U2(t) na rezistoru R2 v intervalu od t = 0 do t oo. (c) Vypočtěte hodnotu napětí U2 pro t = 0 a pro t 00. (d) Jaký fyzikální význam má v tomto případě podmínka ř -» 00? r^vVVWf« ä1 R2* Obr. 28.57 Úloha 77 PRO POCITAC 78Ú. Na obr. 28.58 je část elektronického obvodu. Do nenakreslené části obvodu přitéká uzlem A proud 7 a uzlem B z ní odtéká stejný proud 7. Položte S\ = 10 V, £2 = 15 V, R{ = R2 = 5,0 Í2, 7?3 = 7?4 = 8,0 B, ä5 = 12 Í2. (a) Pro každou ze čtyř zadaných hodnot proudu 7 (0; 4,0 A; 8,0 A; 12 A) vypočtěte proud procházející ideálními bateriemi a rozhodněte, zda se baterie vybíjejí, nebo nabíjejí. Vypočtěte také napětí Uab- (b) Část obvodu, která není na obrázku nakreslena, obsahuje sériově zapojený zdroj emn a rezistor. Jaké jsou jejich hodnoty? AVVV Obr. 28.58 Úloha 78 79Ú. V tabulce jsou uvedeny hodnoty napětí Us na svorkách baterie v závislosti na proudu 7 odebíraném z baterie, (a) Napište matematický vztah, který popisuje závislost mezi svorkovým napětím baterie a odebíraným proudem 7. Zadejte údaje z tabulky I/A 50 10,7 75 9,0 100 7,7 125 6,0 150 4,8 175 3,0 200 1,7 do počítače a provedTte lineární regresi. Z parametrů lineární regrese určete (b) emn baterie a (c) její vnitřní odpor. 80Ú. Uvažujte obvod na obr. 28.59. (a) Použijte uzlové pravidlo pro uzly a ad a smyčkové pravidlo pro tři smyčky a sestavte soustavu lineárně nezávislých rovnic, (b) Soustavu rovnic napište v maticovém tvaru [A] [7?] = [C], kde IB] = ■lili h h h. Jaké jsou prvky matic [A] a [C]? (c) Vypočtěte proudy I\, I2, h, h, I5. 12V Obr. 28.59 Úlohy 80 a 81 81Ú. Po určení všech pěti proudů v úloze 80 pokračujte dále ve vyšetřování obvodu na obr. 28.59. (a) Vypočtěte napětí na rezistoru o odporu 9 ň. (b) Vypočtěte výkon ztracený na rezistoru o odporu 7Q.(c) Vypočtěte výkon 12 V baterie v obvodu, (d) Vypočtěte výkon 4 V baterie v obvodu, (e) Který z uzlů a, c má vyšší potenciál? 82Ú. Kondenzátor o kapacitě Co byl nejprve dlouhou dobu připojen k baterii o elektromotorickém napětí £q av okamžiku t = 0 se začal vybíjet přes rezistor o odporu 200 kfí. Při vybíjení bylo měřeno napětí na kondenzátoru v závislosti na čase. Výsledky jsou uvedeny v tabulce, (a) Napište matematický vztah pro napětí na kondenzátoru jako funkci času. Zadejte údaje z tabulky do počítače a provecfte lineární regresi závislosti přirozeného logaritmu napětí ln(«c) na čase. Z parametrů regrese určete (b) elektromotorické napětí baterie So, (c) časovou konstantu r c obvodu, (d) kapacitu Cq. «c/V t/s 9,9 0,2 7,2 0,4 5,7 0,6 4,4 0,8 3,4 1,0 2,7 1,2 2,0 1,4 29 Magnetické pole Budete-li pozorovat za bezměsíčné noci oblohu, nejlépe za polárním kruhem, můžete spatřit nezapomenutelný jev, polární záři. Vypadá jako jemná svítící záclona, která visí dolů z oblohy. Její rozměry jsou obrovské, je několik tisíc kilometrů dlouhá, několik set kilometrů vysoká a tvoří oblouk téměř kilometr široký. Čemu vděčíme za tuto grandiózní podívanou a proč je tak vzácná? 744 KAPITOLA 29 MAGNETICKÉ POLE 29.1 MAGNETICKÉ POLE V kap. 22 jsme se zabývali vznikem a vlastnostmi elektrického pole vytvořeného například nabitou plastikovou tyčí. Toto pole existuje v celém prostoru kolem tyče a můžeme ho popsat vektorem elektrické intenzity E. Podobně i magnet vytváří pole v každém bodě prostoru kolem sebe a uvidíme, že ho můžeme popsat vektorovou veličinou B, kterou nazýváme magnetická indukce. S magnetickým polem se můžeme setkat v běžném životě například tehdy, když přidržujeme papírky se vzkazy na dveřích ledničky malými magnety nebo když náhodou smažeme disketu, přiblížíme-li ji neopatrně k magnetu. Takový magnet, ať už na dveřích ledničky nebo poblíž diskety, působí prostřednictvím svého magnetického pole. Častý typ magnetu je tvořen cívkou navinutou z drátu kolem ocelového jádra, kterou prochází elektrický proud, tzv. elektromagnet. Čím větší je proud, tím silnější je magnetické pole. V průmyslu se takové elektromagnety používají ke třídění železného šrotu (obr. 29.1) a v mnoha dalších případech. V každodenním životě jsou ještě běžnější permanentní magnety — magnety stejného typu jako na dveřích ledničky. Ty vytvářejí magnetické pole, aniž k tomu potřebují dodávat elektrický proud. Obr. 29.1 Třídění kovů elektromagnetem v ocelárnách V kap. 23 jsme objasnili, jak elektrický náboj ve svém okolí vytváří elektrické pole, které působí na ostatní elektrické náboje. Bylo by proto přirozené analogicky očekávat, že existuje magnetický náboj, který vytváří ve svém okolí magnetické pole působící na jiné magnetické náboje. Ačkoli takové magnetické náboje, zvané magnetické monopoly, vystupují v některých teoriích, nebyla jejich existence experimentálně potvrzena. Magnetická pole, s nimiž se běžně setkáváme, tedy vznikají nějak jinak. Původ kteréhokoli magnetického pole kolem nás můžeme vysvětlit jedním z těchto dvou mechanismů: (1) Pohybující se elektricky nabité částice, jako jsou nosiče náboje ve vodičích, vytvářejí ve svém okolí magnetické pole. (2) Některé elementární částice (např. elektrony) mají kolem sebe také magnetické pole; toto pole je jejich základní charakteristikou stejně jako hmotnost či elektrický náboj. V kap. 32 si podrobně všimneme toho, že v určitých látkách se skládají magnetická pole elektronů a vytvářejí navenek výrazné magnetické pole. Tak je tomu u látek, z nichž jsou vyrobeny permanentní magnety. V ostatních látkách se magnetická pole všech elektronů vyruší a žádné výraznější magnetické pole jako výsledek nevznikne. To platí třeba pro látky, z nichž se skládá lidské tělo. Experimentálně je potvrzeno, že na nabitou částici (ať už jedinou, nebo jako jednu z mnoha, které vytvářejí elektrický proud v drátu) pohybující se v magnetickém poli, působí pole jistou silou. V této kapitole se soustředíme na vztah mezi magnetickým polem a touto silou. 29.2 DEFINICE MAGNETICKÉ INDUKCE Intenzitu elektrického pole E v určitém místě prostoru jsme určili tak, že jsme do tohoto místa vložili testovací částici s nábojem Qo a měřili elektrickou sílu F e , která na ni působí. Potom jsme definovali elektrickou intenzitu E vztahem: (29.1) Pokud by existoval magnetický monopol, mohli bychom definovat magnetickou indukci B podobně. Poněvadž však žádné monopoly nebyly dosud nalezeny, musíme definovat B jinak. Použijeme k tomu magnetickou sílu Fb, působící na pohybující se elektricky nabitou částici. To můžeme v principu udělat tak, že vstrekneme s různými rychlostmi v různých směrech nabité částice do místa, kde chceme B změřit. Přitom vždy určíme sílu působící na částici v tomto místě. Po mnoha takových zkouškách bychom zjistili, že existuje takový směr rychlosti vp=o, že síla Fb je nulová. Pro všechny ostatní směry rychlosti v je 29.2 DEFINICE MAGNETICKÉ INDUKCE 745 velikost síly Fb vždy úměrná součinu v sin d) směrem opačným, tedy od dolní části proužku nahoru. V určitém okamžiku (obr. 29.8a) bylo zapnuto vnější magnetické pole B, kolmé k rovině obrázku směřující od nás. Z rov. (29.2) plyne, že magnetická síla Fb bude působit na každý elektron pohybující se driftovou rychlostí tak, že ho bude „tlačit" k pravé straně proužku. Během jisté doby se elektrony pohybující se doprava nakupí na pravé straně proužku, takže zanechají na levé straně proužku nevykompenzované kladné náboje. Tím vzniká elektrické pole o intenzitě £ uvnitř proužku. Toto pole má směr zleva doprava (obr. 29.8b), takže elektrická síla Fe tlačí každý elektron doleva. Během velmi krátké doby se ustaví rovnováha: elektrická síla působící na každý elektron poroste tak dlouho, až se vyrovná opačně působící magnetické síle. Tím se 750 KAPITOLA 29 MAGNETICKÉ POLE r— Í—I X X X X x x1 x X + £ „ - - E + X + x x x x x + X x x *x x x + * ' X" x x ~ x x + Vi + - f e w r b ''e T F b x X x x X 1 x + - v + x x x x X'dX («) (6) (c) Obr. 29.8 Medený proužek, kterým protéká proud /, je umístěn do magnetického pole B. (a) Situace okamžitě po zapnutí magnetického pole. Je zakreslena zakřivená trajektorie, po níž se bude elektron pohybovat, (b) Ustálená situace, která se vytvoří brzy po zapnutí. Všimněte si, že záporné náboje se budou shromažďovat na pravé straně proužku, takže na levé straně zůstane nevykom-penzovaný kladný náboj. Levá strana proužku tedy bude mít vyšší elektrický potenciál než strana pravá, (c) Pokud budou mít nosiče nábojů kladné znaménko, budou se shromažďovat na pravé straně proužku a ta bude mít vyšší potenciál než strana levá. obě síly navzájem vyruší: Fe + Fb = 0. Nadále se elektrony budou pohybovat driftovou rychlostí ve směru délky proužku k jeho hornímu okraji a náboj nahromaděný na pravé straně, a tedy i pole £ jím vytvořené napříč proužku už více neporostou. Rozdíl potenciálů Un vzniklý podle rov. (25.42) na vzdálenosti d se nazývá Hallovo napětí: UK = Ed. (29.9) Připojením voltmetru k bočním okrajům proužku můžeme Hallovo napětí přímo změřit. Zjistíme tím také, který z okrajů má vyšší potenciál. V situaci na obr. 29.8b má levá strana proužku vyšší potenciál, což souhlasí s naším předpokladem, že nosiče náboje mají záporné znaménko. Předpokládejme na chvíli, že nosiče náboje mají kladný náboj (obr. 29.8c). Jestliže by se tyto kladné nosiče náboje pohybovaly od horního konce proužku k dolnímu, byly by tlačeny k pravé straně proužku silou Fb, a tedy jeho pravá strana by měla vyšší potenciál. Protože je tento výsledek v protikladu s údaji našeho voltmetru, musí mít nosiče náboje znaménko záporné. Nyní doplníme naše úvahy kvantitativními výpočty. Velikost náboje nosiče označíme Q; pro elektron je Q = = \—e\. Je-li elektrická síla v rovnováze se silou magnetickou (obr. 29.8b), dostaneme z rov. (29.1) a (29.3) rovnici QE = QváB. Z rov. (27.7) plyne pro driftovou rychlost i>d / / vd = nQ nQS (29.10) (29.11) kde J = I/S je velikost hustoty proudu v proužku, S je obsah příčného průřezu proužku a n je počet nosičů náboje v objemové jednotce vodiče (koncentrace nosičů náboje). Vyjádřime-li n z rov. (29.11), dostáváme po dosazení z rov. (29.9) a (29.10) vztah n = Bíd UuSQ' (29.12) Vidíme, že koncentraci n můžeme vyjádřit pomocí veličin, které lze přímo měřit. Hallova jevu je také možno využít k přímému měření driftové rychlosti nosičů náboje, která je, jak jsme již uvedli, řádově centimetry za hodinu. Tento nápaditý experiment je sestaven tak, že se kovový proužek pohybuje v magnetickém poli v opačném směru, než je směr driftové rychlosti nosičů náboje. Rychlost pohybujícího se proužku lze měnit tak, aby Hallovo napětí bylo právě rovno nule. Za tohoto stavu musí být rychlost nosičů náboje vůči magnetickému poli nulová. Rychlost proužku tedy musí být co do velikosti rovna driftové rychlosti nosičů záporného náboje (ale opačně orientovaná). PŘIKLAD 29.2 Na obr. 29.9 je kovová krychhčka s délkou hrany d = l,5cm, která se pohybuje v kladném směru osy y konstantní rychlostí v o velikosti 4,0 m-s-1 v homogenním magnetickém poli s indukcí 0 o velikosti 0,050T ve směru osy z. Obr. 29.9 Příklad 29.2. Kovová krychlička o délce hrany d se pohybuje konstantní rychlostí v v homogenním magnetickém poli o indukci B. (a) Která stěna bude mít díky pohybu krychličky elektrický potenciál vyšší a která nižší? 29.5 POHYB NABITÉ ČÁSTICE PO KRUŽNICI 751 ŘEŠENÍ: Když se krychlička bude pohybovat v magnetickém poli, budou se její vodivostní elektrony pohybovat spolu s ní. Proto na ně bude působit magnetická síla Fb daná rov. (29.2). Na obr. 29.9 působí síla Fb v záporném směru osy x. To znamená, že některé elektrony budou vychýleny silou F b k (nezakreslené) levé stěně krychličky, čímž dojde k tomu, že tato stěna bude nabita záporně, a tedy pravá stěna bude naopak kladná. Tím vznikne elektrické pole E směřující od pravé stěny k levé, takže levá stěna bude mít nižší potenciál než stěna pravá. (b) Určete napětí U mezi stěnami s vyšším a nižším potenciálem. ŘEŠENÍ: Elektrické pole o intenzitě E, které takto vzniklo, způsobí, že na elektrony bude působit elektrická síla F e orientovaná k pravé stěně krychhčky (tedy opačně než magnetická síla Fb). Rovnováhy, při níž Fe = Fb, bude dosaženo rychle poté, co se krychlička začne pohybovat v magnetickém poli. Z rov. (29.1) a (29.3) dostaneme eE = evB. Po dosazení za. E z rov. (29.9) (U = Ed) dostaneme U = dvB. (29.13) Dosazením dostaneme výsledek U = (0,015m)(4,0m-s_1)(0,050T) = 0,0030V = 3,0mV. (Odpověď) j^ONTROLA 3: Na obrázku je kovový kvádr, který se pohybuje rychlostí o velikosti v v homogenním magnetickém poli B. Jeho rozměry jsou celistvé násobky délky d, jak je vidět z obrázku. Máte šest možností pro výběr směru rychlosti kvádru: může být rovnoběžná s osami x, y, nebo z, a mířit buď v jejich kladném, nebo záporném směru, (a) Seřaďte sestupně oněch šest možností podle velikosti napětí, které vznikne mezi protilehlými stěnami, (b) Ve kterém případě má čelní stěna nižší potenciál? Id 3d 29.5 POHYB NABITE ČASTICE PO KRUŽNICI Pohybuj e-li se částice rovnoměrně po kružnici, pak výsledná síla, která na ni působí, musí mít stálou velikost a musí být orientována do středu kružnice. Je tedy stále kolmá k rychlosti v částice. Představme si kámen, upevněný na vlákně a obíhající rovnoměrně po kružnici ve vodorovné rovině, nebo družici, pohybující se po kruhové trajektorii kolem Země. V prvním případě vytváří tuto dostředivou sílu tah vlákna; ve druhém případě je to gravitační přitažlivá síla mezi Zemí a družicí. Na obr. 29.10 je ukázán jiný příklad: svazek elektronů je vstřelován elektronovým dělem (ED) do měřicí komůrky. Elektrony do ní vlétají v rovině obrázku rychlostí v a dostávají se do oblasti homogenního magnetického pole o indukci B, která je kolmá k rovině obrázku a má směr k nám. Výsledkem je, že magnetická síla Fb = Qv x B stále vychyluje elektrony, a protože vektory v a B jsou na sebe stále kolmé, budou se elektrony pohybovat po kružnici. Stopu elektronů vidíme na fotografii, neboť atomy plynu v komůrce vyzařují světlo, kdykoli se s nimi některý z letících elektronů srazí. Nyní určíme parametry, které charakterizují kruhový pohyb elektronů (nebo jakýchkoli jiných částic s nábojem o velikosti Q a hmotností m) pohybujících se kolmo ke směru homogenního magnetického pole B rychlostí o velikosti v. Podle rov. (29.3) má síla působící na částici velikost QvB. Pro rovnoměrný pohyb po kružnici (rov. (6.20)) platí podle druhého Newtonova zákona mv F = ma = odkud po dosazení za F — QvB dostáváme QvB mv r (29.14) (29.15) Z této rovnice můžeme vyjádřit poloměr kružnice, po níž se částice pohybuje: mv r = -zr^r (poloměr). QB (29.16) Perioda T (tj. doba, potřebná pro jeden oběh) je rovna obvodu kružnice dělenému rychlostí částice, takže lnr In mv 2nm T =-= __- = -_ (perioda). (29.17) v v QB QB Frekvence / je 1 QB f = = (frekvence). (29.18) T 2nm 752 KAPITOLA 29 MAGNETICKÉ POLE Úhlová frekvence co je tedy QB co = 2xf =- (úhlová frekvence). (29.19) m Vidíme, že veličiny T, f a co nezávisejí na velikosti rychlosti částice (za předpokladu, že její rychlost je mnohem menší, než je rychlost světla). Rychlé, resp. pomalé částice se pohybují po kružnicích o velkém, resp. malém poloměru, ale všechny částice se stejným poměrem Q/m potřebují stejnou dobu T (periodu) k vykonání jednoho oběhu. S využitím rov. (29.2) se můžeme přesvědčit o tom, že díváme-li se ve směru indukce B, obíhá kladná částice vždycky v kladném smyslu (tj. proti směru otáčení hodinových ručiček), zatímco částice se záporným nábojem obíhá ve směru opačném. Obr. 29.10 Elektrony obíhají v komůrce obsahující plyn za nízkého tlaku (stopa elektronů je kruhová). Magnetické pole B, které je kolmé k rovině obrázku a směřuje k nám, je homogenní v celém objemu komůrky. Všimněte si radiálně působící magnetické síly Fb'. protože se částice pohybuje rovnoměrným pohybem po kružnici, síla Fb míří stále do jejího středu. Použijte pravidla pravé ruky a přesvědčete se, že síla F b = Qv x B má příslušný směr. Trajektorie ve tvaru šroubovice Ukážeme, že má-li nabitá částice letící v homogenním magnetickém poli B nenulovou složku rychlosti ve směru B, bude se pohybovat po šroubovici s osou ve směru pole. Na obr. 29.1 la je vektor rychlosti částice v rozložen vzhledem ke směru B do dvou průmětů — rovnoběžného v\\ a kol- mého v±_ a platí v\\= v cos cp a vj_ = vsind směrem dolů. Podle 29.7 AMPÉROVA SÍLA 757 7=0 (c) (a) (*) Obr. 29.17 Na obrázku je ohebný vodič, umístěný mezi pólovými nástavci magnetu, (a) Neprotéká-li vodičem proud, je vodič rovný, (b) Teče-li vodičem proud směrem nahoru, prohne se doprava, (c) Teče-li vodičem proud směrem dolů, prohne se doleva. Kontakty pro přívod proudu na obou koncích vodiče nejsou zakresleny. rov. (29.3) pro

, (29.31) kde S = ab je obsah plochy ohraničené jedním závitem cívky. Veličiny v závorkách (NIS) jsme záměrně zařadili k sobě, neboť všechny charakterizují vlastnosti cívky; je to počet závitů, proud tekoucí cívkou a obsah plochy jednoho závitu. Dá se ukázat, že rov. (29.31) platí pro všechny ploché cívky bez ohledu na jejich tvar za předpokladu, že magnetické poleje homogenní. Zajímavé je sledovat pohyb vektoru n, který má podle pravidla pravé ruky směr normály k rovině cívky. Z rov. (29.31) plyne, že magnetické pole bude plochou cívku protékanou proudem stáčet do polohy, ve které bude vektor n souhlasně rovnoběžný se směrem magnetické indukce pole. strana 4 Q>) (c) Obr. 29.24 Obdélníková smyčka o délce a a šířce b, kterou protéká proud I, se nachází v homogenním magnetickém poli. Moment síly M se snaží otočit normálový vektor n do směru magnetického pole. (a) Smyčka, jak ji vidíme ze směru magnetického pole. (b) Pohled na smyčku z perspektivy. Je ukázáno použití pravidla pravé ruky, pomocí něhož lze stanovit směr n: je kolmý na plochu smyčky, (c) Boční pohled na smyčku. Smyčka rotuje tak, jak je ukázáno na obrázku. 29.9 MAGNETICKÝ DIPÓL 761 PRÍKLAD 29.9 Analogové voltmetry a ampérmetry pracují tak, že měří silový moment, kterým působí magnetické pole na cívku protékanou proudem. Ručička přístroje ukazuje na stupnici výsledek. Na obr. 29.25 je znázorněna podstata galvanometru, který je základem většiny analogových ampérmetru a voltmetru. Uvažovaná cívka je 2,1 cm vysoká a 1,2 cm široká, má 250 závitu a může se otáčet kolem osy kolmé k rovině obrázku v magnetickém poli o velikosti B = 0,23 T, které je v rovině obrázku radiálně symetrické. Díky jádru je magnetické pole ve štěrbině kolmé k normálovému vektoru roviny cívky, ať je cívka natočena jakkoli. Pružina P působí silou, jejíž moment vyrovnává moment magnetické síly, takže stejnosměrnému proudu / v cívce odpovídá jednoznačně určitá úhlová výchylka (p. Nechť proud 100 \xA způsobí úhlovou výchylku 28°. Jaká musí být torzní tuhost kt pružiny, vystupující v rov. (16.24) (M = -kt e/B1 6. Na obr. 29.30 jsou zkřížená homogenní pole, elektrické s intenzitou e a magnetické o indukci 0. Do oblasti, kde obě pole působí, vlétá 10 různých nabitých částic (vektory jejich rychlostí nejsou zakresleny ve správném měřítku). V tab. 29.3 jsou uvedena znaménka nábojů a to, zda je jejich rychlost menší, nebo větší než poměr e/B (srov. otázku 5). Které částice se budou pohybovat kolmo k rovině obrázku směrem k nám v okamžiku, kdy situace v uspořádání částic a polí odpovídá obr. 29.30? Tabulka 29.3 Otázka 6 ČÁSTICE NÁBOJ RYCHLOST ČÁSTICE NÁBOJ RYCHLOST 1 + menší 6 větší 2 + větší 7 ■ menší 3 + menší 8 + větší 4 + větší 9 - menší 5 menší 10 - větší Obr. 29.30 Otázka 6 7. Letadlo letí směrem na západ od Brna, kde míří indukce 0 magnetického pole Země k severu a je odkloněna dolů. (a) Na kterém křídle letadla, levém, nebo pravém, se budou pohybovat elektrony ve směru ke špičce křídla v důsledku působení magnetického pole? (b) Ke které špičce křídla, pravé, nebo levé, se budou pohybovat vodivostní elektrony, poletí-li letadlo směrem na východ? 8. Na obr. 29.31 je průřez vodičem, kterým protéká proud kolmo k rovině obrázku směrem od nás. (a) Kterou dvojici svorek ze a * V časticové fyzice (a také v nebeské mechanice) se často užívá termín „dráha" ve smyslu „trajektorie". Obr. 29.31 Otázka 8 čtyř možných, označených (a, b, c, ď), použijete k měření Hallova napětí, jestliže magnetické pole působí v kladném směru osy xl Nosiče náboje mají záporné znaménko a pohybují se kolmo k rovině obrázku směrem od nás. Která svorka z této vybrané otázky 765 dvojice má vyšší potenciál? (b) Opakujte totéž pro magnetické pole působící v záporném směru osy y, mají-li tentokrát nosiče náboje kladné znaménko a pohybují-li se směrem k nám. (c) Proveďte stejný rozbor pro situaci, kdy má magnetická indukce směr rovnoběžný s kladným směrem osy z. 9. Na obr. 29.32 je znázorněna situace, kdy nabitá částice vlétá s rychlostí o velikosti vq do homogenního magnetického pole o indukci B, pohybuje se v něm po půlkružnici po dobu 7b a poté j e opustí, (a) Má částice kladný, nebo záporný náboj ? (b) Je konečná velikost rychlosti částice větší, menší, nebo rovna uo? (c) Jestliže počáteční rychlost bude 0,5i>o, bude doba, po kterou se částice pohybuje v magnetickém poli, větší, menší, nebo rovna Jo? (d) Bude trajektorie částice opět půlkružnice? ( Obr. 29.32 Otázka 9 10. Na obr. 29.33 je dráha částice prolétající šesti oblastmi homogenního magnetického pole. Dráha v nich má tvar buď půlkružnice, nebo čtvrtkružnice. Po opuštění poslední oblasti se částice pohybuje mezi dvěma rovnoběžnými nabitými destičkami a je vychýlena směrem k destičce s vyšším potenciálem. Jaký je směr vektoru magnetické indukce v jednotlivých oblastech? Obr. 29.33 Otázka 10 11. Na obr. 29.34 je stopa elektronu, který prolétá dvěma oblastmi homogenního magnetického pole s magnetickými indukcemi o velikostech B\ a B2. Jeho dráha má v každé z oblastí tvar půlkružnice, (a) Které pole má větší magnetickou indukci? 3 Qo) Jaký je směr polí v obou oblastech? (c) Je doba, po kterou se elektron pohybuje v oblasti s indukcí B\ větší, nebo rovna době, po kterou se pohybuje v oblasti s indukcí B21 Časticový „autodrom". Na obr. 29.35je zakresleno 11 stop částic v oblasti homogenního magnetického pole. Jedna stopa Obr. 29.35 Otázka 12 má tvar přímky, ostatní mají tvar půlkružnic. V tab. 29.4. jsou uvedeny hmotnosti, náboje a velikosti rychlosti těchto částic z obrázku. Přiřadte stopy jednotlivým částicím. Tabulka 29.4 Otázka 12 částice hmotnost náboj rychlost 1 2m Q V 2 m 2Q v 3 m/2 Q 2v 4 3m 3<2 3v 5 2m Q 2v 6 m -Q 2v 7 m -42 v 8 m -Q v 9 2m -2Q 3v 10 m -2Q 8u 11 3m 0 3v 13. Na obr. 29.36 jsou tři nabité částice pohybující se po spirále v homogenním magnetickém poli. Který případ odpovídá záporně nabité částici? B (a) (c) 4> (f>) Obr. 29.36 Otázka 13 14. Na obr. 29.37 jsou nakresleny 4 situace, v nichž se nacházejí podkovovitý magnet a přímý vodič, kterým protékají elektrony vodič uu (a) ib) (c) (d) Obr. 29.34 Otázka 11 Obr. 29.37 Otázka 14 766 KAPITOLA 29 MAGNETICKÉ POLE kolmo k obrázku směrem k nám. Ve kterém případě bude Am-pérova síla působící na vodič směřovat k homí části obrázku? 15. Vodičem, nacházejícím se v magnetickém poli o indukci B, protéká proud / v záporném směru osy x. Bez písemného výpočtu seřadíte v sestupném pořadí velikosti sil, kterými působí magnetické pole na vodič: Bx = (2/ + 3» T, B2 = (4/ - 3j) T, B3 = (6/ + 3k) T a B4 = (-8/ - 3k) T. 16. Tichý „housenkový pohon" ponorek, známý z některých filmů, je založen na principu magnetohydrodynamického (MHD) pohonu: pohybuje-li se ponorka kupředu, protéká mořská voda několika kanály, umístěnými ve speciální konstrukci na zadní části trupu. Na obr. 29.38 je schematicky ukázán takový kanál. Magnety, nacházející se na protilehlých stěnách kanálu, mají opačné póly nastavené proti sobě, takže vytvářejí uvnitř kanálu homogenní magnetické pole. Elektrody (nejsou zakresleny) vytvářejí elektrické pole ve směru napřič kanálem. To způsobí příčný elektrický proud iontů ve vodě a magnetická síla na ně působící žene vodu směrem k zádi kanálu, a tedy pohání ponorku kupředu. Musí být elektrické pole působící na ionty (obr. 29.38) orientováno nahoru, dolů, doleva, doprava, dopředu, nebo dozadu? severní pól proudící mořská voda Obr. 29.38 Otázka 16 (a) Vraťme se ke kontrole 6, kde se magnetický dipólový moment /# otočí z orientace 1 do orientace 2. Bude práce, kterou vykoná magnetické pole při tomto otočení dipólu, kladná, záporná, nebo nulová? (b) Vypočtěte práci, kterou vykoná magnetické pole při otočení dipólu z orientace 1 do (a) orientace 2, (P) orientace 3, (y) orientace 4. Seřaďte je sestupně od největší po nej menší. CVIČENI SřuLOHY ODST. 29.2 Definice magnetické indukce Vyjádřete jednotku magnetické indukce B pomocí základních jednotek soustavy SI. 2C. Částice a se pohybuje rychlostí v o velikosti 550 m-s-1 v homogenním magnetickém poli o indukci B, jejíž velikost je 0,045 T. (Částice a má náboj +3,2-10"19 C a hmotnost 6,6-10-27 kg.) Úhel mezi vektory v a B je 52°. Jaká je velikost (a) magnetické síly F b , kterou působí na částici magnetické pole, a (b) zrychlení částice způsobené silou F#? (c) Změní se velikost rychlosti částice? 3C. Elektron v televizní obrazovce letí rychlostí 7,20-106 m-s-1 v magnetickém poli o indukci 83,0 mT. (a) Co můžete říci o největší a nej menší velikosti síly, kterou působí magnetické pole na elektron, aniž známe směr tohoto pole? (b) V určitém místě je zrychlení elektronu 4,90-1014m-s-2. Jaký úhel svírá vektor rychlosti elektronu s vektorem magnetické indukce? 4C. Proton se pohybuje ve směru, který svírá úhel 23,0° se směrem magnetické indukce, jejíž velikost je 2,60 mT. Magnetické pole působí na proton silou o velikosti 6,50-10_17N. Určete: (a) rychlost protonu a (b) kinetickou energii protonu v jednotkách eV. 5Ú. Každý z elektronů, nacházejících se v elektronovém paprsku v televizní trubici, má kinetickou energii 12,0 keV. Trubice je orientována tak, že se v ní elektrony pohybují vodorovně směrem od jižního geomagnetického pólu k severnímu. Vertikální složka zemského magnetického pole směřuje dolů a má velikost 55,0 jaT. (a) Kterým směrem se bude paprsek ohýbat? (b) Jaké je zrychlení každého z elektronů způsobené tímto magnetickým polem? (c) O jakou vzdálenost d se paprsek odchýlí v příčném směru na konci trubice o délce 20,0 cm? 6Ú. Elektron se pohybuje magnetickým polem o indukci B = = (0,030/-0,15/)Trychlostíir = (2,0-106/+3,0-106y) m-s"1. (a) Určete magnetickou sílu, která na něj působí, (b) Provedte stejný výpočet pro proton, který má tutéž rychlost. 7Ú. Elektron pohybující se v homogenním magnetickém poli má rychlost v = (40/ + 35/) km/s, když na něj začne působit magnetické pole silou F = (—4,2/ + 4,8/) fN. Určete magnetickou indukci B, víte-li, že Bx = 0. ODST. 29.3 Objev elektronu 8C. Proton se pohybuje v elektrickém a magnetickém poli. Obě pole jsou homogenní. Magnetická indukce je B = — 2,5/mT. V určitém okamžiku je rychlost protonu v = 2 000/ m-s-1. Jaká je v tomto okamžiku velikost celkové síly, působící na proton, je-li E (a) 4,0* V-m-1, (b) -4,0* V-m"1 (c) 4,0/ V-nT1? 9C. Elektron s kinetickou energií 2,5 keV vletěl vodorovně do oblasti, ve které působí směrem dolů elektrické pole o velikosti 10 kV-m-1. (a) Jaký je směr a (nejmenší) velikost magnetické indukce pole, které způsobí, že elektron bude pokračovat v pohybu ve vodorovném směru (nevychýlen)? Zanedbejte gravitační sílu, je malá ve srovnání s ostatními silami, (b) Je možné, aby se proton pohyboval touto konfigurací polí, aniž by byl vychýlen? Jestliže ano, za j akých okolností? 10C. Elektrické pole o velikosti intenzity l,50kV-m_1 a magnetické pole o velikosti indukce 0,400 T působí současně na pohybující se elektron, přičemž výslednice těchto dvou sil je CVIČENÍ & ÚLOHY 767 rovna nule. (a) Určete minimální velikost rychlosti elektronu, (b) Nakreslete vektory E,Ba.v. 11Ú. Elektron má počáteční rychlost (12,0/ + 15,0lr) km-s-1 a konstantní zrychlení (2,00-1012/) m-s-2 v oblasti, kde na něj působí homogenní magnetické pole. Určete intenzitu elektrického pole E, víte-li, že magnetická indukce B = 400/ jaT. 12Ú. Elektron je urychlen napětím 1,0 kV a vletí mezi dvě rovnoběžné desky vzdálené od sebe 20 mm. Rozdíl potenciálů mezi deskami je 100 V a elektron se pohybuje kolmo k siločárám elektrického pole. Jak velkou magnetickou indukci musí mít magnetické pole kolmé jak k vektom rychlosti elektronu, tak i k vektom intenzity elektrického pole, aby se elektron pohyboval po přímce? (Vektory v, E a B tedy tvoří trojici ortogonálních vektorů.) 13Ú. Každý iont 6Li (hmotnost 6,0 u) má náboj +e a je vychylo-ván napětím 10 kV. Svazek takových iontů vlétá ve vodorovném směm do oblasti homogenního magnetického pole o indukci B = 1,2 T. Vypočtěte nejmenší velikost intenzity elektrického pole, které musí působit v téže oblasti, aby ionty 6Li z ní vylétly nevychýlený. ODST. 29.4 Hallůvjev 14C. Měděný proužek široký 150 um se nachází v homogenním magnetickém poli o indukci B, jejíž velikost je 0,65 T; B je kolmé k ploše proužku. Jestliže proužkem protéká elektrický proud / = 23 a, naměříme na jeho šířce Hallovo napětí í/h- Určete jeho velikost, víte-li, že počet elektronů v objemové jednotce měděného vodiče je 8,47-1028 m-3. 15C. Dokažte, že počet nosičů náboje v objemové jednotce vodiče lze vyjádřit pomocí intenzity Hallova elektrického pole En a proudové hustoty / vztahem n = JB/(eEn). 16Ú. Při experimentu s Hallovým jevem protéká vodivým proužkem v podélném směm elektrický proud 3,0 A. Proužek je dlouhý 4,0 cm, široký 1,0 cm a tlustý 10 [im. Magnetické pole o indukci 1,5 T je kolmé k ploše proužku (ve směm tloušťky) a na jeho šířce bylo naměřeno Hallovo napětí 10 ^V. Z uvedených údajů určete (a) driftovou rychlost nosičů náboje a (b) počet nosičů náboje v objemové jednotce vodiče, (c) Na náčrtku ukažte polaritu Hallova napětí s předpokládaným směrem elektrického proudu a magnetického pole. Nosiče náboje jsou elektrony. 17U. (a) Dokažte (obr. 29.8), že poměr intenzity Hallova elektrického pole £h a elektrického pole E způsobujícího pohyb elektronů podél proužku je En=B_ E neg' kde g je rezistivita materiálu a n je počet elektronů v objemové jednotce vodiče, (b) Vypočtěte tento poměr pro hodnoty ze cvič. 14 (viz tab. 27.1). 18Ú. Kovový proužek dlouhý 6,50 cm, široký 0,850 cm a tlustý 0,760mm se pohybuje konstantní rychlostí v v magnetickém poli o indukci B, která je kolmá k ploše proužku a má velikost 1,20 mT (obr. 29.39). Hallovo napětí měříme mezi body X a Y napříč proužkem. Vypočtěte velikost rychlosti v. \- xx x B x*----»y Obr. 29.39 Úloha 18 ODST. 29.5 Pohyb nabité částice po kružnici 19C. Elektron je urychlován z klidu napětím 350 V. Poté vletí do homogenního magnetického pole o indukci 200 mT kolmo k vektom magnetické indukce. Vypočtěte: (a) velikost rychlosti elektronu a (b) poloměr jeho dráhy v magnetickém poli. 20C. Jakou velikost musí mít magnetická indukce homogenního magnetického pole působícího na paprsek elektronů, které letí rychlostí 1,3 • 106 m-s-1, aby se pohybovaly po kružnici o polomem 0,35 m? 21C. (a) V magnetickém poli o indukci 0,50 T obíhá po kružnici elektron rychlostí rovnou 10 % rychlosti světla. Určete poloměr kružnice, po níž se pohybuje, (b) Jaká je kinetická energie elektronu (v jednotkácheV)? Relativistické efekty jsou při takové rychlosti ještě zanedbatelné. 22C. Jak velká indukce homogenního magnetického pole by udržela elektron letící rychlostí 1,0-107 m-s-1 na kružnici velikosti zemského rovníku? 23C. Elektron má kinetickou energii 1,20 ke V a pohybuje se po kružnici v rovině kolmé k vektom magnetické indukce B. Poloměr této kružnice je 25,0 cm. Určete: (a) velikost rychlosti elektronu, (b) velikost magnetické indukce pole, (c) frekvenci otáčení a (d) periodu otáčení. 24C. Holandský fyzik S. A. Goudsmit vyvinul přesnou metodu měření hmotností těžkých iontů pomocí měření period jejich oběhů v magnetickém poli o známé magnetické indukci. Jednou ionizované ionty jodu oběhnou 7,00krát v poli o indukci 45,0 mT za 1,29 ms. Vypočtěte jejich hmotnost a vyjádřete ji v atomové hmotnostní jednotce 1 u. (Hmotnosti iontů nyní měříme mnohem přesněji, než naznačuje náš příklad.) 25C. Částice a (Q = +2e,m = 4,00u)sepohybujepokmžnici o polomem 4,50 cm v magnetickém poli o indukci velikosti B = = 1,20 T. Vypočtěte: (a) velikostjejí rychlosti, (b) periodu jejího oběhu, (c) její kinetickou energii (v jednotkách eV) a (d) napětí, kterým musí být urychlena z klidu, aby dosáhla této energie. 26C. (a) Určete frekvenci oběhu elektronu s energií 100 eV v magnetickém poli o indukci 35,0 pT. (b) Vypočtěte poloměr dráhy tohoto elektronu, jestliže má rychlost kolmou ke směm magnetické indukce. 768 KAPITOLA 29 MAGNETICKÉ POLE 27C. Elektrony s kinetickou energií vylétají z „okénka" tvořeného tenkou fólií na konci trubice urychlovače. Ve vzdálenosti d od tohoto okénka se nachází kovová destička umístěná kolmo ke svazku vylétajících elektronů (obr. 29.40). Dokažte, že můžeme zabránit tomu, aby svazek dopadl na destičku, jestliže ho odchýlíme magnetickým polem B o velikosti B > 2mEy e2d2 ' Zde m a e jsou hmotnost a velikost náboje elektronu. Jak musí být vektor magnetické indukce B orientován? okénko, kryté fólií kovová deska Obr. 29.40 Cvičení 27 28Ú. Zdroj emituje elektrony s rychlostí o velikosti v = = 1,5-107 m-s-1, které vlétají v bodě P do homogenního magnetického pole o magnetické indukci velikosti B = 1,0-10-3 T. Vektor rychlosti elektronu svírá úhel 9 = 10° s vektorem magnetické indukce. Určete vzdálenost bodu P od místa, kde elektron znovu protne indukční čáru, která prochází tímto bodem. 29Ú. V nukleárním experimentu se proton s kinetickou energií 1,0 MeV pohybuje po kružnici v homogenním magnetickém poli. Jakou energii musí mít (a) a-částice (Q = +2e, m = 4,0 u) a (b) deuteron (g = +e, m = 2,0u), aby obíhaly po kružnici o stejném poloměru jako proton? 30Ú. Proton, deuteron a a-částice (viz úloha 29) jsou urychleny stejným napětím a vletí do homogenního magnetického pole o indukci B ve směru k ní kolmém, (a) Porovnejte kinetické energie těchto částic. Jaký bude poloměr kruhové dráhy (b) deuteronu, (c) a-částice, je-li poloměr kruhové dráhy protonu 10 cm? 31Ú. Proton, deuteron a a-částice (viz úloha 29) mají stejnou kinetickou energii a vlétají do oblasti homogenního magnetického pole kolmo ke směru vektoru B. Porovnejte poloměry kruhových drah, po nichž tyto částice obíhají. 32Ú. Proton s nábojem +e a hmotností m vlétá do homogenního magnetického pole s vektorem indukce B = Bi s počáteční rychlostí vo = voxi + vqyj. Napište obecný výraz pro rychlost protonu. 33Ú. Dva izotopy jedenkrát ionizovaného atomu mají stejný náboj Q, ale jejich hmotnosti se Uší o malou hodnotu Am. Jsou vstřelovány do hmotnostního spektrometru popsaného v př. 29.3. (a) Vyjádřete tento rozdíl hmotností pomocí proměnných U, Q, B a m (kteréhokoli z izotopů) a vzdálenosti Ax mezi stopami obou izotopů na fotografické desce, (b) Vypočtěte Ax pro svazek jedenkrát ionizovaných atomů chloru o hmotnostech 35 u a 37 u, jestliže U = 7,3kV a B = 0,50T. 34Ú. V komerčních hmotnostních spektrometrech (viz př. 29.3) jsou uranové ionty s hmotností 3,92-10_25kg a nábojem 3,20-10_19C separovány od atomů, jejichž fyzikální charakteristiky jsou velmi blízké. Ionty jsou urychleny napětím 100 kV a poté dopadají do oblasti homogenního magnetického pole, kde se pohybují po půlkruhové dráze o poloměru 1,00 m. Na jejím konci proletí štěrbinou šířky 1,00 mm a výšky 1,00 cm a dopadají do speciální nádobky, (a) Jakou velikost musí mít indukce magnetického pole v separátom? Je-li použit přístroj, který separuje 100 mg materiálu za hodinu, vypočtěte (b) proud iontů v přístroji a (c) teplo, které se vyvine v nádobce za 1,00 h. 35Ú. Bainbridgeův hmotnostní spektrometr, znázorněný na obrázku 29.41, separuje ionty, které mají tutéž rychlost, ale mírně odlišnou hmotnost. Ionty po průchodu štěrbinami Si a S2 projdou selektorem rychlostí, ve kterém je elektrické pole E tvořené nabitými deskami D a D' a magnetické pole B kolmé k E i k trajektorii iontů. Ionty, které projdou selektorem nevychýlený, budou mít stejně velkou rychlost v. Poté vniknou do oblasti, kde na ně působí jiné homogenní magnetické pole o indukci B, a to způsobí, že poletí po kružnici. Dopad iontů je registrován pomocí fotografické desky. Dokažte, že pro tyto ionty platí vztah Q/m = E/(rBB'), kde r je poloměr kružnice. fotografická deska Obr. 29.41 Úloha 35 36Ú. Pozitron s kinetickou energií 2,0 keV vlétá do homogenního magnetického pole o indukci B, jejíž velikost je 0,10 T. Vektor rychlosti částice svírá úhel 89° s vektorem B. Určete (a) periodu T, (b) stoupání p a (c) poloměr šroubovice, po níž se částice pohybuje. 37Ú. Neutrální částice jev klidu v homogenním magnetickém poli. V čase t = 0 se rozpadne na dvě nabité částice, z nichž každá má hmotnost m. (a) Jestliže náboj jedné z nich je +Q, jaký náboj bude mít druhá částice? (b) Obě částice se pohybují dále po různých dráhách, přičemž obě dráhy leží v rovině kolmé k vektoru B. Později se obě částice navzájem srazí. Vyjádřete pomocí veličin m, B a Q dobu, která uplyne mezi rozpadem a srážkou obou částic. 38Ú. (a) Jak velkou rychlost by potřeboval proton, aby po kruhové dráze obletěl Zemi podél rovníku za předpokladu, že zemské magnetické pole má všude vodorovný směr rovnoběžný s poledníky? Úlohu je třeba počítat relativisticky. Velikost magnetické indukce na rovníku položte rovnu 0,41 y.T. (lip: Hybnost mu v rov. (29.16) nahradte relativistickou hybností z rov. (9.24)). CVIČENÍ & ÚLOHY 769 (b) Nakreslete vektory rychlosti a magnetické indukce odpovídající této situaci. 39U. Podle obr. 29.42 elektron o hmotnosti m s nábojem —e vlétá se zanedbatelnou rychlostí do prostoru mezi dvěma deskami, mezi nimiž je napětí U a mají vzdálenost d. Elektron vlétá do této oblasti ve směru kolmém ke kladné horní desce. Homogenní magnetické pole je kolmé k rovině obrázku. Určete minimální velikost B, při které elektron nedopadne na horní desku. x x x x x x -^■m vyšší potenciál xtx x x x x nižší potenciál Obr. 29.42 Úloha 39 pole má indukci 60,0 [iT; ta směřuje na sever, přičemž její vektor svírá úhel 70° s vodorovnou rovinou. Určete velikost a směr magnetické síly, která působí na každých 100 m délky vodiče v magnetickém poli Země. 46C. Vodič délky 62,0 cm má hmotnost 13,0 g a je zavěšen na dvou vodivých pružinách. Umístíme jej do magnetického pole o indukci 0,440 T (obr. 29.43). Jaká musí být velikost a směr elektrického proudu protékajícího vodičem, aby v pružinách nevzniklo žádné mechanické napětí? x x x x H-62,0cm-H Obr. 29.43 Cvičení 46 ODST. 29.6 Cyklotrony a synchrotrony 40C. Proton se pohybuje v cyklotronu po kružnici o poloměru 0,50 m. Velikost magnetické indukce zakřivující dráhu protonu je 1,2 T. (a) Určete cyklotronovou frekvenci, (b) Jakáje kinetická energie protonu v jednotkách eV? 41C. Konstruktér má za úkol navrhnout cyklotron pro urychlování protonů na rychlost rovnou 1/10 rychlosti světla. Magnet, který bude součástí přístroje, bude vytvářet magnetické pole o indukci 1,4 T. Vypočtěte (a) poloměr cyklotronu, (b) odpovídající frekvenci oscilátoru. Relativistické efekty jsou při této rychlosti ještě zanedbatelné. 42Ú. Frekvence oscilátoru cyklotronu v př. 29.5 byla navržena tak, aby cyklotron urychloval deuterony. Nyní budeme chtít místo deuteronů urychlovat protony, (a) Na jakou kinetickou energii budou urychleny, nezměníme-li frekvenci oscilátoru? (b) Jak velké magnetické indukce k tomu bude potřeba? (c) Jakou kinetickou energii budou mít urychlené protony, jestliže magnetická indukce pole bude udržována na hodnotě, používané pro deuterony? (d) Na jakou hodnotu potom musíme naladit frekvenci oscilátoru? (e) Odpovězte na tytéž otázky pro případ urychlovaných a-částic (Q = +2e, m = 4,0u). 43Ú. Na deuteron pohybující se v cyklotronu po kruhové dráze o poloměru 50 cm působí homogenní magnetické pole, jehož indukce má velikost B = 1,5 T. Po lehké srážce s terčíkem se deuteron rozpadne se zanedbatelnou ztrátou kinetické energie na proton a neutron. Popište následující pohyb každé z obou částic. Předpokládejte, že energie deuteronu se rozdělí stejným dílem na obě vzniklé částice. 44Ú. Odhadněte celkovou délku dráhy deuteronu pohybujícího se v cyklotronu (př. 29.5) během procesu jeho urychlování. Předpokládejte, že urychlovací potenciálový rozdíl mezi duanty cyklotronu je 80 kV. ODST. 29.7 Ampérova síla 45C. Vodorovným vodičem dálkového elektrického vedení protéká proud 5 000 A ve směru z jihu na sever. Zemské magnetické 47C. Vodičem délky 1,80 m, který svírá úhel 35° se směrem homogenního magnetického pole o indukci 1,50 T, protéká elektrický proud 13,0 A. Určete Ampérovu sílu působící na vodič. 48Ú. Vodičem dlouhým 50 cm a rovnoběžným s osou x protéká proud 0,50 A v kladném směru osy x. Vodič se nachází v magnetickém poli o indukci B = (0,0030; + 0,010*) T. Určete Ampérovu sílu působící na vodič. 49Ú. Kovový vodič má hmotnost m a klouže bez tření po dvou vodorovných kolejnicích s rozchodem d, jak je ukázáno na obr. 29.44. Celá soustava se nachází ve svislém magnetickém poli o indukci B. Stejnosměrný elektrický proud /, dodávaný generátorem G, protéká první kolejnicí, vodičem a druhou kolejnicí, kterou se vrací zpět. Určete velikost rychlosti a směr pohybu vodiče jako funkci času za předpokladu, že v čase t = 0 byl v klidu. Obr. 29.44 Úloha 49 50Ú. Na obr. 29.45 je schematicky nakreslen vodič obecného tvaru, kterým protéká elektrický proud I mezi body A a B. Vodič leží v rovině kolmé na směr homogenního magnetického pole B. (a) Dokažte, že síla působící na vodič je stejně velká x x x x x x x x x x x x Obr. 29.45 Úloha 50 770 KAPITOLA 29 MAGNETICKÉ POLE jako síla působící na přímý vodič s proudem /, který teče přímo z A do B. (Tip: Nahraďte vodič lomenou čárou s úseky kolmými a rovnoběžnými s úsečkou AB.) (b) Dokažte, že síla, působící na vodič je nulová, když body A a S jsou uspořádány tak, že vytvářejí uzavřenou smyčku, jejíž plocha je kolmá k magnetické indukci B. 51Ú. Dlouhým pevným vodičem ležícím v ose x protéká elektrický proud 5,0 A v záporném směru této osy. Magnetická indukce pole B je dána vztahem B = 3,0/ + 8,0x2j, kde x je vyjádřeno v metrech a BvmT. Vypočtěte Ampérovu sílu působící na 2,0 m dlouhý úsek vodiče, který se nachází mezi body o souřadnicích x = 1,0m a x = 3,0m. 52Ú. Uvažujte o možnosti konstrukce nového typu elektrického vlaku poháněného magnetickou silou, kterou na vodivou nápravu vlaku působí vodorovná složka magnetického pole Země. Elektrický proud teče zdola z jedné z kolejnic vodivým kolem do nápravy a druhým kolem se přes druhou kolejnici vrací zpět do zdroje, (a) Jak velký proud potřebujeme k tomu, aby vznikla nepříliš velká tažná síla 10 kN? Položte velikost svislé složky magnetického pole Země rovnu lOjaT a délku nápravy 3,0m. (b) Jak bude výkon vlaku ovlivněn elektrickým odporem kolejnic? (c) Je takový vlak nereálný úplně, nebo pouze zdánlivě? 53Ú. Měděná tyč o hmotnosti 1,0 kg leží na dvou vodorovných kolejnicích vzdálených od sebe 1,0 m. Kolejnicemi a tyčí protéká proud 50 A. Součinitel statického smykového tření mezi tyčí a kolejnicemi je 0,60. Při jaké nejmenší velikosti magnetické indukce (nemusí mít nutně svislý směr), bude uvedena tyč do pohybu? ODST. 29.8 Moment síly působící na proudovou smyčku 54C. Proudovou smyčkou, tvořenou jedním závitem, protéká proud 4,00 A. Smyčka má tvar pravoúhlého trojúhelníku se stranami 50,0 cm, 120 cm a 130cm. Smyčka se nachází v homogenním magnetickém poli o indukci velikosti 75,0 mT a směru rovnoběžném se směrem elektrického proudu tekoucího nej delší stranou smyčky, (a) Určete velikost Ampérovy síly působící na každou ze tří stran smyčky, (b) Ukažte, že celková síla působící na smyčkuje nulová. 55C. Na obr. 29.46 je obdélníková cívka skládající se z 20 závitů drátu. Strany cívky mají délku 10 cm a 5 cm a protéká jí elektrický proud 0,10 A. Osa, kolem níž se může cívka otáčet, má směr její delší strany a je totožná s osou y. Magnetické pole má velikost indukce 0,50 T a směr vektoru B svírá úhel 30° s rovinou xy, v níž cívka leží. Určete velikost a směr silového momentu působícího na cívku vzhledem k její ose otáčení. 56C. Vodičem délky L protéká elektrický proud I. Dokažte, že zformuj eme-U drát do tvaru kruhové cívky, získáme při dané hodnotě magnetické indukce maximální silový moment tehdy, má-li cívka pouze jeden závit. Velikost tohoto momentu je M = = f(L2IB). 57U. Dokažte, že vztah M = NISB sin 9 platí pro uzavřenou rovinnou smyčku libovolného tvaru a nikoli pouze pro smyčku Obr. 29.46 Cvičení 55 obdélníkovou, jaká je na obr. 29.24. (Tip: Nahraďte smyčku libovolného tvaru soustavou přilehlých dlouhých, úzkých a obdélníkových smyček, které jsou v hmitním případě (tj. N oo) proudově ekvivalentní smyčce obecného tvaru.) 58Ú. Uzavřenou vodivou rovinnou smyčkou protéká elektrický proud /. Smyčka se nachází v homogenním magnetickém poli o indukci B a její rovina svírá úhel 9 se směrem B. Dokažte, že výsledná Ampérova síla působící na smyčkuje nulová. Platí to také pro nehomogenní magnetická pole? 59Ú. Částice s nábojem Q se pohybuje po kružnici o poloměru r rychlostí o velikosti v. Považujte její kruhovou dráhu za proudovou smyčku, kterou protéká stálý proud o velikosti Q/T, kde T je doba oběhu. Určete maximální moment sil, kterým působí na smyčku homogenní magnetické pole o velikosti B. 60Ú. Na obr. 29.47 je kruhový vodič o poloměru r. Nachází se v rozbíhajícím se magnetickém poli souměrném podle osy smyčky kolmé k její rovině. V místě vodiče má magnetická indukce všude stejnou velikost B a její směr svírá úhel 9 s normálou k rovině smyčky. Určete velikost a směr síly, kterou působí magnetické pole na kruhový vodič, protéká-li jím elektrický proud I. (Předpokládejte, že zkroucené přívodní vodiče nevytvářejí znatelné magnetické pole a neovlivní tedy výsledek.) Obr. 29.47 Úloha 60 61Ú. Vnitřní odpor galvanometru je 75,3 £2. Jeho ručička se vychýlí přes celou stupnici, jestliže cívkou galvanometru protéká proud 1,62 mA. (a) Určete odpor rezistoru potřebného k přeměně galvanometru na voltmetr, jehož rozsah měření má být 1,00 V. Jak musíme tento odpor ke galvanometru připojit? (b) Určete velikost bočníku, kterým změníme galvanometr na ampérmetr, jehož měřicí rozsah bude 50,0 mA. Jak musíme tento odpor ke galvanometru připojit? 62Ú. Obr. 29.48 zobrazuje dřevěný válec o hmotnosti m = = 0,250 kg a délce L = 0,100 m, kolem něhož je v podélném CVIČENÍ & ÚLOHY 771 směru hustě navinuto N = 10,0 závitů vodiče. Jaký minimální proud I, protékající cívkou, zabrání válci ve valivém pohybu po nakloněné rovině, jestliže se válec s cívkou nachází v magnetickém poli o indukci 0,500 T, které je orientováno svisle vzhůru? Rovina závitů cívky je rovnoběžná s nakloněnou rovinou, úhel nakloněné roviny je 6. Obr. 29.48 Úloha 62 ODST. 29.9 Magnetický dipól 63C. Kruhová cívka se 160 závity má poloměr 1,90 cm. (a) Vypočtěte velikost elektrického proudu, který vytvoří magnetický dipólový moment o velikosti 2,30 A-m2. (b) Určete maximální moment sil, kterým na cívku s takovým proudem působí homogenní pole o velikosti magnetické indukce 35,0 mT. 64C. Magnetický dipólový moment Země je 8,00-tO22 J-T-1. Předpokládejte, že vznikl jako výsledek pohybu nábojů ve vnějším tekutém plášti Země na kruhových drahách o poloměru 3 500 km. Jaký elektrický proud tyto náboje vytvářejí? 65C. Kruhovou vodivou smyčkou o poloměru 15,0 cm protéká elektrický proud 2,60 A. Normála ke smyčce svírá úhel 41,0° se směrem indukce homogenního magnetického pole o velikosti 12,0 T. (a) Určete magnetický moment smyčky, (b) Jaký moment síly působí na smyčku? 66C. Vodivá smyčka, kterou protéká elektrický proud 5,0 A, má tvar pravoúhlého trojúhelníku se stranami 30 cm, 40 cm a 50 cm. Cívka se nachází v homogenním magnetickém poli o indukci velikosti 80 mT, pňčemž směr B je rovnoběžný se směrem proudu tekoucího v nejdelší straně trojúhelníku. Určete (a) velikost magnetického dipólového momentu smyčky a (b) silový moment působící na smyčku. 67C. Poloměr ciferníku nemagnetických nástěnných hodin je 15 cm. Kolem jejich obvodu je navinuto 6 závitů drátu, kterým protéká elektrický proud 2,0 A ve směru otáčení hodinových ručiček. Hodiny se nacházejí v místě, kde je homogenní vnější magnetické pole o indukci velikosti 70 mT (hodiny jdou zcela přesně). Ve 13.00 h má hodinová ručička směr vnějšího magnetického pole. (a) Po kolika minutách bude mít minutová ručička stejný směr, jaký má moment síly působící ve vnějším magnetickém poli na závity protékané proudem? (b) Určete velikost tohoto momentu. 68C. Dvě soustředné smyčky o poloměrech 20,0 cm a 30,0 cm leží v rovině xy. Každou z nich protéká ve směru otáčení hodi- nových ručiček elektrický proud 7,00 A (obr. 29.49). (a) Určete výsledný magnetický dipólový moment této soustavy smyček, (b) Opakujte vše pro opačný směr proudu ve vnější smyčce. y ^NVř Z /30,0 \ \ l \ 20'0/ V \ cm/ Obr. 29.49 Cvičení 68 69Ú. Kruhová vodivá smyčka má poloměr 8,0 cm a protéká jí elektrický proud 0,20 A. Magnetický dipólový moment \i = = (0,60/ — 0,80/) A-m2. Jestliže se smyčka nachází v magnetickém poli o indukci B = (0,25/ + 0,30lr) T, určete: (a) moment síly působící na smyčku; (b) potenciální energii smyčky ve vnějším magnetickém poli. 70Ú. Na obr. 29.50 je proudová smyčka ABCDEFA, kterou protéká elektrický proud I = 5,00 A. Strany smyčky jsou rovnoběžné s osami soustavy souřadnic, přičemž \AB\ = 20,0cm, \BC\ = 30,0cm a \FA\ = 10,0cm. Vypočtěte velikost a směr magnetického dipólového momentu této smyčky. (Tip: Doplňte stejně velké, ale opačně orientované proudy do přímého úseku AD. Potom vyřešte úkol pro dvě kolmé smyčky ABC D A a ADEFA.) x Obr. 29.50 Úloha 70 PRO POČÍTAČ 71Ú. Částice s hmotností m a nábojem Q se pohybuje v homogenním elektrickém poli o intenzitě E, která má směr osy y, a v homogenním magnetickém poli s magnetickou indukcí B, která má směr osy z. Síla působící na částici je F = Q(E + v x B) a zrychlení částice je proto a = = (Q/m)(E + v x B). Leží-li vektor rychlosti v v rovině xy, jsou složky zrychlení ax = (QB/m)vy a ay = (QE/m) — — (QB/m)vx. Chceme-li získat výrazy pro souřadnice částice, 772 KAPITOLA 29 MAGNETICKÉ POLE musíme tyto výrazy dvakrát integrovat. Když částice startuje v čase t = 0 z počátku souřadnic s počáteční rychlostí no,* v kladném směru osy x, potom E x = —t ■ B i (f - sm a) t a 1 (E \ y = -- I — - vo,x 1 (1 - cos ort), kde cd = QB/m. (a) Dosazením ověřte, že tyto vztahy vyhovují pohybovým rovnicím (druhému Newtonovu zákonu). Rov- něž ověřte, že splňují dané počáteční podmínky, (b) Dosadte B = 1,2T, E = l.O-KŕV-nr1 a t>0 = 5,0-104m-s-1 a nakreslete trajektorii částice v časovém intervalu (0; 4,0-10-6 s). Dráhu můžeme charakterizovat jako kružnici v rovině xy, která se posouvá v kladném směru osy x. Kvalitativně objasněte, proč se pohyb děje podél osy x, když směr intenzity elektrického pole je rovnoběžný s osou y. Nakreslete také trajektorie pro (c) t>o = 3,0-104m-s_1, (d) no = 6,0-104m-s-1 a(e)uo = 9,0-104m-s_1.(f) Proč se některé trajektorie protínají samy se sebou a jiné ne? Proč je jednou z nich přímka? Takto, pomocí raket a raketoplánů, vysíláme v současné době kosmonauty a dopravujeme materiál do kosmického prostoru. Je to cesta velmi náročná na kvalitu konstrukčních materiálů a paliva. Až však budeme dolovat suroviny například na Měsíci nebo asteroidech, budeme potřebovat méně náročný způsob dopravy. ]edním z takových řešení mohou být elektromagnetické katapulty. Elektromagnetické dělo je v současné době schopné urychlit střelu z klidu na rychlost 10km/s během jedné milisekundy. Jak lze dosáhnout tak obrovského zrychlení? 774 KAPITOLA 30 MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU 30.1 MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU V čl. 29.1 jsme si vysvětlili, že magnetické pole můžeme vytvořit elektrickým proudem, tedy pohybujícím se nábojem. Po pečlivém prostudování celé následující kapitoly bychom měli umět vypočítat magnetické pole vytvořené danou konfigurací elektrických proudů. Budeme postupovat stejně jako v kap. 23, kde jsme určovali elektrické pole vytvořené daným rozložením nábojů. Zopakujme si stručně základní postup. Nejprve jsme myšlené rozdělili celý náboj (spojitě rozložený) na infinitezimální elementy náboje dg (obr. 30.1a). Potom jsme vypočítali infinitezimální intenzitu dE elektrického pole, kterou vytvoří v daném bodě P náboj dg. Protože pro elektrické pole platí princip superpozice, určili jsme intenzitu v bodě P integrací příspěvků d£ od všech elementů. od nás spojíte rozložený proud - spojitě rozložený náboj (a) (b) Obr. 30.1 (a) Element náboje d Q vytváří elektrické pole o intenzitě dE v bodě P. (b) Proudový element / ds vytváří magnetické pole o indukci dfl v bodě P. Zelený křížek vyjadřuje směr dB (kolmo k rovině obrázku, směrem od nás). Připomeňme, že velikost vektoru dE vyjádříme vzta- hem dE = 1 dg 4k£q r2 (30.1) kde r je vzdálenost bodu P od elementu náboje dg. Pro kladný element náboje dg je směr vektoru dE stejný jako směr vektoru r, což je vektor, který má počátek v elementu náboje dg a konec v bodě P (je to tedy průvodič bodu P vůči dg). Rov. (30.1) pak můžeme přepsat do vektorového tvaru: 1 dg dE = 4tc£o r3 (30.2) Všimněte si, že rov. (30.2) je zákon „převráceného čtverce" (výraz d£ závisí na převrácené hodnotě r2 navzdory exponentu 3 ve jmenovateli; ten je tam jenom proto, že jsme jednotkový vektor r° zapsali výrazem r/r). Analogicky budeme postupovat pří výpočtu magnetického pole elektrického proudu. Na obr. 30.1b je tenký vodič obecného tvaru, kterým protéká elektrický proud /. Naším úkolem je vypočítat magnetickou indukci B v libovolně zvoleném bodě P. Nej dříve myšlené rozdělíme vodič na infinitezimální délkové elementy ds, jejichž délka je ds a které mají směr tečny k vodiči a jsou orientovány ve směru proudu. Je vhodné zavést pojem infinitezimálního proudového délkového elementu, daného výrazem / ds (dále pro stručnost pouze proudový element), určit indukci magnetického pole dB vytvořenou v bodě P takovým elementem. Pro magnetickou indukci platí princip superpozice stejně jako pro elektrickou intenzitu, tj. výsledné pole je rovno součtu polí dílčích. Výsledné pole o indukci B v bodě P vypočteme tedy integrací příspěvků dB od všech proudových elementů. Rozdíl oproti elektrickému poli je v tom, že zatímco element elektrického náboje dg, vytvářející elektrické pole, je skalární povahy, má proudový element / ds, vytvářející magnetické pole, povahu vektorovou. Východiskem dalšího výkladu bude vzorec pro velikost magnetické indukce dB, vytvořené v libovolně vybraném bodě P proudovým elementem / ds: dB jU-0 I ds sin 6 45ľ ř2 ' (30.3) Zde no je konstanta* nazývaná permeabilita vakua neboli magnetická konstanta, jejíž hodnotu definujeme přesně: IM> = 4K-10_7T-m-A_1 = = l,26-10"6T-m-A_1. (30.4) Vektor dB má směr daný vektorovým součinem ds x x r (obr. 30.1b), kde r je polohový vektor směřující od proudového elementu k bodu P. Rov. (30.3) tedy můžeme zapsat ve vektorovém tvaru: fioldsxr „ o dB =---=— (Biotův-Savartův zákon). (30.5) 4tt: r5 Tato vektorová rovnice, stejně jako její skalární tvar rov. (30.3), se nazývá Biotův-Savartův zákon (někdy též Biotův-Savartův-Laplaceův). Je to zákon, který také patří mezi zákony „převráceného čtverce", v nichž veličina popisující pole klesá se čtvercem vzdálenosti od svého zdroje (v tomto případě proudového elementu / ds). V našem výkladu bude Biotův-Savartův zákon výchozím zákonem při studiu magnetického pole, obdobně jako byl Coulombův zákon výchozím zákonem pro elektrostatické pole. * Souvislost no s £o a rychlostí světla c je uvedena v čl. 34.2. 30.1 MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU 775 (Magnetické poleje vytvářeno elektrickým proudem; vodič pouze vymezuje, kudy má proud téci. Často však píšeme jen „pole přímého vodiče", resp. „pole kruhového oblouku" a neprodlužujeme zbytečně text zdůrazňováním samozřejmostí, že jde o vodič daného tvaru, kterým protéká proud, tj. že je to „pole elektrického proudu, protékajícího vodičem majícím tvar přímky, resp. kruhového oblouku".) Magnetické pole dlouhého přímého vodiče Vyjdeme z Biotova-Savartova zákona a dokážeme, že velikost magnetické indukce ve vzdáleností R od nekonečně dlouhého přímého tenkého vodiče, kterým protéká elektrický proud /, je vyjádřena vztahem B = (dlouhý přímý vodič). (30.6) (Zdůrazněme, že v tomto vztahu je R (kolmá) vzdálenost bodu, ve kterém má být určeno B, od vodiče. Naproti tomu v rov. (30.3) a (30.5) — které jsou základní —je r vzdálenost tohoto bodu od proudového elementu.) Velikost magnetické indukce B v rov. (30.6) závisí pouze na velikosti proudu a vzdálenosti uvažovaného bodu od vodiče. V našem odvození ukážeme, že indukční čáry vektoru magnetické indukce 0 mají tvar soustředných kružnic kolem vodiče, jak je ukázáno na obr. 30.2 a jak lze demonstrovat pomocí železných pilin (obr. 30.3). Vzdálenost mezi magnetickými indukčními čarami na obr. 30.2 s rostoucí vzdáleností od vodiče roste tak, jak klesá velikost B v závislosti na R, tj. jako 1/R. Obr. 30.2 Magnetické indukční čáry pole vytvořeného proudem, protékajícím dlouhým přímým vodičem, jsou soustředné kružnice se středy ve vodiči (na obrázku jsou tyto čáry zobrazeny v rovinném řezu, kolmém k vodiči). Proud ve vodiči je kolmý na rovinu obrázku a má směr od nás, jak ukazuje křížek. Pro určení směru magnetického pole délkového elementu dlouhého přímého vodiče používáme pravidlo pravé ruky: Obr. 30.3 Železné piliny, kterými byl posypán tuhý papír kolmý na přímý dlouhý vodič protékaný proudem. Piliny se uspořádaly do tvaru soustředných kružnic kolem vodiče. Uspořádání je v souladu se směrem magnetické indukce pole vytvořeného elektrickým proudem ve vodiči. Položte palec pravé ruky ve směru proudového elementu; zahnuté prsty ukazují směr magnetických indukčních čar. Použití tohoto pravidla pro dlouhý přímý vodič protékaný proudem (obr. 30.2) vidíme na obr. 30.4a v bočním pohledu. Chceme-li určit směr indukce B v určitém bodě, obejmeme pravou rukou vodič tak, aby palec byl ve směru proudu. Směr ohnutých prstů potom udává směr magnetické indukce 0 v tomto bodě. (a) (b) Obr. 30.4 Pravidlo pravé ruky určuje směr pole buzeného vodičem, (a) Situace z obr. 30.2 v bočním pohledu. Magnetická indukce 0 v každém bodě vlevo od vodiče je kolmá k rovině papíru a má směr prstů pravé ruky. Směřuje tedy od nás, jak je znázorněno křížkem, (b) Jestliže je směr elektrického proudu opačný, potom indukce 0 je v každém bodě vlevo od vodiče kolmá k obrázku a směřuje k nám, jak je znázorněno tečkou. Odvození vztahu (30.6) Obr. 30.5 je obdobou obr. 30.1b s tím rozdílem, že se nyní jedná o pnmý dlouhý vodič. Lustruje to, co chceme vyřešit: hledáme magnetickou indukci B v bodě P ležícím 776 KAPITOLA 30 MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU ve vzdálenosti R od vodiče. Velikost magnetické indukce, kterou vytvoří v bodě P proudový element / ds, je dána rov. (30.3): m>I ás sin 6 dB 4ti Směr magnetické indukce dB na obr. 30.5 je určen vektorovým součinem ds x r, tj. dB je kolmé na rovinu obrázku a má směr od nás. Všimněte si, že všechny proudové elementy, na které vodič rozdělujeme, vytvářejí v bodě P příspěvky dB ve stejném směru. Velikost magnetické indukce vytvořené v bodě P proudovými elementy z horní poloviny vodiče získáme integrací příspěvků dB (rov. (30.3)) v mezích od nuly do nekonečna. Podle rov. (30.5) má magnetická indukce, kterou v bodě P vytváří symetricky umístěný proudový element z dolní poloviny, tutéž velikost a směr. Magnetická indukce, vytvořená v tomtéž bodě každou z polovin vodiče protékaného proudem, je tedy stejná. Velikost indukce B magnetického pole nekonečně dlouhého přímého tenkého vodiče je tedy B Jo 2tc Jo r2 (30.7) (B lze samozřejmě vyjádřit také integrálem B = Jf^ dB.) Proměnné 6, s ar v této rovnici jsou mezi sebou vázány vztahy, které jsou zřejmé z obr. 30.5: r = y/s2 + R2, sin 0 = sin(Tc — 6) = R Ví2 + R2' Tyto vztahy dosadíme do rov. (30.7) a integrací (dodatek E) dostaneme B = ľ00 Rds Jo (í2 + R2ýl2 2%R L(*2 + #2)1/2Jo 2%R' (30.8) což jsme chtěli odvodit. Dodejme, že magnetická indukce v bodě P, vytvořená buď horní, nebo dolní polovinou nekonečně dlouhého přímého vodiče protékaného proudem (obr. 30.5), je rovna polovině této hodnoty, tj. Mu ^ B =- (polopřírnkový vodič s proudem). 4kR (30.9) Magnetické pole kruhového oblouku Chceme-li určit magnetické pole vytvořené proudem protékajícím zakřiveným vodičem, vyjdeme opět z rov. (30.3). Obr. 30.5 Výpočet magnetického pole proudu /, který protéká dlouhým přímým vodičem o zanedbatelném průřezu. Mag- rdB netická indukce dB v libovolném bodě P je funkcí proudového elementu / ds, je kolmá k obrázku a má směr od nás. Vyjádříme nejprve příspěvek magnetické indukce vytvořený proudovým elementem a integrací získáme výslednou magnetickou indukci vytvořenou všemi elementy celého vodiče. V závislosti na tvaru vodiče může být tato integrace značně obtížná; je však snadná, má-li vodič například tvar části kruhového oblouku a zajímá-li nás magnetická indukce pole v jeho středu S. (a) (b) (c) Obr. 30.6 (a) Vodičem ve tvaru kruhového oblouku se středem S protéká proud /. (b) Pro každý délkový element vodiče je úhel mezi směrem elementu ds a vektorem r roven 90°. (c) Určení směru magnetické indukce ve středu S. Pole směřuje kolmo k rovině obrázku ve směru ohnutých prstů pravé ruky, jak je znázorněno barevnou tečkou v bodě S. Na obr. 30.6a je znázorněn vodič, kterým protéká elektrický proud / a který má tvar části kruhového oblouku se středovým úhlem (po, poloměrem R a středem 5. V bodě S vytváří každý proudový element / ds magnetickou indukci o velikosti dB danou rov. (30.3). Úlohu usnadňuje i skutečnost, že nezáleží na tom, ve kterém místě vodiče se takový element nachází (obr. 30.6b). Úhel 6, který svírají vektory ds ar, je 90° ar = R. Proto z rov. (30.3) dostaneme dB = po I ds sin 90° fio I ds 4ic R2 4ic R2 (30.10) Příspěvek k magnetické indukci v bodě 5, vytvořený každým proudovým elementem ve tvaru oblouku, má stejnou velikost. Pomocí pravidla pravé ruky (obr. 30.6c) zjistíme, že všechny příspěvky magnetické indukce dB od kteréhokoliv místa vodiče mají v bodě S tentýž směr, j sou kolmé krovině obrázku a směřují k nám. Velikost výsledné magnetické 30.1 MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU 777 indukce v bodě S je tedy rovna součtu (integrálu) všech příspěvků dB, daných rov. (30.10). Využijeme-li vztahu ds = R dep (čímž změníme integrační proměnnou s na ->■ oo, když x ->■ ±d. Pro x = ±d by bod P ležel na ose jednoho z vodičů. Naše odvození rov. (30.6) však platí pouze pro body vně vodiče, takže rov. (30.15) platí jenom k povrchu vodičů. (Polem uvnitř vodiče se zabýváme v následujícím článku.) 1 z 1 Bai l ■ Á ŕ p « d > «—x—H « d « («) B z (mT) i 1 n / 1(U 10 —< i— 10 , 4 0 --- 0 .--- > 1 n ŕ 1 i 1,U i / z,u / 1 1 x (mm) (f>) Obr. 30.10 Příklad 30.2. (a) Dva rovnoběžné vodiče, jimiž protékají elektrické proudy téže velikosti v opačných směrech (tj. kolmo k rovině obrázku, směrem k nám a od nás). V bodech mezi vodiči, např. v bodě P, směřují magnetická pole, vytvořená jednotlivými proudy, týmž směrem, (b) Závislost Bz (x) pro / = 25 A a vzdálenost obou vodičů 50 mm. Na obr. 30.10b je vynesena závislost daná rov. (30.15) pro číselné hodnoty I = 25 A a 2d = 50 mm. Ponecháváme jako cvičení 31 dokázat, že rov. (30.15) platí i pro všechny body „za vodiči", tedy pro body, pro které platí \x\ > d. PŘIKLAD 30.3 Na obr. 30.1 la jsou dva dlouhé rovnoběžné vodiče, jimiž protékají elektrické proudy I\ a h v opačných směrech. Určete velikost a směr výsledné magnetické indukce v bodě P. Dosaďte číselné hodnoty h = 15 A, h = 32 A a d = 5,3 cm. ŘEŠENÍ: Na obr. 30.11b jsou magnetické indukce B\, resp. &z, polí vytvořených proudy 7i, resp. I2, v bodě P (pomocí pravidla pravé ruky si ověřte, že jejich směry 780 KAPITOLA 30 MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU jsou správné). Velikosti magnetických indukcí těchto polí v bodě P jsou dány rov. (30.6), tedy _ [iph _ fiph _ */2[i0 1 ~~ 2kR ~ 2ti (d/V2) ~~ 2nd 1 2~ 2tzR~ 27i(d/V2) ~ 2Tid 2' kdejsme/?nahradihvehčinoud/\/2,neboť/?/ťí = sin45° = = V2/2. Velikost výsledné magnetické indukce B je _ V2(4tc-10-7 T-m-A_1)-y/(15 A)2 + (32 A)2 _ ~~ 2n(5,3-10-2m) ~~ = 1,89-10"4T = 190pT. (Odpověď) Pro úhel

B • ds = £ B cos 9 ds. Integrovaný výraz můžeme také chápat jako součin infinitezimální délky ds Ampérovy křivky se složkou B cos 6 magnetické indukce 0 ve směru tečny k Ampérově křivce. Integrace potom vyjadřuje součet všech takových součinů podél celé křivky. Rov. (30.16) má pak tvar BcosOds = no(h - h). (30.18) 30.3 AMPÉRŮV ZÁKON 781 Obr. 30.13 Ampérův zákon a pravidlo pravé ruky pro určení znaménka proudů obepnutých Ampérovou křivkou. Situace odpovídá obr. 30.12. Proud h sice také přispívá k magnetické indukci B, ale nevystupuje na pravé straně rov. (30.18). Lze totiž dokázat, že příspěvek takového proudu, který není obepnut Ampérovou křivkou, k cirkulaci B (tj. ke křivkovému integrálu na pravé straně rov. (30.16)), je vždy nulový. (Je to situace příbuzná situaci z Gaussova zákona, když náboj ležel vně Gaussovy plochy.) K cirkulaci B přispívají tedy pouze proudy obepnuté Ampérovou křivkou. Integrál v rov. (30.18) by byl v situaci znázorněné na obr. 30.12 dosti složitý, výsledek integrace však známe: integrál musí být roven hodnotě no(h — h)> která je dána součtem všech proudů obepnutých křivkou. Nyní použijeme Ampérova zákona pro dvě situace, ve kterých nám symetrie úlohy umožňuje jednoduše vypočítat integrál v rov. (30.16), resp. (30.17) a z něj určit indukci magnetického pole. Magnetické pole vně dlouhého přímého vodiče Na obr. 30.14 je znázorněn dlouhý přímý vodič kolmý k rovině obrázku protékaný proudem I směrem k nám. Podle rov. (30.6) má magnetická indukce B pole vytvořeného proudem stejnou velikost ve všech bodech, které jsou ve stejné vzdálenosti od vodiče a indukční čáry mají tvar soustředných kružnic se středem ve vodiči. Jinými slovy, Obr. 30.14 Použití Ampérova zákona k určení magnetického pole kolem dlouhého přímého vodiče, kterým teče proud /. Ampérova křivka má tvar kružnice se středem uprostřed vodiče (a s poloměrem větším, než je poloměr vodiče). 782 KAPITOLA 30 MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU magnetické pole 0 má válcovou symetrii kolem vodiče. Této symetrie můžeme využít ke zjednodušení integrálu v Ampérově zákoně (rov. (30.16)) tak, že obklopíme vodič soustřednou kruhovou Ampérovou křivkou o poloměru r. Magnetická indukce B má potom stejnou velikost B v každém bodě křivky. Chceme-li provést integraci v rov. (30.16), nemusíme předem znát směr vektoru B. Můžeme například předpokládat, že B má směr souhlasný se zvolenou orientací uzavřené křivky. Tato orientace určuje znaménka proudů na pravé straně rov. (30.16) v souladu s pravidlem pravé ruky. Jestliže při výpočtu B vyjde kladná hodnota, zvolili jsme směr vektoru 0 správně. Vyjde-li záporná, má B směr opačný, než jsme zvolili. Poněvadž B a ds mají stejný směr, je integrál v rovnici (30.17) roven j)Bás= j> BcosOds = B j> ás = B(2jir). Připomeňme, že f ds v tomto vztahu znamená součet všech infinitezimálních délkových elementů ds podél kružnice. To dává obvod 2nr kružnice. Pravidlo pravé ruky přiřazuje kladné znaménko proudu na obr. 30.14, takže pravá strana Ampérova zákona bude rovna Proto dostaneme B(2nr) = fi0I a odtud B = 2vr (30.19) To je stejný výraz jako rov. (30.6), kterou jsme odvodili již dříve (se značně větší námahou) s použitím Bio-tova-Savartova zákona. Jelikož rov. (30.19) dává kladnou hodnotu B, je směr vektoru indukce 0 orientován tak, jak ukazuje obr. 30.14. Magnetické pole uvnitř dlouhého přímého vodiče Na obr. 30.15 je průřez dlouhým přímým vodičem o poloměru R, kterým protéká v průřezu homogenně rozložený elektrický proud / směrem k nám. Protože se jedná o homogenní rozložení proudu, bude také jím vytvořené magnetické pole válcově symetrické. Chceme-li tedy určit magnetické pole v bodech uvnitř vodiče, můžeme znovu s výhodou využít jako Ampérovy křivky kružnici o poloměru r < R, jak je ukázáno na obr. 30.15. Ze symetrie úlohy dále plyne, že směr vektoru indukce 0 je tečný ke křivce. Levou stranu Ampérova zákona můžeme proto psát ve tvaru j>Bás=BJ>ás = B(2Kr). (30.20) Abychom určili pravou stranu Ampérova zákona, musíme uvážit, že v důsledku homogenního rozložení elektrického proudu (hustota proudu J je konstantní) bude proud Ic úměrný ploše ohraničené Ampérovou křivkou, tedy 7tr (30.21) Podle pravidla pravé ruky má Ic kladné znaménko. Z Ampérova zákona tedy plyne 7ir" a odtud B(2%r) = Hol—^, iiR* (30.22) Velikost magnetické indukce B uvnitř vodiče protékaného proudem rozloženým homogenně v jeho průřezu je tedy přímo úměrná vzdálenosti r od jeho osy. Je nulová v jeho středu a maximální na povrchu, kde r = R. Všimněte si, že rov. (30.19) pro magnetickou indukci vně vodiče a rov. (30.22) pro magnetickou indukci uvnitř vodiče dávají tutéž hodnotu pro r = R, tj. pro povrch vodiče. povrch vodiče Ampérova krivica Obr. 30.15 Použití Ampérova zákona k určení magnetické indukce, kterou budí elektrický proud / uvnitř dlouhého přímého vodiče kruhového průřezu. Proud je homogenně rozložen v průřezu a směřuj e k nám. Ampérova křivka se nachází uvnitř vodiče. j^ONTROLA 3: Na obrázku jsou tři rovnoběžné vodiče se stejně velkými proudy I a čtyři Ampérovy křivky. Seřaďte křivky sestupně podle velikosti f B • ds podél každé z nich. 30.4 SOLENOID A TOROID 783 PŘIKLAD 30.4 Na obr. 30.16a je nakreslen pněný průřez dlouhého dutého vodivého válce s vnitřním, resp. vnějším poloměrem a = 2,0 cm, resp. b = 4,0 cm. Válcem protéká proud kolmo k obrázku, směrem k nám, s proudovou hustotou danou vztahem J = cr2, kde c = 3,0-106A-m-4 a r je vyjádřeno v metrech. Určete magnetickou indukci B v bodě, který se nachází ve vzdálenosti 3,0 cm od podélné osy válce. Ampérova křivka («0 {b) Obr. 30.16 Příklad 30.4. (a) Průřez vodivým válcem s vnitřním poloměrem a a vnějším poloměrem b. (b) Ampérova křivka o poloměru r pro výpočet magnetického pole ve vzdálenosti r od osy válce. ŘEŠENÍ: Protože rozložení proudu (a proto i magnetické pole) má válcovou symetrii vzhledem k podélné ose válce, můžeme použít Ampérova zákona k určení magnetické indukce B. Protože chceme určit indukci ve vzdálenosti 3,0 cm od osy, zvolíme za Ampérovu křivku kružnici o tomto poloměru, se středem v ose válce (obr. 30.16b). Do Ampérova zákona je třeba dále dosadit pravou stranu, tj. 7C, což je elektrický proud obepnutý Ampérovou křivkou. Nemůžeme předpokládat přímou úměrnost mezi velikostí proudu a obsahem plochy, kterou proud protéká, jak tomu bylo v případě rov. (30.21), neboť proud není v průřezu vodiče rozložen homogenně. Místo toho budeme postupovat jako v př. 27.2b a budeme integrovat proudovou hustotu od vnitřního poloměru válce a až po poloměr křivky r: = j JdS = J cr2(2wdr) = = 2tic / r3dr = 2tic — J a L4. icc(r4 - a4) Protože Ampérova křivka je na obr. 30.16b orientována ve směru otáčení hodinových ručiček, přiřadíme proudu, který teče k nám, záporné znaménko. Výpočet levé strany Ampérova zákona (30.16) s přihlédnutím k obr. 30.15 vede opět k hodnotě B(2w). Tím dostáváme fi(2lcr) = -^V-a4). Po dosazení číselných hodnot dostaneme D IM)C 4 4 B = ——(ŕ -aT) = 4r (4tc-10-7 T-m-A-^P.O-lO6 A-nT4) ~~ 4(0,030 m) • ((0,030 m)4 - (0,020 m)4) = = -2,0-10~5T. Magnetická indukce B má tedy velikost B=2,0-10_5T (Odpověd) a má směr proti námi zvolené orientaci křivky (obr. 30.16b). 30.4 SOLENOID A TOROID Magnetické pole solenoidu Nyní prostudujeme jinou situaci, ve které lze s výhodou použít Ampérův zákon. Jde o magnetické pole vytvořené proudem v dlouhé, hustě vinuté cívce. Takovou cívku nazýváme solenoid (obr. 30.17). Budeme vždy předpokládat, že délka solenoidu je mnohem větší než jeho průměr, takže můžeme zanedbat rušivý vliv začátku či konce vinutí. Obr. 30.17 Solenoid, kterým protéká proud I. Na obr. 30.18 je znázorněna část takového solenoidu. Magnetické pole solenoidu je rovno superpozici polí vytvořených jednotlivými závity. V bodech velmi blízkých k povrchu závitu má magnetické pole podobný průběh jako pole dlouhého přímého vodiče: indukční čáry kolem něho jsou tvarem velmi blízké soustředným kružnicím. Na obr. 30.18 vidíme, že v prostoru mezi sousedními závity se magnetická indukce značně zeslabí (v ideálním případě až do vymizení). Také je vidět, že v bodech uvnitř solenoidu dostatečně vzdálených od vinutí (vůči vzdálenosti jednotlivých závitů od sebe) je magnetické pole homogenní a jeho magnetická indukce 0 je prakticky rovnoběžná s osou solenoidu; u ideálního solenoidu by toto platilo přesně. V bodech mimo solenoid, např. v bodě P na obr. 30.18, je výsledné magnetické pole tvořeno jednak bližšími částmi závitů solenoidu (B míří doleva, jak je ukázáno v těsné 784 KAPITOLA 30 MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU Obr. 30.18 Indukční čáry magnetického pole znázorněné v řezu podél osy řídce vinutého solenoidu. Vidíme zde poloviny pěti závitů a magnetické indukční čáry kolem každého z nich. Poblíž osy solenoidu se pole jednotlivých závitů skládají ve výsledné magnetické pole, které má směr této osy. Husté rovnoběžné indukční čáry značí, že toto pole je silné a homogenní. Vně solenoidu jsou indukční čáry od sebe navzájem hodně vzdálené, což ukazuje, že magnetické poleje zde velmi slabé. blízkosti bodu P, neboť proud v závitech teče směrem k nám — je značen tečkou), jednak vzdálenějšími částmi závitů (B míří doprava, neboť proud v závitech teče směrem od nás —je značen křížkem). Oba příspěvky jsou orientovány proti sobě a v případě ideálního solenoidu se vyruší; magnetické pole v prostoru mimo solenoid je pak nulové. Tyto závěry platí pro reálný solenoid tím lépe, čím je délka solenoidu vůči jeho průměru větší a čím dále je zkoumaný bod P od okrajů solenoidu. Orientace pole uvnitř solenoidu je určena pravidlem pravé ruky: uchopíme-li solenoid do pravé ruky tak, že prsty směřují ve směru proudu v závitech, potom vztyčený palec ukazuje směr magnetického pole. Na obr. 30.19 jsou indukční čáry reálného solenoidu. Jejich vzdálenost v centrální oblasti ukazuje na to, že pole uvnitř solenoidu je poměrně silné a homogenní v celém jeho průřezu. Pole vně solenoidu je však velmi slabé. Pro výpočet velikosti B magnetické indukce použijme Ampérův zákon B ■ ds = nolc (30.23) na pravoúhlou křivku abcd nacházející se v ideálním solenoidu (obr. 30.20). Při odvozování předpokládejme, že pole B uvnitř solenoidu je homogenní a vně solenoidu nulové. Integrál § B ■ ds lze rozdělit na součet čtyř integrálů, každý projeden ze čtyř úseků pravoúhlé křivky: á>B-ds= í Bds+ í B-ds + J Ja Jb + j\-ds + yflfl-ds. (30.24) Obr. 30.19 Indukční čáry znázorňující magnetické pole reálného solenoidu konečné délky. Poleje silné a homogenní uvnitř solenoidu (např. v bodě P\), ale poměrně slabé vně solenoidu (např. bod P2). První integrál na pravé straně rov. (30.24) je roven Bh, kde B je velikost magnetické indukce B uvnitř solenoidu a A je délka křivky od a do b. Druhý a čtvrtý integrál jsou rovny nule, protože pro každý délkový element těchto úseků je indukce B buďkolmá k úseku, nebo nulová, takže skalární součin B ■ ds je roven nule. Třetí integrál podél úsečky, která leží mimo solenoid, je nulový, neboť zde je B = 0 ve všech bodech mimo solenoid. Integrál f B ■ ds je tedy pro celou pravoúhlou křivku roven Bh. I - ( * —m^. B -*-a — —o-- - Vlx|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x| Obr. 30.20 Ampérův zákon pro případ dlouhého ideálního solenoidu, kterým protéká elektrický proud /. Ampérova křivka má tvar obdélníka abcd. Výsledný proud Ic uzavřený v pravoúhlé Ampérově křivce na obr. 30.20 není pouze /, neboť uvnitř cívky se nachází více než jeden závit. Označíme-li počet závitů na jednotku délky n, je Ic = Iinh) a z Ampérova zákona plyne Bh = fiolnh, a tedy B = fioln (ideální solenoid). (30.25) 30.5 CÍVKA JAKO MAGNETICKÝ DIPÓL 785 Dodejme, že v solenoidu konečné délky je pole poblíž konců slabší a rozbíhá se. I když jsme rov. (30.25) odvodili pro nekonečně dlouhý ideální solenoid, platí dosti dobře i pro reálný solenoid, zajímá-li nás magnetická indukce v bodech uvnitř solenoidu dostatečně daleko od jeho konců. Rov. (30.25) je v dobrém souladu s experimentálním faktem, že B nezávisí na průměru nebo délce solenoidu a že je konstantní v celém jeho průřezu. Solenoidem můžeme vytvořit homogenní magnetické pole podobně jako dvěma rovnoběžnými deskami kondenzátoru vytvoříme dostatečně homogenní pole elektrické. Magnetické pole toroidu Na obr. 30.21a je znázorněn toroid, který lze jednoduše charakterizovat jako solenoid stočený do tvaru prstence. Magnetickou indukci B uvnitř toroidu můžeme opět určit pomocí Ampérova zákona a využitím symetrie úlohy. Obr. 30.21 (a) Toroid, kterým protéká elektrický proud /. (b) Průřez toroidem. Magnetické pole uvnitř toroidu můžeme vypočítat pomocí Ampérova zákona. Z tvaru toroidu můžeme právem usuzovat na to, že indukční čáry vektoru B jsou soustředné kružnice uvnitř toroidu a mají směr zakreslený na obr. 30.21b. Vybereme si jednu takovou kruhovou indukční čáru o poloměru r jako Ampérovu křivku a projdeme ji ve směru otáčení hodinových ručiček. Ampérův zákon (rov. (30.16)) nám potom dává B(2nr) = n0IN, kde I je proud tekoucí toroidem (má zde kladné znaménko) a N je celkový počet závitů. Odtud obdržíme B = fJs[N_}_ (uvnitř toroidu) (30.26) 2tz r Z tohoto vztahu vidíme, že na rozdíl od solenoidu není velikost magnetické indukce B konstantní v celém průřezu toroidu. Pomocí Ampérova zákona lze snadno dokázat, že B = 0 pro všechny body ležící mimo ideální toroid. Směr magnetické indukce uvnitř toroidu lze určit pomocí pravidla pravé ruky: uchopíme-li toroid tak, aby prsty pravé ruky směřovaly ve směru proudu v závitech, pak vztyčený palec určuje směr magnetické indukce pole. PŘÍKLAD 30.5 Solenoid má délku L = 1,23 m, vnitřní průměr d = 3,55 cm a protéká jím proud / = 5,57 A. Je těsně navinut v pěti vrstvách, z nichž každá má 850 závitů na délce L. Určete velikost magnetické indukce B v jeho středu. ŘEŠENÍ: Z rov. (30.25) dostaneme 7 i (5 • 850) B = ii0In = (4TX-10-7 T-mA )(5,57 A)y———- = (1,23 m) = 2,42-10~2 T = 24,2 mT. (Odpověď) Všimněte si, že rov. (30.25) platí i v případě, když má solenoid více než jednu vrstvu závitů, neboť B nezávisí na průměru závitů. 30.5 CÍVKA JAKO MAGNETICKÝ DIPÓL Dosud jsme se zabývali magnetickým polem dlouhého přímého vodiče, solenoidu a toroidu. Nyní si všimneme podrobněji pole krátké cívky, kterou protéká elektrický proud. V čl. 29.9 jsme dospěli k závěru, že taková cívka se chová ve vnějším magnetickém poli B jako magnetický dipól. Bude tedy na ni působit silový moment M vyjádřený vztahem (29.35), tj. M = // x B, (30.27) kde fj je magnetický dipólový moment cívky, jehož velikost je NIS (N je počet závitů, I je proud tekoucí každým závitem a 5 je plošný obsah každého závitu). Připomeňme (čl. 29.9), že směr vektoru // je dán pravidlem pravé ruky: uchopíme-li cívku tak, že ohnuté prsty pravé ruky mají směr proudu v závitech, pak vztyčený palec ukazuje směr dipólového momentu /i. Magnetické pole cívky Jaké magnetické pole vlastně vytváří cívka v bodech okolního prostoru? Taková úloha nemá dostatek symetrie, aby ji bylo možné vyřešit jen pomocí Ampérova zákona. Proto musíme vyjít ze zákona Biotova-Savartova, přičemž si úlohu co nejvíce zjednodušíme. Cívku nahradíme pouze jediným kruhovým závitem se středem v počátku souřadnic 786 KAPITOLA 30 MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU a s osou splývající s osou z. Magnetickou indukci budeme počítat jen na ose závitu, tj. na ose z. Ukážeme, že velikost magnetické indukce je *U> = .,jyfJC,„. (30-28) 2(/ř2 + z2)3/2> kde R je poloměr závitu a z je souřadnice bodu, v němž počítáme indukci. Směr indukce 0 je stejný jako směr momentu \i. Pro body značně vzdálené od cívky platí z ^> R a předcházející rovnice získá tvar miR2 B(z) = 2z3 Po dosazení obsahu plochy závitu S = kR2 a rozšíření výsledku pro cívku s N závity můžeme tuto rovnici přepsat do tvaru 2% z3 Protože Bafl mají stejný směr a fj, NIS, platí B(z) = fíL 2ti z3 (pole na ose cívky). (30.29) Máme tedy dva důvody, proč chápat cívku, kterou protéká elektrický proud, jako magnetický dipól: (1) vložíme-li ji do vnějšího magnetického pole, působí na ni moment sil; (2) cívka s proudem vytváří své vlastní magnetické pole, které je ve vzdálených bodech na ose cívky dáno rov. (30.29). Na obr. 30.22 je magnetické pole cívky protékané proudem; je podobné poli tyčového magnetu, kde jedno čelo cívky představuje severní pól (ve směru y) a druhé pól jižní, jak je znázorněno zakreslením stínovaného tyčového magnetu na obrázku. Obr. 30.22 Smyčka protékaná proudem vytváří magnetické pole velmi podobné poli (krátkého) tyčového magnetu. Magnetický dipólový moment \t smyčky, daný pravidlem pravé ruky, míří od jižního pólu k pólu severnímu, ve směm vektom magnetické indukce B uvnitř smyčky. j^ONTROLA 4: Na obrázku jsou čtyři skupiny kruhových smyček o poloměrech r a 2r. Jejich středy leží na společných osách a protékají jimi stejné proudy v označených směrech. Seřaďte sestupně tyto skupiny smyček podle velikosti výsledného magnetického pole v bodě označeném tečkou. (a) cb <ž> <é> (b) (c) (ď) Odvození rov. (30.28) Obr. 30.23 představuje boční pohled na kruhovou smyčku o poloměru R, kterou protéká elektrický proud /. Magnetickou indukci budeme počítat v bodě P na její ose ve vzdálenosti z od roviny smyčky. Vyjdeme z Biotova-Savartova zákona a vypočítáme magnetickou indukci dB vytvořenou v bodě P proudovým elementem na levé straně smyčky. Vektor ds tohoto elementu je kolmý k rovině obrázku a směřuje k nám. Vektory ds a r j sou navzájem kolmé, rovina jimi tvořená je kolmá k rovině obrázku. Z Biotova-Savartova zákona (a pravidla pravé ruky) plyne, že magnetická indukce dB vytvořená v bodě P proudovým elementem / ds je kolmá k rovině tvořené vektory r a ds, a leží proto v rovině obrázku a je kolmá k vektoru r. i R Obr. 30.23 Smyčka protékaná proudem má poloměr R. Rovina smyčky je kolmá k rovině obrázku. K výpočtu magnetické indukce pole v bodě P na ose smyčky použijeme Biotova-Savartova zákona. PŘEHLED & SHRNUTÍ 787 Rozložme nyní magnetickou indukci dB do průmětu dB|| rovnoběžného s osou z a dBj_ kolmého k ose z. Ze symetrie úlohy plyne, že vektorový součet všech průmětů dBj_ je nulový. Zůstávají tedy pouze průměty dB\\ rovnoběžné s osou z, a proto můžeme psát dB,, Pro velikost magnetické indukce dB vzbuzené elementem vodiče ds protékaného proudem na obr. 30.23 dostáváme z Biotova-Savartova zákona (rov. (30.3)): dB = At0/dssin90° 4tí r2 Současně platí dZ?|| = dB cos a. Z těchto dvou vztahů dostáváme ani cos a ds Z obr. 30.23 plyne, že veličiny r a a nejsou navzájem nezávislé. Obě vyjádříme pomocí proměnné z, tj. pomocí vzdálenosti bodu P od středu smyčky: r = yrRT+z2 R R cos a = — = r V/?2 + z2" (30.32) Dosazením rov. (30.31) a (30.32) do rov. (30.30) dostaneme fipIR dB\\ = ——-=-^-j-pr ds. " 4tí(R2 + z2)3'2 Všimněte si, že veličiny I, R & z mají tytéž hodnoty pro všechny elementy ds po celém obvodu smyčky. Integru-jeme-li tedy tuto rovnici, lze je vytknout před integrál a stačí vypočítat pouze velmi jednoduchý integrál f ds, který je roven obvodu kruhové smyčky 2nr. Tedy B = / dAii = 4tí(R2 + z2)3'2 í ds a odtud B(z) 2(R2+z2)V2, (30.31) což je rov. (30.28), kterou jsme chtěli odvodit. PŘEHLED s^SHRNUTI Biotův-Savartův zákon Magnetické pole vodiče, kterým protéká elektrický proud, můžeme určit pomocí Biotova-Savartova zákona. Podle tohoto zákona je magnetická indukce dB vytvořená proudovým elementem / ds ve vzdálenosti r od tohoto elementu dána vztahem Ho I ds x r dB =---r- (Biotův-Savartův zákon). (30.5) 4ti rJ Zde r je vektor, který směřuje od elementu / ds do bodu, v němž určujeme magnetickou indukci. Veličina //.oje permeabilita vakua: /x0 = 4Ti-10_7T-m-A-1 = l^ó-lO^T-m-A-1. Magnetické pole dlouhého přímého vodiče Velikost magnetické indukce pole přímého dlouhého vodiče ve vzdálenosti R od něj je B = (dlouhý přímý vodič). (30.6) 2ti R Magnetické pole vodiče ve tvaru kruhového oblouku Velikost magnetické indukce ve středu kruhového oblouku vodiče se středovým úhlem 2ti z3 kde //je dipólový moment cívky a z je souřadnice bodu P na ose cívky (závitu). OTÁZKY 1. Na obr. 30.24 jsou 4 různá uspořádání dlouhých přímých vodičů kolmých k rovině obrázku, jimiž protékají stejně velké, ale různě orientované elektrické proudy. Vodiče procházejí vrcholy stejně velkých čtverců. Seřaďte tato uspořádání sestupně podle velikosti výsledné magnetické indukce ve středu každého ze čtverců. ©------® 9~ -® (a) ®------® ®----- (*) (c) Obr. 30.24 Otázka 1 -® ®- -® (d) 2. Na obr. 30.25 je průřez dvěma dlouhými přímými vodiči; vodičem na levé straně obrázku protéká proud I\ kolmo k obrázku směrem k nám. Jestliže víte, že výsledná magnetická indukce vytvořená oběma proudy je v bodě P rovna nule, odpovězte na otázky: (a) Teče proud h v pravém vodiči směrem k nám, nebo od nás? (b) Je proud h větší než I\, nebo je mu roven? -•-®-O- P h h Obr. 30.25 Otázka 2 3. Na obr. 30.26 jsou dva dlouhé přímé vodiče, které se těsně kolmo míjejí, aniž se dotýkají. Ve kterém kvadrantu existují body, v nichž je výsledná magnetická indukce rovna nule? 1 Obr. 30.26 s 4 Otázka 3 U 4. Na obr. 30.27 jsou tři smyčky, z nichž každá se skládá ze dvou soustředných kruhových oblouků o poloměrech r a. R (kde R > > r) a dvou radiálních úseček. Každou ze smyček protéká stejný elektrický proud a středový úhel vymezený přímými radiálními částmi vodiče je stejný. Seřaďte obvody sestupně podle velikosti výsledné magnetické indukce ve středech oblouků vyznačených na obrázku. (a) (b) Obr. 30.27 Otázka 4 (c) 5. Na obr. 30.28 jsou tři části různých elektrických obvodů, z nichž každá se skládá z vodiče zakřiveného do tvaru kruhového oblouku (všechny mají stejný poloměr) a dvou dlouhých přímých úseků, které mají směr tečny k oblouku. Vodiče se kříží bez dotyku. Každou z těchto částí protéká stejný elektrický proud. Seřaďte úseky sestupně podle velikosti magnetické indukce ve vyznačených bodech (středech oblouků). (a) (b) Obr. 30.28 Otázka 5 6. Na obr. 30.29 jsou tři úseky různých elektrických obvodů, z nichž každý se skládá z kruhového oblouku (všechny mají Obr. 30.29 Otázka 6 OTÁZKY 789 stejný poloměr a středový úhel) a ze dvou dlouhých přímých částí. Přímé části mají v případě úseku a radiální směr a v případě úseků b a. c tečný směr; vodiče se kříží bez dotyku. Ve všech třech případech protéká vodiči stejný proud. Seřaďte úseky sestupně podle velikosti výsledné magnetické indukce ve středu každého oblouku. 7. Na obr. 30.30 jsou čtyři konfigurace dlouhých přímých vodičů kolmých k rovině obrázku a umístěných stejně daleko od sebe. Vodiči protéká stejný elektrický proud buď směrem k nám, nebo od nás. Seřaďte sestupně tyto konfigurace podle velikosti výsledné síly, kterou působí na prostřední vodič ostatní vodiče, (a) -®-®-®-®-®- (&) (c) W) -®- -®- -®- -®- -®- Obr. 30.30 Otázka 7 8. Na obr. 30.31 jsou tři konfigurace dlouhých přímých vodičů kolmých k rovině obrázku, kterými protéká stejný elektrický proud buď směrem k nám, nebo od nás. (a) Seřaďte sestupně jednotlivé konfigurace podle velikosti celkové síly, kterou působí ostatní vodiče na ten vodič, jímž teče proud směrem k nám. (b) Jaký je v případě (3) úhel mezi čárkovanou polopřímkou a celkovou silou, kterou působí ostatní vodiče na vodič s proudem, tekoucím směrem k nám—je větší, roven, nebo menší než 45°? d-H I I—d—H-D-H —®-®- -®——®-®- i (D (2) Obr. 30.31 Otázka 8 D (3) 9. Na obr. 30.32jsou dvě konfigurace dlouhých přímých vodičů kolmých k rovině obrázku, kterými protéká stejný elektrický proud buď směrem od nás, nebo k nám. Oba vodiče jsou stejně vzdáleny od osy y. (a) Pro každou z konfigurací určete směr výsledné magnetické indukce v bodě P. (b) Pro každou konfiguraci dále určete směr síly, kterou by působily oba vodiče na y y (D (2) rovnoběžný vodič procházející bodem P a protékaný stejným proudem směrem od nás. Na obr. 30.33 je dlouhý přímý vodič, kterým protéká elektrický proud / směrem doprava. Vedle něho se nacházejí tři vodivé pravoúhlé smyčky, kterými protéká stejně velký elektrický proud v naznačeném směru. Délky stran smyček jsou buď L, nebo 2L a všechny strany smyček přilehlé k vodiči mají od něho stejnou vzdálenost. Seřadte sestupně smyčky podle velikosti celkové síly, kterou na ně působí magnetické pole přímého vodiče. Obr. 30.33 Otázka 10 Na obr. 30.34 je vodivá smyčka nepravidelného tvaru položená na hladkém stole tak, že její body a a b jsou ke stolu připevněny. Začne-li smyčkou protékat elektrický proud, změní se její tvar. Bude se smyčka vypínat do tvaru oblouku, nebo se bude stahovat dovnitř? —r h Obr. 30.34 Otázka 11 12. Na obr. 30.35 je znázorněno homogenní magnetické pole o indukci B a čtyři přímé úseky stejné délky. Seřadte je sestupně podle velikosti integrálu f B ■ ds podél úseků. Obr. 30.35 Otázka 12 ->fl Obr. 30.32 Otázka 9 Na obr. 30.36a jsou čtyři Ampérovy křivky a, i, c a d. Válcovým vodičem protéká elektrický proud kolmo k obrázku směrem k nám. Proudová hustota má stejnou velikost i směr v celém kruhovém průřezu vodiče. Seřaďte tyto křivky sestupně podle velikosti integrálu § B ■ ds podél každé z nich. Na obr. 30.36b jsou čtyři Ampérovy křivky — kružnice a, b,c,d a čtyři dlouhé válcové vodiče. Vodič s nejmenším poloměrem má kruhový průřez a zbývající vodiče jsou duté válce (křivky i vodiče jsou soustředné). Elektrické proudy tekoucí vodiči kolmo k rovině obrázku mají (od nejmenšího poloměru 790 KAPITOLA 30 MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU po největší) hodnoty: 4 A (k nám), 9 A (od nás), 5 A (k nám) a 3 A (od nás). Seřaďte křivky sestupně podle velikosti integrálu § B ■ ds podél každé z nich. Obr. 30.36 Otázky 13 a 14 15. Na obr. 30.37 j sou čtyři přímé rovnoběžné vodiče protékané stejnými elektrickými proudy / a pět orientovaných Ampéro-vých křivek obepínajících vodiče. Seřaďte tyto křivky sestupně podle velikosti integrálu § B -ds. 16. Následující tabulka uvádí pro šest ideálních solenoidů o různých poloměrech počet závitů na jednotku délky n a proud I jimi tekoucí. Chceme několik z nich soustředně zasunout do sebe tak, aby výsledná magnetická indukce na společné podélné ose byla nulová. Je to možné udělat pomocí (a) dvou, (b) tří, (c) čtyř a (d) pěti z nich? Které solenoidy byste použili? Určete směry příslušných proudů. Solenoid 1 n 5 I 5 5 10 2 17. Polohový vektor částice pohybující se po kružnici o poloměru r je r. Určete hodnotu integrálu § r • ds podél této kružnice. 18. Vypočtěte hodnotu integrálu § ds podél obvodu (a) čtverce s délkou strany a a (b) rovnostranného trojúhelníka s délkou strany d. Obr. 30.37 Otázka 15 CVIČENI S^ULOHY ODST. 30.1 Magnetické pole elektrického proudu 1C. Velikost magnetické indukce v bodě, který je vzdálen 88,0cm od osy dlouhého přímého vodiče, je 7,30 [/T. Jak velký elektrický proud protéká vodičem? 2C. Neizolovaným měděným vodičem (průměr 2,6 mm) může bez přehřátí procházet proud 50 A. Jaká je přitom magnetická indukce na povrchu vodiče? 3C. Zeměměřič určuje zeměpisnou polohu pomocí magnetické buzoly 6,0 m pod elektrickým vedením, kterým protéká stejnosměrný elektrický proud 100 A. (a) Jaká je magnetická indukce vytvořená tímto proudem v místě, kde se nachází buzola? (b) Bude toto vedení nějak ovlivňovat její údaje? Vodorovná složka indukce magnetického pole Země v místě, kde se nachází zeměměřič s buzolou, je 20 \±ľ. 4C. Elektronové dělo v televizní obrazovce vystřeluje elektrony s kinetickou energií 25keV v paprsku o průměru 0,22 mm. Za každou sekundu dopadne na obrazovku 5,6-1014 elektronů. 'Vypočtěte magnetickou indukci, kterou budí paprsek v místě vzdáleném 1,5 mm od své osy. 5C. Na obr. 30.38 je 3,0 cm dlouhý úsek vodiče, kterým protéká elektrický proud 2,0 A ve směru osy y. Usek vodiče je umístěn tak, že se jeho střed nachází v počátku soustavy souřadnic. Určete magnetickou indukci B v bodech (a) (0;0;5,0m), (b) (0;6,0m;0), (c) (7,0m; 7,0m; 0) a (d) (—3,0m; — 4,0m; 0). Můžete k tomu použít Biotova--Savartova zákona ve tvaru B = (//,o/4ji)/As sinť?/r2, kam dosadíte As = 3,0 cm (veličiny r a 6 jsou v našem zadání prakticky konstantní pro celý úsek vodiče). [—3,0 2,0A> 2,0A Obr. 30.38 Cvičení 5 6C. Dlouhý vodič, kterým protéká elektrický proud 100 A, se nachází ve vnějším homogenním magnetickém poli o indukci 5,0mT a je k ní kolmý. Určete body, ve kterých je výsledné magnetické pole rovno nule. 7C. V laboratoři na Fihpínách má indukce magnetického pole Země velikost 39 jaT a směr vodorovně k severu. Ve vzdálenosti 8,0 cm nad dlouhým přímým vodorovným vodičem, kterým protéká elektrický proud 7, je výsledná magnetická indukce nulová. Určete (a) velikost a (b) směr elektrického proudu /. 8C. Kladně nabitá částice s nábojem Q se nachází ve vzdálenosti d od dlouhého přímého vodiče, kterým protéká proud I. Částice se pohybuje rychlostí v kolmo k vodiči. Určete směr a velikost magnetické síly působící na částici, pohybuje-li se (a) směrem k vodiči, (b) směrem od vodiče. CVIČENÍ & ÚLOHY 791 9C. Přímý vodič, kterým protéká proud /, se rozděluje na dva půlkruhové oblouky, jak je ukázáno na obr. 30.39. Určete magnetickou indukci ve středu S kruhové části vodiče. Obr. 30.39 Cvičení 9 10C. Dlouhým přímým vodičem protéká proud 50 A. Elektron letí rychlostí l,0-107m-s_1 ve vzdálenosti 5,0cm od vodiče. Jaká síla na něj působí, letí-li (a) kolmo k vodiči, (b) rovnoběžně s vodičem a (c) kolmo k oběma předcházejícím směrům? 11Ú. Vodičem na obr. 30.40 protéká proud /. Určete v bodě S (středu půlkružnice) magnetickou indukci B vyvolanou proudem protékajícím (a) v každém z přímých úseků vodiče délky L, (b) v půlkruhovém úseku vodiče o poloměru R, (c) v celém vodiči. Obr. 30.40 Úloha 11 12Ú. Použijte Biotův-Savartův zákon k výpočtu magnetické indukce B v bodě 5, který je společným středem půlkruhových oblouků AD & HJ (obr. 30.41a). Oba oblouky jsou spojeny tak, že vytvářejí obvod AHJDA, kterým protéká proud /. Obr. 30.41 Úlohy 12 a 13 13Ú. Na obr. 30.41b je elektrický obvod skládající se ze dvou kruhových oblouků o poloměrech a a b. Oba jsou propojeny radiálními přímými úseky. Určete magnetickou indukci B v bodě P (středu oblouků), víte-li, že obvodem protéká proud /. 14Ú. Každým ze dvou nekonečně dlouhých vodičů protéká proud /. Geometrické uspořádání obou vodičů je znázorněno na obr. 30.42. Ukažte, že magnetická indukce ve středu kružnice o poloměru R je stejná jako magnetická indukce ve vzdálenosti R pod jediným nekonečně dlouhým přímým vodičem, jímž protéká proud / směrem doleva. 15Ú. Vlásenka protékaná proudem / má tvar podle obr. 30.43. Určete směr a velikost magnetické indukce B (a) v bodě A, (b) v bodě B. Úlohu řešte numericky pro R = 5,0mm a pro Obr. 30.42 Úloha 14 vzdálenosti AB mnohem větší než R (každý z obou přímkových úseků pokračuje do nekonečna). 'B Obr. 30.43 Úloha 15 16Ú. Vodič, kterým protéká proud /, má tvar podle obr. 30.44. Jaký musí být úhel 6, aby magnetická indukce B byla ve středu kružnice nulová? Obr. 30.44 Úloha 16 17Ú. Na obr. 30.45 je přímý vodič, kterým protéká proud /. Dokažte, že velikost magnetické indukce B, kterou vytváří proud tekoucí úsekem vodiče o délce L v bodě P\ ve vzdálenosti R od středu úseku, je B = Hol 2nR Jl2+4R2' Dokažte, že tento výraz přechází pro L oo v rov. (30.6). Obr. 30.45 Úloha 17 a 18 18Ú. Na obr. 30.45 je úsek přímého vodiče délky L, kterým protéká proud /. Dokažte, že velikost magnetické indukce B buzené úsekem v bodě P2 ve vzdálenosti R od konce vodiče je B IM)I 4kR JL2 + R2' 19Ú. Čtvercovou smyčkou s délkou strany a protéká proud /. S využitím výsledku úlohy 17 dokažte, že ve středu této smyčky 792 KAPITOLA 30 MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU má magnetická indukce velikost B = Určete její směr. 20Ú. S využitím výsledku úlohy 17 dokažte, že magnetická indukce ve středu obdélníkové smyčky o délce L a šířce d, kterou protéká proud /, je B 2n0I *Jh2 + d2 ti Ld Ukažte, že pro L » li přejde tento výraz do tvaru totožného s výsledkem př. 30.2. 21Ú. Čtvercovou vodivou smyčkou o délce strany a protéká proud /. S využitím výsledku úlohy 17 dokažte, že velikost magnetické indukce v bodě ležícím na ose kolmé k rovině smyčky ve vzdálenosti x od jejího středu je B(x) = 4no la2 Tt(4x2 + a2) V4x2 + 2a2 Dokažte, že tento výsledek souhlasí s výsledkem úlohy 19. 22Ú. Dva vodiče mají stejnou délku L. Jeden má tvar čtverce, druhý tvar kružnice a každým protéká stejný proud /. Dokažte, že magnetická indukce ve středu čtvercové smyčky je větší než ve středu smyčky kruhové (viz úlohu 19). 23Ú. Na obr. 30.46 je úsek přímého vodiče délky a, kterým protéká proud /. Dokažte, že velikost magnetické indukce buzené úsekem v bodě P je B = «j2~noI/($T.á). -a-P Obr. 30.46 Úloha 23 24Ú. Vypočtěte magnetickou indukci B v bodě P na obr. 30.47 (viz úlohu 23). Obr. 30.47 Úloha 24 25Ú. Určete magnetickou indukci B v bodě P na obr. 30.48 pro / = 10 A a a = 8,0cm (viz úlohy 18 a 23). a/4 -»P - a Obr. 30.48 Úloha 25 26Ú. Na obr. 30.49 je průřez dlouhého vodiče ve tvaru proužku o šířce D, kterým protéká stejnoměrně rozložený elektrický proud / kolmo k obrázku, směrem od nás. Určete velikost a směr magnetické indukce B v bodě P ležícím v rovině proužku ve vzdálenosti d od jeho hrany. (Tip: Představte si, že proužek je složený z mnoha dlouhých, infinitezimálně tenkých rovnoběžných vodičů.) xxxxxxxx -d- -D- Obr. 30.49 Úloha 26 ODST. 30.2 Dva rovnoběžné vodiče 27C. Dva dlouhé rovnoběžné vodiče leží ve vzdálenosti 8,0 cm od sebe. Teče jimi stejný proud /. Jak velký musí být, aby magnetická indukce uprostřed mezi vodiči měla velikost 300 jiT? Směr proudů nechť je (a) souhlasný, (b) nesouhlasný. 28C. Dvěma dlouhými rovnoběžnými vodiči ve vzdálenosti d protékají proudy / a 3/ stejným směrem. Určete bod (nebo body), ve kterém se jejich magnetická pole navzájem vyruší. 29C. Dva dlouhé přímé rovnoběžné vodiče vzdálené od sebe 0,75 cm leží kolmo k rovině obr. 30.50. Vodičem 1 protéká proud o velikosti 6,5 A směrem od nás. Jaký musí být proud (velikost a směr) ve vodiči 2, aby výsledné magnetické pole v bodě P bylo nulové? vodič 1 ®- t 0,75 cm vodič 2 •- 1,5 cm Obr. 30.50 Cvičení 29 30C. Na obr. 30.51 leží pět dlouhých rovnoběžných vodičů v rovině xy. Každým z nich protéká proud / = 3,00 A Obr. 30.51 Cvičení 30 \—d- I -©- -©- -d—| I -@-y CVIČENÍ & ÚLOHY 793 v kladném směru osy x. Vzdálenost mezi sousedními vodiči je d = 8,00cm. Určete magnetickou sílu, kterou působí ostatní vodiče najeden metr délky každého z vodičů. Sílu vyjádřete ve vektorovém tvaru pomocí jednotkových vektorů k. 31C. Pro rovnoběžné vodiče z př. 30.2 dokažte, že rov. (30.15) platí i pro body vně celé konfigurace, tj. pro body se souřadnicí x > d nebo x < —d. 32C. Každým ze dvou dlouhých rovnoběžných vodičů, vzdálených od sebe 10 cm, protéká proud 100 A. Oba vodiče leží kolmo k rovině obrázku a bod P je od obou stejně vzdálen (obr. 30.52). Určete směr a velikost magnetické indukce v bodě P, jestliže proud levým vodičem teče směrem k nám a proud pravým vodičem teče (a) směrem k nám a (b) směrem od nás. P As ✓ \ -d = lOcm- Obr. 30.52 Cvičení 32 33Ú. Předpokládejme, že oba proudy tekoucí vodiči na obrázku 30.10a mají stejný směr, k nám. Dokažte, že magnetická indukce v rovině určené oběma vodiči je Bz(x) = LLqIx Tt(jE2 - d2) ' Dosadte hodnoty / = 10 A, d = 2,0 cm a vyneste graficky závislost Bz(x) v intervalu — 2 cm < x < 2 cm. Průměr vodiče pokládejte za zanedbatelně malý. 34Ú. Čtyři dlouhé vodiče jsou navzájem rovnoběžné a procházejí vrcholy čtverce se stranami a = 20 cm kolmo k jeho rovině. Každým z vodičů protéká proud / = 20 A ve směru podle obr. 30.53. Určete velikost a směr magnetické indukce B ve středu čtverce. Obr. 30.53 Úlohy 34, 35 a 36 35Ú. Předpokládejme, že vodiči na obr. 30.53 nyní protékají proudy / o stejné velikosti a stejným směrem k nám. Určete směr a velikost magnetické síly působící na jednotku délky každého z vodičů. 36Ú. Určete velikost a směr magnetické síly působící na jednotku délky vodiče, který je umístěn na obr. 30.53 dole vlevo. Každým z vodičů protéká proud I v naznačeném směru. 37U. Každým ze dvou dlouhých přímých vodičů, umístěných ve vzdálenosti d od sebe, protéká proud / v opačném směru (obr. 30.54). (a) Dokažte, že velikost magnetické indukce v bodě P, který je stejně vzdálen od každého z vodičů, je dána vztahem 2(i0Id n(4R2 + d2)' (b) Jaký směr má magnetická indukce B v tomto bodě? d h —P Obr. 30.54 Úloha 37 38Ú. Na obr. 30.55 protéká dlouhým přímým vodičem proud 30 A a obdélníkovou smyčkou proud 20 A. Vypočtěte výslednou sílu působící na smyčku. Dosadte hodnoty a = 1,0 cm, b = = 8,0 cm a L = 30 cm. 30A Obr. 30.55 Úloha 38 39Ú. Na obr. 30.56 je idealizované schéma principu elektromagnetického děla. Projektil je umístěn mezi dvěma širokými kolejnicemi s kruhovým průřezem. Elektrický proud protéká z jedné kolejnice přes vodivý projektil (pojistka není zakreslena) -L- zdroj i Obr. 30.56 Úloha 39 do druhé kolejnice a zpět do zdroje, (a) Nechť d je vzdálenost mezi kolejnicemi, R poloměr každé z nich a I proud, který jimi protéká. Dokažte, že síla působící na projektil má směr doprava podél kolejnic a její velikost je vyjádřena přibližným vztahem Vo, d + R ■ ln-. 2n 794 KAPITOLA 30 MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU (b) Projektil se začne pohybovat od levého konce děla až k jeho ústí. Určete velikost rychlosti v, kterou byl vystřelen. Dosaďte hodnoty / = 450kA, d = 12mm, R = 6,7cm, L = 4,0m a hmotnost projektilu m = 10 g. ODST. 30.3 Ampérův zákon 40C. Každým z osmi vodičů na obr. 30.57 protéká proud 2,0 A kolmo k obrázku ve vyznačeném směru. Na obrázku jsou zakresleny dvě Ampérovy křivky pro výpočet integrálu § B ■ ds. Jaká je jeho hodnota pro křivku (a) v levé, (b) v pravé části obrázku? Obr. 30.57 Cvičení 40 41C. Každý z osmi dlouhých přímých vodičů je kolmý k rovině obr. 30.58. Vodičem číslo k (k = 1,2,..., 8) protéká proud kl. Lichými vodiči protéká proud směrem k nám, sudými naopak od nás. Určete integrál § B ■ ds po uzavřené křivce v naznačeném směru. Obr. 30.58 Cvičení 41 42C. Prostorem protéká elektrický proud v kladném směm osy z s konstantní proudovou hustotou 15 A-m-2. Určete hodnotu integrálu § Bás po lomené Ampérově křivce vedoucí po úsečkách od bodu (4d, 0,0) přes (Ad, 3d, 0) a (0, 0, 0) zpět do (Ad, 0, 0), kde d = 20 cm. 43C. Na obr. 30.59 je průřez dlouhým válcovým vodičem o polomem a, kterým protéká homogenně rozložený proud I. Do-sadte hodnoty a = 2,0cm a / = 100 A a nakreslete závislost B(r) pro 0 < r < 6,0 cm. 44Ú. Dvěma vodivými smyčkami čtvercového tvaru protékají proudy 5,0 A a 3,0 A, jak je ukázáno na obr. 30.60. Určete hodnom integrálu § B ■ ds pro každou ze dvou uzavřených křivek, vyznačených na obrázku červenou barvou. rkřivka 1 I 5,0A—- křivka 2 Obr. 30.60 Úloha 44 45Ú. Dokažte, že homogenní magnetické pole o indukci B nemůže od bodu A klesnout ve směm šipky náhle k nule, jak by se zdálo z obr. 30.61. (Tip: Použijte Ampérův zákon pro případ pravoúhlé křivky, naznačené na obrázku čárkovaně.) U reálných magnetů se vždy setkáme s rozptylem indukčních čar magnetického pole, což znamená, že magnetická indukce B klesá k nule postupně. Opravte indukční čáry zakreslené na obrázku, aby byly reálnější. Obr. 30.61 Úloha 45 46Ú. Na obr. 30.62a je průřez dutého válcového vodiče, jehož vnější, resp. vnitřní poloměry jsou a, resp. b. Vodičem protéká proud / homogenně rozložený v celém průřezu, (a) Dokažte, že závislost B(r) pro b < r < a má tvar B -b2 2n(a2 - b2) r (b) Dokažte, že pro r = a dává tato rovnice velikost magnetické indukce vně dlouhého přímého vodiče, pro r = b bude výsledná magnetická indukce rovna nule a pro b = 0 dostaneme vztah pro magnetickou indukci uvnitř plného vodiče, (c) Dosaďte hodnoty a = 2,0cm,fc = 1,8 cm a/ = 100 A a vyneste závislost B(r) pro r v intervalu 0 < r < 6 cm. I ^. b/ N Obr. 30.59 Cvičení 43 (a) (b) Obr. 30.62 Úlohy 46 a 47 CVIČENÍ & ÚLOHY 795 47U. Na obr. 30.62b je řez dlouhým přímým koaxiálním kabelem. Každým z vodičů protéká co do velikosti stejný, ale co do směru opačný proud / homogenně rozložený v jejich průřezu. Odvoďte výraz pro závislost B(r) v intervalech (a) r < c, (b) c < r < b, (c) b < r < a, (d) r > a. (e) Diskutujte výrazy s ohledem na všechny zvláštní prípady, které mohou nastat, (f) Pro hodnoty a = 2,0 cm, b = 1,8 cm, c = 0,40cm a / = 120 A vyneste závislost B(r) pro r v intervalu 0 < r < 3 cm. 48Ú. Hustota elektrického proudu uvnitř dlouhého válcového vodiče o poloměru a má směr jeho osy a její velikost klesá se vzdáleností r od osy podle vztahu / = Jor/a. Určete magnetickou indukci B(r) uvnitř vodiče. 49Ú. Dlouhou přímou trubicí s kruhovým průřezem o vnějším poloměru R protéká homogenně rozložený proud / ve směru od nás (obr. 30.63). Dlouhý přímý vodič zanedbatelného průřezu je rovnoběžný s osou trubice; vzdálenost mezi vodičem a osou trubice je 3R. Určete, jakou velikost a směr musí mít elektrický proud tekoucí vodičem, aby výsledná magnetická indukce v bodě P měla stejnou velikost, ale opačný směr, než má magnetická indukce ve středu trubice. Obr. 30.63 Úloha 49 50Ú. Na obr. 30.64 je průřez dlouhým přímým vodičem válcového tvaru o poloměru a s válcovou dutinou o poloměru b. Osy válce a dutiny jsou rovnoběžné a jejich vzdálenost je d. Proud / je ve vodiči rozložen homogenně v celém barevně vyznačeném průřezu, (a) Na základě principu superpozice dokažte, že magnetická indukce ve středu dutiny má velikost B : po Id 2n(a2 - b2)' (b) Diskutujte dva zvláštní případy, kdy b = 0 nebo d = 0. (c) Pomocí Ampérova zákona dokažte, že magnetické pole v dutině je homogenní. (Tip: Představte si dutinu jako vodič, kterým proudí dva co do velikosti sobě rovné, ale co do směru opačné proudy, které se navzájem ruší. Předpokládejte, že každý z těchto proudů má stejnou hustotu, jako je hustota proudu ve vodiči mimo dutinu. Potom sečtěte magnetické indukce obou plných válců o poloměrech a a b; proud v každém válci má stejnou proudovou hustotu.) 51Ú. Na obr. 30.65 je průřez nekonečné vodivé desky, kterou protéká proud kolmo k obrázku směrem k nám (proud připadající na jednotku délky ve směru osy x je A.), (a) 'Využijte symetrie úlohy a pomocí Biotova-Savartova zákona dokažte, Obr. 30.64 Úloha 50 že pro všechny body P nad deskou a všechny body P' pod ní je magnetická indukce B rovnoběžná s rovinou desky a má směr podle obrázku, (b) Využitím Ampérova zákona dokažte, že B = pro všechny body P a P'. Obr. 30.65 Úloha 51 52Ú*. Magnetická indukce v určité oblasti prostoru je dána vztahem B = (3,0/ + 8,0(x2/d2)/) mT, kde d je konstanta s rozměrem délky a x i d jsou vyjádřeny v metrech. Víme, že toto poleje způsobeno elektrickým proudem, (a) 'Vypočítejte integrál § B ■ ds po lomené Ampérově křivce vedoucí po úsečkách z bodu (0,0, 0) přes (d, 0,0), (d, d, 0) a (0, d, 0) zpět do (0, 0, 0). (b) Dosadte hodnotu d = 0,50 m do výrazu pro indukci B a pomocí Ampérova zákona vypočtěte velikost elektrického proudu tekoucího ve směru kolmém ke čtverci o délce strany 0,5 m. Čtverec leží v prvním kvadrantu roviny xy a má jeden z vrcholů v počátku soustavy souřadnic, (c) Teče tento proud ve směru jednotkového vektoru +k, nebo —Ar? ODST. 30.4 Solenoid a toroid 53C. Solenoid s 200 závity má délku 25 cm, průměr 1,0 cm a protéká jím proud 0,30 A. Vypočtěte velikost magnetické indukce B v dutině solenoidu. 54C. Solenoid dlouhý 95,0 cm má poloměr 2,00 cm a jeho 1 200 závity protéká proud 3,60 A. Určete velikost magnetické indukce B v dutině solenoidu. 55C. Solenoidem o délce 1,30 m a průměru 2,60 cm protéká proud 18,0 A. Magnetická indukce uvnitř tohoto solenoidu je 23,0 mT. Vypočtěte délku vodiče, z něhož je solenoid navinut. 56C. Toroid byl vytvořen stočením solenoidu (s 500 čtvercovými závity o délce strany 5 cm) do prstence s vnitřním průměrem 50 cm. Určete magnetickou indukci uvnitř toroidu v bodech (a) těsně nad vnitřním poloměrem, (b) těsně pod vnějším poloměrem (je větší o 5,00 cm), jestliže jím protéká proud 0,800 A. 57C. Dokažte, že v případě, kdy tloušťka toroidu je velmi malá ve srovnání s jeho poloměrem (velmi tenký toroid), přechází rov. (30.26) pro magnetickou indukci uvnitř toroidu na rov. (30.25) pro magnetickou indukci uvnitř solenoidu. Objasněte, proč se tento výsledek dá očekávat. 796 KAPITOLA 30 MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU 58Ú. Považujte ideální solenoid za tenký válec, po jehož plášti krouží kolem jeho osy proud o velikosti X na jednotku délky osy. Dokažte, že velikost magnetické indukce uvnitř takového solenoidu je vyjádřena vztahem B = u,oX. To je zároveň velikost změny indukce B při přechodu z vnitřku solenoidu ven přes jeho stěnu (vně ideálního solenoidu je magnetická indukce nulová). Ukažte, že se stejnou změnou indukce se setkáte při průchodu skrz nekonečně velkou desku protékanou proudem podle obr. 30.65. Překvapila vás ta shoda? 59Ú. V čl. 30.4 jsme odvodili, že velikost magnetické indukce uvnitř toroidu závisí na vzdálenosti r od jeho osy (obr. 30.21) vztahem B _ MIN 2nr Dokažte, že při přechodu přes vnější plášť toroidu bude velikost změny indukce B rovna právě i^oX, nezávisle na r. (Délková hustota X elektrického proudu má týž význam jako v úloze 58.) Srovnejte tento výsledek s tím, který jsme získali v úloze 58. Není ta shoda překvapující? 60Ú. Dlouhým solenoidem s hustotou 10,0 závitů na centimetr a poloměrem 7,00 cm protéká proud 20,0 mA. Přímým vodičem ležícím v ose solenoidu protéká proud 6,00 A. (a) V jaké vzdálenosti od osy bude svírat vektor výsledné magnetické indukce úhel 45° s osou vodiče? (b) Jaká je v tomto místě velikost magnetické indukce? 61Ú. Dlouhým solenoidem s hustotou 100 závitů na centimetr protéká proud /. Elektron se pohybuje uvnitř solenoidu po kružnici o poloměru 2,30 cm kolmo na osu solenoidu. Rychlost elektronu je 0,0460c (c je rychlost svěda). Určete velikost elektrického proudu tekoucího solenoidem. ODST. 30.5 Cívka jako magnetický dipól 62C. Jaký je magnetický dipólový moment p solenoidu popsaného ve cvič. 53? 63C. Na obr. 30.66 je vodič, kterým protéká proud /. Vodič je jednou stočen do tvaru kruhové smyčky Ci (cívka s jedním závitem), podruhé tvoří cívku C2 se dvěma závity o polovičním poloměru, než má smyčka Ci. (a) Vypočtěte poměr B2/B1, jsou-li B\ a Bi velikosti magnetické indukce ve středech obou cívek, (b) Jaký je poměr dipólových momentů 0-2/fii obou cívek? Obr. 30.66 Cvičení 63 64C. Na obr. 30.67j sou Helmholtzovy cívky. Skládají se ze dvou kruhových souosých cívek, z nichž každá má N závitů a poloměr R. Obě cívky jsou ve vzdálenosti R od sebe a každou z nich protéká proud / v temže směru. Určete velikost celkové magnetické indukce v bodě P ležícím na ose cívek uprostřed mezi nimi. y A 1 \ ■f\ 1 U p \J lí t h—R—H Obr. 30.67 Cvičení 64 a úlohy 68 a 72 65C. Student si vyrobil elektromagnet navinutím 300 závitů vodiče kolem dřevěného válce o průměru d = 5,0 cm. Cívka je připojena k baterii, která jí dodává elektrický proud 4,0 A. (a) Určete velikost magnetického momentu cívky, (b) V jaké vzdálenosti z » d na ose cívky bude mít magnetická indukce tohoto dipólu velikost 5,0 [iT (což je přibližně desetina velikosti magnetické indukce zemského pole)? 66C. Velikost B(x) magnetické indukce v bodech na ose čtvercové proudové smyčky o straně a byla vypočtena v úloze 21. (a) Ukažte, že magnetické pole této smyčky je na její ose pro x » a stejné jako pro magnetický dipól (rov. (30.29)). (b) Jaká je velikost magnetického dipólu této smyčky? 67Ú. Smyčka má tvar podle obr. 30.68 a protéká jí elektrický proud /. (a) Určete magnetickou indukci B v bodě P. (b) Určete magnetický dipólový moment smyčky. Obr. 30.68 Úloha 67 68Ú. Dvěma cívkami (obr. 30.67), z nichž každá má 300 závitů a poloměr R, protéká elektrický proud /. Cívky jsou ve vzdálenosti R. Vyneste závislost velikosti magnetické indukce B(x) na vzdálenosti x od bodu P na společné ose pro — R = x = R. Zvolte R = 5,0 cm a / = 50 A. (Cívky takové konstrukce vytvářejí homogenní magnetické pole v okolí bodu P.) (Tip: Vyjděte z rov. (30.28).) 69Ú. Kruhovou smyčkou o polomem 12 cm protéká proud 15 A. Cívkou s ní soustřednou o poloměru 0,82 cm s 50 závity protéká proud 1,3 A. (a) Jakou magnetickou indukci B vytváří samotná smyčka ve svém středu? (b) Jaký moment síly působí na cívku? Předpokládejte, že roviny smyčky i závitů cívky jsou rovnoběžné a že magnetické pole smyčky je přibližně homogenní v celém objemu cívky. CVIČENÍ & ÚLOHY 797 70Ú. (a) Dlouhý izolovaný vodič je stočen podle obr. 30.69. Poloměr kruhové částí je R. Určete velikost a směr magnetické indukce B ve středu 5 kruhové části, protéká-li vodičem elektrický proud / v naznačeném směru, (b) Předpokládejte, že kruhová část vodiče se otočí kolem čárkovaně vyznačeného průměru do polohy, ve které je rovina kruhu kolmá na přímkovou část vodiče. Magnetický dipólový moment příslušný kruhové části (smyčce) vodiče má nyní stejný směr jako proud, který teče v přímé části vodiče. Určete v tomto případě magnetickou indukci B v bodě S. Obr. 30.69 Úloha 70 71Ú. Obvod, kterým protéká elektrický proud 6,0 A, je tvořen uzavřenou smyčkou ABCDEFGHA zahrnující 8 z 12 hran krychle (délka jedné hrany je lOcm, obr. 30.70). (a) Obvod můžeme nahradit třemi následujícími smyčkami ve tvaru čtverce: BCFGB, ABGHA a CDEFC. Proč? (Tip: Zakreslete proudy, které jimi tekou.) (b) Využijte toho k určení magnetického dipólového momentu p (velikost i směr) původní smyčky ABCDEFGHA. (c) Vypočtěte magnetickou indukci B v bodech P(x, y, z) = (0,0; 5,0; 0,0) a (5,0; 0,0; 0,0). (Souřadnice jsou v metrech.) Obr. 30.70 Úloha 71 72Ú. Předpokládejte, že u Helmholtzových cívek na obr. 30.67 není vzdálenost mezi cívkami konstantní, ale proměnná (např. s). (a) Ukažte, že první derivace magnetické indukce (dB/dx) je v bodě P rovna nule bez ohledu na hodnotu s. Jak to plyne ze symetrie úlohy? (b) Ukažte, že druhá derivace (d2B/dx2) bude v bodě P též rovna nule pro s = R. PRO POČÍTAČ 73Ú. Kruhovým závitem o poloměru R teče proud I. V bodech na ose závitu je magnetická indukce B s touto osou rovnoběžná a má podle rov. (30.28) velikost kde z je vzdálenost od středu závitu. Solenoid můžeme modelovat velkým počtem kruhových závitů, které mají stejný poloměr, společnou osu a protéká jimi stejný elektrický proud. Předpokládejte, že solenoid má délku 25,0 cm, poloměr 1,00 cm a skládá se z N stejně od sebe vzdálených závitů. Každým z nich protéká proud 1,00 A. Pro (a) N = 11, (b) N = 21 a (c) N = 51 vypočtěte velikost magnetické indukce ve středu solenoidu sečtením indukcí polí, vytvořených jednotlivými závity. Pro každou hodnotu N srovnejte výsledek s hodnotou nalezenou použitím rov. (30.25), která platí pro dlouhý solenoid s velkým počtem těsně u sebe navinutých závitů. 74Ú. Užitím počítače lze ověřit Ampérův zákon pro situaci, ve které Ampérova křivka nesplývá s indukčními čarami magnetického pole. Předpokládejte, že střed čtverce se stranou a je umístěn do počátku soustavy souřadnic tak, že jeho strany jsou rovnoběžné s osami x a y. Dlouhý přímý vodič, kterým protéká elektrický proud I, je kolmý k rovině čtverce a protíná osu x v bodě o souřadnici x'. Určete integrál § B-ds numericky. Rozdělte stranu čtverce na N úseků o stejné délce Aí a pro každý takový úsek určete hodnotu výrazu B ■ u As, kde B je magnetická indukce pole ve středu úseku a u je jednotkový vektor rovnoběžný s úsekem a se směrem souhlasným s orientací smyčky. Pro různé úseky může u nabývat hodnot ij, —i, nebo —j. Magnetická indukce v bodě se souřadnicemi x a y je vyjádřena vztahem B fi0I[-yi +(x- x')J] 2k[(x - x')2 + y2] ' B(z) = (loIR2 2(R2+z2)3'2' Pro strany čtverce, které jsou rovnoběžné s osou x, položte y = = a/2 nebo —a/2; pro strany, které jsou rovnoběžné s osou y položte x = a/2 nebo —a/2. Dosadíte délku strany čtverce a = = 1,00 m, elektrický proud / = 1,00 A a pro každý následující případ vypočtěte součet přes všechny úseky pro každou stranu čtverce zvlášť. Sečtením potom získáte výsledek pro celý čtverec. Výsledek porovnejte s hodnotou fioh, kde 7C je proud tekoucí plochou čtverce. Hodnota N = 50 by měla dát výsledek na tři platné číslice. Počítejte pro (a) x' = 0 (vodič je ve středu čtverce), (b) x' = 0,200 m (vodič prochází vnitřkem čtverce bodem mimo jeho střed), (c) x' = 0,400 m (vodič prochází čtvercem blízko středu jeho strany) a (d)x' = 0,600 m (vodič je mimo čtverec). 75Ú. Dva dlouhé vodiče jsou rovnoběžné s osou z soustavy souřadnic. Rovinu xy protínají ve dvou bodech ležících na ose x: první vodič v bodě x = a (protéká jím proud h v kladném směru osy z) a druhý vodič v bodě x = 0 (protéká jím proud h, který může měnit jak svou velikost, tak i směr). Elektrický proud pokládejme za kladný, teče-li v kladném směru osy z, a za záporný, teče-li opačně, (a) Napište vztah, který určuje výslednou magnetickou indukci B na ose x pro x > a. (b) Přepište tento vztah pro x = 2a po substituci h = bl\, kde b je proměnná, (c) Na základě tohoto nového vztahu vyneste závislost složky By indukce na b v intervalu — 3 ^ b ^ 3. Když v polovině padesátých let začal rock, vyměnili záhy kytaristé své akustické nástroje za elektrické. Jimi Hendrix jako první z nich pojal elektrickou kytaru jako elektronický nástroj. Zářil na scéně šedesátých let technikou rozezvučováni nástroje, polohou kytary u mikrofonu udržoval zpětnou vazbu, aby ji pak ve vrcholu ztlumil. Jeho myšlenky ovlivňují rock dodnes. Co ale vlastně natolik odlišuje elektrickou kytaru od akustické, že Hendrix mohl tak vynalézavě užívat tento elektronický nástroj? 31.3 FARADAYŮV ZÁKON ELEKTROMAGNETICKÉ INDUKCE 799 31.1 DVĚ SYMETRICKÉ SITUACE Pustíme-li proud do vodivé smyčky v magnetickém poli, bude na ni magnetické pole působit momentem síly, přičemž platí: proudová smyčka + magnetické pole =>• =>■ moment síly; (31.1) to jsme zjistili v čl. 29.8. A co když naopak vypneme proud a budeme otáčet smyčkou ručně: obrátí se šipka ve vztahu (31.1)? Objeví se nyní ve smyčce proud? Odpověď je kladná: moment síly + magnetické pole => =>■ elektrický proud. (31.2) Souvislosti vyjádřené vztahy (31.1) a (31.2) jsou symetrické. Fyzikální zákon vyjadřující proces (31.2) se nazývá Fa-radayův zákon elektromagnetické indukce. Zatímco podle procesu (31.1) pracuje elektrický motor, je proces (31.2) základem činnosti elektrického generátoru. Faradayovým zákonem a jeho důsledky se budeme zabývat v následující kapitole. 31.2 DVA POKUSY Zkoumejme dva jednoduché pokusy jako přípravu k výkladu Faradayova zákona elektromagnetické indukce. První pokus. Obr. 31.1 ukazuje vodivou smyčku připojenou k citlivému měřidlu elektrického proudu. Obvodem neteče žádný proud, protože v něm není zapojena Obr. 31.1 Měřidlo proudu (ampérmetr) ukazuje proud ve smyčce, dokud se magnet vůči smyčce pohybuje. baterie ani jiný zdroj elektromotorického napětí. Pokud se však přibližujeme tyčovým magnetem ke smyčce, v obvodu se proud objeví. Proud zanikne, když se magnet zastaví. Vzdaluj eme-U se magnetem od smyčky, proud opět obvodem protéká, ale tentokrát v opačném směru. Ve smyčce vzniká proud také tehdy, pohybujeme-li smyčkou vzhledem k magnetu. Po chvíli experimentování můžeme učinit tyto závěry: 1. Vznik proudu je vázán na relativní pohyb mezi smyčkou a magnetem (jedno se musí pohybovat vůči druhému); proud zanikne, ustane-li relativní pohyb. 2. Rychlejší pohyb způsobí větší proud. 3. Způsobuj e-li pohyb severního pólu magnetu směrem ke smyčce proud v jednom směru, potom pohyb od smyčky způsobuje proud ve směru opačném. Pohyb jižního pólu magnetu též vytváří proud, a to vždy ve směrech opačných, než tomu bylo u pohybu pólu severního. Proud vytvořený ve smyčce tímto způsobem se nazývá indukovaný proud, práce připadající na jednotkový náboj při vytváření tohoto proudu se nazývá indukované emn a tento proces vytvoření proudu se nazývá elektromagnetická indukce. Druhý pokus. K tomuto pokusu použijeme aparaturu znázorněnou na obr. 31.2. Skládá se ze dvou smyček, které jsou blízko sebe, ale nedotýkají se. Zapneme-li spínačem S proud ve smyčce na pravé straně, pak měřidlo na levé straně náhle a krátce zaznamená proud — indukovaný proud. Vy-pneme-li spínačem proud, měřidlo v levé smyčce opět na krátký čas zaznamená proud, tentokrát v obráceném směru. Indukovaný proud (a tedy také emn) opět vzniká pouze tehdy, když se proud v pravé části mění (buď při zapnutí, nebo vypnutí), nikoliv ale v případech, kdy je proud budící magnetické pole stálý, i kdyby dosahoval jakkoli vysokých hodnot. Obr. 31.2 Měřidlo proudu ukazuje proud v levé smyčce jednak po zapnutí proudu spínačem v pravé smyčce, jednak po následném vypnutí proudu. Smyčky se nepohybují. Indukované emn a indukovaný proud v těchto pokusech zřejmě vznikají tehdy, když se něco mění. Co ale je ono „něco"? Faraday to poznal jako první. 31.3 FARADAYŮV ZÁKON ELEKTROMAGNETICKÉ INDUKCE Faraday přišel na to, že emn a proud mohou být ve smyčce indukovány (tak jako tomu bylo v našich dvou pokusech) měnícím se magnetickým polem procházejícím smyčkou. Dále přišel na to, že magnetické pole lze znázornit pomocí 800 KAPITOLA 31 ELEKTROMAGNETICKÁ INDUKCE magnetických indukčních čar procházejících smyčkou. Fa-radayův zákon elektromagnetické indukce, vyjádřený na základě našich pokusů, zní: Ve smyčce znázorněné na obr. 31.1 a 31.2 se indukuje emn, když se mění počet indukčních čar procházejících plochou smyčky. Velmi důležité je, že nezáleží na počtu indukčních čar procházejících plochou* smyčky; velikost emn a indukovaného proudu závisí na rychlosti změny tohoto počtu. V našem prvním pokusu (obr. 31.1) vycházejí indukční čáry ze severního pólu magnetu. Když tedy přibližujeme severní pól ke smyčce, roste počet indukčních čar procházejících smyčkou. Tímto nárůstem se zjevně vyvolá pohyb vodivostních elektronů ve smyčce (indukovaný proud) a poskytuje se energie (indukované emn) k jejich pohybu. Zastaví-li se magnet, nemění se počet indukčních čar procházejících smyčkou a indukovaný proud i indukované napětí zaniknou. Pokud je v našem druhém pokusu (obr. 31.2) spínač vypnut, pak neteče elektrický proud, není žádné magnetické pole a tedy ani žádné indukční čáry. Když však zapojíme elektrický proud do pravé smyčky, vytvoří vzrůstající elektrický proud kolem ní, a tedy i v okolí levé smyčky, rostoucí magnetické pole. Tak jako v prvním pokusu i zde pole narůstá, tedy indukčních čar přibývá a v levé smyčce se indukuje emn, které v ní vyvolá proud. Dosáhne-li proud v pravé smyčce ustálené hodnoty, přestane se již měnit počet indukčních čar procházejících plochou levé smyčky a indukované emn i indukovaný proud v ní vymizí. Kvantitativní pojednání Abychom mohli Faradayova zákona užívat k výpočtům, potřebujeme stanovit vhodnou míru magnetického pole procházejícího smyčkou. V čl. 24.3 jsme v podobné situaci ke stanovení míry elektrického pole procházejícího plochou definovali tok elektrické intenzity &e =f#>E' dS. Nyní definujeme magnetický tok. Uvažujme orientovanou smyčku ohraničující plochu 5?, vloženou do magnetického pole B. Magnetický indukční tok smyčkou pak je: L B-dS (magnetický tok plochou J?). (31.3) Tak jako v kap. 24 značí dS vektor o velikosti dS, který je kolmý kplošce; jeho směr je svázán s orientací smyčky pravidlem pravé ruky. (Ohneme-li prsty pravé ruky ve směru orientované křivky, která obepíná plošku dS? a jejíž orientace je v souladu s orientací celé smyčky <€, pak vztyčený palec ukazuje směr dS.) Jako zvláštní případ uvažujme smyčku ležící v rovině kolmé k homogennímu magnetickému poli. Orientujeme-li dS souhlasně s B, je skalární součin v rov. (31.3) roven B dS cos 0° = B dS. Protože magnetické poleje homogenní, lze B vytknout před integrál. Integrál / dS potom udává obsah 5 rovinné plochy ohraničené smyčkou. Rov. (31.3) se tak redukuje na vztah b,í = BiS : (4,15-10-2T)(3,46-10_4m2) = 1.44-10-5 Wb = 14,4 nWb. Koncové magnetické pole Bf a magnetický indukční tok <^bat> je výsledné emn gyýS orientováno ve směru otáčení hodinových ručiček a stejným směrem teče i proud. Jeho velikost v čase t = 10 s určíme pomocí rov. (28.2) (7 = g/R): I = ■^výs _ ~Ř~ ~ 1,58 A: (5,152 V) - (2,0 V) 7? 1,6A. (2,0 Q.) (Odpověď) PŘIKLAD 31.3 Obr. 31.9 ukazuje pravoúhlou vodivou smyčku v nehomogenním časově proměnném magnetickém poli B(x, t) vstupujícím kolmo do stránky od nás. Velikost pole je dána vztahem B = 4t2x2, kde B, t, x jsou v jednotkách SI. Smyčka má šířku d = 3,0 m a výšku h = 2,0 m. Jaká je velikost a směr emn indukovaného podél smyčky v čase t = 0,10 s? 804 KAPITOLA 31 ELEKTROMAGNETICKÁ INDUKCE ŘEŠENÍ: Velikost indukovaného emn plyne z Faradayova zákona: 3 = dá>e/dí. K výpočtu potřebujeme znát tok b = = BS), ale musíme užít rov. (31.3) (&B = f B- dS). Na obr. 31.9 je vektor B kolmý k rovině smyčky (a tedy rovnoběžné s vektorem plošného elementu dS). Vektor dS orientujeme souhlasně s vektorem B. Potom skalární součin v rov. (31.3) je roven B dS. Protože se magnetické pole mění podél souřadnice x a nikoliv podél souřadnice y, můžeme jako element plochy vzít plochu svislého proužku výšky h a šířky dx (jak ukazuje obr. 31.9). Potom dS = h dx a tok smyčkou je &B= j B-dS = J BdS = Bhdx = ľ = / 4t2x2hdx (v SI). Jo Při této integraci bereme t jako konstantu. Po dosazení integračních mezí dostáváme <řB = 4t2h J x2dx= 4t2h y—J = (72ř2), kde <&b je ve Weberech. Nyní můžeme užít Faradayův zákon ke zjištění velikostí 3 v závislosti na čase dB = BS = BLx. (31.9) Zmenšuje-li se x, zmenšuje se tok. Podle Faradayova zákona se při tomto zmenšování toku indukuje ve smyčce emn. Dosadíme-li z rov. (31.9) do (31.6), dostaneme d&it d dx s =--- =--(BLx) = -BL— = BLv, (31.10) dt dt dt kde velikost v rychlosti, s níž vytahujeme smyčku z magnetického pole, je rovna — dx/dt, protože x(t) se s časem zmenšuje. Obr. 31.11 ukazuje obvod, jímž indukovaný proud teče: emn s je znázorněno na levé straně, celkový odpor R smyčky je znázorněn na straně pravé. Směr indukovaného proudu plyne z Lenzova zákona; magnetické pole jím vytvořené brání poklesu magnetického toku. Obr. 31.11 Schéma obvodu na obr. 31.10 pro případ pohybující se smyčky. Velikost indukovaného proudu nemůžeme najít pomocí Kirchhoffova zákona pro napětí podél smyčky, protože pro indukované emn nemůžeme definovat potenciál, jak uvidíme v čl. 31.6. Můžeme však užít vztahu / = s ir, jako jsme to udělali v př. 31.2. Pomocí rov. (31.10) dostáváme / = BLv ~Ř~' (31.11) Tři části proudem protékané smyčky leží v magnetickém poli. Na každou z nich působí síla podle rov. (29.26): F=ILxB. (31.12) Tyto síly jsou v obr. 31.10 značeny F\,Fi& F3. Všimněte si, že díky symetrii jsou síly F2 a F3 sobě rovny co do velikosti a vzájemně se ruší. Zůstává pouze síla Fi namířená proti síle F, tj. proti síle, kterou táhneme smyčku. Posunujeme-li smyčku bez zrychlení, musí platit F = —Fi. Použijeme-li rov. (31.12) a uvážíme-li, že úhel mezi B a vektorem L délky L levé strany obdélníka je 90°, můžeme psát F = Fi = ILB sin 90° = ILB. (31.13) Dosazením rov. (31.11) do (31.13) dostaneme B2L2v F =-. R (31.14) Hodnoty B, Li R jsou konstantní. Protože velikost v rychlosti pohybu smyčky je také konstantní, musíme smyčku táhnout silou stálé velikosti F, a to jsme chtěli dokázat. Dosazením rov. (31.14) do rov. (31.8) dostaneme výkon potřebný pro vytahování smyčky z magnetického pole: B2L2v2 P = vF =- (výkon). R (31.15) K dokončení naší úvahy určíme, s jakým výkonem se ve smyčce vyvíjí Joulovo teplo, když ji vytahujeme stálou rychlostí. To vypočteme z rov. (27.22), P = I2R. (31.16) Dosazením za / z rov. (31.11) dostáváme ÍBLv\2 B2L2v2 P = í — J R = R (tepelný výkon), (31.17) což je přesně rovno výkonu vnější síly při vytahování smyčky podle rov. (31.15). Práce vynaložená při vytahování smyčky se tedy projeví nárůstem vnitřní energie smyčky a tím i zvýšením její teploty. 806 KAPITOLA 31 ELEKTROMAGNETICKÁ INDUKCE Při vaření na indukčních kamnech je cívka, umístěná přímo pod varnou plochou, napájena vysokofrekvenčním střídavým proudem. Magnetické pole vytvořené tímto proudem se periodicky mění a indukuje proud ve vodivé pánvi. Protože má materiál pánve nenulový odpor, vyvíjí se v ní teplo a tím dochází k ohřevu jídla, které se na ní připravuje. Sama varná plocha se přitom nezahřívá. Vířivé proudy Představme si, že nahradíme vodivou smyčku na obr. 31.10 tuhou vodivou deskou. Vytahuj eme-U desku z magnetického pole tak, jako jsme vytahovali smyčku (obr. 31.12a), (a) (b) Obr. 31.12 (a) Vytahujeme-]i pevnou vodivou desku z magnetického pole, indukují se v ní vířivé proudy. Na obrázku je uzavřená křivka charakterizující vířivý proud; ten obíhá ve směru otáčení hodinových ručiček, stejně jako proud ve smyčce na obr. 31.10. (b) Vodivá deska se kývá kolem čepu jako kyvadlo, přičemž vstupuje do magnetického pole. Vířivé proudy se indukují během každého vstupu do magnetického pole i výstupu z něj a dumí pohyb kyvadla. opět se v desce indukuje proud. Opět tedy přemáháme sílu a konáme práci. Vodivostní elektrony tvořící indukovaný proud v desce se však nyní nepohybují po jediné dráze jako v případě smyčky, ale krouží jako voda ve vířivé pračce. Takový elektrický proud se nazývá vířivý. Zobrazujeme ho obvykle schematicky tak, jako kdyby sledoval jedinou dráhu, např. na obr. 31.12a. Tak jako v případě vodivé smyčky na obr. 31.10 vede indukování proudu v desce k přeměně mechanické energie v energii chaotického pohybu atomů desky. Tato disipace energie je patrnější v uspořádání na obr. 31.12b: vodivá deska, otáčivá kolem vodorovné osy jako kyvadlo, prochází magnetickým polem. Vždy během vstupu do pole a výstupu z něj se část mechanické energie kyvadla disipuje. Po několika kmitech mechanická energie klesne na nulu, deska se přestane kývat a zastaví se v dolní rovnovážné poloze. PŘIKLAD 31.4 Obr. 31.13a ukazuje pravoúhlou vodivou smyčku o odporu R, šířce L a délce b, kterou táhneme konstantní rychlostí v přes oblast o šířce d, v níž je elektromagnetem vytvořeno homogenní magnetické pole o indukci B. Nechť L = 40 mm, b = lOcm, R = 1,6Í2, B = 2,0Tai; = l,0m-s_1. (c) (ď) 80 s 40 1 0 i -40 -80 v s směn i otáčel ú hodí lových ručiče í p oti sm ;ru otá i iení hodinový i :h ručiček i i i i a. 0 cívka cívka .cívka, mrmoi vstupuje luvnitri vystupuje imimo 0 10 15 20 25 -|-x (cm) Obr. 31.13 Příklad 31.4. (a) Uzavřená vodivá smyčka je protahována stálou rychlostí magnetickým polem, (b) Indukční tok smyčkou jako funkce polohy x pravé strany smyčky, (c) Indukované emn jako funkce x. (d) Výkon, s nímž vzniká Joulovo teplo ve smyčce jako funkce x. (a) Nakreslete závislost toku 0b smyčkou na poloze x pravé strany smyčky. 31.6 INDUKOVANÉ ELEKTRICKÉ POLE 807 ŘEŠENÍ: Není-li smyčka v poli, je magnetický tok smyčkou nulový. Je-li smyčka zcela v magnetickém poli, je tok smyčkou roven BLb = 8 mWb. Vstupuje-li smyčka do poleje tok roven BLxa vystupuje-li pak z něj, je roven BL(b—(x—ď)). Výsledky jsou vyneseny na obr. 31.13b; ověřte je. (b) Nakreslete závislost indukovaného emn na poloze smyčky. Vyznačte směr indukovaného emn. ŘEŠENÍ: Podle rov. (31.6) je indukované emn rovno dt d$B dx dx dt dx kde d&B /dx je směrnice tečny ke křivce na obr. 31.13b. Na obr. 31.13c je emn vyneseno jako funkce x. Vstupuje-li smyčka do pole (obr. 31.13a), teče indukovaný proud podle Lenzova zákona proti směru otáčení hodinových ručiček; při výstupu z pole má proud směr opačný. Na obr. 31.13c jsme emn přiřadili kladnou hodnotu polohám, v nichž indukovaný proud teče ve směru otáčení hodinových ručiček. Žádné emn se neindukuje, je-li smyčka buď zcela mimo pole, nebo zcela uvnitř pole, protože v obou těchto případech se magnetický indukční tok smyčkou nemění. (c) Vyneste do grafu výkon, s nímž se ve smyčce vyvíjí Jou-lovo teplo, jako funkci polohy smyčky. ŘEŠENÍ: Dosazením / = S/R do rov. (31.16) dostáváme výkon r, S2 P = I2R = —. R Tak z obr. 31.13c odvodíme obr. 31.13d. Všimněme si, že se teplo vyvíjí jen tehdy, když smyčka vstupuje do magnetického pole nebo z něj vystupuje. V praxi nemá magnetické pole B ostrou hranici, kde by náhle kleslo na nulu, ale blíží se k nule spojitě a hladce. Na křivkách vynesených na obr. 31.13 by tedy byly rohy zaobleny. j^ONTROLA 3: Obrázek ukazuje čtyři vodivé smyčky s délkami stran L nebo 2L. Všechny smyčky budou vnikat stejnou stálou rychlostí do oblasti homogenního magnetického pole B (vystupujícího kolmo ze stránky). Seřadíte tyto čtyři smyčky podle velikosti emn, indukovaného během vstupu do pole, největší uvedte jako první. □ 31.6 INDUKOVANÉ ELEKTRICKÉ POLE Umístěme měděný prstenec o poloměru r do homogenního magnetického pole, které vyplňuje válcový objem o poloměru R (obr. 31.14a). Předpokládejme, že rovnoměrně zvětšujeme magnetickou indukci pole, např. zvětšováním proudu ve vinutí elektromagnetu, jímž pole vytváříme. Magnetický indukční tok prstencem potom rovnoměrně poroste a podle Faradayova zákona vzniká v prstenci indukované emn a tím i indukovaný proud. Z Lenzova zákona plyne, že indukovaný proud / na obr. 31.14a směřuje proti směru otáčení hodinových ručiček. měděný kruhová -prstenec dráha \x x cx xx (*) elektrické siločáry (c) (ď) Obr. 31.14 (a) Narůstá-li magnetické pole s časem rovnoměrně, indukuje se v měděném prstenci o poloměru r stálý proud, (b) Elektrické pole se v prostoru indukuje, i když je prstenec odstraněn, (c) Úplný obraz indukovaného elektrického pole zobrazeného siločárami, (d) Čtyři stejné uzavřené křivky ohraničují plochy o stejném obsahu. V křivkách 1 a 2 ležících zcela v oblasti měnícího se magnetického pole se indukuje stejné emn. Menší emn se indukuje podél křivky 3, která leží v této oblasti jen zčásti. Žádné emn se neindukuje podél křivky 4, která leží zcela mimo magnetické pole. Teče-li měděným prstencem proud, musí být podél prstence elektrické pole, které zajistí pohyb vodivostních elektronů. Toto indukované elektrické pole E je zřejmě vyvoláno měnícím se magnetickým indukčním tokem a je právě tak reálné jako elektrické pole vytvořené statickými náboji. Obě pole působí silou QqE na částici o náboji Qq. Tato úvaha nás přivádí k užitečnému a poučnému přeformulování Faradayova zákona elektromagnetické indukce: 808 KAPITOLA 31 ELEKTROMAGNETICKÁ INDUKCE Měnící se magnetické pole vytváří pole elektrické. Pozoruhodné je, že podle této formulace se elektrické pole indukuje i tehdy, když v něm žádný měděný prstenec není. K upevnění těchto poznatků uvažujme obr. 31.14b, který j e shodný s obr. 31.14ajens tím rozdílem, že měděný prstenec je nahrazen myšlenou kružnicí o poloměru r. Předpokládáme opět, že velikost magnetického pole B vzrůstá stálou rychlostí dB/dt. Intenzita E elektrického pole indukovaného v různých bodech podél kružnice musí — z důvodů symetrie — ležet v tečně* ke kružnici, jak ukazuje obr. 31.14b. Tato kružnice je tedy také siločárou. Zvolený poloměr r není ničím zvláštní, takže elektrické siločáry pole vyvolaného proměnným magnetickým polem vytvářejí zřejmě svazek soustředných kružnic jako na obr. 31.14c. Pokud magnetické pole s časem vzrůstá, trvá elektrické pole zobrazené kruhovými siločarami. Je-li však magnetické pole v čase neproměnné, nevzniká žádné indukované elektrické pole (na obrázku by žádné elektrické siločáry nebyly). Naopak, jestliže se magnetické pole s časem zmenšuje, vzniká elektrické pole, jehož siločáry jsou opět soustřednými kružnicemi jako na obr. 31.14c, ale nyní mají opačný směr. To vše máme na mysli, když říkáme, že měnícím se magnetickým polem se vytváří elektrické pole. Přeformulování Faradayova zákona Uvažujme částici o (kladném) náboji Qo pohybující se po kružnici podle obr. 31.14b. Práce na náboji Qo vykonaná indukovaným elektrickým polem při jednom oběhu je W = Qo&, kde s je indukované emn představující práci připadající na jednotkový náboj, který se pohybuje po této dráze. Obecně lze tuto práci vyjádřit vztahem W = j>F-ás= (QQE)(2izr). (31.18) (Kroužek značí, že integrál bereme po uzavřené křivce; připomeňme, že jde o cirkulaci vektoru F.) Zde QoE je velikost síly působící na náboj Qo a 2nr je dráha, na níž tato síla působí. Porovnáním obou výrazů pro W dostáváme ď = 2nrE. (31.19) * Symetrie úlohy nevylučuje, že by siločáry pole £ mohly mít podél kružnice radiálni směr a nikoliv tečný. Takové radiální siločáry by však znamenaly, že kolem osy symetrie jsou symetricky rozloženy volné náboje, na nichž siločáry začínají nebo končí; zde však žádné takové náboje nejsou. Rov. (31.18) můžeme zobecnit pro libovolnou uzavřenou dráhu: W = j>F-ás=Qoj>Eás. (31.20) Dosazením ďQo za W získáme vztah ď=(j)Eds. (31.21) Pomocí rov. (31.21) můžeme rozšířit fyzikální význam emn. Dosud jsme spojovali emn s prací, kterou bylo nutno dodat k zajištění pohybu náboje, ať už samostatného anebo tvořícího elektrický proud. Rov. (31.21) však umožňuje zavést indukované emn, aniž bychom k tomu potřebovali elektrický proud nebo částici. Indukované emn je součet— vyjádřený integrací — veličin E ■ ds podél orientované uzavřené křivky, kde E je intenzita elektrického pole indukovaného měnícím se magnetickým indukčním tokem a ds je vektor infinitezimálního délkového elementu uzavřené dráhy. Dosadíme-li (31.21) do rov. (31.6) (ď = -d<řB/dr), dostáváme Faradayův zákon ve tvaru / d0B (t E ■ ds =--(Faradayův zákon). (31.22) / dř Tato rovnice vyjadřuje, že měnícím se magnetickým polem je indukováno elektrické pole. Měnící se magnetický tok vystupuje na pravé straně této rovnice, cirkulace elektrického pole na levé. Faradayův zákon ve tvaru rov. (31.22) můžeme použít na jakoukoli uzavřenou křivku, kterou vedeme měnícím se magnetickým polem. Obr. 31.14d například ukazuje čtyři stejné křivky, které jsou různě umístěny v měnícím se poli. Podél křivek 1 a 2 se indukuje stejné emn (§ = § E ■ ds), protože obě zcela leží v magnetickém poli a odpovídá jim tedy stejná hodnota d^g/dř. Tak je tomu, i když je průběh elektrického pole podél těchto křivek rozdílný, jak je patrno z průběhu elektrických siločar. V křivce 3 se indukuje emn menší, protože jí prochází menší tok 0 b, a proto je menší i d0B/dt. Pro křivku 4 je indukované emn nulové, i když je elektrické pole ve všech bodech křivky nenulové. Jiný pohled na elektrický potenciál Indukovaná elektrická pole nejsou vytvářena statickými elektrickými náboji, ale měnícím se magnetickým polem. Ačkoli elektrická pole vytvořená jedním i druhým způsobem působí na nabité částice úplně stejně, existuje mezi nimi významný rozdíl. Patrný projev tohoto rozdílu je, že siločáry indukovaných elektrických polí vytvářejí uzavřené 31.6 INDUKOVANÉ ELEKTRICKÉ POLE 809 křivky jako na obr. 31.14c, zatímco siločáry vytvořené statickými náboji vždy začínají na kladných nábojích a končí na záporných. Rozdíl mezi elektrickým polem vytvořeným elektromagnetickou indukcí a polem statických nábojů můžeme vyjádřit těmito slovy: Elektrický potenciál má smysl jen pro pole statických nábojů. Nelze ho zavést pro elektrická pole vzniklá elektromagnetickou indukcí. Kvalitativně můžeme porozumět tomuto výroku, když uvážíme, co se stane s částicí s jednotkovým nábojem po jednom oběhu kruhové dráhy (obr. 31.14b). Částice vyšla z určitého bodu a vrátila se do něj; během cesty na ni působila síla, která vykonala práci odpovídající emn, řekněme, s = 5 V. Její potenciál by byl musel vzrůst o tuto hodnotu. To však není možné, protože by týž bod v prostoru musel mít dvě rozdílné hodnoty potenciálu. Docházíme k závěru, že pro elektrická pole vyvolaná měnícím se magnetickým polem nelze zavést potenciál jednoznačně. Matematický náhled získáme, vzpomeneme-li si na rov. (25.18) definující potenciální rozdíl mezi počátečním (i) a koncovým (f) bodem: E-ds = j>Eds = Eds = dB = 5Scosl80° = -B(nr2). (31.26) Dosazením tohoto výsledku do rov. (31.25) zjistíme, že dB E(2nr) = (jirz) dí ' odkud r dB E = -—. (Odpověď) 2 dř (31.27) Rov. (31.27) udává velikost elektrické intenzity v libovolném bodě pro r < R (tj. uvnitř magnetického pole). Dosazením zadaných hodnot dostáváme, že velikost E pro r = 5,2 cm je £=(5,2.10-*m) = 2 = 0,003 4 Vm_1 = 3,4 mVm-1. (Odpověď) (b) Najděte vztah pro velikost E intenzity indukovaného elektrického pole v bodech vně magnetického pole. Vypočtěte E pro r = 12,5 cm. ŘEŠENÍ: Postupem jako v (a) dostáváme znovu rovnici (31.25). Magnetický indukční tok však nyní prochází jen plochou ic/f2, takže -BS = -B(tiR2). Dosazením do rov. (31.25) dostaneme R2 dB E =--. (Odpověď) 2r dř (31.28) (31.29) Indukované elektrické pole tedy není rovno nule, třebaže dokonce ani kousek křivky (kružnice s poloměrem r větším než R) neleží v magnetickém poli, jehož změnou je elektrické pole indukováno! To se uplatňuje např. v činnosti transformátorů, jak uvidíme v čl. 31.11. Dosazením zadaných hodnot do rov. (31.29) dostáváme E = (8,5-lQ-2m)2 2(12,5-10-2m) (0,13T-s_1) = = 3.8-10-3 V-m-1 = 3,8 mVm-1. (Odpověď) 810 KAPITOLA 31 ELEKTROMAGNETICKÁ INDUKCE Rov. (31.27) a (31.29) dávají stejný výsledek pro r = R. Obr. 31.15 ukazuje závislost E(r) podle těchto dvou rovnic. ^•6 r (cm) Obr. 31.15 Příklad 31.5. Indukované elektrické pole E(r). j^ONTROLA 4: Obrázek ukazuje pět oblastí označených písmeny. Homogenní magnetické pole v nich buď vystupuje ze stránky k nám (např. v oblasti a), nebo do ní vstupuje. Obsahy oblastí jsou stejné a pole v nich vzrůstá stejným způsobem. Jsou také vyznačeny čtyři očíslované křivky, podél nichž § E ■ ds má udané hodnoty. Určete, zda magnetické pole v jednotlivých oblastech b až e směřuje od nás, nebo k nám. Křivka: 12 3 4 fE-ás IV 2V 3V 0 31.7 CÍVKA A INDUKČNOST V kap. 26 jsme viděli, že k vytvoření elektrického pole můžeme použít kondenzátor. Za základní typ kondenzátoru jsme považovali deskový kondenzátor. Podobně magnetické pole můžeme vytvořit cívkou. V obvodech ji znázorňujeme podle normy ISO nnnr>, podle americké normy -'00001-. Jako základní typ cívky budeme uvažovat dlouhý solenoid — nebo konkrétněji, krátký úsek ve střední části dlouhého solenoidu, kde se prakticky neprojevuje rozptyl magnetického pole na jeho koncích. Podobně jako tomu bylo v kap. 26.1 s kapacitorem a kon-denzátorem, česká terminologie rozlišuje cívku jako reálnou součástku a induktor jako modelový prvek. I v tomto případě zde budeme ze stejných důvodů jako dříve užívat nadále jen běžné označení cívka. Proud /, tekoucí jedním závitem cívky, vytváří uvnitř závitu indukční magnetický tok b ~ I- Všech N závitů cívky tedy vytvoří celkový tok N&b rovněž přímo úměrný proudu; konstantu úměrnosti L ve vztahu Nn2lS. (31.32) Odtud pro indukčnost připadající na jednotku délky dlouhého solenoidu (dostatečně daleko od okrajů) plyne L , — = /i,on S (solenoid). (31.33) 31.7 CÍVKA AINDUKČNOST 811 Prosté cívky, s nimiž Michael Faraday objevil zákon elektromagnetické indukce. V oněch dobách nebyly v obchodě k dostání takové vymoženosti, jako je izolovaný drát. Traduje se, že Faraday izoloval své dráty tím, že je obaloval proužky ze spodničky své manželky. Indukčnost, podobně jako kapacita, závisí pouze na geometrii cívky. Závislost na čtverci počtu závitů na jednotku délky je pochopitelná. Jestliže, řekněme, ztrojnásobíme n, ztrojnásobíme nejen počet závitů N, ale také tok 0b = B S = fioInS každým závitem a zvětšíme tak celkový tok N&b devětkrát. Proto se zdevítinásobí indukčnost L. Je-li solenoid mnohem delší než jeho poloměr, pak rov. (31.32) dobře aproximuje jeho indukčnost. Tato aproximace zanedbává rozptyl magnetického pole poblíž konců solenoidu právě tak, jako vztah pro kapacitu rovinného kondenzátoru (C = enS/d) zanedbává rozptyl elektrického pole poblíž okrajů desek kondenzátoru. Z rov. (31.32) plyne, že /zo můžeme vyjádřit v jednotkách henry na metr lio = 4ic-10_7T-m-A-1 = = 4Tfl(T7 H-m-1. (31.34) PŘIKLAD 31.6 Obr. 31.16 ukazuje příčný řez toroidem o N závitech obdélníkového průřezu. Jeho rozměry jsou vyznačeny, (a) Jaká je jeho indukčnost L? ŘEŠENÍ: Abychom mohli použít definici indukčností z rovnice (31.30), potřebujeme znát magnetický tok IN 2icr ' (31.35) kde r je vzdálenost od osy toroidu. Tato rovnice platí bez ohledu na tvar nebo rozměry průřezu toroidu. Protože pole B není v průřezu toroidu homogenní, nemůžeme k výpočtu toku užít rov. (31.4) (fl>b = BS), ale musíme užít rov. (31.3), tj. N2h , b L —-ln — = 2ti a (4ti • 10-7 H-m_1)(l 250)2(13-10-3 m) (95mm) -ln ■ 2t: :2,45-10_3H = 2,5mH. (52 mm) (Odpověď) 812 KAPITOLA 31 ELEKTROMAGNETICKÁ INDUKCE 31.8 VLASTNI INDUKCE Jsou-li dvě cívky blízko sebe, pak proud I tekoucí první cívkou vytváří magnetický tok g, který prochází — alespoň zčásti i druhou cívkou. Měníme-li tento tok tím, že měníme proud I, vzniká v druhé cívce (podle Faraday o va zákona) indukované emn, jak jsme viděli již dříve. Avšak v první cívce vzniká indukované napětí také. Indukované emn vzniká v každé cívce, v níž se elektrický proud mění. Tento jev (obr. 31.17) se nazývá vlastní indukce (dříve též samoindukce). Příslušné indukované emn lze opět vyjádřit Faradayovým zákonem elektromagnetické indukce. Podle rov. (31.30) je Nl = —Lál/át, vzniklým elektromagnetickou indukcí v cívce. Dokud vzniká é>l, je proud rezistorem (a tedy celým obvodem) menší než §/R. la S k k k k + b vvvvi Obr. 31.19 Obvod RL. Když dáme přepínač S do polohy a, proud roste, až dosáhne mezní hodnoty S/R. Proud roste stále povlovněji, takže i velikost indukovaného emn, která je úměrná ál/át, se zmenšuje. Proud v obvodu se proto blíží hodnotě ď/R asymptoticky. Tento výsledek můžeme vyjádřit takto: Nyní rozeberme situaci kvantitativně. Při zapnutí přepínače S na obr. 31.19 do polohy a je obvod ekvivalentní obvodu na obr. 31.20. Použijme smyčkové pravidlo pro součet napětí v obvodu (2. Kirchhoífův zákon). Začněme v bodě x na obr. 31.20 a postupujme podél obvodu ve směru otáčení hodinových ručiček. Pro vyznačený směr proudu I bude mít bod x vyšší potenciál než bod y, což znamená, že se při přechodu změnil potenciál o — IR. Bod y má vyšší potenciál než bod z, protože při rostoucím proudu brání indukované napětí tomuto růstu, a má proto směr vyznačený na obrázku. Když tedy přecházíme podél cívky z bodu y do bodu z, změní se potenciál o $l = —L ál/át. Při průchodu baterií zaznamenáváme nárůst potenciálu o +£. Smyčkové pravidlo tedy dává -IR-L— + ď = 0, dt takže dl L--\-RI = S (obvod RL). (31.44) dt I Obr. 31.20 Obvod na obr. 31.19 s přepínačem v poloze a. Použijeme smyčkové pravidlo pro součet napětí v obvodu. Začneme v bodě x a postupujeme ve směru otáčení hodinových ručiček. Rov. (31.44) je diferenciální rovnice, obsahující hledanou funkci I(t) a její první derivaci dl/dt. Řešit tuto rovnici zmanená najít funkci I (ř), která splňuje tuto rovnici a vyhovuje také počáteční podmínce I (0) = 0. Rov. (31.44) a její počáteční podmínka mají stejný tvar jako rov. (28.29) pro obvod RC, jestliže / nahradíme Q, L nahradíme R a R nahradíme l/C. Řešení rov. (31.44) musí tedy mít tvar rov. (28.30) s uvedenou záměnou veličin. Toto řešení je S R, 7 = -(l-e-rř), (31.45) což můžeme zapsat ve tvaru 1 = —(1 - e~t/TL) (růst proudu), (31.46) 814 KAPITOLA 31 ELEKTROMAGNETICKÁ INDUKCE v němž tl je časová konstanta obvodu RL určená vztahem t l = — (časová konstanta). (31.47) R Obr. 31.21 ukazuje, jak se mění s časem napětí Ur = = IR na rezistoru a napětí Ul = Lál/át na cívce pro určité hodnoty §, L a R. Srovnejte pečlivě tento obrázek s odpovídajícím obrázkem pro obvod RC (obr. 28.14). Obr.31.21 Časový průběh (a) Ur, tj. napětí na rezistoru v obvodu na obr. 31.20, a (b) Ul, tj. napětí na cívce v temže obvodu. Malé trojúhelníky vyznačují násobky časové konstanty rl = LI R. Obrázek je vynesen pro R = 2000S2, L = 4, OH n8 = 10 V. Ukážeme, že veličina tl = L/R má rozměr času: ls. H H / lVs\ /lfí-A\ ~Í2 ~ "fi \1HA/ V IV / První veličina v závorkách je převodní koeficient odvozený z rov. (31.40) a druhá je převodní koeficient odvozený ze vztahu U = IR. Fyzikální význam časové konstanty vyplývá z rovnice (31.46). Položíme-li v této rovnici t = Tl = L/R, redukuje se na tvar I = -(1 -e_1) =0,63-. RK ' R Časová konstanta tj, je tedy doba, za niž proud v obvodu dosáhne o l/e (tj. asi o 37 %) nižší hodnotu, než je koncová ustálená hodnota S /R. (Je to tedy doba, za niž dosáhne asi 63 % této ustálené hodnoty.) Protože je napětí Ur na rezistoru úměrné proudu I, má časová závislost rostoucího proudu stejný tvar jako závislost Ur vynesená na obr. 31.21a. Ponechme přepínač S na obr. 31.19 dosti dlouho v poloze a, aby proud nabyl ustálené hodnoty § IR, a pak ho náhle přepněme do polohy b. Tím vyřadíme baterii z obvodu. (Předpokládejme, že máme přepínač typu make-before-break-switch, který během přepojování z a do b se nejprve propojí s b — v tu chvilku jsou tedy také propojeny body a a b navzájem — a teprve potom se odpojí od a.) Proud v rezistoru nepoklesne na nulu skokem, ale plynule. Diferenciální rovnici, která tento pokles popisuje, dostaneme z rov. (31.44) dosazením š = 0 dl L— + RI=0. dt (31.48) Podle analogie s rov. (28.35) a (28.36) má řešení této diferenciální rovnice při splnění počáteční podmínky I (0) = = /o = S/R tvar / = — e_ř/rt = Ioe~t/tL (pokles proudu). (31.49) R Vidíme, že v obvodu RL jak růst proudu (rov. (31.46)), tak jeho pokles (rov. (31.49)) je charakterizován stejnou časovou konstantou tl- PŘIKLAD 31.7 Obr. 31.22a ukazuje obvod se třemi stejnými rezistory o odporu R = 9,0 ň, dvěma stejnými cívkami o indukčnosti L = 2,0 mH a ideální baterií o 8 = 18 V. ± * -±r >Ä/3 (c) (d) Obr. 31.22 Příklad 31.7. (a) Několikasmyčkový obvod RL, spínač je vypnut, (b) Ekvivalentní obvod okamžitě po zapnutí spínače, (c) Ekvivalentní obvod delší dobu poté. (d) Jednosmyčkový obvod ekvivalentní obvodu (c). (a) Jaký proud / teče baterií okamžitě po sepnutí spínače? ŘEŠENÍ: Protože proud každou z cívek je před zapnutím nulový, je také nulový okamžitě po zapnutí. Okamžitě po zapnutí se tedy cívky chovají jako přerušené dráty, jak je ukázáno na obr. 31.22b. Tím dostáváme jednosmyčkový obvod, pro nějž pravidlo pro součet napětí dává 8 - IR = 0. 31.10 ENERGIE MAGNETICKÉHO POLE 815 Dosazením zadaných hodnot dostávame (18 V) I = — R (9,0 Q) 2,0 A. (Odpoveď) (b) Jaký proud / teče baterií dlouho po sepnutí spínače? ŘEŠENÍ: Dlouho po sepnutí (ř » tl) dosáhnou proudy v obvodu svých ustálených hodnot. Tehdy se cívky chovají jako obyčejné vodiče, jak ukazuje obr. 31.22c. Máme pak obvod se třemi paralelně zapojenými rezistory; podle rov. (28.20) je toto zapojení ekvivalentní rezistoru Rp = = R/3 = (9,0fi)/3 = 3,0 ň. Ekvivalentní obvod na obr. 31.22d potom splňuje rovnici g — IRp = 0 neboli (18 V) Rv (3,0 ÍJ) = 6,0 A. (Odpověď) PŘIKLAD 31.8 Solenoid má indukčnost 53 mH a odpor 0,37 £2. Za jak dlouho po připojení k baterii vzroste proud na polovinu své koncové ustálené hodnoty? ŘEŠENÍ: Ustálené hodnoty dosáhne proud pro t -*■ oo; podle rov. (31.46) je tato hodnota S/R. Pro poloviční hodnotu proudu a hledaný čas řo tato rovnice dává 2 R /í(1 -'oAz. )• Vykrátíme S IR, osamostatníme exponenciální výraz, obě strany zlogaritmujeme. Ták dostaneme řo = r L In 2 : = -ln2: R = 0,10 s. (53-10-áH) (0,37 n) ln2: (Odpověď) j^ONTROLA 6: Obrázek ukazuje tři obvody se stejnými bateriemi, cívkami a rezistory. Seřadte v sestupném pořadí obvody podle velikosti proudu baterií (a) okamžitě po zapnutí vypínače, (b) za dlouho poté. (2) (3) 31.10 ENERGIE MAGNETICKÉHO POLE Odtahujeme-li od sebe opačné náboje, roste jejich elektrická potenciální energie a o ní už víme, že se hromadí v elektrickém poli těchto nábojů. Můžeme ji dostat z pole zpět, necháme-li náboje přiblížit se zpátky k sobě. O energii nahromaděné v magnetickém poli můžeme uvažovat stejným způsobem. Například dva dlouhé rovnoběžné dráty protékané proudy stejného směru se přitahují a musíme vykonat práci, abychom je odtáhli od sebe. Tím nahromadíme energii v magnetickém poli těchto proudů. Tuto energii můžeme kdykoliv dostat zpět, přesunou-li se dráty zpět do původních poloh. Kvantitativní výraz pro energii nahromaděnou v magnetickém poli odvodíme, uvážíme-li znovu obr. 31.20, který ukazuje zdroj emn připojený k rezistoru R a cívce L. Rov. (31.44), tj. Ll + IR> (31.50) je diferenciální rovnice, popisující růst proudu v tomto obvodu. Zdůrazněme, že tato rovnice plyne bezprostředně z pravidla pro součet napětí v obvodu; toto pravidlo zase vyjacířuje zákon zachování energie pro jednoduchý obvod. Násobíme-li obě strany rov. (31.50) veličinou /, dostaneme rovnici §1 = LI— + I2R, dř (31.51) která má tento fyzikální výklad v pojmech práce a energie: 1. Projde-li náboj dQ baterií s emn S za dobu dř, vykoná baterie na náboji práci S dQ. Výkon, s nímž koná baterie práci, je § dQ/dt neboli §1. Levá strana rov. (31.51) tedy představuje výkon, s jakým dodáváme energii zdrojem emn do zbytku obvodu. 2. Druhý člen na pravé straně rov. (31.51) představuje rychlost disipace energie v rezistoru, tj. tepelný výkon rezistoru. 3. Energie, která není disipována, se v souhlase se zákonem zachování energie hromadí v magnetickém poli cívky. Protože rov. (31.51) vyjadřuje zachování energie, vyjadřuje prostřední člen rov. (31.51) rychlost d£mg/dř hromadění energie v magnetickém poli, takže dffmg _LIáI dř dř' Tuto rovnici můžeme přepsat do tvaru (31.52) dEme = LI dl. 816 KAPITOLA 31 ELEKTROMAGNETICKÁ INDUKCE Integrací dostáváme í dE">=lu'dľ neboli (pro libovolně zvolené /) Emg = ^LI2 (magnetická energie cívky). (31.53) Vztah (31.53) představuje celkovou magnetickou energii cívky, tj. energii magnetického pole vytvořeného cívkou, kterou teče proud /. Všimněme si podobnosti mezi tímto výrazem a výrazem (26.21) pro elektrickou energii kondenzátoru, tj. elektrického pole vytvořeného kondenzátorem o kapacitě C s nábojem Q: Q2 Eel = 2Č~- (31.54) PŘIKLAD 31.9 Cívka má indukčnost 53 mH a odpor 0,35 ň. (a) Cívku připojíme ke zdroji emn š = 12 V. Kolik energie se nahromadí v magnetickém poli, když proud dosáhne ustálené hodnoty (tj. pro ř -> oo, prakticky pro f » xl)1 ŘEŠENÍ: Nahromaděná energie je vyjádřena rov. (31.53) F — 1 1 T2 Ľmg — 2 * Ke stanovení energie v ustáleném stavu musíme do tohoto výrazu dosadit ustálený proud. Ten je podle rov. (31.46) roven S (12 V) In = I(t -+ oo) = — = ,\ = 34,3 A. R (0,35 S2) Dosazením dostáváme £mgoo = \LI2X = (i)(53-10-3H)(34,3A)2 = = 31J. (Odpověď) (b) Po jaké době (vyjádřené jako násobek časové konstanty) se v magnetickém poli nahromadí polovina ustálené hodnoty energie magnetického pole? ŘEŠENÍ: Otázka zní, za jakou dobu t bude platit vztah Rov. (31.53) umožňuje přepsat tuto podmínku do tvaru ±L/2 - fMz./2 2l,1 — \2j 2 oo a odtud Ioo. Přitom I plyne z rov. (31.46) a /«, = S IR. Proto *(l_e-'AL)= * R RV2 Zkrácením S/Rn úpravou dostáváme 1 což dává a odtud e-t/rL = í--o,293, V2 — = -ln 0,293 = 1,23 t = l,2rL. (Odpověď) Hromaděná energie tedy dosáhne poloviny své ustálené hodnoty za dobu 1,2tl. PŘIKLAD 31.10 Cívka o indukčnosti 3,56 H je zapojena v sérii s rezistorem 12,8 ň a k tomuto obvodu R L je náhle připojeno emn 3,24 V. (a) Jaký příkon P je dodáván baterií do obvodu v čase t£ po připojení? ŘEŠENÍ: Proud v obvodu je dán rov. (31.46) /(í) = ^(l-e-ř/ri), odkud Příkon dodávaný baterií je pak dán rov. (27.21), kde roh U hraje S. V okamžiku t = Xl je tedy P = SI = (3,24 V) (0,1600 A) = = 0,518 4 W = 518 mW. (Odpověď) (b) Jaký je tepelný výkon rezistoru v tomtéž okamžiku? ŘEŠENÍ: Tepelný výkon je vyjádřen rov. (27.22). Pro ř = = Ti dostáváme Pr = I2(.rL)-R = (0,1600A)2(12,8Q) = = 0,3277W = 328mW. (Odpověď) (c) S jakým výkonem se hromadí energie v magnetickém poli v tomtéž okamžiku? 31.11 HUSTOTA ENERGIE MAGNETICKÉHO POLE 817 RESENI: Vyjdeme z rov. (31.52), vyžadující znalost d//dř. Derivace rov. (31.45) dává £ *£(e-*/i) = £(e-^). dř R L L Pro t = tl dostáváme ^(3^) dř (3,56 H) Podle rov. (31.52) je hledaný výkon roven dE, _ —mg _Lr- _ = (3,56H)(0,1600A)(0,3348A-s-1) = = 0,190 7 W = 191 mW. (Odpověď) Všimněme si, že P = Pr + Pmg, jak vyžaduje zákon zachování energie. .d/ Tato rovnice udává hustotu energie všude, kde je magnetické pole B. Ačkoliv jsme rov. (31.56) odvodili pro speciální případ pole v části solenoidu, platí pro všechna magnetická pole, jakkoli vytvořená. Rov. (31.56) je obdobou rov. (26.23) u»d = \sqE2, (31.57) která udává (ve vakuu) hustotu energie elektrického pole. Všimněme si, že jak hustota tumg, tak hustota iwei je úměrná druhé mocnině odpovídající veličiny, B nebo E, popisující pole. j^ONTROLA 7: Tabulka udává počet závitů na jednotku délky, proud a průřez pro tři solenoidy. Seřaďte solenoidy sestupně podle hustoty energie magnetického pole uvnitř nich. Solenoid ZÁVITY na jednotku DÉLKY Proud plocha a 2ni h 25i b ni Si c «1 h 65i 31.11 HUSTOTA ENERGIE MAGNETICKÉHO POLE Uvažujme dlouhý solenoid s průřezem o obsahu S. V něm budeme sledovat úsek délky Z (ne blízko u krajů); ten vymezuje uvnitř solenoidu objem V o velikosti 5/. Protéká-li solenoidem proud /, vytvoří se uvnitř objemu V homogenní magnetické pole B; pole vně solenoidu je prakticky nulové. Energie pole vytvořeného uvažovaným úsekem musí být zřejmě uložena v objemu V, a to rovnoměrně (díky homogenitě magnetického pole) s hustotou Protože však £mg = jLI2, můžeme vyjádřit hustom energie ve tvaru _LI2 L I2 Wmg-2ŠÍ-llŠ a po dosazení za L/l z rov. (31.33) wmg = \lM>n2l2. (31.55) Pomocí rov. (30.25) (B = iMjIri) můžeme konečně hustotu energie vyjádřit pomocí magnetické indukce: 1 B2 Wmt> =--(hustota energie magnetického pole). (31.56) 2/i-o PŘÍKLAD 31.11 Dlouhý koaxiální kabel (obr. 31.23) je vytvořen ze dvou tenkostenných souosých vodivých dutých válců s poloměry a a b. Vnitřním válcem A teče stálý proud /, vnějším válcem B se tento proud vrací. Obr. 31.23 Příklad 31.11. Průřez dlouhého koaxiálního kabelu sestávajícího ze dvou tenkostenných vodivých dutých válců. Poloměr vnitřního válce je a, poloměr vnějšího válce je b. (a) Vypočtěte energii nahromaděnou v magnetickém poli mezi válci na délce l kabelu. ŘEŠENÍ: Uvažujme objem dV válcové vrstvy mezi dvěma válci o poloměrech r a r + dr a délce Z. Energie d£mg obsažená v tomto objemu je d£mg = wmg dV, 818 KAPITOLA 31 ELEKTROMAGNETICKÁ INDUKCE kde u)mg (hustota energie, tj. energie připadající na jednotkový objem) podle rov. (31.56) je B2/(2fio)- Velikost B magnetické indukce jako funkci r dostaneme z Ampérova zákona Bds = wl, kde integrujeme po kružnici o poloměru r na obr. 31.23. Tak dostaneme (2í)(2w) = Hol, odkud Hustota energie mezi válci pak je _ 1 (tM)I\2 _ fM)I Wmg_ 2uo\2w) ~ 8ti V Objem dV uvažované vrstvy je (2wl)(ár), takže energie d£mg v ní obsažená je d£mg = u)mgdV ^2r: (m)I2 ,„ ,,,, , HqI21 dr —5-T(27irí)(d>)--- 4ti r Energii nahromaděnou v prostoru mezi válci koaxiálního kabelu dostaneme integrací předchozího výrazu: ■'mg d£mg = 4ti fb dr _ Ja r ^ln*. (OdpověcT) 4ti a (31.58) Vně vnějšího válce a uvnitř vnitřního válce se nehromadí žádná energie, protože v obou těchto prostorách je magnetické pole nulové, jak můžeme snadno ukázat pomocí Ampérova zákona. (b) Jaká energie se nahromadí v kabelu jednotkové délky, kdyža = l,2mm,fc = 3,5mma/ = 2,7 A? ŘEŠENÍ: Podle rov. (31.58) máme ?mg HoJ , b / 4tc a _ (4ti- !Q-7Hm-1)(2,7A)2 (3,5 mm) _ _ 4ti (1,2 mm) _ = 7,8-10-7 J-nT1 = 780nJ-m_1. (Odpověd) blízko sebe a jednou z nich protéká stálý proud /, prochází druhou z nich magnetický tok 4>b, jakjsme viděli na obr. 31.2. Měníme-li proud /, vzniká v druhé cívce emn S dané Faradayovým zákonem; tento děj jsme nazvali elektromagnetická indukce. V tomto případě mluvíme o vzájemné indukci, protože jde o vzájemné působení cívek, na rozdíl od vlastní indukce, týkající se jediné cívky. Podívejme se na vzájemnou indukci kvantitativně. Obr. 31.24a ukazuje dvě blízko sebe umístěné kruhové, hustě navinuté cívky se společnou osou. V cívce 1 teče proud I\ z baterie ve vnějším obvodu. Tento proud vytváří magnetické pole, znázorněné na obrázku indukčními čarami pole B\. Cívka 2 je připojena k citlivému měřidlu, ale není připojena k baterii. Magnetický indukční tok #21 (tok cívkou 2 vyvolaný proudem cívky 1) prochází N2 závity cívky 2. Magnetický indukční tok procházející cívkou 2 (tedy ^2^21) je přímo úměrný proudu v cívce 1 (tedy Proto JV2#2i = M2ih, kde konstanta úměrnosti M21 vyjadřuje vzájemnou indukčnost cívky 2 vzhledem k cívce 1. Platí tedy N2&21 M2\ = (31.59) Porovnejte tuto definici s rov. (31.30), tj. L = N

b plochou S? v magnetickém poli B je definován vztahem B-dS, (31.3) v němž se integruje přes uvažovanou plochu. Jednotkou magnetického indukčního toku v SI je weber, 1 Wb = 1 T-m2. Je-li pole B kolmé k uvažované ploše a je-li na ní homogenní, zjednoduší se rov. (31.3) na ®b = BS (BIS, pole B je homogenní)- (31.4) Faradayův zákon elektromagnetické indukce Mění-li se v čase magnetický indukční tok 0b plochou ohraničenou uzavřenou vodivou smyčkou, vytvoří se ve smyčce emn a proud; tento děj se nazývá elektromagnetická indukce. Indukované emn má hodnotu d x x x x x x x R I-/vV-1 Obr. 31.49 Úloha 24 25Ú. Obdélníková cívka má N závitů a délky stran a a b. Otáčí se s frekvencí / v homogenním magnetickém poli B, jak ukazuje obr. 31.50. Cívka se otáčí spolu s válci, kontakt zajišťují připojené kovové kartáčky, (a) Ukažte, že indukované emn v cívce je dáno v závislosti na čase vztahem s(t) = 2ti fNabB ún(2n ft) = <řmsin(27i/ř). 826 KAPITOLA 31 ELEKTROMAGNETICKÁ INDUKCE (Na tomto principu je založen běžný generátor střídavého proudu.) (b) Navrhněte smyčku, která bude při 60 otáčkách za sekundu v magnetickém poli o indukci 0,500 T generovat emn cfm = 150 V. kartáčové kontakty bxxxxxxxxx I x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x XX xxxxxxx Obr. 31.50 Úloha 25 26Ú. Elektrický generátor používá cívku o 100 závitech drátu ve tvaru obdélníkové smyčky 50,0 cm x 30,0 cm. Cívka je umístěna v homogenním magnetickém poli 3,50 T. Jaká maximální hodnota emn se indukuje, otáčí-li se smyčka 1 OOOkrát za minutu kolem osy kolmé k Bl 27Ú. V situaci na obr.31.51 je a = 12,0cm a b = 16,0cm. Proud dlouhým drátem je dán vztahem / = 4,50ř2 — 10,0/, kde Zař jsou v SI. (a) Určete emn indukované ve čtvercové smyčce v čase t = 3,00 s. (b) Jaký je směr proudu indukovaného ve smyčce? Obr. 31.51 Úloha 27 28Ú. Na obr. 31.52 je čtvercová vodivá smyčka o délce stran 2,00 cm. Magnetické pole je kolmé k nákresně a míří k nám; jeho velikost je dána vztahem B = 4,0í2y, kde B, t a y jsou v SI. Určete emn ve čtvercové smyčce v čase t = 2,5 s a vyznačte jeho směr. Obr. 31.52 Úloha 28 29Ú. Obdélníková vodivá smyčka o délce a, šířce b a odporu R leží blízko nekonečně dlouhého vodiče protékaného proudem /, jak je vidět na obr. 31.53. Vzdálenost osy smyčky od dlouhého vodiče je r. Určete (a) velikost magnetického indukčního toku plochou smyčky a (b) proud smyčkou, jestliže se smyčka vzdaluje od dlouhého vodiče rychlostí v. H-a »1 1T T Obr. 31.53 Úloha 29 30Ú*. Dvěma dlouhými měděnými vodiči (s průměry 2,5 mm) protékají opačnými směry proudy 10 A. (a) Předpokládejte, že středy vodičů jsou vzdáleny 20 mm, a vypočtěte magnetický indukční tok plochou mezi osami vodičů připadající na jeden metr délky vodičů, (b) Jaká část tohoto toku je uvnitř vodičů? (c) Vyřešte úlohu (a) také pro případ proudů stejného směru. ODST. 31.5 Indukce a přenosy energie 31C. Anténa tvaru smyčky s plochou o obsahu s a odporem R je kolmá k homogennímu magnetickému poli B. Pole lineárně slábne až k nule v časovém intervalu Ar. Vyjádřete celkovou energii disipovanou ve smyčce. 32C. Měděný drát o délce 50,0 cm a průměru 1,00 mm má tvar kruhové smyčky, která je kolmá k homogennímu magnetickému poli rostoucímu konstantní rychlostí 10,0mT-s-1. S jakým výkonem se uvolňuje Joulovo teplo ve smyčce? 33C. Kovovou tyč posunujeme podle obr. 31.54 konstantní rychlostí v po dvou rovnoběžných kovových kolejnicích spojených kovovým páskem na jednom konci. Magnetické pole o indukci velikosti B = 0,350 T směřuje k nám. (a) Jaké indukované emn vzniká, jsou-li kolejnice vzdáleny 25,0 cm a rychlost tyče má velikost 55,0cm-s_1? (b) Jaký proud teče tyčí, má-li odpor 18,0 ň a kolejnice a spojovací pásek mají odpor zanedbatelný? (c) S jakým výkonem se uvolňuje Joulovo teplo ve smyčce? r L 1. B Obr. 31.54 Cvičení 33 a 34 34C. Vodivá tyč na obr. 31.54 má délku L a klouže bez tření po vodorovných vodivých kolejnicích konstantní rychlostí v. Kolejnice jsou na jednom konci spojeny kovovým páskem. Homogenní magnetické pole B, které směřuje k nám, vyplňuje celou oblast, v níž se tyč pohybuje. Je zadáno L = 10 cm, v = 5,0m-s_1 a B = 1,2T. (a) Jaké emn se indukuje v tyči? (b) Jak velký proud teče vodivou smyčkou? Předpokládejte odpor tyče 0,40 £2 a odpor kolejnic a kovového proužku zanedbatelný, (c) S jakým výkonem se vyvíjí Joulovo teplo v tyči? (d) Jaká vnější sílaje nutná k udržení tyče v pohybu? (e) Jaký je výkon této vnější síly? Srovnejte odpověďs odpovědí na úkol (c). cvičení & úlohy 827 35Ú. Na obr. 31.55 je vodivá obdélníková smyčka o šířce L, odporu R a hmotností m. Je zavěšena v homogenním magnetickém poli B, které je kolmé k rovině rámečku a existuje jen nad přímkou a. Smyčku pustíme, takže padá zrychleně, dokud nedosáhne mezní rychlosti vm. Zanedbejte odpor vzduchu a vypočtěte um. X X X X X X X X Xfl X X X X a---- X X Obr. 31.55 Úloha 35 36Ú. Dvě přímé vodivé kolejnice j sou svařeny do pravého úhlu. Vodivá tyč (v kontaktu s nimi) začíná pohyb v čase t = 0 od místa spoje a pohybuje se konstantní rychlostí 5,20 m-s-1 podél kolejnic, jak ukazuje obr.31.56. Magnetické pole 0,350T směřuje kolmo k nám. Vypočtěte (a) indukční tok trojúhelníkem tvořeným kolejnicemi a tyčí v čase t = 3,00 s, (b) emn indukované v trojúhelníku v témž čase. (c) Aproximujte emn vztahem S = atn, kde a a n jsou konstanty. Jaká je hodnota n? \^_i • • • Obr. 31.56 * 'B Úloha 36 ........... 37Ú. Vypočtěte průměrný výkon dodávaný generátorem v úloze 25b, je-li připojen k obvodu o odporu 42,0 £2. (Tip: Průměrná hodnota sin2(2Ti/ŕ) v jednom cykluje |.) 38Ú. Na obr. 31.57 vodivá tyč o hmotnosti m a délce L klouže bez tření po dvou vodorovných kolejnicích. Týč se pohybuje v homogenním magnetickém poli B. Generátor G dodává konstantní proud / naznačeného směm. (a) Určete rychlost tyče v závislosti na čase za předpokladu, že v čase t = 0 byla v klidu. Generátor je dále nahrazen zdrojem s konstantním emn S. (b) Ukažte, že se rychlost tyče blíží konečné konstantní hodnotě vm, a určete její velikost a směr. (c) Jak velký bude proud v tyči po dosažení konečné rychlosti? (d) Analyzujte oba případy z hlediska přenosu energie. T l i. Obr. 31.57 Úloha 38 B* 39Ú. Obr. 31.58 znázorňuje tyč o délce L, která se pohybuje konstantní rychlostí v po vodivých vodorovných kolejnicích. Magnetické pole není v tomto případě homogenní, ale je vytvořeno proudem I v dlouhém vodiči, rovnoběžném s kolejnicemi. Je dáno: v = 5,00m-s_1, a = 10,0mm, L = 10,0cm a / = 100 A. (a) Vypočtěte emn indukované v tyči. (b) Jak velký bude proud ve vodivé smyčce? Odpor tyčky je 0,400 £2, odpor kolejnic a spojovacího pásku je zanedbatelný, (c) S jakým výkonem se vyvíjí teplo v tyči? (d) Jaká vnější síla je nutná k udržení tyče v pohybu? (e) Jaký je při tom výkon této síly? Srovnejte odpověď s odpovědí na úkol (c). XXXXXXXXXXXXXXX x x x xr x x x x x x x Obr. 31.58 Úloha 39 ODST. 31.6 Indukované elektrické pole 40C. Dlouhý solenoid má průměr 12,0 cm. Protéká-li jeho závity proud /, vytvoří uvnitř solenoidu homogenní magnetické pole B = 30,0 mT. Snížením proudu slábne i magnetické pole, a to rychlostí 6,50mT-s-1. Vypočtěte velikost intenzity indukovaného elektrického pole ve vzdálenosti (a) 2,20 cm a (b) 8,20cm od osy solenoidu. 41C. Obr. 31.59 znázorňuje dva kruhy Ri a R.2 o poloměrech r\ = 20,0cm a r2 = 30,0cm. V oblasti Ri je homogenní magnetické pole B\ = 50,0mT směřující od nás a v oblasti R2 je homogenní magnetické pole B2 = 75,0mT směřující k nám (zanedbejte rozptyl těchto polí). Obě pole se zeslabují rychlostí 8,50 mT-s-1. Vypočtěte integrál § E ■ ds pro každou ze tří čárkovaných integračních cest. Obr. 31.59 Cvičení 41 42Ú. Začátkem roku 1981 byl ve Francis Bitter National Magnet Laboratory, Massachusetts Institute of Technology uveden do provozu válcový elektromagnet o průměru 3,3 cm, který vytvářel pole o indukci 30 T, nejsilnější stálé (tj. nikoli pulzní) 828 KAPITOLA 31 ELEKTROMAGNETICKÁ INDUKCE magnetické pole na světě. Pole mělo sinusový průběh v mezích 29,6 T až 30,0 T s frekvencí 15 Hz. Vypočtěte z těchto údajů maximální hodnotu indukovaného elektrického pole ve vzdáleností 1,6 cm od osy elektromagnetu. (Tip: Viz př. 31.5.) 43Ú. Obr. 31.60 představuje homogenní magnetické pole B ve válci o poloměru R. Velikost B klesá konstantní rychlostí 10 mT-s-1. Jaká jsou okamžitá zrychlení (směr a velikost) elektronů v bodech a, b, c? Předpokládejte r = 5,0 cm. Obr. 31.60 Úloha 43 44Ú. Dokažte, že intenzita elektrického pole E nabitého deskového kondenzátoru nemůže v bodě a na obr. 31.61 u kraje desek náhle klesnout na nulu, postupujeme-li kolmo k poli ve směru vodorovné šipky. U skutečného kondenzátoru vždy dochází k rozptylu pole, což znamená, že E se blíží k nule spojitě a hladce (viz cvič. 45 v kap. 30). (Tip: Použijte Faradayův zákon na čárkovaně vyznačenou obdélníkovou cestu.) +Q Obr. 31.61 Úloha 44 ľ ! 49Ú. Široký měděný pás šířky d je stočen do trubičky o poloměru R se dvěma přívody (podle obr. 31.62). Pásem teče proud /, rovnoměrně rozprostřený po celé jeho šířce. Tím vzniká ,jed-nozávitový solenoid", (a) Odvodíte výraz pro velikost magnetického pole B v jeho válcové části (daleko od hran). (Tip: Předpokládejte, že magnetické pole vně tohoto solenoidu je zanedbatelné.) (b) Vypočtěte indukčnost tohoto solenoidu. Vliv přívodů zanedbejte. -Q Obr. 31.62 Úloha 49 50Ú. Dvěma dlouhými rovnoběžnými válcovými vodiči o poloměrech a protékají stejně velké proudy opačných směrů. Vzdálenost os vodičů je d. Dokažte, že při zanedbání magnetického toku uvnitř vodičů je indukčnost L dvojice těchto vodičů délky Z vyjádřena vztahem fiol, d -a L =-ln-. ti a Viz př. 30.2. (Tip: Vypočtěte magnetický tok obdélníkem, v němž vodiče tvoří protilehlé strany.) ODST. 31.8 Vlastní indukce 51C. Na obr. 31.63 je vyznačen směr proudu a indukovaného napětí cívky v určitém okamžiku, (a) Klesá proud, nebo roste? (b) Indukované emn je 17 V a rychlost změny proudu 25 kA-s-1. Určete indukčnost cívky. ODST. 31.7 Cívka a indukčnost 45C. Indukčnost hustě navinuté cívky o 400 závitech je 8,0 mH. ■Vypočtěte magnetický indukční tok cívkou, jestliže jí protéká proud 5,0mA. 46C. Kruhová cívka má poloměr 10,0 cm a tvoří ji 30 hustě navinutých závitů. Vnější magnetické pole 2,60 mT je kolmé k rovině cívky, (a) Jaký je celkový magnetický indukční tok, jestliže cívkou neprotéká proud? (b) Jestliže cívkou teče proud 3,80 A určitého směru, indukční tok cívkou vymizí. Jaká je indukčnost cívky? 47C. Solenoid těsně navinutý jednou vrstvou izolovaného měděného drátu (průměr drátu 2,5 mm) má průměr 4,0 cm a je dlouhý 2,0 m. (a) Kolik má závitů? (b) Jakou indukčnost má centimetr délky solenoidu (daleko od okrajů)? Předpokládejte, že sousední dráty se dotýkají a tloušťka izolace je zanedbatelná. 48Ú. Dlouhý tenký solenoid je ohnut do prstence a tvoří toroid. Je-li solenoid dostatečně tenký a náležitě dlouhý, přejde vztah pro indukčnost toroidu (rov. (31.37)) na vztah pro indukčnost solenoidu (rov. (31.32)), z něhož toroid vznikl. Dokažte to. Obr. 31.63 Cvičení 51 i 52C. Cívka má indukčnost 12 H a v čase t = 0 jí protéká proud 2,0 A. Jak můžeme zařídit, aby se na ní indukovalo napětí 60 V? 53C. Dlouhý válcový solenoid se 100 závity/cm má poloměr 1,6 cm. Předpokládejte, že jeho magnetické pole je uvnitř solenoidu rovnoběžné s jeho osou a je homogenní, (a) Jaká je indukčnost solenoidu připadající na metr délky? 0b) Jaké emn se indukuje na 1 m délky solenoidu, je-li změna proudu 13 A-s-1 ? 54C. Indukčnost hustě navinuté cívky je taková, že při změně proudu 5,0 A-s-1 se indukuje emn 3,0 mV. Stálý proud 8,0 A vytváří magnetický tok 40 (iWb každým závitem, (a) "Vypočtěte indukčnost cívky, (b) Kolik závitů má cívka? 55Ú. Proud / tekoucí cívkou o indukčnosti 4,6 H se mění v čase podle grafu na obr. 31.64. Cívka má odpor 12 fí. Nalezněte velikost indukovaného emn v časových intervalech (a) od t = 0 do t = 2 ms, (b) od t = 2 ms do t = 5 ms, (c) od t = 5 ms do t = 6ms. (Nezabývejte se hodnotou emn přesně na hranicích intervalů.) CVIČENÍ & ÚLOHY 829 3 4 t (ms) Obr. 31.64 Úloha 55 56Ú. Cívky v sérii. Dvě cívky s indukčnostrni L\ a L2 jsou spojeny do série a umístěny daleko od sebe. (a) Dokážte, že jejich spojení má indukčnost Li = L\+ L2. (Tip: Zopakujte si odvození pro rezistory a kondenzátory v sérii. Co je zde podobného?) (b) Proč musí být cívky dostatečně vzdálené, aby vztah platil? (c) Zobecněte řešení úkolu (a) pro N cívek v sérii. 57Ú. Paralelné zapojené cívky. Dvě cívky s indukčnostrni L\ a L2 jsou spojeny paralelně a umístěny daleko od sebe. (a) Dokažte, že jejich spojení má indukčnost 1 _ 1 1 Lp L\ L2 (Tip: Zopakujte si odvození pro paralelně spojené rezistory a kondenzátory. Co je zde podobného?) (b) Proč musí být cívky dostatečně vzdálené, aby vztah platil? (c) Zobecněte řešení úkolu (a) pro N paralelně spojených cívek. ODST. 31.9 Obvody RL 58C. Proud v RL obvodu naroste do jedné třetiny své ustálené hodnoty za 5,00 s. Určete časovou konstantu tohoto obvodu. 59C. Jak dlouho (vyjádřeno pomocí xl) je nutno čekat, než proud vzroste na 0,100 % své ustálené hodnoty? 60C. Proud v RL obvodu klesne během první sekundy po odpojení zdroje z 1,0A na lOmA. Jaký je odpor R obvodu, je-li L = 10H? 61C. Za jak dlouho od vypnutí zdroje poklesne napětí na odporu v obvodu RL na 10 % své počáteční hodnoty, je-li L = 2,00 H & R = 3,00 ň? 62C. (a) Uvažujte RL obvod na obr. 31.19. Vyjádřete pomocí napětí zdroje s, jaké bude indukované emn §l okamžitě po přepnutí spínače do polohy a. (b) Jaké bude &l v čase t = 2, Otl ? (c) Vyjádřete pomocí xl ,kdy bude &l polovinou napětí zdroje s. 63C. Solenoid o indukčnosti 6,30 jaH je zapojen do série s rezistorem l,20k£2. (a) Za jak dlouho po připojení zdroje 14,0 V do obvodu nabude proud rezistorem 80,0 % své ustálené hodnoty? (b) Jaký proud poteče rezistorem v čase ř = 1,0tx? 64C. Celkový magnetický tok cívkou o odporu 0,75 £2, je 26mWb při proudu 5,5 A. (a) Vypočtěte indukčnost cívky, (b) K cívce je náhle připojen zdroj 6,0 V. Jak dlouho roste proud z Ona 2,5 A? 65Ú. Předpokládejte, že emn zdroje v obvodu na obr. 31.20 se mění s časem ř tak, že proud je dán vztahem l(ť) = 3,0 + 5,Oř v jednotkých SI. Je-li R = 4,0 £2, L = 6,0H, najděte výraz pro emn zdroje v závislosti na čase. (Tip: Použijte pravidlo pro součet napětí v uzavřeném obvodu.) 66Ú. V čase ř = 0 byl k rezistoru a cívce připojen do série zdroj. Níže uvedená tabulka uvádí napětí naměřené na cívce v závislosti na čase od okamžiku připojení zdroje. Určete (a) emn zdroje a (b) časovou konstantu obvodu. t UL t UL ms V ms V 1,0 18,2 5,0 5,98 2,0 13,8 6,0 4,53 3,0 10,4 7,0 3,43 4,0 7,90 8,0 2,60 67U. Na cívku o L = 50,0mH a li = 180 £2 zapojíme napětí 45,0V. Jak rychle narůstá proud v okamžiku 1,20ms po zapojení? 68Ú. Dřevěné jádro toroidu se čtvercovým průřezem má vnitřní poloměr 10 cm a vnější poloměr 12 cm. Je těsně ovinuto jednou vrstvou drátu, který má průměr 1,0 mm a odpor na jednotku délky 0,02 £2-m_1. Jaká je (a) indukčnost a (b) časová konstanta toroidu? Tloušťku izolace drátu zanedbejte. 69Ú. Na obr. 31.65 je s = 100 V, Ri = 10,0 £2, R2 = 20,0 £2, R3 = 30,0 £2 a L = 2,00 H. Vypočtěte hodnoty h a h (a) bezprostředně po zapnutí spínače S, (b) za dlouhou dobu potom, (c) bezprostředně po opětovném rozpojení spínače S, (d) za dlouhou dobu potom. Obr. 31.65 Úloha 69 70U. V obvodu na obr. 31.66 je s = 10 V, Rx = 5,0 £2, R2 = 10,0 £2 a L = 5,00H. Spínač S byl (1) právě sepnut a (2) je sepnut již dlouhou dobu. V obou případech vypočítejte (a) proud h rezistorem R\, (b) proud I2 rezistorem R2, (c) proud / spínačem, (d) napětí na R2, (e) napětí na L, (f) rychlost změny ál2/át. Obr. 31.66 Úloha 70 830 KAPITOLA 31 ELEKTROMAGNETICKÁ INDUKCE 71Ú. Spínač na obr. 31.67 je sepnut pro časy t < 0 a rozpojen v čase t = 0. Náhlý úbytek proudu I\ cívkou L\ vyvolá tak velké indukované napětí, že se na kontaktech spínače na nepatrnou chvíli vytvoří oblouk. Proud h proto neklesne na nulu ihned, ale až za jistou (kratičkou) dobu. Teprve od tohoto okamžiku je proud h cívkou L\ roven proudu h cívkou Li. Jaká je v tomto prvním okamžiku jejich společná hodnota? (Rezistory mají stejný odpor R.) Li R Lil Obr. 31.67 Úloha 71 72Ú. Na obr. 31.68 je v horní větvi ideální pojistka 3,0 A. Ta má tu vlastnost, že má nulový odpor po dobu, kdy je protékající proud menší než 3,0 A a dosáhne-li proud 3,0 A, spálí se a poté má odpor nekonečný. Spínač S je v čase t = 0 sepnut, (a) Kdy se pojistka spálí? (Tip: Rov. (31.46) nelze použít. Promyslete rov. (31.44).) (b) Načrtněte graf závislosti proudu / cívkou na čase. Vyznačte čas, kdy se pojistka spálí. pojistka ^L-lOV 15S2 ŕ —nmw— 5,0H Obr. 31.68 Úloha 72 73Ú*. V obvodu na obr. 31.69 je spínač S sepnut v čase t = = 0. Poté udržujeme proud / konstantní vhodnými změnami emn. (a) Odvoďte výraz pro proud cívkou v závislosti na čase. (b) Ukažte, že proud rezistorem je stejný jako proud cívkou v čase ř = (L//ř)ín2. zdroj konstantního proudu Obr. 31.69 Úloha 73 ODST. 31.10 Energie magnetického pole 74C. Magnetická energie jisté cívky je 25 mj pň proudu 60,0mA. (a) 'Vypočtěte její indukčnost. (b) Jaký proud je nutný pro vytvoření čtyřikrát větší magnetické energie? 75C. Uvažujte obvod na obr. 31.20. Vyjádřete pomocí časové konstanty xl, ve kterém okamžiku po připojení zdroje je energie magnetického pole cívky rovna polovině její ustálené hodnoty. 76C. Cívka o indukčnosti 2,0H a odporu 10 je připojena k ideálnímu zdroji s s = 100 V. (a) Jaký bude ustálený proud? (b) Jakou energii bude přitom mít magnetické pole cívky? 77C. Cívka o indukčnosti 2,0H a odporu 10 ň je náhle připojena ke zdroji bez vnitřního odpom a s s = 100 V. Určete okamžitý výkon, s nímž se za 0,10 s po připojení (a) hromadí energie v magnetickém poli, (b) uvolňuje Joulovo teplo na cívce a (c) odebírá energie ze zdroje. 78Ú. Obvod RL na obr. 31.20 má časovou konstanta 37 ms a v čase t = 0 je proud v obvodu nulový. Ve kterém okamžiku je rychlost disipace energie v rezistoru rovna výkonu, s nímž se energie hromadí v cívce? 79Ú. Cívka je v sérii s rezistorem o odpom 10,0kň. Po připojení zdroje 50,0 V dosáhne proud za 5,00 ms hodnoty 2,00 mA. (a) Vypočtěte indukčnost cívky, (b) Jakou energii má cívka v uvedeném okamžiku? 80Ú. V obvodu na obr. 31.20 je dáno § = 10,0 V, R = 6,70 SI a L = 5,50H. V čase f = 0 byl připojen zdroj, (a) Jakou energii dodal zdroj během prvních dvou sekund? (b) Jakou energii má magnetické pole cívky? (c) Jaká energie byla disipována v rezistoru? 81Ú. Solenoid délky 80,0 cm a polomem 5,00 cm má 3 000 rovnoměrně navinutých závitů. Jeho celkový odpor je 10,0 £2. V čase 5,00 ms po připojení ke zdroji 12,0 V určete (a) jakou energii má jeho magnetické pole, (b) jaká energie byla dodána zdrojem během této doby. (Rozptyl pole zanedbejte.) 82Ú. Dokažte, že po přepnutí spínače S na obr. 31.19 z polohy a do b se nakonec všechna energie nahromaděná v cívce disipuje v rezistoru. ODST. 31.11 Hustota energie magnetického pole 83C. Solenoidem délky 85,0 cm, průřezu 17,0 cm2 s 950 závity protéká proud 6,60 A. (a) Vypočtěte objemovou hustotu energie magnetického pole uvnitř solenoidu, (b) Určete celkovou energii magnetického pole. (Okrajové efekty zanedbejte.) 84C. Toroid o indukčnosti 90,0 mH má objem 0,020 0 m3. Jaký proud jím protéká, je-li hustota energie v toroidu 70,0 J-m-3? 85C. Jak velkou intenzitu musí mít elektrické pole, aby mělo stejnou hustotu energie jako magnetické pole o indukci 0,50 T? 86C. V mezihvězdném prostom v naší Galaxii má magnetická indukce velikost asi 10-10 T. Kolik magnetické energie obsahuje krychle o délce hrany 10 světelných let? (Pro srovnání poznamenejme, že vzdálenost nejbližší hvězdy je asi 4,3 světelných let a poloměr naší Galaxie je asi 8-104 světelných let.) CVIČENÍ & ÚLOHY 831 87C. Užijte výsledek řešení př. 31.11 k získání výrazu pro in-dukčhost koaxiálního kabelu délky Z. 88C. Kolik energie j e potřeba, abychom v krychli o hraně 10 cm vytvořili (a) homogenní elektrické pole o intenzitě 100 kV-m-1, (b) homogenní magnetické pole o indukci 1T. (Obojí je reálně dosažitelné v laboratoři.) (c) Které z těchto polí obsahuje více energie? 89C. Kruhovou vodivou smyčkou o poloměru 50 mm protéká proud 100 A. (a) Určete magnetickou indukci ve středu smyčky, (b) Vypočtěte hustotu energie ve středu smyčky. 90Ú. (a) Pro toroid z př. 31.6b stanovte výraz pro závislost hustoty energie na vzdálenosti r od středu, (b) Integrací hustoty energie přes objem toroidu vypočtěte celkovou energii obsaženou v jeho poli, teče-li toroidem proud / = 0,500 A. (c) Užitím rov. (31.53) vypočtěte energii v toroidu přímo zjeho indukčnosti a srovnejte s výsledkem otázky (b). 91Ú. Dlouhým měděným vodičem protéká proud 10 A v průřezu rovnoměrně rozložený. Vypočtěte (a) hustotu energie magnetického pole a (b) hustotu energie elektrického pole těsně nad vodičem. Průměr vodiče je 2,5 mm a jeho odpor na jednotku délky je 3,3 £2/km. 92Ú. (a) Jaká je hustota energie zemského magnetického pole, má-li jeho indukce velikost 50 jaT? (b) Považujte tuto hustotu přibližně za konstantní ve vzdálenostech malých vůči poloměru Země a zanedbejte její nehomogénny v blízkosti magnetických pólů. Kolik energie je uloženo mezi povrchem Země a soustřednou kulovou plochou 16 km nad povrchem Země? Obr. 31.70 Úloha 96 97U. Cívka C o N závitech je nasunuta na dlouhý kruhový solenoid S o poloměru R a o n závitech na jednotku délky (obr. 31.71). Ukažte, že vzájemná indukčnost cívky a solenoidu je M = (iQKR2nN. Vysvědete, proč M v tomto případě nezávisí na tvaru a velikosti cívky a není ani ovlivněna hustotou vinutí závitů cívky. C T..... hej Obr. 31.71 Úloha 97 ODST. 31.12 Vzájemná indukčnost 93C. Dvě cívky mají vůči sobě pevnou polohu. Jestliže cívkou 1 proud neteče a proud cívkou 2 roste rychlostí 15,0A-s_1, na cívce 1 vzniká emn 25,0 mV. (a) Jaká je vzájemná indukčnost cívek? (b) Kdy poteče cívkou 2 nulový proud a cívkou 1 proud 3,60 A? Jaký je celkový magnetický tok cívkou 2? 94C. Cívka 1 má indukčnost L\ = 25 mH a počet závitů 7Vi = = 100. Cívka 2 má indukčnost L2 = 40 mH a počet závitů N2 = 200. Jejich vzájemná poloha se nemění, jejich vzájemná indukčnost M = 3,0 mH. Proud 6,0 mA v cívce 1 se mění rychlostí 4,0 A-s-1 (a) Jaký magnetický indukční tok #12 teče cívkou 1 a jaké emn se na ní indukuje? (b) Jaký tok e = AZ?p. Proto se uspořádání atomových dipólových momentů snadno naruší srážkami mezi atomy. To vede ke zmenšení magnetického momentu vzorku na hodnom mnohem menší, než je maximální možná hodnota Np,. Kapalný kyslík se vznáší mezi dvěma čely magnetu, neboť je paramagnetický a je do magnetického pole vtahován. Míru zmagnetování látky můžeme vyjádřit vektorem magnetizace M. Ten udává magnetický dipólový moment jednotkového objemu látky: M magnetický moment objem (32.18) Jednotkou M je A-m 1. Úplné seřazení atomárních dipólo- 842 KAPITOLA 32 MAGNETICKÉ POLE V LÁTCE, MAXWELLOVY ROVNICE I Atomy plynu mají magnetický dipólový moment velikosti [i = 1,0/^b. Vypočtěte střední kinetickou energii posuvného pohybu atomu plynu a rozdíl energie AEp mezi souhlasnou a nesouhlasnou orientací magnetického dipólového momentu atomu vzhledem k vnějšímu poli. ŘEŠENÍ: Z rov. (20.20) vypočteme £k = \kT = §(1,38-10-23 JK_1)(300K) = = 6,2-10"21 J = 0,039 eV. (Odpověď) Z rov. (29.37) a (32.5) dostaneme A£p = 2fiB = 2(9,27-10-24 J-T_1)(1,5T) = = 2,810-23 J = 0,00017 eV. (Odpověď) Energie £k je asi 230krát větší než A£p, takže výměnou energie mezi atomy během vzájemných srážek se snadno mění směr magnetických momentů, které by jinak byly orientovány ve směru vnějšího magnetického pole. Magnetický moment vykazovaný plynem je pak slabým uspořádáním atomových momentů. I_ vých momentů, nazývané saturace vzorku, odpovídá maximální hodnotě Mmax = Nfi/V. Pierre Curie v r. 1895 objevil experimentálně, že mag-netizace paramagnetické látky je přímo úměrná indukci Bext vnějšího magnetického pole a nepřímo úměrná absolutní teplotě T, tj. M = c_p (Curieův zákon) (32.19) Rov. (32.19) se nazývá Curieův zákon a C je Curieova konstanta. Curieův zákon ^jadřuje to, co intuitivně chápeme: při zvětšení Z?ext se seřadí atomové dipólové momenty, a tedy M se zvětší, zatímco při zvýšení T se poruší seřazení v důsledku tepelného pohybu, a tedy M se zmenší. Tento zákon je pouze přiblížením a platí jen pro slabá pole a vyšší teploty. Uvedený vztah byl později odvozen teoreticky (viz též úlohu 27). Obr. 32.10 ukazuje magnetizační křivku, tj. poměr M/Mmw jako funkci Bext/T pro síran chromito-draselný, ve kterém jsou ionty chrómu paramagnetickou substancí. Lineární závislost podle Curieova zákona souhlasí s experimentálními daty v levé části grafu cca pro Bext/T < < 0,5 T-K-1. Křivka, která odpovídá naměřeným hodnotám v celém rozsahu, odpovídá výkladu na základě kvantové fyziky. Hodnoty v pravé části grafu poblíž nasycení se získávají velmi obtížně, neboť vyžadují velmi silná magnetická pole (asi 100 OOOkrát silnější než zemské pole), a to i za velmi nízkých teplot vyznačených v obr. 32.10. j^ONTROLA 4: Na obrázku jsou dvě paramagnetické kuličky, umístěné v blízkosti jižního pólu tyčového magnetu. Jsou (a) magnetické síly působící na kuličky a (b) magnetické momenty kuliček orientovány směrem k magnetu, nebo od něj? (c) Je magnetická síla na kuličku (1) větší, menší, nebo stejná jako síla působící na kuličku (2)? W T (T-K-1) Obr. 32.10 Magnetizační křivka pro paramagnetickou látku (síran chromito-draselný). Poměr magnetizace M látky k maximální magnetizaci Aíma* je zobrazen jako funkce podílu magnetické indukce Bext a teploty T. Curieův zákon souhlasí s hodnotami v levé části grafu; kvantová teorie uspokojivě vysvětluje hodnoty v celém intervalu. Podle W. E. Henryho. PŘÍKLAD 32.2 Paramagnetický plyn při pokojové teplotě 300 K se nachází ve vnějším homogenním magnetickém poli s B = 1,5 T. 9 O U s (D (2) 32.8 FEROMAGNETISMUS Když mluvíme o magnetismu v běžném významu tohoto slova, máme spíše na mysli představu tyčového nebo malého knoflíkového magnetu (přidržujícího např. vzkaz na chladničce). Představujeme si tedy feromagnetický materiál se silným permanentním magnetismem, a ne diamagne-tickou nebo paramagnetickou látku se slabými a dočasnými magnetickými vlastnostmi. Železo, kobalt, nikl, gadolinium, dysprozium a slitiny těchto i některých jiných (i neferomagnetických) prvků vykazují feromagnetismus v důsledku čistě kvantového jevu, nazývaného výměnná interakce. Při tomto procesu se spiny elektronů jednoho atomu vzájemně ovlivňují se spiny sousedních atomů. Výsledkem je souhlasná orientace magnetických momentů atomů, která překonává rušivý vliv náhodných vzájemných srážek. 32.8 FEROMAGNETISMUS 843 Pokud zvýšíme teplotu feromagnetického materiálu nad jistou kritickou hodnotu nazývanou Curieova teplota, výměnná interakce již k uspořádání momentů nepostačí a materiál se stane paramagnetickým. Dipóly sice stále jeví snahu seřadit se podle vnějšího pole, ale mnohem slaběji. Tepelný pohyb pak může snáze porušit jejich uspořádání. Curieova teplota pro železo je 1043 K = 770 °C. Magnetizaci feromagnetických materiálů (jako je železo) můžeme studovat v uspořádání nazývaném Rowlan-důvprstenec (obr. 32.11). Měřený materiál má tvar tenkého prstencového jádra kruhového průřezu. Primární cívka P s n závity na jednotku délky je rovnoměrně navinuta po obvodu prstence a prochází jí proud Ip. Bez železného jádra by magnetická indukce pole uvnitř cívky měla podle rov. (30.25) velikost B0 = Honlp. (32.20) Je-li v cívce železné jádro, je velikost magnetické indukce B uvnitř cívky obvykle mnohonásobně větší než Bq. Můžeme ji zapsat jako součet B = Bo + BM, (32.21) kde B m je příspěvek k magnetickému poli od železného jádra. Tento příspěvek je způsoben souhlasným uspořádáním atomových dipólových momentů v železe díky výměnné interakci a vlivem magnetického pole Bo- Abychom stanovili Bm, je nutné znát Bo a B; Bo vypočteme z rov. (32.20) a B změříme takto: Proud primární cívkou P prudce zvýšíme z nuly na hodnotu Ip. Během tohoto děje se mění B a magnetický indukční tok v jádru toroidu tvořeném měřeným materiálem. Indukované emn v sekundární cívce S vyvolá krátký proudový pulz Is(t), který projde balistickým galvanometrem* (na obr. 32.11 není zakreslen). Balistickým galvanometrem změříme celkový náboj, který jím projde a který je (jak se dá vypočítat) úměrný nárůstu velikosti magnetické indukce v měřeném materiálu, tedy hledané hodnotě B. Obr. 32.12 ukazuje magnetizační křivku pro feromagnetický materiál v Rowlandově prstenci, tj. závislost podílu BM/BM,m!a na Bo (BM,mwí je nejvyšší možná hodnota Bm odpovídající saturaci). Křivka je podobná závislosti v obr. 32.10, tj. magnetizační křivce pro paramagnetic-kou látku. Obě křivky ukazují, jak dalece je pole Bo úspěšné při tomto uspořádávání. Pro feromagnetické jádro z obr. 32.12 jsou dipóly seřazeny na 70% pro Bo = 110_3T. Pokud bychom Bo zvýšili na 1T, uspořádání by bylo téměř úplné (dosáhnout hodnoty Bo = 1T je však velmi obtížné). * Nyní se k sekundární cívce S připojuje místo klasického galvano-metru elektronický integrátor napětí, který přímo udává hodnotu B. Obr. 32.11 Rowlandův prstenec; užívá se k měření B ve feromagnetických materiálech. 1,0 5?. 0,6 « 0,4 0,2 0 2 4 6 8 10 12 14 Bo (10-4T) Obr. 32.12 Magnetizační křivka pro feromagnetické jádro v Rowlandově prstenci z obr. 32.11. Hodnota 1,0 na svislé ose odpovídá úplnému seřazení (saturaci) atomárních dipólů v materiálu. Magnetické domény Výměnná interakce vytváří při teplotě pod Curieovým bodem výrazné uspořádání sousedních atomárních dipólů ve feromagnetických materiálech. Proč tedy není materiál přirozeně saturován v případě, kdy není použito žádné vnější magnetické pole Bo? Proč není každý kus železa, jako je např. hřebík, sám od sebe silným magnetem? K pochopení tohoto jevu uvažujme monokrystalický vzorek feromagnetického materiálu, jako je např. železo. V monokrystalech jsou atomy, ze kterých je vzorek sestaven, zcela pravidelně uspořádány v celém objemu vzorku. I takový krystal se však bude v normálním stavu skládat z určitého počtu magnetických domén. Domény jsou oblasti krystalu, ve kterých jsou atomové dipóly úplně seřazeny. V krystalu jako celku jsou však jednotlivé domény orientovány celkem náhodně, takže pole domén se navzájem navenek z velké části ruší. 844 KAPITOLA 32 MAGNETICKÉ POLE V LÁTCE, MAXWELLOVY Neprůhledná magnetická tekutina (suspenze jemného prášku magnetitu v petroleji) a průhledná nemagnetická tekutina jsou nality do tenké skleněné kyvety. Když je kyveta ve svislé poloze, magnetická tekutina (v obrázku černě), která má větší hustotu, klesne ke dnu kyvety. Přiložíme-li nyní magnetické pole kolmo ke stěně kyvety, magnetická kapalina se vymrští hadovité směrem do nemagnetické kapaliny a vytvoří půvabné bludiště. Obr. 32.13 představuje zvětšenou fotografii uspořádání domén v monokrystalu niklu. Zviditelnění bylo dosaženo postříkáním povrchu krystalu koloidní suspenzí jemného železného prachu. Na hranici domén, tedy tam, kde se mění orientace elementárních dipólů, je silné, ostře lokalizované a nehomogenní magnetické pole. Suspendované koloidní částice jsou přitahovány k těmto hranicím a j sou vidět jako bílé čáry. Ačkoli jsou atomární dipóly v každé oblasti zcela seřazeny v jednom směru (jak ukazují šipky), má krystal jako celek navenek velmi malý výsledný magnetický moment. Obyčejný kus železa, se kterým se obvykle setkáme, není monokrystal, ale seskupení mnoha maličkých krystalků, které jsou náhodně uspořádané. Takové těleso nazýváme polykrystahcké. Každý malý krystal však má své vlastní pole různě orientovaných magnetických domén stejně jako na obr. 32.13. Pokud magnetizujeme takový vzorek postupně narůstajícím magnetickým polem, vyvoláme dva procesy, které spolu určují průběh magnetizační křivky podle obr. 32.12: jednak se zvětšují ty domény, které jsou orientovány ve směru vnějšího pole na úkor ostatních, jednak se v rámci jedné domény přeorientují všechny dipóly jako celek do směru bližšího směru vnějšího pole. Ve feromagnetickém materiálu se vytvoří vnějším magnetickým polem výrazný magnetický dipólový moment ve směru Bext. Pokud je pole nehomogenní, feromagnetický materiál je vtahován „do pole", tj. z oblasti s menší magnetickou indukcí směrem do oblasti s větší indukcí. ROVNICE Obr. 32.13 Fotografie obrazce domén v monokrystalu niklu; bílé čáry ukazují hranice domén. Bílé šipky (dokreslené na fotografii dodatečně) ukazují orientace magnetických dipólů uvnitř oblastí, a tedy orientace výsledných magnetických dipólů domén. Krystal jako celek j e nemagnetický, pokud výsledné magnetické pole (vyjádřené vektorovým součtem přes všechny domény) je nulové. Posun domén můžeme dokonce slyšet. Postačí, když přepneme kazetový přehrávač bez kazety do módu přehrávání, nastavíme hlasitost na maximum a potom přiložíme silný magnet k přehrávací hlavě; taje feromagnetická. Pole magnetu způsobí, že se domény v přehrávací hlavě přeorientovávají, čímž se mění magnetické pole v cívce, která je na hlavě navinutá. Výsledné napětí indukované onou změnou pole se pak zesiluje a přivádí na reproduktor, ze kterého slyšíme praskavé zvuky. Magnetismus dávných pecí Jíl ve stěnách a na dně dávných pecí se chová podobně jako železo, neboť obsahuje oxidy železa — magnetit a hematit. V jednom zrnku magnetitu je mnoho velmi malých domén velikosti okolo 310-7 m. Naproti tomu každé zrnko hematitu tvoří jedinou doménu velikosti až 1 mm. Když je jíl zahřát na teplotu několika set stupňů Celsia (a to je v pecích běžné), změní se domény v zrnkách obou typů. V magnetitu se doménové stěny posunou tak, že se zvětší ty domény, které jsou více orientované ve směru zemského magnetického pole, zatímco domény orientované v jiných směrech se zmenší. V hematitu se domény pootočí tak, aby byly více orientovány ve směru magnetického pole Země. Oba procesy pak vedou k tomu, že jíl má magnetické pole, které je rovnoběžné s polem Země. Když pec po použití vychladne, zůstane uspořádání domén, a tím i magnetické pole v jílu zachováno. Tento jev nazýváme termoremanentní magnetismus (TRM). 32.8 FEROMAGNETISMUS 845 K určení směru magnetického pole Země v daném místě v době posledního vyhřátí a zchlazení pece vymezí archeolog malý vzorek dna pece, pečlivě změří jeho orientaci vůči vodorovné rovině a zeměpisnému severu a vyjme ho ze dna pece. Pak určí směr magnetického pole samotného vzorku, neovlivněného stávajícím magnetickým polem Země. Tím určí směr magnetického pole Země v době, kdy byla pec naposledy použita. Je-li známo stáří pece, např. radiouhlíkovou metodou, je tím určeno, kdy mělo pole zjištěný směr. PREKLAD 32.3 Střelka kompasu z čistého železa (o hustotě 7 900 kg-m-3) má délku L = 3,0 cm, šířku 1,0mm a tloušťku 0,5 mm. Velikost dipólového momentu spojeného s atomem železa je //.Fe = = 2,110-23 J-T"1. (a) Kdyby mělo 10 % atomů ve střelce orientováno svůj magnetický moment ve směru pole, jaký by byl její dipólový moment fil ŘEŠENÍ: Seřazení všech N atomů ve střelce by vyvolalo magnetický dipólový moment N(ijje. Pro 10% seřazených atomů dostaneme Ai = 0,10iV>Fe. Počet atomů ve střelce je N : hmotnost střelky hmotnost atomu železa' (32.22) (32.23) Hmotnost střelky m je součinem její hustoty 7 900 kg-m 3 a jejího objemu 1,50 • 10-8 m3, tedy l,185-10_4kg. Hmotnost atomu železa je poměr molární hmotnosti železa mm = 55,847g-mol_1 (dodatek F) a Avogadrovy konstanty ÍVa = 6,02-1023 mol-1. Dosazením rov. (32.23) do rov. (32.22) a použitím výše uvedených veličin a číselných údajů nalezneme /A = 0,10 -/AFe = \ mm J (l,185-lQ-4kg)(6,02-1023mol-1) (55,847 g-mol-iXIO-3 kg/g) • (2,1-10-23J-T-1) = = 2,682-10-3 J-T-1 = 2,7-10-3 J-T-1. (Odpověď) (b) Pokud střelku kompasu lehce vychýlíme z její (vodorovné) severojižní rovnovážné polohy, kmitá kolem ní. Jaká je vodorovná složka indukce zemského magnetického pole, je-li perioda těchto kmitů 2,2 s? ŘEŠENÍ: Dipólový moment fi střelky směřuje odjejího jižního pólu k severnímu. Když střelku pootočíme z rovnovážné polohy o úhel 0, pootočí se tím i //. Zemské magnetické pole pak vyvolá silový moment M vzhledem k ose otáčení, který vrací střelku zpět, aby byl směr ju (a střelka) znovu rovnoběžný s vodorovnou složkou pole. (Připomeňme, že střelka je volně otáčivá pouze ve vodorovné rovině, takže uvažujeme pouze složku B^.) Podle rov. (29.34) je M = —/mB^suiô, (32.24) kde znaménko minus ukazuje, že M má opačnou orientaci než 0. Protože je úhlová výchylka velmi malá, můžeme psát siné? w 6, takže M = -fiBh6. (32.25) Protože /i a fih jsou konstanty, je moment síly, vracející střelku do její ustálené polohy, úměrný záporně vzaté úhlové výchylce. Tento vztah je charakteristický pro harmonický po-hybjakjsme viděli v 51.16.5.Zrovnic (16.24) a (16.25) plyne pro periodu kmitů T = 2k odkud » J Í2A2 *-S (ř) (32.26) kde / je moment setrvačnosti střelky vzhledem k ose jejího otáčení. Považujeme-li střelku za homogenní tenkou tyč a použijeme-li tab. 11.2e, dostaneme T mL2 (1,185-10-4 kg)(0,030m)2 12 12 = 8,888-10_9kg-m2. Dosazením za J, T a \l do rov. (32.26) obdržíme výsledek (8,888-ln-9t"-™2^ ' x2 Bh = (2,682 = 2,7-10-5 T, ■IQ"9 kg-m2) / 2ti V _ ■10-3 J-T-1) \2~Jš) (Odpověď) To je přibližně stejná hodnota, kterou jsme použili v př. 32.1 pro Tucson. Vidíme, že dokonce i s levným kompasem můžeme měřit místní magnetické pole (vodorovnou složku magnetické indukce) změřením doby kmitu střelky po jejím malém vychýlení. Hystereze Magnetizační křivky feromagnetických materiálů nemají stejný průběh v procesu zesilování a v procesu zeslabování vnějšího magnetického pole Bq. Obr. 32.14 znázorňuje závislost Bm na Brj během následujícího postupu magne-tizace Rowlandova prstence: (1) Začneme s nezmagneto-vaným železem (bod a) a zvyšujeme proud v toroidu, až 846 KAPITOLA 32 MAGNETICKÉ POLE V LÁTCE, MAXWELLOVY ROVNICE Bq = [toni má hodnotu odpovídající bodu b. (2) Snižujeme proud ve vinutí toroidu zpět k nule (bod c). (3) Obrátíme směr proudu a zvyšujeme jeho velikost, až Bq má hodnotu odpovídající bodu d. (4) Proud znovu snižujeme až na nulovou hodnotu (bod é). (5) Změníme směr proudu na původní, až znovu dosáhneme bodu b. i Bm ľ B0 J is Obr. 32.14 Magnetizační křivka (ab) pro feromagnetický vzorek a příslušná hysterezní smyčka (bcdeb). Nejednoznačná závislost B m na Bo podle obr. 32.14, tedy to, že Bm závisí nejen na hodnotě Bo, ale i na tom, jakou cestou k magnetizaci došlo, se nazývá hystereze a křivka bcdeb se nazývá magnetická hysterezní smyčka. Poznamenejme, že v bodech c a e je železné jádro zmagne-továno, i když je proud ve vinutí nulový. To je dobře známý jev, nazývaný permanentní magnetismus. Hysterezi můžeme vyložit pomocí magnetických domén. Pohyby hranic domén a změna orientace jejich směru nejsou zřejmě děje zcela vratné. Jestliže vnější magnetické pole Bo zesílíme a poté zeslabíme na původní hodnotu, nevrátí se domény zcela do původního stavu, ale částečně si „zapamatují" směr, do něhož byly natočeny předchozí změnou. Tato paměť magnetických materiálů je zásadní pro magnetické uchování informace např. na magnetických páskách kazet nebo na discích počítačů. Paměť daná seřazením domén se může vyskytovat i v přírodě. Když udeří blesk, tekou elektrické proudy mno-hočetnými krivolakými cestami v zemi a vytvoří silné magnetické pole, které může zmagnetovat jakýkoli feromagnetický materiál v blízké skále. Takový materiál zachová v důsledku hystereze jistou magnetizaci i po úderu blesku, tj. poté, co proud zmizí. Kusy skály, později vystavené vlivu počasí, se rozpadají na přírodní magnetovec, o kterém jsme hovořili v úvodu této kapitoly. 32.9 INDUKOVANÉ MAGNETICKÉ POLE Dosud jsme viděli, že magnetické pole lze vytvořit elektrickým proudem (viz kap. 30) nebo magnetickými materiály. Existuje i třetí způsob, jak je vytvořit — magnetoelektric-kou indukcí. V kap. 31 jsme viděli, že časová změna toku magnetické indukce vytváří elektrické pole, což vyjadřuje Fara-dayův zákon elektromagnetické indukce (rov. (31.22)): ľ db magnetické indukce plochou, která je touto křivkou ohraničena. Protože se ve fyzice často uplatňuje princip symetrie, pokusíme se zjistit, zda se uvedený jev indukce nevyskytuje také obráceně. Jinými slovy: může změna toku elektrické intenzity (elektrického toku) indukovat pole magnetické? Odpověď je kladná; navíc rovnice, která popisuje indukování magnetického pole (jev magnetoelektrické indukce), má téměř stejnou strukturu jako rov. (32.27): / de (Maxwellův zákon é) B ■ ds = lio£q—~.— magnetoelektrické (32.28) J indukce), kroužek na integrálu opět ukazuje, že se integruje po uzavřené křivce. Její orientace je svázána s orientací vektoru dS v plošném integrálu vyjadřujícím elektrický tok 4>e pravidlem pravé ruky stejně jako u Faradayova zákona. Jako příklad tohoto typu indukce uvažujme nabíjení kondenzátoru s rovnoběžnými kruhovými elektrodami podle obr. 32.15a. (I když se dále soustředíme na toto konkrétní uspořádání, zdůrazněme, že časově proměnný elektrický tok indukuje magnetické pole vždy.) Předpokládejme, že náboj na kondenzátoru narůstá rovnoměrně s časem tím, že přitéká konstantní proud přívodními vodiči. Potom i velikost intenzity elektrického pole mezi deskami rovnoměrně narůstá s časem. Na obr. 32.15b je pohled na pravou elektrodu z prostoru mezi deskami. Elektrické pole e směřuje od nás. Uvažujme kružnici procházející bodem 1 v obr. 32.15 soustřednou s kruhovými elektrodami kondenzátoru a s poloměrem menším než poloměr desek. Protože elektrické pole v prostoru mezi elektrodami se s časem mění, mění se s časem i elektrický tok &e- Podle rov. (32.28) tento proměnný elektrický tok indukuje magnetické pole podél uzavřené křivky — kružnice. Experiment potvrzuje, že se magnetické pole podél této kružnice skutečně indukuje a jeho indukce B má směr vyznačený na obrázku. Ta má konstantní velikost v každém bodě kružnice, a proto má toto magnetické pole válcovou symetrii vůči středové ose desek kondenzátoru. 32.9 INDUKOVANÉ MAGNETICKÉ POLE 847 • 2 £ («) Obr. 32.15 (a) Kondenzátor s rovnoběžnými kruhovými elektrodami, nakreslený v bočním pohledu, je nabíjen konstantním proudem I. (b) Pohled z prostoru mezi deskami směrem k pravé desce. Elektrické pole £ je homogenní a směřuje kolmo do nákresny (směrem k desce), velikost £ roste spolu s narůstajícím nábojem na kondenzátoru. Magnetické pole B, indukované tímto proměnným elektrickým polem, je naznačeno ve čtyřech bodech na kružnici s poloměrem r menším, než je poloměr elektrod R. Pokud nyní uvažujeme větší kružnici, procházející např. bodem 2 mimo desky, shledáme, že podél této kružnice se také indukuje magnetické pole. Můžeme říci, že mění-li se elektrické pole v čase, indukuje se magnetické pole jak mezi elektrodami, tak i vně. Když se elektrické pole přestane měnit v čase, zmizí i indukované magnetické pole. Ačkoli jsou si rov. (32.28) a (32.27) podobné, liší se od sebe dvojím: (1) Rov. (32.28) obsahuje dva symboly navíc, ho a so, ale ty jsou důsledkem volby jednotek v SI. (2) Rov. (32.28) nemá znaménko minus, které je v rov. (32.27). Tento rozdíl ve znaménkách znamená, že intenzita £ indukovaného elektrického pole a indukce B indukovaného magnetického pole mají opačné směry, jsou-li vytvořena stejnými změnami svých budících polí. Abychom viděli tento rozdíl ve směrech indukovaných polí, sledujme obrázek 32.16, na kterém rostoucí magnetické pole B směřující od nás indukuje elektrické pole £. Jeho intenzita E má směr proti otáčení hodinových ručiček, zatímco indukce B magnetického pole (indukovaného na obr. 32.15b narůstajícím elektrickým polem £ směřujícím od nás) má směr opačný. Připomeňme nyní, že levá strana rov. (32.28), tj. cirkulace vektoru B, se vyskytuje i v jiné rovnici, a to v Ampérově zákonu (30.16): B ■ ds = fioIc (Ampérův zákon), (32.29) Obr. 32.16 Homogenní magnetické pole B v kruhové oblasti. Pole směřuje kolmo do nákresny a jeho velikost rovnoměrně narůstá s časem. Elektrické pole £, indukované změnou magnetického poleje naznačeno ve čtyřech bodech na kružnici souosé s kruhovými deskami. Porovnejte tento stav s obr. 32.15b. kou (Ampérovou křivkou). Obě rovnice (32.28) a (32.29), které určují magnetické pole B pocházející od elektrického proudu a od proměnného elektrického pole, můžeme spojit v rovnici jedinou: -If ho J d&e Bds = £0—--h h ho J dř (Ampérův-Maxwellův zákon). (32.30) Je-li proud Ic nenulový a elektrický tok se nemění v čase (jako v případě vodiče, kterým protéká stejnosměrný proud), je první člen na pravé straně rov. (32.30) nulový a rov. (32.30) se redukuje na rov. (32.29) — Ampérův zákon. Pokud se s časem mění elektrický tok pří nulovém proudu (tak jako uvnitř nebo vně elektrod kondenzátoru), je druhý člen na pravé straně rov. (32.30) nulový a rov. (32.30) se redukuje na rov. (32.28) vyjadřující magnetoelektrickou indukci. kde Ic je proud obepnutý uzavřenou orientovanou křiv- PRIKLAD 32.4 Nabíjíme kondenzátor s rovnoběžnými kruhovými elektrodami o poloměru R, obr. 32.15a. (a) Jaké magnetické pole se indukuje v bodech ve vzdálenosti r od osy elektrod pro r ^ Rl ŘEŠENÍ: Mezi elektrodami neprotéká proud, proto v rovnici (32.30) je 7C = 0 a zůstane j>B-ás = lLQe0^-. (32.31) Pro kružnici o poloměru r ^ R orientovanou ve směru otáčení hodinových ručiček je levá strana rov. (32.31) rovna (2J)(2w). Elektrický tok 4>e plochou ohraničenou touto kružnicí (tj. kruhem orientovaným podle pravidla pravé ruky v souladu s orientací kružnice a majícím obsah S) je 848 KAPITOLA 32 MAGNETICKÉ POLE V LÁTCE, MAXWELLOVY ROVNICE ES cos 0° = 7ir2£, kde E je velikost intenzity elektrického pole mezi elektrodami. Rov. (32.31) dává d , ,d£ (B)(2nr) = fi0eo — (iir*E) = fi0e0Tzrz — . dř dř Odtud plyne ß=/Wd£ (plor^R) (odpověď) 2 dř Vidíme, že B = 0 ve středu kondenzátoru, kde r = 0, a že B lineárně roste s r směrem k okraji kruhové elektrody. (b) Vypočtěte velikost magnetické indukce B pro r = R/5 = = 11,0 mm, je-li dE/dt = 1.50-1012 V-m-1*-1. ŘEŠENÍ: Z odpovědi na (a) víme, že 1 dE • (ll,0-10"3m) ^1,50-1012^^ = = 9,18-10_8T. (Odpověď) (c) Odvoďte magnetickou indukci pro případ r = R. ŘEŠENÍ: Vně elektrody o poloměru R je elektrické pole nulové, takže elektrický tok kruhem o poloměru r ^ R je nenulový pouze v oblasti o obsahu kR2 a je roven 4>e = = nR2E. Pak rov. (32.31) dává (B)(2w) = iJi0e0—UR2E) = hqEotiR2—. dř dř Odtud vypočteme B: B ßoSoR dE 2r ~d7 pmr = R. (Odpověď) Poznamenejme, že oba výrazy odvozené pro B dávají, jak jsme očekávali, stejné hodnoty pro r = R. Tato hodnota B je maximální. Hodnota B vypočtená v (b) je tak malá, že je téměř neměřitelná běžnými měřícími přístroji. To je v ostrém kontrastu k indukovanému elektromotorickému napětí (Faradayův zákon), které můžeme zjistit snadno. Tento rozdíl je částečně dán tím, že indukované S lze snadno znásobit použitím cívky s mnoha závity. Nemáme však žádný postup srovnatelné jednoduchosti pro znásobení indukovaných magnetických polí. Přesto bylo při velmi pečlivém provedení pokusu magnetické pole indukované nabíjením kondenzátoru spolehlivě naměřeno; výsledek souhlasil s teorií. Kontrola 5: obrázek znázorňuje závislost velikosti elektrické intenzity E na čase t pro čtyři homogenní elektrická pole v kondenzátoru (obr. 32.15). Seřadíte v sestupném pořadí tato elektrická pole podle velikosti B indukovaného magnetického pole v bodě 1 na obr. 32.15b. 32.10 MAXWELLUV PROUD Z pravé strany rov. (32.30) vidíme, že její první člen £o(d^£ /dř) musí mít rozměr proudu. Nazýváme jej Max-wellův proud Im- Im = £o d$£ dř (Maxwellův proud). (32.32) (Dřivé se nazýval posuvný proud v souvislosti s tehdejšími představami o světelném éteru a jeho pohybu.) Rov. (32.30) můžeme s užitím rov. (32.32) zapsat ve tvaru B ■ ds = hoVm,c + Ic) (Ampérův-Maxwellův zákon), (32.33) ve kterém Im,c je Maxwellův proud procházející plochou ohraničenou uzavřenou orientovanou křivkou. Zákon Ampérův-Maxwellův nazýváme často zákon celkového proudu. Uvažujme znovu nabíjení kondenzátoru s kruhovými elektrodami podle obr. 32.17a. Proud /, který nabíjí elektrody, mění elektrické pole E mezi nimi. Maxwellův proud Im mezi deskami je spojen se změnami pole E. Porovnejme oba proudy. V každém okamžiku je náboj Q na elektrodách spojen s velikostí intenzity E mezi nimi rov. (26.4): Ô = eoSE, (32.34) (32.35) kde 5 je obsah elektrody. Abychom dostali proud /, derivujme rov. (32.34) podle času, čímž dostaneme dfi = dř Maxwellův proud Im získáme z rov. (32.32). Za předpokladu, že elektrické pole E mezi dvěma deskami je homogenní (zanedbáme-li rozptyl na okraji), můžeme vyjádřit elektrický tok B E ■ ds =-- df j>B-ds = iiQ (^eo-^f~ + !cj vyjadřuje souvislost mezi tokem intenzity elektrického pole £ uzavřenou plochou a celkovým elektrickým nábojem uvnitř této plochy. vyjadřuje poznatek, že tok magnetické indukce B libovolnou uzavřenou plochou je roven nule (tj. neexistuje magnetický náboj). vyjadřuje souvislost mezi cirkulací intenzity elektrického pole E podél uzavřené orientované křivky a časovou změnou indukčního magnetického toku &b = f B ■ dS plochou ohraničenou touto křivkou. vyjadřuje souvislost mezi cirkulací magnetické indukce B podél uzavřené orientované křivky a časovou změnou toku elektrické intenzity ,z = -mi — = -mifiB. 2m (32.10, 32.11) Potenciální energie Ep orbitálního magnetického dipólového momentu ve vnějším magnetickém poli Bext je E-p — —Poib • Bext — — tlmb,zBe\t- (32.12) Diamagnetismus Diamagnetické látky nevykazují magnetické vlastnosti, pokud nejsou vloženy do vnějšího magnetického pole. Ve vnějším poli Bext se v nich indukuje dipólový magnetický moment orientovaný opačně, než je směr Bext- Jestliže je pole nehomogenní, je diamagnetická látka vytlačována z oblasti s větší magnetickou indukcí. Paramagnetismus V paramagnetické látce má každý atom permanentní magnetický dipólový moment p, avšak tyto momenty jsou orientovány nahodile, takže látka jako celek magnetické pole nemá. Vnější magnetické pole Bext ale může částečně uspořádat atomární dipólové momenty do svého směru. Jestliže je pole nehomogenní, je paramagnetická látka vtahována do oblasti s větší magnetickou indukcí. Stupeň seřazení atomových dipólových momentů se zvyšuje s růstem Bext a klesá s růstem teploty T látky. Mírou zmagnetizování látky je magnetizace: M magnetický moment objem vzorku (32.18) Úplné seřazení všech N atomárních magnetických dipólů ve vzorku, nazývané saturace vzorku, by odpovídalo nejvyšší možné hodnotě magnetizace Mmax = Nfi/V. Pro slabá pole a vyšší teploty platí přibližný vztah M = C-^ (zákon Curieův), (32.19) kde C je Curieova konstanta daného materiálu. Feromagnetismus I za nepřítomnosti vnějšího magnetického pole mají některé elektrony ve feromagnetickém materiálu magnetické dipólové 852 KAPITOLA 32 MAGNETICKÉ POLE V LÁTCE, MAXWELLOVY ROVNICE momenty seřazeny díky kvantově-mechanickému jevu, nazývanému výměnná interakce. Tou vznikají uvnitř materiálu oblasti (domény) s výraznými magnetickými dipólovými momenty. Vnější pole Bext může uspořádat tyto domény a vytvořit tak velký výsledný magnetický dipólový moment materiálu jako celku, a to ve směru Bext. Ten může částečně přetrvávat, i když je pole Bext odstraněno. Je-li Bext nehomogenní, je feromagnetický materiál vtahován do oblastí s větší magnetickou indukcí. Výměnné interakce se přestanou projevovat, přesáhne-li teplota vzorku jeho Curieovu teplotu. Pak vzorek vykazuje pouze para-magnelismus. Maxwellovo rozšíření Ampérova zákona Proměnný tok elektrické intenzity indukuje magnetické pole B, pro které platí j>B-ds = p0e0 ^. (32.28) Tato rovnice spojuje magnetické pole indukované podél uzavřené orientované křivky a změnu elektrického toku &e plochou ohraničenou touto křivkou. Ampérův zákon j) B ■ ds = fi0Ic (Ampérův zákon), (32.29) spojuje magnetické pole vytvářené elektrickým proudem 7C procházejícím plochou, kterou ohraničuje Ampérova křivka. Před- chozí dvě rovnice mohou být zapsány rovnicí jedinou: — (Ľ B ■ as = En--h Ic (Amperuv-Maxwelluv zákon). fio J dř (32.30) Maxwellův proud Maxwellův proud Im, svázaný s měnícím se elektrickým polem, je IM = en- (Maxwellův proud). (32.32) dř Rov. (32.30) pak píšeme B ■ ds = fin (Jm,c + 7C) (Ampérův-Maxwellův zákon), (32.33) kde Im,c je celkový Maxwellův proud tekoucí plochou obepnutou Ampérovou křivkou. Idea Maxwellova proudu dovoluje zachovat představu, že proud protéká souvisle celým obvodem — i kondenzátorem (bez dielektrika). Žádný náboj se však mezi elektrodami nepohybuje. MaxweUovy rovnice MaxweUovy rovnice, uvedené v tab. 32.1, shrnují poznatky elektromagnetismu a představují základní zákony pro elektromagnetické pole. OTÁZKY 1. Na obr. 32.18 jsou čtyři ocelové tyče; tři z nich jsou permanentní magnety. Jeden z pólů je označen. Pokusem shledáme, že konce a a d se navzájem přitahují, konce ca/ odpuzují, konce e a h přitahují a konce a a A přitahují, (a) Které konce jsou severní póly? (b) Která tyč není magnetem? a c e 8 b J d f h Obr. 32.18 Otázka 1 2. Obr. 32.19 znázorňuje čtyři uspořádání dvojic kompasových střelek v oblasti bez vnějšího magnetického pole. Šipky ukazují (c) (d) Obr. 32.19 Otázka 2 směry střelek, a tedy i směry magnetických dipólových momentů. Které dvojice jsou ve stabilní rovnováze? 3. Elektron má ve vnějším magnetickém poli Bext průmět spinu Sz antíparalelní s Bext. Musíme elektronu dodat, nebo odebrat energii k tomu, aby změnil orientaci spinu, tj. aby pak byl Sz paralelní s Bext? 4. Obr. 32.20a ukazuje opačné orientace spinu elektronu ve vnější magnetickém poli Bext. Obr. 32.20b nabízí tři možné volby závislosti potenciální energie spinových magnetických momentů na velikosti Bext. Která z nich je správná? (a) (b) Obr. 32.20 Otázka 4 5. Obr. 32.21 ukazuje smyčkové modely elektronů obíhajících v magnetickém poli proti směru otáčení hodinových ručiček. OTÁZKY 853 Pole je nehomogenní pro model (1) a (2) a homogenní pro model (3). Kam směřují: (a) magnetické dipólové momenty smyček, (b) magnetické síly působící na smyčku: nahoru, dolů, nebojsou nulové? I Bdtt \ Sext / I Bel (D (2) (3) Obr. 32.21 Otázky 5,7 a 8 6. Co se stane s výslednou silou, která působí na smyčku podle obr. 32.9a, b, jestliže zvětšíme (a) velikost vnějšího pole B^, (b) jeho nehomogenitu (rozbfliavost indukčních čar): vzroste, poklesne, nebo zůstane stejná? 7. Nahraďte proudové smyčky v otázce 5 a v obr. 32.21 diamag-netickými koulemi. Rozhodněte pro každé z polí, zda (a) magnetický dipólový moment koule a (b) síla působící na kouli směřují nahoru, dolů, nebojsou nulové. 8. Nahraďte proudové smyčky v otázce 5 a v obr. 32.21 paramag-netickými koulemi. Rozhodněte pro každé z polí, zda (a) magnetický dipólový moment koule a (b) síla působící na kouli směřují nahoru, dolů, nebojsou nulové. 9. V uspořádání podle obr. 32.22 je mezi dvěma póly magnetu nehomogenní magnetické pole. Do tohoto pole vletí elektron kolmo do roviny stránky v místě tečky. Kam směřuje síla působící na elektron vyvolaná interakcí jeho spinu s polem (směrem vlevo, napravo, nebo je nulová), je-li průmět spinu elektronu Sz orientován (a) nalevo, (b) napravo? (Tip: Elektron modelujte kuličkou se záporným nábojem na povrchu, takže představuje proudovou smyčku podobně jako na obr. 32.9.) J 11. Obr. 32.24 ukazuje ve dvou situacích intenzitu elektrického pole E a příslušnou indukční čáru indukovaného magnetického pole. Zvyšuje se, nebo se snižuje v jednotlivých případech velikost £? a c B v (a) (*) Obr. 32.24 Otázka 11 12. V obr. 32.15b směřuje elektrická intenzita E od nás a její velikost roste. Jaký směr má indukce B magnetického pole (ve směru, nebo proti směru otáčení hodinových ručiček), jestliže vektor E míří k nám a (a) roste, (b) klesá? (c) Jaký má směr B, jestliže E míří k nám a s časem se nemění? Na obr. 32.25 je čelní pohled na jednu ze dvou čtvercových elektrod deskového kondenzátoru a na čtyři křivky, které se nalézají mezi deskami. Kondenzátor se vybíjí. Zanedbejte rozptyl elektrického pole na okraji elektrod, (a) Seřadte křivky sestupně podle velikosti integrálu § B ■ ds podél křivek, (b) Podél které křivky (jestli taková vůbec existuje) je úhel mezi B a ds konstantní (takže lze snadno vypočítat skalární součin obou vektorů)? (c) Podél které křivky (jestli taková vůbec existuje) je B konstantní, takže lze B vytknout před integrál v rov. (32.28)? Obr. 32.22 Otázka 9 Obr. 32.25 Otázka 13 Obr. 32.23 ukazuje feromagnetickou kouli, která byla původně bez výsledného magnetického dipólového momentu. Kouli držíme v naznačené poloze dvěma tenkými napjatými drátky. Jestliže se vytvoří vnější magnetické pole Sext směřující vzhůru, získá koule magnetický dipólový moment orientovaný směrem nahoru. Jestliže nyní pole odstraníme, bude se koule otáčet okolo vodiče ve směru otáčení hodinových ručiček (jak je naznačeno), nebo opačně? (Tip: Uvažujte orientaci spino-vého momentu hybnosti elektronů a zákon zachování momentu hybnosti.) Obr. 32.23 Otázka 10 14. Na obr. 32.26 je naznačen kondenzátor s rovnoběžnými elektrodami a proud v připojených vodičích, který kondenzátor vybíjí. Směřuje (a) E, (b) Im nalevo, nebo napravo? (c) Směřuje magnetické pole v bodě P k nám, nebo od nás? P 15. Kondenzátor s rovnoběžnými obdélníkovými elektrodami (2L x 4L) se vybíjí. Myšlený obdélník (L x 2L) se stranami rovnoběžnými s elektrodami leží uvnitř něj. Jaká část celkového Maxwellova proudu jím prochází? 854 KAPITOLA 32 MAGNETICKÉ POLE V LÁTCE, MAXWELLOVY ROVNICE 16. Kondenzátor se nabíjí podle obr. 32.27a. Bod A (poblíž jednoho z přívodních vodičů) i bod B (mezi deskami kondenzátoru) jsou stejně vzdáleny od osy. Také bod C (poblíž vodiče) a bod D (mezi deskami, ale vně kondenzátom) jsou od osy stejně vzdáleny. V obr. 32.27b udává jedna křivka schematicky závislost velikosti magnetické indukce na polomem r uvnitř přívodního vodiče a mimo něj, druhá pak mezi deskami kondenzátom. Obě křivky se částečně překrývají. Který ze tří bodů na křivkách odpovídá některému ze čtyř bodů na obr. 32.27a? ni (a) Obr. 32.27 Otázka 16 CVIČENI S^ULOHY ODST. 32.2 Gaussův zákon pro magnetické pole 1C. Jižní pól magneto umístíme poblíž válce ze stočeného listu papíru podle obr. 32.28. (a) Načrtněte indukční čáry magnetického pole, které procházejí povrchem válce, (b) Co lze říci o znaménku součinu B ■ dS pro každou plošku dS na tomto povrchu? (c) Odpomje výsledek Gaussovu zákonu pro magnetické pole? Vysvětlete. osa válce JJ- Obr. 32.28 Cvičení 1 2C. Velikost magnetického toku každou z prvních pěti stěn hrací kostky je číselně roven počtu ok. Toky o sudé velikosti jsou kladné, o Uché záporné. Jaký je tok šestou stěnou kostky? 3Ú. Gaussova plocha má tvar povrchu válce s poloměrem základny 12,0 cm a o výšce 80,0 cm. Magnetický indukční tok dolní základnou je 25,0 [iWb. Na horní základně je homogenní magnetické pole o indukci 1,60 mT kolmé k povrchu směřující ven z objemu válce. Jaký je výsledný magnetický indukční tok pláštěm válce? 4Ú*. Dvěma vodiči rovnoběžnými s osou z a vzdálenými 4r od sebe teče stejně velký proud / v opačných směrech podle obr. 32.29. Uprostřed mezi nimi leží válec o polomem r a délce L s osou splývající s osou z. Použijte Gaussův zákon pro magnetické pole k výpočtu výsledného magnetického indukčního toku polovinou válcového povrchu, ležícího nad osou x. (Tip: Určete tok tou částí roviny x z, která je uvnitř válce.) y - (\ h. -Ir ~A Obr. 32.29 V. Úloha 4 ODST. 32.3 Zemský magnetismus 5C. V New Hampshire byla v roce 1912 vodorovná složka magnetické indukce zemského magnetického pole 16jaT a in-klinace 73°. Jaká byla velikost magnetické indukce? 6C. Podle školních Tabulek je v Brně deklinace 0,15° západně a inklinace 65,4° dolů. Brno má (v r. 2000) rozlohu 230 km2. Jak velký je magnetický tok zbytkem zemského povrchu? Je kladný, nebo záporný? 7C. Země má magnetický dipólový moment 8,0-1022 J-T-1. (a) Jaký proud by musel protékat jedním závitem umístěným na geomagnetickém rovníku, aby vytvořil stejný magnetický moment? Kdybychom nechali téci tento proud obráceně, zrušili bychom magnetické pole spíše (b) dále od Země, (c) u povrchu Země? 8Ú. Zemské magnetické pole lze aproximovat polem magnetického dipólu. V bodě ve vzdálenosti r od středu Země má složku vodorovnou B^ a svislou Bv: Bh = -.—T cos km, 4-nr5 Bv=—smXB kde A.m je magnetická zeměpisná šířka (měřená od geomagnetického rovníku směrem k severnímu nebo jižnímu geomagnetickému pólu). Zemský magnetický dipólový moment je p = 8-1022 A-m2. (a) Ukažte, že závislost zemského magnetického pole na zeměpisné šířce Xm je 2? = £2^1+3 sin2 Am. (b) Ukažte, že inkhnace z spinového magnetického dipólového momentu protonu j e 1,4 • 10-26 J- T_ 1. (b) Vypočtěte velikost B magnetického pole protonu na ose z ve vzdálenosti 5,210_u m. (Tip: Použijte rov. (30.29).) (c) Jaký je poměr spinového magnetického dipólového momentu elektronu a protonu? 14C. Elektron v atomu má orbitální magnetické kvantové číslo mi = 0. Jaké jsou složky (a) Lz a (b) Morb.z? Nechť je atom ve vnějším magnetickém poli o indukci B velikosti 35 mT směřující ve směru osy z. Jaká je potenciální energie (c) orbitálního magnetického dipólového momentu elektronu a (d) spinového magnetického dipólového momentu elektronu v tomto poli? (e) Opakujte úkoly (a) až (d) pro mi = —3. 15C. Nechť má elektron v atomu orbitální moment hybnosti s hodnotami mi pro 1 = 3. Kolika hodnot může nabýt (a) Lz a (b) /i0rb,z? Jaká je největší a nejmenší dovolená velikost (vyjádřená pomocí h, m a e) složek (c) Lz a (d) //•OTb,z? (e) Jaká je největší dovolená velikost z-ové složky jeho výsledného momentu hybnosti (orbitálního plus spinového)? (f) Kolika různých hodnot (kladných, záporných či nuly) může nabýt z-ová složka výsledného momentu hybnosti? 16Ú. Obr. 32.30 představuje energiové spektrum; na svislou osu vynášíme energiové hladiny atomu (jako v obr. 8.17). V nepřítomnosti pole má atom dvě hladiny E\ a Ei (obr. 32.30a). Je-li atom umístěn do magnetického pole 0,50 T, energiové spektrum se změní tak, jak ukazuje obr. 32.30b. (Zanedbejte spinový magnetický moment a uvažujte pouze potenciální energii //orb ■ B.) Hladina E\ se nezmění, ale hladina E2 se rozštěpí na trojici blízkých hladin. Jaké jsou hodnoty m; spojené s energiovou hladinou (a) E\ a (b) £2? (c) Jaká je vzájemná vzdálenost energiových hladin v tripletu na obr. 32.30b? E2 Ex 17U. Náboj Q je stejnoměrně rozložen podél prstence poloměru r. Prstenec rotuje s úhlovou rychlostí co kolem osy symetrie kolmé k jeho rovině, (a) Dokažte, že magnetický moment v důsledku rotace náboje je //.= \Qcor2. (b) Jaký je směr příslušného magnetického momentu v případě, že je náboj kladný? ODST. 32.6 Diamagnetismus 18C. Obr. 32.31 ukazuje smyčkový model (smyčka K) pro dia-magnetickou látku, (a) Načrtněte indukční čáry magnetického pole procházející smyčkou a v okolí smyčky vyvolaného tyčovým magnetem, (b) Jaký je směr výsledného magnetického dipólového momentu p a směr odpovídajícího proudu / ve smyčce? (c) Jaký je směr magnetické síly působící na smyčku? K Ex (a)B=0 (fc)B = 0,50T Obr. 32.30 Úloha 16 Obr. 32.31 Cvičení 18 a 22 19Ú*. Předpokládejme, že elektron s hmotností m a nábojem velikosti e se pohybuje po kružnici o poloměru r okolo jádra. Dále předpokládejme, že je zapnuto homogenní magnetické pole o indukci B, která je kolmá k rovině dráhy. Za předpokladu, že se poloměr dráhy nezmění a že změna velikosti rychlosti elektronu v důsledku přiloženého pole B je malá, určete vztah pro orbitální magnetický dipólový moment elektronu. ODST. 32.7 Paramagnetismus 20C. Paramagnetický plyn, jehož atomy mají vlastní magnetický dipólový moment 1.0-10-23 J-T-1, se nalézá v magnetickém poli o indukci 0,50 T. Při jaké teplotě bude střední kinetická energie translačního pohybu atomů plynu rovna energii potřebné na překlopení magnetického dipólu jednoho atomu plynu v daném magnetickém poli? 21C. Permanentní tyčový válcový magnet má délku 5,00 cm, průměr 1,00 cm a konstantní magnetizaci 5,30-103 A-m-1. Jaký je jeho magnetický dipólový moment? 22C. Opakujte cvič. 18 pro případ, kdy smyčka je z paramag-netického materiálu. 23C. Zkoumáme, zda vzorek paramagnetické soli s magnetizační křivkou podle obr. 32.10 splňuje Curieův zákon. Vzorek je umístěn do homogenního magnetického pole o indukci 0,50 T, která je během experimentu konstantní. Magnetizaci M pak měříme za teplot v rozmezí 10 K až 300 K. Platí za těchto podmínek Curieův zákon? 24C. Vzorek paramagnetické soli s magnetizační křivkou podle obr. 32.10 má pokojovou teplotu 300 K. V jak silném magnetickém poli bude stupeň saturace (a) 50 %, (b) 90 %? Jsou pole o této magnetické indukci běžně dosažitelná v laboratorních podmínkách? 856 KAPITOLA 32 MAGNETICKÉ POLE V LÁTCE, MAXWELLOVY ROVNICE 25C. Vzorek paramagnetické soli s magnetizační křivkou podle obr. 32.10 se nalézá v homogenním magnetickém poli o indukci 2,0 T. Za jaké teploty bude stupeň magnetické saturace vzorku (a)50%a(b) 90%? 26Ú. Elektron s kinetickou energií Ey obíhá po kružnici v rovině kolmé k homogennímu magnetickému poli. Elektron podléhá pouze síle tohoto pole. (a) Dokažte, že magnetický dipólový moment v důsledku orbitálního pohybu má velikost (i = Ey/B a má opačný směr než B. (b) Jaká je velikost a směr magnetického dipólového momentu kladného iontu s kinetickou energií £k za stejných podmínek? (c) V 1 m3 ionizovaného plynu je 5,3-1021 elektronů a stejný počet kladných iontů. Předpokládejte, že střední kinetická energie* elektronu je 6,2-10-20 J a střední kinetická energie iontu je 7,6-10-21 J. Vypočtěte velikost mag-netizace plynu, nalézá-li se v magnetickém poli o indukci 1,2 T. 27Ú. Uvažujte tuhé těleso obsahující N atomů v jednotkovém objemu. Každý atom má magnetický dipólový moment p. Předpokládejte, že směr // může být pouze paralelní nebo antipara-leiní s vnějším polem B (to bude případ, kdy p pochází od spinu pouze jednoho elektronu). Pomocí statistické mechaniky lze dokázat, že pravděpodobnost výskytu atomu ve stavu s energií E je úměrná e~E/kT, kde T je absolutní teplota a k je Boltz-mannova konstanta. Protože platí E = —p ■ B, je počet atomů, jejichž dipólový moment je paralelní s B, úměrný eflBlkT a počet atomů, jejichž dipólový moment je antiparalelní s S, je úměrný e-^BlkI'. (a) Ukažte, že magnetizace tohoto tělesa je M = N/j,tgh(nB/kT), kde tgh je hyperbolický tangens, definovaný vztahem tgh (x) = (ex — e~x) / (e* + e~x). (b) Ukažte, že výsledky uvedené v (a) se redukují na vztah M = Nfi2B/(kT) pro fiB = 130rad-s_1. Amplituda Maxwellova proudu je Im = 7,60 y.A. Zanedbejte rozptyl elektrického pole na okraji elektrod, (a) Jaká je maximální hodnota proudu / v obvodu? (b) Jaká je maximální hodnota d e/dř, kde 0 dosáhne maximální hodnotu (a) náboj na kondenzátoru, (b) napětí na kondenzátoru s původní polaritou, (c) energie akumulovaná v elektrickém poli, (d) proud. příklad 33.1 Kondenzátor o kapacitě 1,5 [iF je nabit na napětí 57 V. Potom je odpojen od zdroje a připojen k cívce s indukčností 12 mH. Takto vzniklý obvod LC bude kmitat. Jaký bude největší proud v cívce? Předpokládejte, že odpor obvodu je zanedbatelný. ŘEŠENÍ: Ze zákona zachování energie plyne, že maximální energie v kondenzátoru je rovna maximální energii v cívce. To podle rov. (33.1) a (33.2) znamená, že Q2 LI2 2Č ~ ~2~' kde I je maximální proud a g je maximální náboj. (Maximální proud a maximální náboj se nevyskytnou ve stejném okamžiku, ale j sou posunuty v čase o čtvrtinu periody, jak j e zřejmé i z obr. 33.1 a 33.2.) Z uvedeného vztahu vypočteme I (za Q dosadíme CU)& tím dostaneme 7 = iJ^=(57V)/(1'5-10~6F) = V L y (12-10-3 H) = 0,637 A = 640 mA. (Odpověď) 33.3 ELEKTRO-MECHANICKÁ _ANALjOGIE_ Podívejme se poněkud blíže na analogii mezi kmitajícím obvodem LC z obr. 33.1 a kmitající soustavou tvořenou tělesem apružinou. V mechanické soustavě těleso+pružina se vyskytují dva druhy energie: jednak potenciální energie stlačené nebo napnuté pružiny, jednak kinetická energie pohybujícího se tělesa. Oba druhy energie jsou popsány známými vztahy v tab. 33.1 vlevo. Tabulka také ukazuje dva druhy energie v kmitajícím obvodu LC. Můžeme vidět analogii mezi dvojicemi: potenciální + kinetická energie mechanické soustavy a magnetická + elektrická energie obvodu LC. Rovnice pro v a i na konci tabulky pomáhají lépe pochopit tuto analogii. Říkají nám, že náboji q odpovídá výchylka x a proudu i odpovídá rychlost v (v obou rovnicích se druhá veličina získá derivací veličiny první). Tato obdoba nás vede k tomu, abychom seskupili energie do dvojic v řádcích tak, jak j sou v tabulce. Z tabulky vyplývá, že veličině 1 / C odpovídá tuhost k a indukčností L odpovídá hmotnost m: q odpovídá x, l/C odpovídá k, / odpovídá v, L odpovídá m. Podle matematického popisuje tedy obvod LC analogický soustavě těleso + pružina, kondenzátor odpovídá pružině a cívka tělesu. Tabulka 33.1 Energie prvků kmitajících soustav TĚLESO + PRUŽINA CÍVKA + KONDENZÁTOR PRVEK ENERGIE PRVEK ENERGIE pružina .Zí p — 2 fcx kondenzátor Eei = \(l/C)q2 těleso Ek = \mv2 cívka W — 1Ti2 Ľmg — 2 v = dx/dt i = dq/dt Z čl. 16.3 víme, že úhlová frekvence kmitů soustavy těleso + pružina pří zanedbání tření je (soustava těleso + pružina). (33.3) 33.4 KMITY LC KVANTITATIVNÉ 863 Uvedená analógie nás vede k tomu, abychom pro stanovení uhlové frekvence kmitů v obvodu LC (bez odporu) nahradili k veličinou l/C a m veličinou L. Tím dostaneme 1 co = (obvod LC). (33.4) Tento výsledek odvodíme v následujícím článku. 33.4 KMITY LC KVANTITATÍVNE Nyní potvrdíme platnost rov. (33.4) pro úhlovou frekvenci kmitů LC. Současně budeme podrobněji zkoumat analogii mezi kmity obvodu LC a kmity soustavy těleso + pružina. Začneme tak, že rozšíříme naše dřívější studium kmitající soustavy těleso + pružina. Oscilátor těleso + pružina Kmity soustavy těleso + pružina jsme studovali v kap. 16 z hlediska přenosu energie. Tehdy jsme si však neodvo-dili základní rovnici, která mechanické kmity popisuje. To provedeme nyní. Pro celkovou energii E oscilátoru těleso+pružina v libovolném okamžiku můžeme psát E = Lk + Ep = \mv2 + \kx2, (33.5) kde Eí je kinetická energie pohybujícího se tělesa a Ep je potenciální energie napnuté nebo stlačené pružiny. Přitom zanedbáváme tření, takže se celková energie E s časem nemění, i když sevax mění. Platí tedy dE/dt = 0. Derivace rov. (33.5) podle času dává dE d (\ 2 1 2\ — = — ( -mv + -kx I = dř dř \2 2 ) dv dx ■■ mv--h kx — dř dř 0. (33.6) Avšak v = dx/dt, a tedy dv/dt = d2x/dt2. Dosazením do rov. (33.6) pak dostaneme d2x m —=- + kx = 0 dř2 (kmity tělesa na pružině). (33.7) Diferenciální rovnice (33.7) je základní diferenciální rovnicí popisující kmity v soustavě těleso + pružina při zanedbání tření. Vystupuje v ní výchylka z rovnovážné polohy x a její druhá derivace podle času. Obecné řešení rov. (33.7), tj. funkce^(ř),která popisuje kmity soustavy těleso + pružina, je, jak víme z rov. (16.3), x(t) = X cos(cot + cp) (výchylka), (33.8) kde X je amplituda výchylky mechanických kmitů (v kapitole 16 značená xm), co je úhlová frekvence kmitů a

a úhlová frekvence je a = 1/a/LC, dostaneme T = 2tz*/LC. Každý kmit trvá jednu periodu, takže v časovém intervalu Ař = 0,011 ls je počet kmitů roven Ař Ař T 2m/ZČ __(0,011 ls)_ ~~ 2tV(12-10-3H)(1,6-10-6F) = 13. (Odpověď) Amplituda kmitů náboje poklesne na 50% přibližně během 13 kmitů. Toto tlumení je výrazně menší než tlumení z obr. 33.3, kde klesala amplituda o něco více než 50 % během jednoho kmitu. 33.6 STŘÍDAVÉ PROUDY Kmity v obvodu RLC nebudou Úumeny, jestliže vhodný vnější zdroj elektromotorického napětí dodá dostatek energie k pokrytí tepelných ztrát na rezistoru R. Elektrické obvody v domácnostech, úřadech a továrnách obsahující bezpočet obvodů RLC, které odebírají tuto energii od místních rozvodných podniků. Ve většině zemí se energie dodává formou střídavého emn, resp. střídavého proudu*. Tyto * Proud v čase neproměnný, např. z baterií a akumulátorů, se nazývá stejnosměrný. kmitající emn a proudy se mění v čase harmonicky s kmitočtem 50 Hz, což znamená, že změní lOOkrát za sekundu svůj směr. (V některých zemích, např. v USA, se používá kmitočet 60 Hz; směr se za sekundu změní 120krát.) Všimněme si jedné pozoruhodnosti střídavého proudu. Viděli jsme, že driftová rychlost elektronů (čl. 27.3) ve vodičích obvykle nepřesahuje 4-10-5 m-s-1. Jestliže nyní změníme směr proudu každou setinu sekundy, posune se elektron asi o 4-10_7m za půl periody. Tato vzdálenost představuje posun elektronu asi o 10 atomů, načež je elektron přinucen obrátit směr. Můžeme se tedy ptát, jak se může elektron při střídavém proudu vůbec dostat ke spotřebiči. Odpověď spočívá v tom, že vodivé elektrony se nemusí „někam dostat". Řekneme-li, že proud ve vodiči je jeden ampér, míníme tím, že nosiče náboje, které projdou průřezem vodiče, jím přenesou náboj jednoho coulombu za sekundu. Velikost rychlosti, kterou náboje procházejí rovinou průřezu, není přitom podstatná. Tentýž proud může odpovídat mnoha nábojům pohybujícím se pomalu, nebo několika nábojům pohybujícím se velmi rychle. Dále si uvědomme, že fyzikální popud, který mění směr pohybu elektronů a který má původ ve střídavém emn dodávaném z generátoru v elektrárně, se šíří jako elektromagnetická vlna podél tohoto vodiče s rychlostí blízkou rychlosti světla. Všechny elektrony, bez ohledu na jejich polohu, dostávají „pokyny pro změnu směru" prakticky ve stejném okamžiku. Je také na místě poznamenat, že v mnoha zařízeních (jako jsou žárovky a tepelné spotřebiče) není směr pohybu elektronů důležitý. Elektrony totiž takovým zařízením předávají energii srážkami s jeho atomy, tedy dějem, kde směr pohybu náboje není podstatný. Základní výhoda střídavých proudů je tato: * časovou změnou proudu se mění i magnetické pole obklopující vodiče. To dává možnost využít Faradayův zákon elektromagnetické indukce, což mezi mnoha jinými důsledky znamená, že můžeme libovolně zvýšit nebo snížit velikost střídavého napětí použitím transformátoru, jak uvidíme v této kapitole později. Navíc je střídavý proud vhodnější k použití v rotačních strojích, jako jsou generátory a motory, než (v čase stálý) stejnosměrný proud. Obr. 33.6 ukazuje jednoduchý model alternátoru — generátoru střídavého napětí. Pnnutíme-li vodivou smyčku točit se ve vnějším magnetickém poli o indukci B, indukuje se v ní emn s harmonickým průběhem (kap. 31, úloha 25): e = £,swcúbt. (33.25) Úhlová frekvence emn, označená a>b, je rovna úhlové rychlosti, se kterou se smyčka otáčí v magnetickém poli. Fáze emn je w^t a amplituda emn je S. Je-li otáčející se smyčka 33.8 TM JEDNODUCHÉ OBVODY 867 částí uzavřeného obvodu, budí v něm toto emn harmonický* proud se stejnou úhlovou frekvencí &>b, která se nazývá budicí úhlová frekvence. Proud můžeme vyjádřit vztahem i = I sin (č«bř — 0 přímo udává fázové zpoždění proudu i vůči e; proud i totiž nemusí být obecně ve fázi s e. Jak uvidíme, závisí fázový posun

b vnějšího zdroje emn. Nejprve však prostudujeme tři jednodušší obvody, z nichž každý má kromě vnějšího zdroje emn pouze jeden obvodový prvek: R, L, nebo C. Začneme s rezistorem (čistě odporová zátěž). Obr. 33.7 Sériový obvod skládající se z generátoru, rezistoru, kondenzátom a cívky; generátor je znázorněn kroužkem se sinusoidou. Je zdrojem střídavého emn, které v obvodu vyvolá střídavý proud. Na obrázku je naznačen směr emn a proudu v jednom okamžiku. Odporová zátěž Obr. 33.8a ukazuje obvod s rezistorem o odporu R připojeným ke generátoru harmonického emn. Pro smyčku (jak víme z čl. 28.3) platí e — Ur =0. Po dosazení z rov. (33.25) dostaneme ur = § sint^ŕ. Napětí na rezistoru se tedy mění harmonicky s úhlovou frekvencí rovnou <«b a amplitudou, která se rovná amplitudě přiloženého emn. Můžeme proto psát ur = Ur siniwbř. (33.27) * Je to běžný název pro sinusový a kosinusový průběh s libovolnou počáteční fází. Z definice odporu (R — u/i) můžeme vyjádřit proud rezistorem vztahem ur Ur . Ir = — = — sinwbř. (33.28) K K 868 KAPITOLA 33 ELEKTROMAGNETICKÉ KMITY A STŘÍDAVÉ PROUDY Podle rov. (33.26) můžeme tento proud zapsat ve tvaru i r = Ir sin (cobt - cp), (33.29) kde Ir je amplituda proudu ír v rezistoru. Porovnáním rov. (33.28) a (33.29) vidíme, že pro čistě odporovou zátěž je

bt _ (c) Obr. 33.8 (a) Rezistor je připojen ke zdroji harmonického emn. (b) Proud a napětí na rezistoru jsou ve fázi a uskuteční jeden kmit za jednu periodu T. (c) Fázorový diagram ukazuje tutéž situaci jako obr. (b). Porovnáním rov. (33.27) a (33.28) vidíme, že obě časové závislosti ur(í) a ír(í) jsou dány týmž výrazem sinťWbř, a tedy rozdíl jejich fází je

bt funkcí sinus fázově posunutou: coscobt = sin(ftV + 90°). Po těchto dvou úpravách zapíšeme rov. (33.33) ve tvaru sin( = —90°. Vidíme též, že amplitudy napětí a proudu jsou spolu spojeny vztahem Uc = IcXc (kondenzátor). (33.37) Ačkoli jsme nalezli tento vztah pro konkrétní obvod na obr. 33.9a, lze ho použít na libovolný kondenzátor v jakémkoli obvodu střídavého proudu. Porovnáním rov. (33.31) a (33.35) nebo pohledem na obr. 33.9b zjistíme, že veličiny uc a ic jsou posunuty o úhel 90°, tedy o čtvrtinu periody. Navíc vidíme, že ic předbíhá uc, což znamená, že na obr. 33.9a dosahuje ic maxima o čtvrtinu periody před uc- Tento vztah mezi ic a uc je znázorněn na fázorovém diagramu v obr. 33.9c: fázor Ic předbíhá před fázorem Uc o úhel 90°. j^ONTROLA 4: Obrázek (1) ukazuje sinusovou funkci S(t) = sinťWbř a čtyři další sinusoidy A(t), B(t), C(t), D(t), každou tvaru sin(ň)t,í — bf. (33.41) \cobLJ Provedeme dále dvě úpravy této rovnice. Za prvé: aby se zápis podobal rov. (33.28), zavedeme induktivní reak-tanci Xl cívky vztahem Xl = (ObL (induktivní reaktance). (33.42) 870 KAPITOLA 33 ELEKTROMAGNETICKÉ KMITY A STŘÍDAVÉ PROUDY

bř - (p) = = (0,415 A) sin(l20Ttr - ^. (Odpověď) j^ONTROLA 5: Jestliže zvýšíme budicí kmitočet fi, v obvodu (a) podle obr. 33.9a, (b) podle obr. 33.10a, amplituda proudu I v obvodu vzroste, klesne, nebo zůstane stejná? 33.9 SÉRIOVÝ OBVOD RLC Nyní jsme připraveni vyšetřit situaci, kdy připojíme zdroj harmonického emn e = é>smcor)t (přiložené emn) (33.46) k sériovému obvodu RLC podle obr. 33.7. Protože R, L a C jsou zapojeny v sérii, protéká tentýž proud i = I sin(íWbř — Xc, obvod má induktivní charakter. Podle rov. (33.56) je fázový posun

Xl, obvod má kapacitní charakter. Podle rov. (33.56) je fázový posun pro takový obvod záporný, což znamená, že fázor š rotuje za fázorem / (obr. 33.12c). Příklad závislosti e a i na čase je na obr.33.12d. Je-li Xc = Xl, obvod je v rezonanci; tento termín vysvětlíme dále. Rov. (33.56) říká, že v takovém obvodu je

, avšak toto maximum klesá s rostoucím R. (Maximum / je vždy rovno ď/R; k důkazu postačí kombinovat rov. (33.52) a (33.53)). Také šířka křivek narůstá s rostoucím R (šířka je definována jako rozdíl kmitočtů při proudu rovném polovině maximální hodnoty /, obr. 33.13). - - - Iä = 10£2 - Xc >xL L -\ xL >XC - 30 Q -/? = 100s2 0,90 0,95 1,00 Cúb/Cú 1,05 1,10 Obr. 33.13 Rezonanční křivky buzeného obvodu RLC na obr. 33.7 pro L = 100 ^H, C = 100pF a tři hodnoty R. Amplituda / harmonického proudu závisí na tom, jak blízko je budicí úhlová frekvence ců^ k vlasmi úhlové frekvenci a>. Vodorovná šipka u každé křivky udává její šířku na poloviční hodnotě maxima proudu, což je měřítkem strmostí rezonanční křivky. Nalevo od a>\,/o) = 1 je Xc > a obvod má kapacitní charakter. Napravo od ců^/ců = 1 je Xl > Xc a obvod má induktivní charakter. Rezonančním křivkám z obr. 33.13 můžeme dát fyzikální význam tím, že budeme uvažovat, jak se reaktance Xl a Xc změní, zvyšujeme-li postupně budicí úhlovou frekvenci ŕwt,, přičemž začneme z hodnot mnohem menších, než je vlastní frekvence w. Pro malé hodnoty cd^ je reaktance Xl = ců\>L malá a reaktance Xc = l/ico^C) je velká. Obvod má tedy kapacitní charakter a převládá velká reaktance Xc, která udržuje v obvodu malý proud. 874 KAPITOLA 33 ELEKTROMAGNETICKÉ KMITY A STŘÍDAVÉ PROUDY Zvyšujeme-li cú\, , reaktance Xc stále převažuje, ale klesá, zatímco Xl se zvyšuje. S poklesem Xc klesá i impedance, takže proud narůstá, jak vidíme na levé části rezonanční křivky v obr. 33.13. Když rostoucí Xl a klesající Xc dosáhnou stejných hodnot, proud je největší a obvod je v rezonanci při rWb = co. Zvyšujeme-li dále cú\>, převládne narůstající reaktance Xr. nad klesající reaktancí Xc- Impedance tedy narůstá v důsledku zvýšení Xl a proud klesá, jak je zřejmé v pravé části rezonanční křivky v obr. 33.13. Stručně shrnuto: pro úhlové frekvence menší než co převažuje kapacitní reaktance, pro úhlové frekvence větší než co převažuje induktivní reaktance a rezonance nastává právě pro frekvenci co, kdy celková reaktance je nulová. PŘIKLAD 33.5 V obr. 33.7 je R = 160 £2, C = 15,0 ^F, L = 230mH, /b = 60,0Hz a S = 36,0 V. (Až na R jsou hodnoty stejné jako v př. 33.4.) (a) Jak velká je amplituda proudu /? ŘEŠENÍ: Amplitudu proudu můžeme vypočítat z rovnice (33.53) (/ = š/Z), stanovíme-li nejprve impedanci Z obvodu z rov. (33.52). Z př. 33.4a víme, že kapacitní reaktance Xc pro kondenzátor (a tedy pro obvod) je 177 £2, a z př. 33.4b víme, že induktivní reaktance Xl cívky je 86,7 £2. Z rov. (33.52) dostaneme Z = VR2 + (Xl - Xc)2 = = 7(160 £2)2 + (86,7 £2 - 177 £2)2 = = 184 £2. Potom vypočteme =---=-^ ^ ^-= —0,564, odtud (160 £2)

Xl- j^ONTROLA 6: Mějme tři dvojice kapacitní a induktivní reaktance pro tři harmonicky buzené obvody RLC: (1) 50 £2, 100 £2; (2) 100 £2,50 £2; (3) 50 £2,50 £2. (a) Pro každý z obvodů rozhodněte, jestli proud předbíhá, nebo je zpožděn vzhledem k připojenému emn, nebo jestli jsou obě veličiny ve fázi. (b) Je některý z obvodů v rezonanci? 33.10 VÝKON V OBVODECH SE STŘÍDAVÝM PROUDEM Do obvodu RLC (obr. 33.7) dodává energii generátor střídavého napětí. Část energie, kterou dodává, je uložena v elektrickém poli kondenzátoru, část v magnetickém poli cívky a část se disipuje v rezistoru. V ustáleném stavu, který předpokládáme, zůstává časová střední hodnota energie uložené v kondenzátoru a v cívce konstantní. Elektromagnetická energie se přenáší jen od generátoru k rezistoru a v něm se disipuje. («) sin2 6 +1 2ic 3tc (b) Obr. 33.14 (a) Závislost sinč? na 9. Střední hodnota za dobu jedné periody je nulová, (b) Závislost sin2 6 na 6. Střední hodnota za dobu jedné periody je \. Rychlost, se kterou je energie disipována v rezistoru, tj. okamžitý výkon, lze vyjádřit pomocí rov. (27.22) a (33.26) vztahem P = i2 R = I2R sin2(íwbř ■cp). (33.59) Střední výkon disipovaný v rezistoru je časovou střední hodnotou výrazu (33.59). Ačkoli střední hodnota za dobu jedné periody je pro funkci siné? nulová, je střední hodnota sin20 rovna \ (obr. 33.14). (Povšimněte si v obr. 33.14b, jak vystínované části křivky, které leží nad vodorovnou 33.10 VÝKON V OBVODECH SE STŘÍDAVÝM PROUDEM 875 přímkou označenou + 5, přesně vyplňují prázdná místa pod touto čárou.) Z rov. (33.59) plyne výraz pro střední výkon . 2 (33.60) - I2R ( I V Veličina //-s/2 se nazývá efektivní hodnota proudu i, a pokud nebude uvedeno jinak, použijeme pro její označení index „ef'. Tedy /ef = —= (efektivní proud). (33.61) V2 Rov. (33.60) můžeme přepsat do tvaru ~D _ j2 P = l£fR (střední výkon). (33.62) (Připomeňme, že ř/stř = 0 a 7stř = 0!) Rov. (33.62) se formálně podobá rov. (27.22) P = i2R. Zavedení efektivních hodnot proto umožňuje, abychom střední hodnoty ztrát ve střídavých obvodech (tj. střední výkony) v ustáleném stavu vyjádřili formálně stejným vztahem jako pro stejnosměrné proudy. Pro střídavé proudy můžeme také definovat efektivní hodnoty napětí i emn: U ■Jí (efektivní napětí a emn). (33.63) Přístroje na měření střídavých veličin, jako např. am-pérmetry a voltmetry, jsou obvykle cejchovány v efektivních hodnotách. Pokud tedy voltmetr na měření střídavých napětí ukazuje v elektrické zásuvce 230 V, je to efektivní napětí. Maximální hodnota napětí v zásuvce je pak \/2(230V), tj. 325 voltů. Protože součinitel úměrnosti 1/V2 v rov. (33.61) a (33.63) je stejný pro všechny tři proměnné, můžeme rov. (33.53) a (33.51) psát ve tvaru T <£ef ht = — = Z JŔI + ÍXl-Xc)2' (33.64) Zápisu pomocí efektivních hodnot budeme dávat přednost. Vztah Isf = éftf/Z můžeme použít k přepisu rovnice (33.62) do jiného užitečného ekvivalentního vyjádření. Píšeme (33.65) — ©ef R P = -^-IeíR = $£!<£-. Z obr. 33.1 ld, tab. 33.2 a z rov. (33.53) však plyne, že podíl R/Z je roven kosinu fázového posunu cp: coscp Rov. (33.65) pak zní UR IR R (33.66) P = Sti /ef cos

v ní se nazývá účiník. Protože cos

■ 1. To je ekvivalentní požadavku, aby V září 1988, po 72 letech hry za denního světla, instaloval klub Chicago Cubs reflektory pro hru při umělém osvětlení. Celkem 540 halogenových svítidel po 1500 W osvětlilo hrací plochu. Avšak první hra za umělého osvětlení byla pro bouřku přemšena. Fanoušci si to vysvětlili po svém — považovali to za znamení, aby Cubs zůstali při hře za denního světla. 11. listopadu 1965 v 17:17 h způsobilo vadné relé v energetické soustavě poblíž Niagarských vodopádů odpojení spínače na přenosovém vedení. Proud se samočinně přepojil do ostatních vedení, ta se tím však přetížila a automaticky odpojila ze soustavy. V několika minutách se zhroutila energetická soustava a do tmy se ponoňla většina New Yorku, Nové Anglie a Ontaria. 876 KAPITOLA 33 ELEKTROMAGNETICKÉ KMITY A STŘÍDAVÉ PROUDY fázový posun

Xl má obvod kapacitní charakter a fázový posun

C)) vypočteme původní kapacitu C = 1 1 2tí fbXc 2it(60,0Hz)(150£2) = 17,7 nF. Výkon P je nej vyšší, je-li obvod v rezonanci, tj. když jsou si reaktance rovny: Xc = Xl. Rov. (33.34) pro Xc = Xl = = 80 £2 dává kapacitu potřebnou pro rezonanci C' = 1 1 2TífhXc 2tí (60,0 Hz) (80 £2) Požadovaná změna kapacity tedy bude AC — C'-C — 33,2 nF - 17,7 yF = 15,5 pí. = 33,2 yF. (Odpověď) (d) Jaký bude střední výkon P při takto změněné kapacitě? ŘEŠENÍ: Po změně je Xc = XL. Potom z rov. (33.52) a (33.66) platí Z = R a cos

N\, nazýváme zvyšovací, protože zvyšuje primární napětí U\ na vyšší napětí U2. Transformátor s N2 < N\ nazýváme snižovací. Až dosud jsme uvažovali spínač S rozepnutý; generátor nedodával do obvodu žádnou energii. Nyní sepneme spínač S a připojíme tím k sekundárnímu vinutí odporovou zátěž R. (Obecně může zátěž obsahovat také induktivní a kapacitní prvky, ale zde budeme uvažovat pouze rezistor R.) Shledáme, že se nyní energie přenáší z generátoru do zátěže. Podívejme se, proč. Po sepnutí spínače S dojde k několika jevům. (1) Sekundárním obvodem začne protékat střídavý proud I2, který způsobí v odporové zátěži ztráty I2R = = Ul/R. (2) Sekundární proud vytvoří střídavý magnetický tok v železném jádru a ten indukuje (podle Faradayova indukčního zákona a Lenzova zákona) v primárním vinutí emn opačně orientované. (3) Napětí U\ na primárním vinutí se však v důsledku napětí indukovaného proudem l2 nemůže změnit, neboť musí být stále rovno emn generátoru. Sepnutí spínače to nemůže ovlivnit. (4) Aby generátor udržel napětí U\, musí (navíc k mag-netizačnímu proudu) primárním vinutím procházet takový střídavý proud I\ Jehož velikost a počáteční fáze jsou právě tak velké, aby emn indukované tímto proudem v primárním vinutí přesně zrušilo emn indukované v něm sekundárním proudem I2. Protože primární proud h už není posunut vůči primárnímu napětí U\ přesně o 90° (jako tomu bylo u magnetizačnflio proudu), přivádí proud h do primárního vinutí energii. Nalezněme nyní vzájemný vztah mezi I2&I\. Namísto analýzy detailů složitého procesu použijme pouze zákon zachování energie. Přitom stále předpokládáme, že zátěž je čistě odporová. Výkon přiváděný z generátoru na primární vinutí je I\U\. Výkon přenášený z primárního vinutí do sekundárního vinutí (obě cívky jsou spřaženy magnetickým polem) je I2U2. Protože předpokládáme, že se žádná energie během přenosu neztratí, plyne ze zákona zachování energie hU1=I2U2. Dosadíme-li za U2 z rov. (33.70), dostaneme Ni I2 = l\— (transformace proudu). (33.71) N2 Tato rovnice vyjadřuje, že proud l2 v sekundárním vinutí může být větší, menší, nebo stejný ve srovnám s proudem 1\ v primárním vinutí, a to v závislosti na poměru počtu závitů Ni/N2. Impedanční přizpůsobení Proud 1\ se v primární cívce objevil proto, že jsme do sekundárního obvodu zapojili zátěž R. Abychom vypo-četii I\, dosadíme I2 = U2/R do rov. (33.71) a pak ještě za U2 z rov. (33.70). Dostaneme tak R \Ni) Ui. (33.72) Tuto rovnici můžeme zapsat ve tvaru I\ = r/i/ií'jkdejsme zavedli „transformovaný odpor" R' vztahem M J (33.73) Na primární straně totiž protéká proud h při napětí U\, jako by byl generátor připojen k rezistoru s odporem R'. Ze strany generátoru se tedy zapojení transformátor + zátěž R jeví tak, jako by byla v primárním obvodu zapojena zátěž R'. Rov. (33.73) ukazuje, že transformátor může plnit ještě jinou funkci. Jak již víme (úloha 24 v kap. 28), maximální přenos výkonu ze zdroje emn do odporové zátěže nastává, jsou-li odpory zdroje a zátěže stejně velké. Totéž platí pro střídavé obvody s tím rozdílem, že impedance generátoru (namísto pouhého odporu) musí být přizpůsobena zátěži. Často se stává — např. když chceme připojit reproduktor k zesilovači — že tato podmínka není ani zdaleka splněna, protože zesilovač má vysokou impedanci a reproduktor naopak velmi nízkou. Obě impedance můžeme přizpůsobit vzájemným propojením pomocí transformátoru s vhodným převodním poměrem závitů N\/N2. PŘIKLAD 33.7 Rozvodný transformátor je napájen primárním napětím U\ = = 22 kV a dodává energii do okolních domů při napětí U2 = 230 V (obě veličiny jsou efektivní hodnoty). Předpokládejme ideální snižovací transformátor, čistě odporovou zátěž a účiník roven jedné. (a) Jaký je poměr závitů transformátoru N1/N2! PŘEHLED & SHRNUTÍ 879 RESENI: Z rov. (33.70) máme Ni Ui (22-103V) N2 U2 (230 V) = 95,65 = 96. (Odpověď) (b) Střední výkon spotřebičů v domech napájených z transformátoru je 78 kW. Jaká je efektivní hodnota proudu na primárním a sekundárním vinutí transformátoru? ŘEŠENÍ: Zrov. (33.67) dostaneme (při cos

\ v > P (78-103W) /2 = ^ = i(Í30V) = 339A- (°dP0Věd> (c) Jaká je odporová zátěž v sekundárním obvodu? ŘEŠENÍ: V sekundárním obvodu je R _ Ul _ (230V) _ h (339 A) = 0,678 Q, = 0,68 Q. (Odpověď) (d) Jaký je „transformovaný odpor" v primárním obvodu? (Tj. jak je primární obvod zatížen?) ŘEŠENÍ: Pro primární obvod vypočteme 77, (,22-103V) /?' = —!■= \ ' = 6206Q = 6,2kí2, (Odpověď) h (3,545 A) nebo s použitím rov. (33.73) /ř'=^^ R = (95,65)2(0,184 6 fi) = = 6203n = 6,2kí2. (Odpověď) j^ONTROLA 8: Zdroj harmonického emn má menší vnitřní odpor, než je odpor připojené zátěže. Abychom zvětšili přenos výkonu z generátoru do zátěže, vložíme mezi obě zařízení transformátor k přizpůsobení impedance. Použijeme zvyšovací, nebo snižovací transformátor? PŘEHLED & SHRNUTÍ Přenos energie v obvodu LC V kmitavém obvodu LC se energie periodicky přelévá mezi elektrickým polem kondenzátoru a magnetickým polem cívky. Okamžitá hodnota obou forem energie je c q2 c Li2 Eel=2Č 3 E^ = —' (33.1,33.2) kde q = Q(t) je náboj na kondenzátoru a i = I(t) je proud procházející cívkou v čase t. Celková energie E = £ei + £mg zůstává konstantní. Kmity v obvodu LC Zákon zachování energie vede ke vztahu d2? 1 L—f- H--q = 0 (kmity obvodu LC), díz C což je diferenciální rovnice netlumených kmitů LC (bez odporu). Řešením rov. (33.11) je q(t) = Qcos(at + í + (p) (časový průběh proudu), dř (33.13) kde oj Q je amplituda proudu I. Tlumené kmity v obvodu RLC V reálném obvodu LC dochází vždy k disipaci energie a kmity jsou proto tlumené. K disipaci energie dochází na prvku s odporem R. Diferenciální rovnice tlumených kmitů má tvar d2a do 1 L—% + R— + —q = 0 (obvod RLC). (33.20) dt1 dt C (33.11) Její řešení je kde q = ee-ÄÍ/(2i) cos(«'í + cp), (33.21) to' = yjců2 - (R/2L)2. (33.22) Střídavé proudy, vynucené kmity V sériovém obvodu RLC můžeme vybudit vynucené kmity s budicí uhlovou frekvencí cob prostřednictvím vnějšího zdroje harmonického emn e= Sunout. (33.25) 880 KAPITOLA 33 ELEKTROMAGNETICKÉ KMITY A STŘÍDAVÉ PROUDY Proud buzený v obvodu přiloženým emn je i = / sin(ft>br — í>), kde

(netiumeného) obvodu LC. Pak Xc = Xl,

bC) je kapacitní reaktance; proud předbíhá před napětím o 90°. Pro cívku platí Ul = IXl, kde Xl = a>bL je induktivní reaktance; proud je zpožděn za napětím o 90°. Sériový obvod RLC Pro sériový obvod RLC s vnějším emn podle rov. (33.25) a s proudem podle rov. (33.26) platí 1 = JR2 + (XL - XC)2 JR2 + (cobL - l/^C)2 (amplituda proudu) (33.51,33.54) tg

/2, Seí = S/-J2. Činitel cos

0 bude (a) elektroda A mít opět maximální kladný náboj, (b) druhá elektroda mít maximální kladný náboj, (c) cívka mít maximální energii? ODST. 33.3 Elektro-inechanická analogie 7C. Těleso hmotnosti 0,50 kg kmitá na pružině, jejíž síla pružnosti při výchylce 2,0 mm z rovnovážné polohy má velikost 8,0 N. (a) Jaká je úhlová frekvence kmitů? (b) Jaká je perioda kmitů? (c) Jaká je kapacita odpovídajícího obvodu LC pro L = 5,OH? 8Ú. Energie v kmitavém obvodu LC s L = 1,25 H je 5,7 [iJ. Maximální náboj na kondenzátoru je 175 [iC. Stanovte u odpovídajícího mechanického oscilátoru (a) hmotnost, (b) tuhost pružiny, (c) největší výchylku, (d) největší rychlost. ODST. 33.4 Kmity LC kvantitativně 9C. V některých generátorech elektronické hudby se používají oscilátory LC. Jak velká indukčnost musí být použita spolu s kondenzátorem 6,7 jiF k získání frekvence komorního a (440 Hz)? 10C. Jakou kapacitu musíte připojit k cívce 1,30 mH, abyste vytvořili oscilátor rezonující na 3,50 kHz? 11C. V obvodu LC s L = 50 mH a C = 4,0 nF je počáteční proud maximální. Jak dlouho potrvá, než se kondenzátor nabije poprvé na maximální napětí? 12C. Uvažujte obvod podle obr. 33.22. Se spínačem Si sepnutým a dalšími dvěma rozpojenými má obvod časovou konstantu xc (viz čl. 28.8). Se spínačem S2 sepnutým a dalšími dvěma rozpojenými má obvod časovou konstantu xl (viz čl. 31.9). Se spínačem 53 sepnutým a zbývajícími rozpojenými kmitá obvod s periodou T. Dokažte, že T = 2kř + . Dmhý sériový obvod s indukčností Li akapacitou C2 kmitá se stejnou úhlovou frekvencí. Vyjádřete úhlovou frekvenci kmitů obvodu obsahujícího všechny čtyři prvky v sérii. (Odpor obvodu zanedbejte.) 29Ú. V kmitavém obvodu LC s C = 64,0 pF je proud jako funkce času dán vztahem i(ř) = l,60sin(2500ř +0,680), kde t je v sekundách, i v ampérech a fáze v radiánech. (a) Kdy poprvé (pro t > 0) dosáhne proud svého maxima? Jaká je (b) indukčnost, (c) celková energie obvodu? 30Ú*. V obr. 33.26 je ve výchozím stavu kondenzátor 900 pF nabit na 100 V a kondenzátor 100 pF je vybit. Popište detailně, jak lze nabít kondenzátor 100 pF na napětí 300 V manipulací s přepínači Si a S2. 100 [xF 10.0H' 900 pF Obr. 33.26 Úloha 30 ODST. 33.5 Tlumené kmity v obvodu RLC 31C. Jaký odpor R musíme zapojit do série s indukčností L = 220mH a kapacitou C = 12,0 pF, aby maximální ná- 884 KAPITOLA 33 ELEKTROMAGNETICKÉ KMITY A STŘÍDAVÉ PROUDY boj na kondenzátom klesl na 99,0 % původní hodnoty během 50,0 period? (Předpokládejte co' = co.) 32C. Uvažujte tlumený obvod RLC. (a) Ukažte, že člen vyjadřující tlumení e_fií/,(2i), který obsahuje L, ale ne C, lze přepsat do více symetrického tvaru, který zahrnuje L i C, ve tvaru e-KR^c/l(t/t)^ j^jg j je perioda kmitů (při zanedbání odporu). (b) S použitím (a) ukažte, že jednotka pro ■s/L/C v SI je ohm. (c) S použitím (a) ukažte, že podmínka pro to, aby ztráty energie za periodu byly malé, je R <šC ^L/C. 33Ú. V kmitavém sériovém obvodu RLC určete dobu potřebnou k tomu, aby maximální energie kondenzátoru během oscilací poklesla na polovinu počáteční hodnoty. Předpokládejte q = Q v čase t = 0. 34Ú. Obvod s jednou smyčkou se skládá z rezistoru 7,20 £2, cívky 12,0 H a kondenzátoru 3,20 yF. Na počátku měl kondenzátor náboj 6,20 a proud byl nulový. Vypočítejte náboj na kondenzátom po N úplných periodách později pro N = 5, 10 a 100. 35Ú. V čase t = 0 není na kondenzátom obvodu RLC žádný náboj, avšak cívkou protéká proud /. (a) Vyjádřete počáteční fázi

b = 350rad-s_1. Proud v připojeném obvodu je i(t) = 7sin(a>bř — 3ti/4), kde I = 620mA. (a) Kdy dosáhne emn generátom pro t > 0 poprvé maxima? (b) Kdy dosáhne proud generátom pro t > 0 poprvé maxima? (c) Obvod obsahuje kromě generátom další prvek. Je to kondenzátor, cívka, nebo rezistor? Zdůvodněte svou odpověď, (d) Jaká je hodnota kapacity, indukčností, nebo odporu z otázky (c)? 47Ú. Generátor má emn e = éf sin(cůbt-t<:/4),kde é? = 30,0V a r + + tí/4), kde / = 620 mA. (a) V jakém čase po t = 0 nabude emn generátom poprvé maxima? (b) Kdy pro t > 0 nabude proud poprvé maxima? (c) Obvod obsahuje kromě generátom ještě jeden prvek. Je to kondenzátor, cívka, nebo rezistor? Zdůvodněte svou odpověď, (d) Jaká je hodnota příslušné kapacity, indukčností, nebo odporu? 48Ú. Třífázový generátor G je zdrojem energie, která je přenášena pomocí tří vodičů podle obr. 33.27. Jejich napětí vůči zemi jsou u\ = U sinct^ř, «2 = ř/sin(úV — 120°) a 113 = U sin(íUbř — 240°). Některá zařízení většího výkonu (např. motory) mají tři svorky a jsou navrženy tak, že se připojí přímo ke všem třem vodičům. Ukažte, že napětí mezi dvěma libovolnými vodiči (a) kmitá harmonicky s časem s úhlovou frekvencí bi a í«b2 bude amplituda proudu rovna polovině této maximální hodnoty? (d) Jaká je poměrná pološrřka (Wbi — o>vi)lo) rezonanční křivky tohoto obvodu? 60Ú. V jistém sériovém obvodu RLC je maximální emn generátom 125 V a maximální proud je 3,20 A. Pokud proud předbíhá emn o 0,982 rad, jaká je (a) impedance a (b) odpor obvodu? (c) Je obvod kapacitního, nebo induktivního charakteru? 61Ú. Sériový obvod RLC má rezonanční frekvenci 6,00 kHz. Je-li napájen při 8,00 kHz, má impedanci 1,00 kfi a počáteční fázi 45°. Jaké jsou hodnoty (a) R, (b) L, (c) C pro tento obvod? 62Ú. V sériovém obvodu RLC je při kmitočtu 50,0 Hz maximální napětí na cívce rovno dvojnásobku maximálního napětí na rezistom a také dvojnásobku maximálního napětí na kondenzátom, (a) Jaký je fázový posun mezi proudem a emn generátom? (b) Jaký by musel být odpor obvodu, aby byl maximální proud 300 mA, má-li emn generátom amplitudu 30,0 V? 63Ú. Obvod z př. 33.5 není v rezonanci, (a) Podle čeho to poznáte? (b) Jaký kondenzátor je třeba přidat ke stávajícímu, aby se obvod dostal do rezonance? (c) Jaká bude potom amplituda proudu? 64Ú. Generátor je zapojen v sérii s cívkou o indukčností L = 2,00 mH a kondenzátorem o kapacitě C. Kapacitu C máte vytvořit pomocí kondenzátoru s kapacitami C\ = 4,00 yF a C2 = 6,00 yF použitých buď jednotlivě, nebo v kombinaci. Jaké rezonanční kmitočty může mít obvod v závislosti na hodnotě C? 65Ú. Na obr. 33.30 je generátor s proměnnou frekvencí kmitů připojen k rezistom s R = 100 £2, k cívkám s L\ = l,70mH a L2 = 2,30 mH a ke kondenzátorům s C\ = 4,00;uF, C2 = = 2,50 yF a C3 = 3,50 yF. (a) Jaká je rezonanční frekvence obvodu? (Tip: Viz úlohu 56 v kap. 31.) Jak se změní rezonanční rvMJl^vW-|-1-1 Li R L2 1—JM>—1—L Obr. 33.30 Úloha 65 886 KAPITOLA 33 ELEKTROMAGNETICKÉ KMITY A STŘÍDAVÉ PROUDY kmitočet, jestliže se (b) zvětší hodnota R, (c) zvětší hodnota L\, (d) odstraní kondenzátor C3 z obvodu? 66Ú. Sériový obvod RLC s prvky R\, L\, C\ má stejnou rezonanční frekvenci jako druhý obvod s prvky R2,L2,C2. Nyní spojte oba obvody do série. Dokažte, že nově vzniklý obvod má opět stejnou rezonanční frekvenci jako každý z obou obvodů samostatně. 67Ú. Dokažte, že poměrná pološířka rezonanční křivky (viz úlohu 59d) je dána vztahem co V L kde co je úhlová frekvence pří rezonanci a A«b šířka rezonanční křivky pří poloviční amplitudě. Povšimněte si, že Acob /co narůstá s R, jak ukazuje obr. 33.13. Použijte tento vzorec ke kontrole odpovědi k úloze 59d. 68Ú*. Generátor na obr. 33.31 dodává střídavé napětí 230 V při 50,0 Hz. Při rozpojeném přepínači (jako na obrázku) předbíhá proud emn generátoru o 20,0°. S přepínačem v poloze 1 je proud zpožděn za emn generátoru o 10,0°. Když j e přepínač v poloze 2, je proud 2,00 A. Určete hodnoty R, L a C. Obr. 33.31 Úloha 68 ODST. 33.10 Výkon v obvodech se střídavým proudem 69C. Jaká je maximální hodnota střídavého napětí, jehož efektivní hodnota je 100 V? 70C. Voltmetr s velkou impedancí je postupně pňpojen k cívce, kondenzátoru a rezistoru sériového obvodu RLC, který je zapojen k emn 100 V (efektivních). Ve všech případech na voltmetru odečteme stejné napětí. Jaká je tato odečtená hodnota? 71C. (a) Rozeberte zadání z úlohy 44c. Dodává, nebo odebírá generátor energii z obvodu? (b) Opakujte výpočet pro podmínky z úlohy 45c. 72C. Jak velký stejnosměrný proud musí procházet daným re-zistorem, aby měl stejný tepelný výkon jako střídavý proud s maximální hodnotou 2,60 A? 73C. Pro obvody ve cvič. 39, 40, 49 a 50 vypočítejte střední ztrátový výkon. 74C. Dokažte, že střední výkon dodávaný do obvodu v obr. 33.7 lze vyjádřit také vztahem P = (S"ef)2R/Z2. Ukažte, že tento výraz pro střední výkon dává správné výsledky pro čistě odporový obvod, pro obvod R L C při rezonanci a pro čistě kapacitní a čistě induktivní obvod. 75C. Elektrický motor připojený ke 230 V a 50,0 Hz koná (mechanickou) práci s výstupním výkonem 74,6 W. Jaký je jeho odpor, protéká-li motorem efektivní proud 0,650 A? 76C. Klimatizační zařízení, připojené k síti o napětí Z7ef = = 120 V, je ekvivalentní sériovému zapojení odporu 12,0 Si a induktivní reaktance 1,30 Í2. (a) Vypočtěte impedanci klimatizačního zařízení, (b) 'Vypočtěte střední výkon do něj dodávaný. 77C. Elektrický motor pří zatížení má rezistanci 32,0 £2 a induktivní reaktanci 45,0 Í2. Efektivní napětí střídavého zdroje je 420 V. Vypočtěte efektivní proud tekoucí motorem. 78Ú. Namísto grafického zdůvodnění v obr. 33.14b dokažte výpočtem, že časová střední hodnota výrazu sin2(cyř — 3: 0, -1 810J, 1 810J; děj 3 ->• 1: —3 220 J, -1 930 J, -1290 J; celý cyklus: 520 J, 0, 520 J; (b) V2 = 0,0246m3, p2 = 2pi, V3 = 0,037 3m3, p3 = P! = l,0M05Pa. Kapitola 21 Kontroly 1. (a), (b), (c). 2. Menší. 3. (c), (b), (a). 4. (a), (d), (c), (b). 5. (b). Otázky 1. Nemění se. 3. B, A, C, D. 5. Je stejná. 7. (a) Zůstává konstantní; (b) roste; (c) klesá. 9. (a) Zůstává konstantní; (b) roste; (c) klesá. 11. (a) 0; (b) 1/4; (c) 1/2. Cvičení a úlohy 1. 14,4 JK_1. 3. (a) 9,22-103 J; (b) 23,1 J-K-1; (c) 0. 5. 5,79-104 J; 173 J-K-1. 7. (a) 14.6J-K-1; (b) 30.2J-K-1. 9. (a) 57,0°C; (b) —22,1 J-K-1; (c) +24,9J-K-1; (d) +2,8 J-K-1. 13. (a) 320 K; (b) 0; (c) +1,72 J-K-1. 15. 0,75 J-K-1. 17. (a) -943 J-K"1; (b) +943 J-K"1; (c) ano. 19. (a) 3p0Vb; (b) 6RT0, (3/2)Äln2; (c) obě změny jsou nulové. 21. 31%;16kJ. 23. (a) 23,6%; (b) 1,49-104J. 25. -7,2°C; 67,8°C. 27. (a) 1,47-103 J; (b) -5,54-102J; (c) 9,18102J; (d) 62,4%. 29. (a) 2270J; (b) 14 800 J; (c) 15,4 %; (d) 75,0 %, je větší. 31. (a) 78 %; (b) Slkg-s-1. 33. (a) p2 = 3pu V2 = nRTi/Pl; p4 = pi/V, 7/4 = 71/4C-1); p3 = 3pi/V, 7/3 = 37i/4^-^; (b) 1 - 35. (a) 21 J. 37. 440W. 39. 186W. 41. {1 - (r2/7i)}/{l - - (7/4/73)}. 45. (a) W = N)/(m\n2\n3\y, (b) {(iV/2)!(iV/2)!}/{(iV/3)!(Aľ/3)!(iV/3)!}; (c) 4.2-1016. Kapitola 22 Kontroly 1. C a D se přitahují; B a D se přitahují. 2. (a) Doleva; (b) doleva; (c) doleva. 3. (a) (1), (3), (2); (b) menší. 4. —15e (celkový náboj —30e se rovnoměrně rozdělí na obě koule). Otázky 1. Ne, platí pouze pro bodové náboje, tělesa, která lze za bodové náboje považovat (např. ve velkých vzdálenostech) a pro rovnoměrně nabité kulové vrstvy (včetně plných koulí). 3. (a) a (b). S. Dvě možnosti: jedna vlevo od částic, druhá mezi protony. 7. 6Q2/(4ne0d2), doleva. 9. (a) Stejné; (b) menší; (c) vyruší se; (d) nevyruší se; (e) kladný směr osy y; (f) záporný směr osy y; (g) kladný směr osy x; (h) záporný směr osy x. 11. (a) A, B a D; (b) všechny čtyři; (c) spojit A a D; rozpojit je; pak spojit jednu z nich s B. (Existují ještě dvě další řešení.) 13. (a) Může být, ale nemusí; (b) musí být. 15. Stejná. 17. D. Cvičení a úlohy 1. 0,50C. 3. 2,81 N na každý náboj. 5. (a) 4,9-10-7kg; (b) 7,1-HT11 C. 7. 3F/8. 9. (a) 1,60N; (b) 2,77N. 11. (a) Qi = 9Q2; (b) gi = -25g2- 13. Buď-l,00nC a +3,00nC nebo +1,00íiC a -3,00nC. 15. (a) 36N, -10° od osy x; (b) x = -8,3 cm, y = +2,7 cm. 17. (a) 5,7-1013 C, ne; (b) 6,0-105kg. 19. (a) Qi = -2*/2Q2; (b) ne. 21. 3,lcm. 23. 2,89-10-9N. 25. -1,32-1013C. 27. (a) 3,2-10_19C; (b) dvojmocné. 29. (a) 8,99-10-19N; (b) 625. 31. 5,1 m pod elektronem. 33. 1,3 d. 35. (a) 0; (b) 1,9-10-9N. 37. 1018N. 39. (a) 9B; (b) 13N; (c) 12C. 41. (a) F = ^£«(1 - a); (c) 0,5; (d) 0,15 a 0,85. Kapitola 23 1. (a) Doprava; (b) doleva; (c) doleva; (d) doprava (p a e mají náboj o stejné velikosti, p je vzdálenější). 2. Všechny stejné. 3. (a) V kladném směru osy y; (b) v kladném směru osy x; (c) v záporném směru osy y. 4. (a) Vlevo; (b) vlevo; (c) klesat. 5. (a) Všechny stejné; (b) stejné (1) a (3), potom stejné (2) a (4). Otázky 1. (a) V kladném směru osy x; (b) dolů a doprava; (c) v bodě A. 3. Jsou dva takové body: jeden vlevo od částic, druhý mezi protony. 5. (a) Ano; (b) směrem k náboji; (c) ne (vektory intenzity nemají stejný směr); (d) vyruší se; (e) zesílí se; (f) v záporném směru osy y. 7. (a) (3), pák (1) a (2) stejné (nula); 0V) všechny stejné; (c) stejné (1) a (2), pak (3). 9. (a) Doprava; (b) velikost rychlosti protonu p+ a mionu /z- stoupá, pionu ti+ klesá, neutronu n se nemění. 11. (c), (b), (c) . 13. (a) (4), (3), (1), (2); (b) (3), pak (1) a (4) stejný, pak (2). Cvičení a úlohy 1. (a) 6,4-10-18 N; (b) 20N-C-1. 3. Na obrázku doprava. 7. 56pC. 9. 3,07-lQ21 N-C-1, radiálně směrem od jádra. 13. (a) <2/(8tiS(W2), doleva; 3Q/(izsod2), doprava; 7g/16(7isod2), doleva. 15. 0. 17. 9h 30min. 19. E = (g/ite0a2), podél osy souměrnosti směrem od trojúhelníku. 21. 7,4Q/(4iisod2), leží v prvním kvadrantu a svírá s osou x úhel 28°. 23. 6.88-10-28 C-m. 25. ^(p/r3), antiparalelně s p. 29. R/s/2. 31. -^(AQ/nR2), ve směru rostoucího y. 37. (a) 0,10nC; (b) 1,3-1017; (c)5,0-10-Ř. 39. 3,5M015m-s-2. 41. 6,610-15N. 43. 2,03-10-7N-C-1, svisle vzhůru. 45. (a) -0.029C; (b) koule by se vlivem odpudivých sil roztrhla. 47. (a) l,92-1012m-s-2; (b) 1,96-iO5m-s"1. 49. (a) 9,04-10-16kg; (b) 120. 51. 1,64-Kr19 C (asi o 3 % vyšší). 53. (a) 0,245 N, ve směru osy +x, ve čtvrtém kvadrantu, svírá s osou x úhel 11,3°; (b) x = 108 m, y = —21,6 m. 55. 27 [im. 57. (a) Ano; (b) na horní desku, 2,73 cm. 59. (a) 0; (b) 8,5-10-22N-m; (c) 0. 61. (l/2iť)V>£77. 63. (a) E = ^2Qd~2a(l +<*2)-3/2; (c) a = 0,707; (d) a = 0,21 a a = 1,9. V10 výsledky Kapitola 24 Kontroly 1. (a) +ES; (b) -ES; (c) 0; (d) 0. 2. (a) (2); (b) (3); (c) (1). 3. (a) Stejný; (b) stejný; (c) stejný. 4. (a) +50g; (b) -150g. 5. 3 a 4 stejné, potom 2, 1. Otázky 1. (a) 8N-m2-C-1; (b) 0. 3. (a) Všechny stejné (nula); (b) všechny stejné. 5. +13g/so. 7. Všechny stejné. 9. Všechny stejné. 11. 2a, a, 3a nebo 3a, a, 2a. 13. (a) Všechny stejné (E = 0); (b) všechny stejné. 15. (a) Stejné (E = 0); (b) klesá; (c) klesá (k nule); (d) stejné. Cvičení a úlohy 1. (a) 693kg-s-1; (b) 693kg-s_1; (c) 347kg-s-1; (d) 347kg-S-1; (e) 575kg-S-1. 3. (a) 0; (b) -3,92N-m-2-C-1; (c) 0; (d) 0 pro každé pole. 5. (a) Obklopuje 2g a — 2Q nebo všechny čtyři náboje; (b) obklopuje 2Q a g; (c) není možné. 7. 2,0-l(r5N-m2-C-1. 9. g/(6e0). 11. (a) -tzR2E; (b)-KR2E. 13. -4,210-10C. 15. 0 pro každou ze tří stěn, které se dotýkají g, g/(24so) pro ostatní stěny. 17. 2,0nC-m-2. 19. (a) 4,5-l(T7 C-m-2; (b) S.l-HrN-C-1. 21. (a) -3,0-l(n6C; (b) +1.310-5 C. 23. (a) 0,32^; (b) 0,14^. 27. (a) E = g/(2ic£0Lr), směřuje radiálně dovnitř; (b) — g na vnitřní i vnější stěně; (c) E = g/(2TteoL>), směřuje radiálně ven. 29. 3,6nC. 31. (b) oR2/(2e0r). 33. (a) 5,3-107 N-C"1; (b) 60N-C-1. 35. 5,0nC-m-2. 37. 0,44mm. 39. (a) 4,9-l(r22C-m-2; (b) dolů. 41. (a) gx/s0; (b) gd/(2s0), nezávislá na x. 43. (a) -750N-m2-C_1; (b) -6,64nC. 45. (a) 4,0-106N-C-1; (b) 0. 47. (a) 0; (b) QaK^eor2); (c) (ga + Qb)/\4mQr2); (d) vnitřní stěna vnější koule: 0, vnější stěna vnitřní koule: Qa, vnitřní stěna vnější koule: — Qa, vnější stěna vnější koule: Qa + Qt. 51. (a) —g; (b) +g; (c) E = Q/(4v.eor2) radiálně směrem ven; (d) E = 0; (e) E = g/(4iceo'-2) radiálně směrem ven; (f) 0; (g) E = g/(4jieor2), radiálně směrem ven; (h) ano, náboj se indukuje; (i) ne; (j) ano; (k) ne; (1) ne. 53. (a) E = gr/(4iceo«3); (b) E = g/(4w2); (c) 0; (d) 0; (e) na vnitřní — g, na vnější 0. 55. g/(2jia2). 59. a = 0,80. Kapitola 25 Kontroly 1. (a) Zápornou; (b) roste. 2. (a) Kladnou; (b) vyšší. 3. (a) Doprava; (b) (1), (2), (3), (5): kladná; (4), záporná; (c) (3), pak (1), (2) a (5) stejně, pak (4). 4. Všechny stejně. 5. A, C (nula), B. 6. (a) (2), pak (1) a (3) stejně; (b) (3); (c) bude se zrychlovat směrem doleva. 7. Blíž (polovina z 9,23 fm). Otázky 1. (a) S vyšším; (b) kladná; (c) záporná; (d) všechny stejně. 3. (a) (1) a (2); (b) pro žádnou; (c) ne; (d) (1) a (2) ano, (3) a (4) ne. 5. (b), pak (a), (c) a (á) stejná. 7. (a) Záporná; (b) nulová. 9. (a) (1), pak (2) a (3) stejně; (b) 3. 11. Vlevo. 13. (a), (b), (c). 15. (a) (3), (2), (1); (b) nula. 17. (a) Kladná; (b) kladná; (c) záporná; (d) všechny stejně. 19. (a) Ne; (b) ano. 21. Ne (body na průsečnici by měly dvě rozdílné hodnoty potenciálu). 23. (a)-(b) všechny stejně; (c) (C), (B), (A); (d) všechny stejně. Cvičení a úlohy 1. l,2GeV. 3. (a) Klesne o 3,0-1010J; (b) 7,7kms-1; (c) 9,0-104kg. 5. 2,90kV. 9. 8,8mm. 11. (a) lSóMVm-1; (b) 8,82kV-m-1. 13. (b) Protože jsme bod s

) Gzfe2 + *2)"3/2- 51- W c(y^Ty1 - - y)/(4neo); (b) B = c/(4neo)(l - y/V^+ŕ); (c) pro výpočet || neznáme ^(P^) v bodech P'2 mimo osu y pobh'ž P2. 53. (a) 2,5MV; (b) 5,1 J; (c) 6,9 J. 55. -1,9 J. 57. (a) 0,484MeV; (b) 0. 59. 2,1 d. 61. 0. 63. (a) 27,2V; (b) -27,2eV; (c) 13,6eV; (d) 13,6eV. 65. 1,8-10-10J. 67. 1,48-107 m-s"1. 69. gog/(4ri£o£k). 71. 0,32km-s-1. 73. l,6-10-9m. 77. (a) n = ■ 00 je U2 = 600 V; (d) t je větší než několik časových konstant obvodu (tc = 7,1 s). 79. (a) Us = -IR + S; (b) 13,6 V; (c) 0,060 £2. 81. (a) 6,4 V; (b) 3,6 W; (c) 17 W; (d) -5,6W; (e) bod a. Kapitola 29 Kontroly 1. (a): +z; (b): -x; (c): FB = 0. 2. (a) (2), poté stejně (1) a (3) (nula); (b) (4). 3. (a) +z a —z stejně, poté +y a —y stejně a pak +x a —x stejně (nula); (b) +y. 4. (a) Elektron; (b) po směru hodinových ručiček. 5. —y. 6. (a) Všechny stejně; (b) nejdřív (1) a (4) stejně, pak (2) a (3) stejně. Otázky 1. (a) Všechny stejně; (b) (1) a (2) (náboj je záporný). 3. (a): Ne, v a Fb musí být kolmé; (b): ano; (c): ne, B a Fb musí být kolmé. 5. (a) Fe; (b) Fb. 7. (a) Na pravém krídle; (b) k pravé. 9. (a) Záporný; (b) rovná vq; (c) rovná To; (d) půlkružnice. 11. (a) Si; (b) fli: od nás; B2: k nám; (c) menší. 13. Všechny. 15. Všechny stejné. 17. (a) Kladná; (b) (a) a (/6) stejně, pak (y) (nulová). Cvičení a úlohy 1. kg-A-1-s-2. 3. (a) 9,56-10"14 N, 0; (b) 0,267°. 5. (a) Na východ; (b) 6,28-1014ms-2; (c) 2,98 mm. 7. 0,75*T. 9. (a) 3,4-10-4 T, horizontálně a doleva vzhledem k vq; (b) ano, V12 výsledky pokud je rychlost stejná jako rychlost elektronu. 11. (-11,4/ -6,00/ + 4,80*) Vm"1. 13. ôSOkV-m"1. 17. (b) 2,84-10-3. 19. (a) 1,11-107 m-s-1; (b) 0,316mm. 21. (a) 0,34mm; (b) 2,6keV. 23. (a) 2,05-107 m-s"1; (b) 467 [iT; (c) 13,1MHz; (d) 76,3ns. 25. (a) 2,60-106m-S-1; (b) 0,109íis; (c) 0,140MeV; (d) 70 kV. 29. (a) 1,0 MeV; (b)0,5MeV. 31. Ra = y/2Rp; Ra = Rp. 33. (a) BJmQ/2UAx; (b) 8,2mm. 37. (a) -g; (b)icm/(gB). 39. = y/mU/(2ed2). 41. (a) 22 cm; (b) 21 MHz. 43. Neutron se pohybuje po dráze tečné k té původní, proton opisuje kružnici o poloměru 25 cm. 45. 28,2 N, horizontálně směrem na západ. 47. 20,IN. 49. BItd/m, směrem od generátoru. 51. -0,35*N. 53. 0,10 T pod úhlem 31° od vertikály. 55. 4,3-10_3N-m, y je záporné. 59. QvrB/2. 61. (a) 540 fi, sériově; (b) 2,52 fi, paralelně. 63. (a) 12,7 A; (b) 0,080 5N-m. 65. (a) 0,184A-m2; (b) l,45N-m. 67. (a) 20min; (b) 5,9-10-2N-m. 69. (a) (8,0-10-4N-m)(-l,2i - 0,90/ + 1,0*); (b) -6,0-10-4J. Kapitola 30 Kontroly 1. (a), (c), (b). 2. (ž>), (c), (a). 3. d, pak a a c stejně, pak b (nula). 4. (d), (a), pak (ŕ) a (c) stejně (nula). Otázky 1. (c), (o"), pak (a) a (b) stejně. 3. Ve 2. a 4. 5. (a), (ŕ), (c). 7. (fc), (d), (c), (a) (nula). 9. (a) (1): +x; (2): -y; (b) (1): +y; (2): +*. 11. Vypne se do oblouku. 13. c a d stejně, pak b, a. 15. (d), poté stejně (a) a (e), pak (i), (c). 17. 0 (skalární součin je nula). Cvičení a úlohy 1. 32,1 A. 3. (a)3,3siT; (b) ano. 5. (a) (0,24/) nT; (b) 0; (c) (-43*) pT; (d) (0,14*) nT. 7. (a) 16 A; (b) od západu k východu. 9. 0. 11. (a) 0; (b) £i07/(47ť), od nás; (c) stejně jako v (b). 13. ^I9(\/b - l/a)/4it, k nám. 15. (a) 1,0 mT, k nám; (b) 0,80mT, k nám. 25. 200 ^T, od nás. 27. (a) Přesně mezi nimi musí být B = 0; (b) 30 A. 29. 4,3 A, k nám. 35. 0,338ai0/2/«. směrem do středu čtverce. 37. (b) Doprava. 39. (b) 2,3km-s-1. 41. +5//,07. 47. (a) ^Ir/dnc2); (b) HoI/(2nr); (c) gfcfl; (d) 0. 49. 37/8, od nás. 53. 0,30 mT. 55. 108 m. 61. 0,272 A. 63. (a) 4; (b) 1/2. 65. (a) 2,4 A-m2; (b) 46 cm. 67. (a) [i0I(l/a + l/b)/4, od nás; (b) ±(7ia2 + tiď2)7, od nás. 69. (a) 79nT; (b) l,l-10-6N-m. 71. (b) (0,060/) Am2; (c) (9,6-10-ny) T, (-4,8-10-11/) T. 73. (a) B ze součtu: 7,069-10-5T; /Lt0/w = 5,027-10-5T; rozdíl je 40%; (b) B ze součtu: 1,043-10-4T; Aio7n = 1,005-10-4T; rozdíl je 4%; (c) B ze součtu: 2,506-10"4T; /x0/n = 2,513-10"4T; rozdíl 0,3 %. 75. (a) 0 = (/x0/2ic)[/i/(x - a) + I2/x]j; (b) B =0*0/270(71/0X1+&/2)y. Kapitola 31 1. b, pak d a e stejné, pak a a c stejné (nulové). 2. (a) a (i) stejný, pak (c) (nulový). 3. c ad stejné, pak a a b stejné. 4. b: Od nás; c: od nás; d: k nám; e: k nám. 5. (d) a (e). 6. (a) (2), (3), (1) (nulový); (b) (2), (3), (1). 7. aab stejná, pak c. Otázky 1. (a) Všechny stejné (nulové); (b) všechny stejné (různé od nuly); (c) (3), pak (1) a (2) stejné (nulové). 3. K nám. 5. (a) Od nás; (b) proti směru otáčení hodinových ručiček; (c) větší. 7. (a) Doleva; (b) doprava. 9. c, a, b. 11. (a) 1, 3, 2; (b) 1 a 3 stejný, pak 2. 13. (a), pak (b) a (c) stejné. 15. (a) Větší; (b) stejný; (c) stejný; (d) stejný (nulový). 17. a, 2; b, 4; c, 1; d, 3. Cvičení a úlohy 1. 57nWb. 3. 1,5 mV. 5. (a) 0,40 V; (b) 20 A. 7. (a) 31 mV; (b) zprava doleva. 9. (b)58mA. 11. l,2mV. 13. l,15nWb. 15. 51mV, po směru otáčení hodinových ručiček, díváme-li se ve směru B. 17. (a) 1,26-10-4T, 0, -1,2610-4T; (b) 5,04-10-8V. 19. (b)Ne. 21.15,5^. 23. (a) 24 nV; (b) od c do b. 25. (b) Uspořádání musí být takové, aby platilo Nab = (5/2ti) (vm2). 27. (a) 0,598 i^V; (b) proti směru hodinových ručiček. 29. (a) (io!a(2r + b)/[2n(2r - b)]; (b) 2fi0Iabv/[TLR(4r2 - b2)]. 31. S2B2/(RAt). 33. (a) 48,lmV; (b) 2,67mA; (c) 0,128mW. 35. vm = mgR/(B2L2). 37. 268 W. 39. (a) 240[iV; (b) 0,600mA; (c) 0,144nW; (d) 2,88-10-8N; (e) stejně jako v (c). 41. (1): -1,07mV; (2): -2,40mV; (3): 1,33mV. 43. a: 4,4-107 m-s-2, doprava; b: 0; c: 4,4-107 m-s-2, doleva. 45. 0,10iiWb. 47. (a) 800; (b) 2,5-10-6H. 49. (a) tiol/d; (b) n^R2/d. 51. (a) Klesá; (b) 0,68 mH. 53. (a) 0,10H-m-1; (b) 1,3 Vm-1. 55. (a) 16kV; (b) 3,1 kV; (c) 23 kV. 57. (b) Změna magnetického pole jedné cívky nesmí indukovat proud v druhé; (c) 1/Lp = Ef^O/L;). 59. 6,91rL. 61. 1,54s. 63. (a) 8,45 ns; (b) 7,37 mA. 65. (42 + 20ř) V. 67. 12,0 A-s-1. 69. (a) h = h = 3,33 A; (b) h = 4,55 A, h = 2,73A; (c) h = 0, I2 = 1,82A; (d) h = h = 0. 71. SLxlRiLx + L2). 73. (a) 7(1 - e-^). 75. 1,23tl. 77. (a) 240W; (b) 150W; (c) 390W. 79. (a) 97,9H; (b) 0,196mJ. 81. (a) 10,5mJ; (b) 14,lmJ. 83. (a) 34,2 J-m-3; (b) 49,4mJ. 85. 1,5-108 Vm-1. 87. (/x0//2ti) \n(b/a). 89. (a) 1,3 mT; (b) 0,63 J-m-3. 91. (a) l,0J-m-3; (b) 4,8-10"15 J-m"3. 93. (a) 1,67mH; (b) 6,00mWb. 95. 13 H. 99. Magnetické pole je nenulové pouze v průřezu solenoidu 1. Kapitola 32 Kontroly 1. (d), (b), ic), (a) (nula). 2. (a) 2; (b) 1. 3. (a) Od něho; (b) od něho; (c) menší. 4. (a) K němu; (b) k němu; (c) menší. 5. a, c, b, d (nula). 6. b, c, d stejně, potom a. Otázky 1. (a) a, c, f; (b) tyč gh. 3. Dodat. 5. (a) Všechny dolů; (b) (1) nahoru, (2) dolů, (3) nula. výsledky V13 7. (a) (1) Nahoru, (2) nahom, (3) dolů; (b) (1) dolů, (2) nahom, (3) nula. 9. (a) Doprava; (b) doleva. 11. (a) Snižuje; (b) snižuje. 13. (a) a a i (stejně), c, d; (b), (c) podél žádné z nich (deska není rotačně symetrická, takže B není tečné ani ke kruhové smyčce). 15. 1/4. Cvičení a úlohy 1. (b) Je záporné; (c) ne, plocha není uzavřená. Na otevřeném konci blízko magnetu by byl kladný tok. 3. 47 pWb, dovnitř. 5. 55 pT. 7. (a) 600MA; (b) ano; (c) ne. 9. (a) B = 31,0pT,

b = o), když Xl = Xc). 7. (a) Zvětšit (obvod má kapacitní charakter; pro přiblížení k rezonanci, tj. pro maximální Pstř je třeba zvětšit c neboli zmenšit Xc); (b) blíže. 8. Zvyšovací. Otázky 1. (a) T/4; (b) T/4; (c) T/2, viz obr. 33.2; (d) T/2, viz rov. (31.40). 3. (b), (a), (c). 5. (a) (3), (1), (2); (b) (2), pak (1) a (3) stejné. 7. Pomaleji. 9. (a) (1) a (4); (b) (2) a (3). 11. (a) 3, potom 1 a 2 stejná; (b) 2, 1, 3. 13. (a) Záporná; (b) předbíhá. 15. (a)-(c) Vpravo a zvýši se. cvičení a úlohy 1. 9,14nF. 3. 45,2 mA. 5. (a) 6,00ps; (b) 167kHz; (c) 3,00ps. 7. (a) 89rad-s-1; (b) 70ms; (c) 25pF. 9. 38 pH. 11. 7,0-10_4s. 15. (a) 3,0nC; (b) 1,7mA; (c) 4,5nJ. 17. (a) 3,60mH; (b) 1,33kHz; (c) 0,188ms. 19. 600Hz, 710Hz, 1100 Hz, 1 300 Hz. 21. (a) Q/VŠ; (b) 0,152. 25. (a) 1,98pJ; (b) 5,56pC; (c) 12,6mA; (d) -46,9°; (e) +46,9°. 27. (a) 0; (b) 2i(t). 29. (a) 356 ps; (b) 2,50mH; (c) 3,20mJ. 31. 8,66mň. 33. (L/R) ln2. 35. (a) 7i/2rad; (b) « = (//w')e"Rř/(2L) smtó'í. 39. (a) 0,095 5 A; (b) 0,0119 A. 41. (a) 4,60 kHz; (b) 26,6nF; (c) XL = 2,60kň, Xc = 0,650kfi. 43. (a) 0,65 kHz; (b) 24 Si. 45. (a) 39,1 mA; (b) 0; (c) 33,9mA. 47. (a) 6,73ms; (b) 2,24ms; (c) kondenzátor; (d) 59,0 pF. 49. (a) Xc = 0, XL = 86,7 ň, Z = 182 SI, I = 198 mA,