Slezská univerzita v Opavě Fyzikální ústav Matematické metody ve fyzice Sbírka příkladů Martin Blaschke, Filip Blaschke Opava 2022 verze 0.81 Obsah 1 Zábavné příklady 5 1.1 Příklady.................................. 5 2 Řady 9 2.1 Úvodní definice a pojmy......................... 9 2.2 Příklady.................................. 10 3 Tvorba diferenciálních rovnic 13 3.1 Opakování................................. 13 3.1.1 Separovatelné rovnice....................... 13 3.1.2 Homogenní rovnice........................ 14 3.1.3 Exaktní rovnice.......................... 15 3.1.4 Integrační faktor......................... 16 3.1.5 Lineární rovnice prvního řádu.................. 17 3.1.6 Substituční metoda........................ 19 3.1.7 Singulární řešení diferenciálních rovnic............. 21 3.1.8 Piece-wise řešení diferenciální rovnice.............. 22 3.2 Příklady na tvorbu diferenciálních rovnic................ 22 3.3 Metoda Lagrangeových multiplikátorů ................. 27 3.4 Laplaceova transformace......................... 28 3.5 Fourierův rozvoj.............................. 30 4 Komplexní analýza 33 4.1 Základní pojmy a definice........................ 33 4.2 Analytická funkce............................. 35 4.3 Cauchyho věta. Cauchyho integrál.................... 37 4.4 Taylorova řada .............................. 39 4.5 Singulární body.............................. 41 4.6 Laurentova řada.............................. 43 4.7 Fourierova řada.............................. 46 4.8 Výpočet reziduí.............................. 48 4.9 Výpočet integrálů po uzavřené křivce.................. 50 4.10 Aplikace teorie reziduí.......................... 52 3 OBSAH 4 5 Speciální funkce 59 5.1 Gamma funkce .............................. 59 5.2 Legendreovy polynomy Pe(x) ...................... 60 5.3 Přidružené Legendreovy polynomy P"l{x) ............... 61 5.4 Besselovy funkce Jn(x).......................... 62 5.5 Sférické Besselovy funkce je(x)...................... 63 5.6 Hermitovy polynomy Hn(x)....................... 64 5.7 Laguerrovy polynomy Ln(x)....................... 65 5.8 Přidružené Laguerrovy polynomy L^(x)................. 66 5.9 Chebyshevovy polynomy Tn(x) ..................... 67 6 Matematické nástroje teoretické fyziky 69 6.1 Youngovy tabulky............................. 70 6.1.1 Standardní forma Youngových tabulek............. 70 6.1.2 Dimenze ireducibilní reprezentace SU(N)............ 73 6.1.3 Rozklad tenzorových reprezentací................ 76 6.2 Základní operátorové identity...................... 79 6.2.1 Lieova derivace, Hadamardova formule............. 80 6.2.2 Poincarého věta, BCH identita.................. 84 6.2.3 Zassenhausova identita...................... 90 7 Řešení 95 1 Zábavné příklady V matematice neexistuje zvláštní cesta pro krále. Eukliáes Následující příklady slouží pouze k pobavení počtáře a k procvičení přirozené inteligence. 1.1 Příklady 1.1.1 Diofantova úloha:* Najděme taková tři přirozená čísla, aby jejich součet, stejně jako součet kterýchkoli dvou z nich, tvořil čtverec nějakého přirozeného čísla. [41, 80 , 320] 1.1.2 Maminka se nachází v bodě (t,x,y,z). Maminka je v čase ŕ o 21 let starší než její dítě. Za 6 let bude dítě 5x mladší než maminka. Otázka: Jaké jsou časoprostorové souřadnice tatínka? [(ŕ, x, y, z)] 1.1.3 Kant a hodiny:^ Jednou když Kant přijal nového sluhu, který zřejmě nevěděl, že musí natahovat hodiny, se nástěnné hodiny v Kantově domě zastavily. Když si toho Kant všiml, hodiny natáhl, ale nemohl je nařídit. Kapesní hodinky měl v opravě, na věž neviděl a internet tehdy ještě nebyl. Pohlédnul na hodiny a vydal se na návštěvu ke svému příteli Schmidtovi, který bydlel asi kilometr daleko. Když přišel do Schmidtova bytu, pohlédl Kant letmo na hodiny. U svého přítele se filozof nějaký čas zdržel a při loučení vhrnul opět krátký pohled na hodiny. Domů se Kant vracel svým klidným vyrovnaným *Diofantos byl řecký matematik žijící ve 3. století našeho letopočtu. Řešení uvedené v závorce je to, které nalezl sám Diofantos. Počet trojic čísel řešící jeho úlohu je ve skutečnosti nekonečný. tjeden z největších německých filozofů, Immanuel Kant (1724-1804), profesor univerzity v tehdejším Královci byl starý mládenec a samotář. Přesně dodržoval svůj denní harmonogram. Obyvatelé městečka, když jej ráno viděli jít na přednášku, si mohli podle něj seřídit hodinky. 5 1.1. PŘÍKLADY 6 krokem. Po návratu domů ihned nařídil své hodiny. Jak mohl Kant znát přesný čas v okamžiku, když seřizoval hodiny? h=l h=l/2 h=l/4... w=l w= w= =4... 1.1.4 Jak nabarvit nekonečno: Mějme nekonečný proužek papíru jako na prvním obrázku. První díl je čtverec o straně 1. Každá další část má délku vždy 2 x větší a výšku 2 x menší než předcházející díl. Každá z částí proužku má plochu 1. Plocha celého proužku je S = 1 + 1 + 1 + ..., je tedy nekonečně velká a na její obarvení spotřebujeme nekonečně mnoho barvy. Necháme-li jednotlivé proužky rotovat kolem osy tvořené základnou obdélníků, vznikne soustava válců. První válec má objem V\ = l/(47r). Druhý válec má _ objem V-2 = I/8V1, třetí V3 = I/8V2, atd. Objem celé _ soustavy válců je tedy konečný. Nalejeme-li do soustavy - válců uvedené množství barvy, měli bychom tak i na- _ barvit jednu stranu jednotlivých proužků. V čem je roz- por? 1.1.5 Sto vězňů: Ve vězení je zavřeno sto vězňů, každý na samotce bez oken. Cely jsou zvukotěsné. Ve vězení je „vycházková" místnost, ve které je na stole lampa s jedinou žárovkou. Předpokládáme, že žárovka je na začátku zhasnutá. Žádný vězeň ze své cely pochopitelně nepozná, zda lampa svítí či ne. Každý den vyberou stráže náhodně jednoho vězně a umožní mu pobyt ve vycházkové místnosti. Každý vězeň má stejnou šanci navštívit vycházkovou místnost, jsou vybíráni losováním. Vězeň může (ale nemusí) během svého pobytu rozsvítit nebo zhasnout lampu. Večer zavedou stráže vězně zpět do cely. Vězni však mají možnost dostat milost, jestliže některý z nich pozná, že každý vězeň již byl ve vycházkové místnosti alespoň jedenkrát. Pokud však některý vězeň prohlásí, že všichni vězni již navštívili vycházkovou místnost a bude se mýlit (tj. některý vězeň do té doby ještě vycházkovou místnost nenavštívil), nejen že ztratí všichni vězni šanci na propuštění, ale dokonce budou všichni zastřeleni. Proto pochopitelně musí mít vězeň, který žádá o milost pro sebe a ostatní, stoprocentní jistotu, že ve vycházkové místnosti byli všichni vězni. Před tím, než jsou všichni zavřeni do cel, je vězňům dovoleno sejít se jedenkrát na dvoře vězení a domluvit se na strategii. Předpokládejme, že los je spravedlivý a že každý vězeň jednou za čas navštíví vycházkovou místnost. Jakou strategii si mohou vězni domluvit, aby získali milost? 1.1.6 Další úloha doplňuje předešlou: Určete počet uspořádaných r—tic, které můžete vytvořit z množiny A o n—prvcích, tak aby v každé r—tici existovali všechny prvky z množiny A alespoň jednou. Zřejmá podmínka r ^ n. 1.1. PŘÍKLADY 7 1.1.7 Je známo, že kvadratická rovnice má dvě, jedno nebo žádné reálné řešení. Podívejme se na rovnici v proměnné x, kde a, b a c jsou konstanty: (x — a) (x — b) (x — b) (x — c) (x — a) (x — c) (c — a) (c — b) (a — b) (a — c) (b — a) (b — c) Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že a < b < c. Nyní si všimněte, že x = a, x = b a také x = c jsou řešením dané rovnice. Jak může mít uvedená kvadratická rovnice v proměnné x tři řešení? 1.1.8 Nalezněte chybu: ——x2 = 2x dx x—krat d ,-*-, —— x + x + • • • + x = 2x dx x—krat r+r+ • ~+i = 2x x = 2x 1.1.9 Nalezněte všechna přirozená čísla, která jsou součtem třetích mocnin svých číslic. [1,153,370,371,407] 1.1.10 Jaký tvar má křivka zadaná implicitní rovnicí: (x2 + y2- I)6 - x2y3 = 0? [Srdcovka] 1.1.11 Úloha Lva Nikolajeviče Tolstého o sekáčích: Skupině sekáčů bylo nařízeno posekat dvě louky, z nichž jedna byla dvakrát větší než druhá. Půl dne kosila celá skupina sekáčů větší louku; v druhém půldnu se skupina rozdělila na dvě stejné části. První část skupiny pokračovala v kosení větší louky a do konce dne ji celou pokosila. Druhá část šla kosit druhou, menší louku, a kosila ji do konce dne, ale práci nedokončila. Zbytek menší louky byl pokosen druhý den a to tak, že ji pokosil jeden sekáč za celý den práce. Kolik sekáčů bylo ve skupině? 1.1.12 Jaká je průměrná vzdálenost dvou bodů ve čtverci o hraně délky 1? [i (2 + \[2 + arcsinh(l))] 1.1.13 Rozmyslete si následující úlohu: 1.1. PŘÍKLADY 8 Ve velké místnosti je velký počet lidí. Průměrná hmotnost lidí je 87,624 kg a celková 87 350. Je možné z tohoto údaje rozhodnout, zda-li je pravděpodobné, že se v místnosti nalézá člověk hmotnosti 320 kg? Průměrný součet veškerého osobního majetku lidí v místnosti představuje $89 548 566,9 a celkový majetek lidí v místnosti činí $89 568 324 126,5 . Můžeme z toho údaje rozhodnout zda-li je pravděpodobné, že se v místnosti nachází Bili Gates? V čem se fundamentálně liší tyto dvě situace? * í Autor naráží na problém, který se občas nazývá černá labuť. Vis též kniha se stejným názvem. Autor je Nassim Nicholas Taleb 2 Řady S rozkoší užívame matematiky a děje se nám jako Lotofágům, neboť okuvsívše jí, nechceme se jí jíž vzdát a ovládá nás jako květ lotosu. Aristoteles 2.1 Úvodní definice a pojmy Definice delta operátoru: Af(k) = f(k + l)-f(k), kde / : M —> M afcelR. Pak pro každý součet řady platí: J Af(k) = /(a+l)-/(a) + /(a + 2)-/(a + l) + ... + /(6+l)-/(6) = f(b + l)-f(a). k—a Pokud AH = f zapisujeme H = XI / • Geometrická řada. S*1-I> fc=a k—a x 7 g-1 ~ q-1 kde q 1. Definujme k^*: Ak[n] = A [k(k - l)...(k - n + 1)] = riifc[: kde n g Z přičemž ustanovujeme, že JfcM := 1. Aritmetická řada: n-l] + 1)6 — a(a — 1) n ------ = -(b + a) 2 2V ; kde n = b — a + 1 je počet členů řady. *Formálně se jedná o tzv. Pochhammerův polynom, či symbol (k)n, avšak toto značení není z pedagogického hlediska vhodné. 9 2.2. PŘÍKLADY 10 2.2 Příklady 2.2.1 Určete následující výrazy: a) AI b) Ac c) A A; d) Ak2 f) A(3Á; + Á;[n]) g) A2W h) Aa[fc] i) AÁ;[-3] j) AfcM 2.2.2 Najděte součty následujících řad: 3 a) £ jfcM i o <)2>2 o d) £ifc3 0 e) í>3 1 f) ^Á;n (6 + 1)6(6- l)(6-2) [0] [0] [1] [2fc + 1] -1 jfc(jfc + 1)_ fc[n-l] " 3 +-T n — 1 [2M] [a™(a- 1)] [-3A;[-4]] [1] [8] [30] (6+1)6(6-1) (6+1)6)" 3 + 2 _ + (6+1)6(6-1) + b(b~ ^ [36] n + l -11 k2 + k k 100 h) ^2* [2101 - 1] 2.2. PŘÍKLADY 11 J ^ sinh(A;) »2í sinh(A; — 1) — sinh(A;) 2 - 2cosh(l) r#(fc) r(fc) 2.2.3 V následujících příkladech použijte metodu per partes pro řady definovanou identitou: J f(k)Ag(k) = f(k)g(k) + l)A/(fc) • a) A:2fc b) 2 (jfc + l)(jfc + 2)(fc + 3) c) J]kHk (2.1) [2fc(A; - 2)] -2k - 1 2(fc + l)(fc + 2) í ((3fc - 4)2 + 4) A ŕ2 fc=i n2 + 4n + 6 2.2.4 Ověřte, že příklad 1.2.3 d) lze spočítat pomocí funkce n n S(x) = YAk2xk = (xdx)2YA X fc=l k=Q 2.2.5 Z definice integrálu spočtěte následující integrály a) J x dx b) JVd* 2.2.6 Vypočítejte následující sumu TV x X 1 _|_ eAe(fc) k=-N kde e N, A e IR a e(fc) je libovolná lichá funkce. [iV + I] 2.2.7 Ukažte, že každé reálné číslo r > 0 může být vyjádřeno pomocí Cantorovy řady: oo K—l kde O ^ cfc ^ k - 1, k > 1, a ck e N u {0}. 2.2. PŘÍKLADY 12 Sum of the type: 5>d (2.2) where n is a summation index and d > 0 an integer can be easily dealt with using per partes technique with result: 2^ = ^- d+l - • (2'3) This is in the form of recurrence and so it is easily handled with computers. 3 Tvorba diferenciálních rovnic Kdo podceňuje výsledky matematiky, škodí celé vědě, neboť ten, kdo nezná matematiku, nemůže poznat exaktní vědy a nemůže pochopit svět. Roger Bacon V této kapitole se budeme zabývat popisem fyzikálních úloh diferenciálními rovnicemi a hledáním jejich řešení. Ve fyzice se často tvrdí, že každý problém, se kterým se v přírodě můžeme setkat, se dá popsat nějakou diferenciální rovnicí. Pokud bychom byli schopni vždy nalézt řešení takovéto diferenciální rovnice, byla by práce fyziků mnohem jednodušší, i když ne prostá hledání hlubších souvislostí a symetrií přírody. Obecně můžeme říci, že problém nalezení řešení difenciálních rovnic je velmi obtížný. Dokonce i tak jednoduchý případ diferenciální rovnice prvního řádu y' = f(x,y) nemůže být obecně vyřešen. Čili neexistuje obecná formule, která jednoznačně přiřadí každému f(x,y) řešení y(x). Je však možné klasifikovat některé diferenciální rovnice prvního řádu do několika typů a následně pro ně použít speciální metody hledání řešení. 3.1.1 Separovatelné rovnice Zvláštní místo mezi těmito rovnicemi zaujímá typ, který je možno plně separovat vzhledem k proměnným x a, y a, tedy vyjádřit ve tvaru: kde P(x) resp. Q(y) je pouze funkce proměnné x resp. y. Obecné řešení toho typu rovnic je dáno prostým integrálem 3.1 Opakování P(x)dx + Q(y)dy = 0 = c kde c je libovolná konstanta. 13 3.1. OPAKOVÁNÍ 14 3.1.1 Řešte následující diferenciální rovnice: a) Vl — x2dy = \/\ — y2dx b) y = xy2 — x [arcsin x — arcsin y = c] ce c) V sin2 x srny -2 , d) sin x cos2 ydx = cos2 xdy e) \/l + xdy = (l + í/2) dx f) y = -r— 1 + x y + l [2 cos y — sin x cos y + x = c] [sec x — tan y = c] [arctan y — 2\/l + x = c] "ž/ + 1 x + 1 3.1.2 Homogenní rovnice Funkce f(x,y) je homogenní řádu n, pokud platí: f(\x,\y) = \nf(x,y), A>0. Pokud je diferenciální rovnice v následujícím tvaru P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 , kde P(x,y) a Q(x,y) jsou homogenní funkce stejného řádu, pak můžeme psát: f(x,y) y Q(x,y) = ¥Íx,y) (3.1; kde X = 2P-^+C 1 2 p y = log (p3 + 2p) ;x =---1--1= arctan + c p a/2 a/2 y c2x + 1 -;y = 2^fx 3.1. OPAKOVÁNÍ 20 f) P2 + y2 = l g) p2 + (2x — y)p = 2xy h) p2 + (x — ex)p = xex [arcsin y + x = c] [y = cex;y = c - x2] x y = e + c; y = x - — Dalším příkladem může být Bernoullího rovníce y' + P(x)y = Q(x)yn , která může být redukována na lineární rovnici použitím substituce z = yx~n: z' + (1- n)P{x)z = (1 - n)Q(x). Dalším příkladem muže být dy _ í axx + a2y + a3 \ dx \ h\x + b) y 'v , y2' 2x2 3.1.7 Singulární řešení diferenciálních rovnic Mezi zajímavé problémy patří tzv. singulární řešení diferenciálních rovnic. Jsou to taková řešení diferenciální rovnice, pro která je jednoznačnost narušena v každém bodě. Geometricky to znamená, že více než jedna integrální křivka se společnou tečnou prochází každým bodem singulárního řešení (xo,yo). Singulární řešení diferenciální rovnice není popsáno obecným integrálem, čili nemůže být odvozeno z obecného řešení pro jakoukoliv hodnotu integrační konstanty C. Jedním způsobem jak hledat singulární řešení diferenciální rovnice je tzv. p-dískrímínant diferenciální rovnice. Pokud je funkce F(x, y, y') a její parciální derivace vzhledem k y a y' spojitá, pak může být singulární řešení nalezeno ze soustavy rovnic: F(x,y,y') = 0 (3.3) dF(x,y,y') dy' 0. (3.4) 3.1.9 Nalezněte obecné a všechna singulární řešení následujících diferenciálních rovnic: 3.2. PŘÍKLADY NA TVORBU DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC 22 a) (y'f-Ay = 0, b) (yf-xy' + y = 0, c) i + (y'f = -2, y d) (y')2(l-y)2 = 2-y, e) y = (y')2 - 3xy' + 3x2 , Clairautova Diferenciální rovnice ^ dx ^ (^dx) ' ^ ^ kde / je libovolná funkce. Obecné řešení nalezneme prozkoumáním diferenciálního důsledku této rovnice, který vypadá: fy dx2 df (dy dx \dx 0 (3.6) Z prvního členu y" dostáváme obecné řešení, které po dosazení do (3.5) nabývá tvaru: yQ = cx + f(c). (3.7) Ze zbylé části rovnice (3.6) můžeme získat pouze singulární řešení, které má v každém bodě derivaci stejnou jako obecné řešení s určitou konkrétní hodnotou integrační konstanty c. Tedy y' = c a singulární řešení se dá vyjádřit parametricky x = -f(c), y = -cf(c) + f(c). (3.8) Příklady obecného a singulárního řešení pro f(x) = x2 a f(x) = x3 jsou uvedeny na obrázcích (3.1) a (3.2). Tmavé čáry představuji členy z rodiny křivek obecného řešení, modrá pak představuje obalovou křivku k této rodině. 3.1.8 Piece-wise řešení diferenciální rovnice Nelineární diferenciální rovnice mohou dále mít řešení, která získáme z obecného řešení tak, že na vhodných intervalech pospojujeme různá řešení z rodiny obecných řešení. 3.2 Příklady na tvorbu diferenciálních rovnic 3.2.1 Odvoďte diferenciální rovnici pro radioaktivní rozpad látky o množství M a po- ločasu rozpadu r. M(t) = M0 e- 3.2. PŘÍKLADY NA TVORBU DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC 23 Obrázek 3.1: Příklady obecného a singulárního řešení pro f(x) = x2. Tmavé čáry představuji členy z rodiny křivek obecného řešení pro různé hodnoty c, modrá pak představuje obalovou křivku k této rodině. 3.2.2 Mějme v čase t = 0 počet bakterií v kolonii roven nav čase t = 1 počet bakterií v kolonii roven m, kde n, m jsou velká čísla. Každá bakterie se dělí po uplynutí času r. Zjistěte hodnotu časové konstanty r. In 2 t = - ln m — ln n 3.2.3 Radioaktivní substance A se započala v čase t = 0 rozpadat na substanci B, která se dále rozpadá na konečný produkt C. Najděte rovnici pro množství B jako funkci času. B(t) = -e tb \e\TB taj _ ]_ ta-tb V / _ 3.2.4 Mějme kontejner o obsahu / naplněný vodou. Z vrchní trubky do tohoto kontejneru přitéká r litrů vody za sekundu a stejné množství pak odtéká z kontejneru spodní trubkou. Voda přitékající do kontejneru obsahuje w kg soli na litr. Současně na dně kontejneru leží kus kamenné soli, který se rozpouští konstantní 3.2. PŘÍKLADY NA TVORBU DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC 24 100 -100 -40 -20 0 20 40 X Obrázek 3.2: Příklady obecného a singulárního řešení pro f(x) = x3. Tmavé čáry představuji členy z rodiny křivek obecného řešení pro různé hodnoty c, modrá pak představuje obalovou křivku k této rodině. rychlostí q kg soli za sekundu. a) Najděte funkci S(t) popisující množství kg soli v kontejneru. b) Stanovte množství soli v t = co. c) Řešte úlohu pro q = qo/t. 3.2.5 Nalezněte rovnici zrcadla f(x), které odráží paprsky světla vyslané z počátku souřadnicového systému vodorovně s osou x. 3.2.6 Projektil je vystřelen s počáteční rychlostí vq pod úhlem a s horizontálou za přítomnosti homogenního gravitačního pole g. Najděte rovnici trajektorie za předpokladu: f(x) = ±\/2xc + c2 3.2. PŘÍKLADY NA TVORBU DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC 25 X Obrázek 3.3: Parabolická střelba projektilu ve třech režimech tření a oblast dosahu děla pro případ beze tření. Konstanty jsou: g = 9.81, v0 = 10,a = 7r/3, k = 0.05. a) zanedbatelného tření, b) s třecí silou v tzv. viskózním režimu, tj. lineárně úměrnou rychlosti T = kv, c) s třecí silou v tzv. tlakovém režimu, tj. úměrnou čtverci rychlosti T = kv2. Vytvořte graf, který porovnává trajektorie střely ve všech případech (3.3). V případě a) popište oblast dosahu projektilu. y(x) = itano — 2vq cos2 a o, v0 cos a - k x (v0sina + §;) (v0cosa - kx) i;0sinQí + f y(x) = j- ln--^--+---k- kz v0 cos a kv0 cos a k y (x) = —ln ■( cos k aretan ' k ' —Vosma 9 g e kx k vq cos a 1 í k o o H--ln I 1 H—i;nsin a 2k ydosah(x) A 11 Vq — g x 2gv2 3.2. PŘÍKLADY NA TVORBU DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC 26 3.2.7 Landauův vozík: Sestavte diferenciální rovnice Landauova vozíku. Jde o vozík (podle obrázku) pohybující se podél osy x, na němž je připevněno matematické kyvadlo. Za pomocí Lagrangeova principu sestavte diferenciální rovnice popisující časový vývoj systému. (Ma + Mb)'x + Mbl

Ei e) Najděte rozměry krabice (x,y, z) s největším objemem za předpokladu, že plocha krabice je 64. x = y = z f) Najděte bod P v rovině trojúhelníku ABC, pro který je součet vzdáleností od vrcholů minimální. g) Najděte trojúhelník s nejmenším obvodem, který je možno vepsat do daného trojúhelníka. 3.4 Laplaceova transformace Používání Laplaceovy transformace při hledání řešení diferenciálních rovnic má počátek v symbolických metodách vyvinutých anglickým inženýrem Oliverem Heavisidem. Funkce F(p) dána vztahem F(p)= f(x)e-pxdx = L(f) se nazývá Laplaceova tranformace funkce f(x) a operátor L, který zobrazuje / na F, se nazývá Laplaceův operátor. Tento operátor je na první pohled lineární. 3.4.1 Nalezněte Laplaceovu transformaci pro následující funkce: a e b) xb p — a T[b + 1] p -(6+1) p > a b > -1 t Jedná se o tzv. Cobbovu-Douglasovu produkční funkci, f(x, y) je objem celkové produkce, x je faktor práce, y faktor kapitálu, A je souhrnná produktivita faktorů, konstanty a a j3 představují elasticitu výstupu práce a kapitálu a získávají se dostupnými technologiemi. ■^Konstanta C pak představuje maximální množství peněz, které jsou k dispozici. 3.4. LAPLACEOVA TRANSFORMACE 29 c) cosbx d) sin&rr e) xcosbx f) xsinbx 3.4.2 Za předpokladu, že lim f(x)e~px = 0 ukažte, že >GO L [/'(*)] = pF(p)-/(0) 3.4.3 Obdobně nalezněte vztahy pro a) L(y') V p p2 + 52 p2 _|_ .2 62 (p2 + 62)' 26p (p2 + 62)' b) L(y") c) L(íT) d) L (yW] [pL(y)-y(0)] [p2L(y)-py(0)-y'(0)] [p3L(y)-p2y(0)-py'(0)-y"(0)] n p^-^p^Ho) 3.4.4 Nechť pro y platí y" — 3y' + 2y = 4, í/(0) = 2 , y'(0) = 3. Najděte výraz pro L(y) a pak nalezněte y . 2p2-3p + 4 lž/J p(p-l)(p-2) 3.4.5 Podobně nalezněte řešení následujících rovnic: ,y = 2-3ex + 3e2x a) y" + Ay = sinrr, y(0) = 1, y'(0) = 0 y = cos2rr + b) y»' + y" = ex + x + l 3.4.6 Nalezněte funkci jejiž Laplaceova transformace je: sinrr sin2rr 6 e e x 3 —a 2 2 p2 — 5 b) d) 3p2 + \2p + p+1 p2 + 2p + 2 2p + 3 2p2 + 4^ P p2 + 3p + 1 2 —2t 1 2 ^ _2t • 1 2 -e cosh ^=rr--e sinn—=rr 3 a/3 2 VŠ [e x cos rr] "3 + e~22: 4 5rr\ _m / V5rr 3v5 e 2 cosh---smh V 2 5 2 3.5. FOURIERÚV ROZVOJ 30 3.5 Fourierův rozvoj Fourierův rozvoj a jeho zobecnění do Fourierovi transformace je velice mocný nástroj k řešení některých diferenciálních rovnic. Zde si zopakujeme některé základní vztahy pro Fourierův rozvoj. Nechť na intervalu (—7r,7r) platí: f{x) = y + 2 °n cos(nx) + n—l ^ bn sin(rax) n=l 3.5. FOURIERŮV ROZVOJ 31 Ukažte, že pro koeficienty řady pak platí: 7t a. •m f(x) cos mx dx , m = 0,1, 2 (3.10) — 7t 7t 6. /(x) sin mrč dx , m = 1, 2 (3.11) — 7t (3.12) 3.5.1 Určete koeficienty Fourierova rozvoje an,bn následujících funkcí: a) f(x) = a , —7T < X < 7T b) /(rr) = x , —7T < x < 7T 3.5.2 Uvažujme strunu napnutou mezi dvěma body (0, L), ve kterých je pevně ukot-vena§. V základní poloze je struna určena funkcí f[x) = 0. Nyní uvedeme strunu do stavu popsaného funkcí Struna je tedy nabuzena obdélníkovým signálem ve svém středu (3.4). Pokud nyní necháme strunu vyvíjet v čase, obdélníkový signál se bude pohybovat v souladu s vlnovou rovnicí. Ukažte, že na problém se dá dívat i tak, že obdélníkový signál rozvedeme ve Fourierovu řadu stojatých vln, které mění svou amplitudu jako cos(nut), kde u je uhlová frekvence stojatého vlnění. Důkaz doložte programem, který výsledek demonstruje. Výsledek pro gnuplot. reset set samples 500 set term gif animate set output "animate.gif' n=100 dt=2*pi/n L=pi set xrange [0:L] set yrange [-1.2:1.2] i=0 load "animate.txt" § Těmto okrajovým podmínkám, kdy jsou konce struny pevně uchyceny se odborně říká Di-richletovy okrajové podmínky (Dirichlet boundary conditions). Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet(1805-1859) byl německý matematik, který výrazně přispěl k rozvoji Fourierovy analýzy. (3.13) 3.5. FOURIERŮV ROZVOJ 32 File "animate.txt": b=90 a=L/10 f(x,m)=2/((2*m-l)*pi)*(-cos((2*m-l)*pi/2 + (2*m-l)*pi*a/L) + cos((2*m-l)*pi/2 -(2*m-l)V*a/L))*cos((2*m-l)*i*dt^^ l)*pi/2 + (2*m-l)*pi*a/L) - sin((2*m-l)*pi/2 - (2*m-l)*pi*a/L))*cos((2*m-l)*i*dt) *cos((2*m-l)*pi*x/L) aa=l sum(x,aa,b)= (aa^b) ? 0 : f(x,aa)+sum(x,aa+l,b) g(x)=sum(x,l,b) set multiplot plot for [m=l:b] f(x,m) w 1 lt 1 lw 1 lc 1 notitle plot g(x) w 1 lt 1 lw 2 lc 2 notitle unset multiplot i=i+l if (i < n) reread 3.5.3 Dokažte, že každá funkce se dá napsat jako součet dvou funkcí, z nichž je jedna lichá a druhá sudá. 3.5.4 Ukažte, na základě Fourierova rozvoje funkce f(x) = x+x2 na intervalu (—7r, 7r), že 3.5.5 Ukažte, na základě Fourierova rozvoje funkce f(x) = x2 na intervalu (—7r,7r), že n—l 4 Komplexní analýza Jako slunce zastiňuje hvězdy svým jasem, tak i vzdělaný člověk může zastínit slávu druhých lidí, bude-li předkládat matematické úlohy, a dosáhne ještě víc, bude-li je řešit. Brahmagupta V této kapitole si přiblížíme základy komplexní analýzy. Budeme se touto bohatou a mocnou částí matematiky zabývat pouze ve velice omezené míře a to v takové, abychom byli schopni pochopit a používat problematiku propagátorů v kvantové teorii pole. 4.1 Základní pojmy a definice 4.1.1 Popište geometricky množinu všech bodů Gaussovy roviny, které vyhovují těmto nerovnostem: a) 9fJz > 0 [Polorovina ležící napravo od imaginární osy (bez bodů osy)]. z ^ 1 [Polorovina ležící pod vodorovnou přímkou procházející bodem z — i]. c) \^tz\ < 1 [Pás tvořený body, jejichž vzdálenost od imaginární osy je menší než 1.] [Obdélník s vrcholy v bodech —i, 1 — i, 1 + i, i (bez stran).] [Jednotkový kruh se středem v počátku včetně kružnice.] ^z l| ^ 1 [Celá rovina bez jednotkového kruhu se středem v bodě z — i.] 1 Íq t—>Íq t—>Íq d) \%z\ < 1, 0 < 3řř^ < 1 e) \z\ ^ 1 33 4.1. ZÁKLADNÍ POJMY A DEFINICE 34 z'(t) = x1 (t) + iy'(t) z(ť)dt = x(t)dt + i y(ť)dt. (4.2) (4.3) 4.1.2 Vypočtěte: b) (1 + i .25 1 - i T+l N d) ^ cos(k(p) N e) ^ sm(k2 fc=l [-i] [212(1 + i)] cos (^?r) sin (iV+l)

0 c) z = t + iŕ2 , 0 < ŕ < +oo d) z = Réť + i? 0 ^ ŕ ^ 2tt , i? > 1 4.2. ANALYTICKÁ FUNKCE 35 emt, O ^ t < 1 e) Z~ \t-2, 1 ^ t < 3 Odpovědi: a) Úsečka s počátečním bodem z = 0 a s koncovým bodem z = b. b) Horní polovina kružnice \z\ = R, počáteční bod z = R a koncový bod z = —R. c) Pravá polovina paraboly y = x2 , směr probíhání je od bodu z = 0 do nekonečna d) Elipsa x2 y2 (i? + l/i?)2 (R -l/R)2 proběhnutá proti směru hodinových ručiček. e) Obvod horní poloviny kruhu \z\ < 1 proběhnutý jednou proti směru pohybu ručiček. 4.1.4 Vypočtěte následující křivkové integrály: a) j - [27TÍ] \z\=R b) J \z- l\\áz\, [8] l*l=i c) ^ z s'm z dz , kde / je úsečka s počátečním bodem z = 0 a koncovým bodem z = i oo f 1 d)-- d:r LtI j J l+i2 L J — oo 4.1.5 Ukažte bez znalosti Eulerova vzorce, že platí:* (cos 9 + i sin 9)n = cos(n9) + i sin(n#). 4.2 Analytická funkce Říkáme, že funkce f (z) : C 3 U —> C definovaná v nějakém okolí bodu zq e U je v tomto bodě diferencovatelná právě tehdy, když existuje konečná limita lim = /'(2o) . *Identita se občas nazývá Moivreova věta (De Moivre's theorem). 4.2. ANALYTICKÁ FUNKCE 36 Číslo f'(z0) nazýváme derivací funkce f'(z) v bodě Zq . 4.2.1 Nalezněte všechny body, ve kterých jsou následující funkce diferencovatelné (z = x + iy): a) fäz, [0] b) x2y2 , [na osách] c) N2, [* = 0] d) x2 + i y2 , [9ffcz = 3;z] e) z ířz, [* = 0] f) 2xy - i(x2 - y2), [zeC] Funkce /(^) je diferencovatelná v bodě z0 = x0 + iy0 právě tehdy, když funkce u(x,y) = 3?/(rr + iy), v(x, y) = Qf(x + iy) jsou diferencovatelné v bodě (xQ,y0) a splňují v něm Cauchyho-Ríemannovy podmínky: du(x,y) = dv(x,y) du(x,y) = dv(x,y) dx dy ' dy dx Říkáme, že funkce f(z) je analytická v bodě zq^, jestliže ji lze v nějakém okolí tohoto bodu vyjádřit ve tvaru konvergentní mocninné řady: oo f(z) = zoT ■ (4.5) Pro bod z0 = oo je třeba rozdíl z — z0 nahradit výrazem l/z. Platí: Funkce diferencovatelná v oblasti D je v této oblasti analytická. Někdy je vhodné místo proměnných x, y používat proměnné z = x+iy , z = x—iy . Formálně definujeme: — = l(—-i—\ JL = l(JL + il-\ (4 6) dz 2 \dx dy) ' dz 2 \dx dyJ 4.2.2 Nechť funkce f(x,y) má spojité parciální derivace prvního řádu. Ukažte, že platí: df = ^J- dz + ^J- dz . dz dz 4.2.3 Ukažte, že Cauchyho-Riemannovy podmínky mají v proměnných z a, ž tvar: df dz zde f = u + iv . ^Ve starší literatuře, se v tomto smyslu setkáváme s pojmem regulární funkce, který se v novější literatuře pokládá ekvivalentní pojmu holomorfní funkce. 4.3. CAUCHYHO VĚTA. CAUCHYHO INTEGRÁL 37 4.2.4 Je tudíž funkce \z\ analytická? 4.2.5 Ukažte, že Laplaceova rovnice Au = 0 v proměnných z a, ž má tvar: dz dz 4.3 Cauchyho věta. Cauchyho integrál Nechť funkce f (z) je analytická v omezené n-násobně souvislé oblasti D, jejíž hranice dD je tvořena konečným počtem uzavřených, po částech hladkých křivek. Je-li funkce spojitá na množině D u dD, pak § f(z)dz =0. (4.7) dD 4.3.1 Vypočtěte Fresnelovy integrály I\ = I cos x2 dx , I2 = \ sin x2 dx s použitím 00 -x2 i 1 I— e dx = -V7T. 2 v o [h = /2 = JVf] 4.3.2 Podobně vypočtěte integrál e x2 cos ax dx . kde a e r 4.3.3 Na základě vhodné substituce vypočtěte následující integrál dz z \z\ = R [2tí] 4.3. CAUCHYHO VĚTA. CAUCHYHO INTEGRÁL 38 Při řešení některých úloh je vhodné použít Cauchyho integrálního vzorce: /(*) áz = í /(*) , zoeD, m 2ni J z - z0 { 0 , z0 D . dD Lí d: \r^"-- (4.9) 2ttí J (z - Zo)n+1 { 0 , z0 $ D . dD 4.3.4 Ukažte, že následující výraz je roven počtu kořenů komplexní funkce f(z) lim 1^^. |z|=ň 4.3.5 Použijte Cauchyho integrálního vzorce k výpočtu integrálů (všechny kružnice jsou orientované proti směru hodinových ručiček); ±ldz, pTrsinhl] z + i |z+i|=3 b) ľ -J* [0] J z2 + 1 |Z|=2 6" dz, [27risinhl] z2 - 1 1*1=2 r cos z , r, d--2dZ> 0 |Z|=4 dz (z + l)(z- l)3 |z+i|=i 17T T f)--— áz, [—7ricoshlJ J u-l) lz-il=l ez 13 1 —-— dz, D : a) \z\ < - ; b) \z\ < - : c) \z — 1\ < z(l -zf ' ; 1 1 2 ' ; 1 1 2 ' ; 1 1 2' [a) 27tí; b) Í7r(2 — e) ; c) — 7rie] |Z|=r 4.4. TAYLOŘOVA ŘADA 39 4.3.6 Nechť funkce f(z) je analytická v kruhu \z\ < R a spojitá v kruhu \z\ < R. Dokažte za pomocí Cauchyho integrálního vzorce nerovnost: /(n)(. MR . . ^7^—i \\ň+i > n = l,2,..., \z\ + l)*n, N<1; oo = £(-!)>+ l)(n + 2)*n, N<1; oo J](-l)na_2n_222í\ M 3n+2^3n+2 _ 23«^3rA n=0 S (2 oo 2> + i)( oo S(-ir+1 z8n — 28n+1> ^3n _ ^3n+l> n=0 i2n-l (2n)! 32n + 3 z 2n n—1 00 o2n i o ^2n n=0 4 (2n)! ^2n-l n ^2n n—1 (2n)V co 04n 4n J0 (4n)! Nechť funkce f(z) je analytická v prstencovém okolí 0 < \z — a\ < p (pro a = oo v prstencovém okolí p < \z\ < +oo) a nechť není definována v bodě z = a. Bod z = a pak nazýváme izolovaným singulárním bodem funkce f(z). Podle chování funkce f(z) v okolí bodu z = a provádíme tuto klasifikaci izolovaných singulárních bodů: 4.5. SINGULÁRNÍ BODY 42 • Bod z = a se nazývá odstranitelná singularita funkce f(z) právě tehdy, když existuje konečná limita lim f(z). • Bod z = a se nazývá pól funkce f(z) právě tehdy, když lim f(z) = oo . z—>a • Bod z = a se nazývá podstatná singularita (také neodstranitelná singularita) funkce f(z) právě tehdy, když funkce f(z) nemá v bodě z = a limitu. 4.5.1 Pro následující funkce nalezněte všechny izolované singulární body a stanovte jejich charakter: a) z sin z ' e) cotgz — 1 b) 1 — cos z ■ 2 i sin z f) z (e1/2 - c) 2 • Z z sin-, z + 1' g) gCotg(7r/z) d) 1 7TZ —-cos-, z2 - 1 z + ľ h) sin e1/z . Odpovědi: a) z = 0 - odstranitelná singularita; z = +tv, +2tv, ... - póly; b) z = 0 - odstranitelná singularita; z = +tv, +3tv, +5tv, ... - póly; c) z = oo - pól; z = — 1 - podstatná singularita; d) z = co&z = l- odstranitelná singularita; z = —1 - podstatná singularita; e) z = 0 - odstranitelná singularita; z = +tv, +2tv, +3tv, ... - póly; f) z = oo - odstranitelná singularita; z = 0 - podstatná singularita; g) z = +1, ... — podstatné singularity; h) z = 0 - podstatná singularita. Existuje ještě jedna podrobnější klasifikace pólů, která vyžaduje zavedení jednoho pomocného pojmu. Nechť funkce f (z) je analytická v bodě z = a a nechť m g N je přirozené číslo. Říkáme, že z = a je m-násobným nulovým bodem funkce f (z) právě tehdy, když f (a) = f (a) = ... = f^m-l\a) = 0, fm\z) * 0. Říkáme, že bod z = oo je m-násobným nulovým bodem funkce f (z) právě tehdy, když funkce g (z) = f (l/z) má m-násobný nulový bod v bodě z = 0. Má-li funkce f (z) v bodě z = a pól, pak má funkce 1/f(z) v tomto bodě nulový bod. Násobnost pólu funkce f (z) v bodě z = a pak nazýváme násobnost nulového bodu funkce 1/f(z) v bodě z = a. Také říkáme, že bod z = a je hromadným bodem pólů funkce f (z) právě tehdy, když funkce f (z) je analytická v nějakém prstencovém okolí 0 < \z — a\ < r s výjimkou nekonečně mnoha bodů ai,a,2,..., v nichž má funkce f (z) póly, přičemž bod a je limitou posloupnosti {an}. 4.6. LAURENTOVA ŘADA 43 4.6 Laurentova řada Laurentovou řadou se středem v bodě a nazýváme řadu ve tvaru oo Y Cn(z- a)n . n=—oo Říkáme, že řada konverguje v bodě zq , jestliže konvergují řady 0 oo Y cn (zq - a)n , Yj °n (zo - af ■ n—1 Každou funkci f(z) analytickou v mezikruží r < \z — a\ < R lze rozvinout v Lau-rentovu řadu se středem v bodě z = a, která konverguje v tomto mezikruží. Její koeficienty cn jsou dány vztahy* — \ f (z) (z — a) n 1 dz , r \b\ n=—oo -2 d) -—-2 = Y (n +!)6_n"V > M > > - &) n^oo Nechť funkci f(z) analytickou v mezikruží r < \z — a\ < R lze psát ve tvoru součtu fi(z) + f2(z), kde funkce f\(z) je analytická pro \z — a\ < R a funkce i^-2) pro |z — a\ > r. Fuknci f(z) pak můžeme rozvinout v mezikruží r < \z — a\ < R v Laurentovu řadu tak, že rozvineme funkci f\(z) v Taylorovu řadu v bodě z = a a funkci /^(z) rozvineme v řadu se zápornými exponenty z — a. Je-li funkce f(z) racionální, lze hledaný rozklad f(z) = f\(z) + /^(z) získat rozkladem na parciální zlomky. ■^Tyto vzorce se při hledání rozvoje konkrétních funkcí v Laurentovy řady téměř nikdy nepoužívají. Obvykle se rozvoj konkrétní funkce v Laurentovu řadu nějakým způsobem převede na rozvoj v Taylorovu řadu. 4.6. LAURENTOVA ŘADA 44 4.6.2 Následující funkce rozviňte v mezikruží 1 < \z\ < 2 v Laurentovu řadu se středem v bodě z = 0 : b) d) f) z+l)(z-2) z4 + l - (-i)' oo -, z—i 3.2n+1 n=0 z-l)(z + 2) -i 2, ^n + - + —z + z2 + l)(z + 2) 1 n=—oo n—1 6 12 24 « 00 )A Z-l n=3 17(-1) 3.2n+1 n—l V (~1)W"1^ i V iízll Z—l K Z—l K n—l „2n- ■' + 2 (-1) n—l n=—oo -1 n=0 2n.5 2- 1) (^ +2) 1 -3n-4 9 -2" + z2 + 1) (^2 - 4) 1 n=0 oo 9.2n+r 22 - íy (z2 + 4) n= — oo -1 5 —5n — 6 25 n=0 oo n=0 y —— Z—l 5 zJ.n+1 ^2n (-1)",,, 100.4^ 4.6.3 Rozviňte v mezikruží D v Laurentovu řadu se středem v bodě z = a (bod a i mezikruží D jsou popsány u každé úlohy zvlášť) tyto funkce: b) 2(2-3)2 ' 1 (z2 -9) z2' z + i zz + 1 f) 2(2 - 1) (2 - 2) 2^ ^2 -2i (z-l)(z-2)> 1 (^2 - 1) (z2 + 4) Výsledky: h) a = 1 a = 1 a = i, a = 1 a = 0 a = 1 a = — a = 0 D : {1 < |z - 1| < 2} D : {1 < |z - 1| < 2} -ieD, 2i eD, -íe0 2 -IeD, D : {0 < |z + 1| < 3} D : {|z| > 2} . 4.6. LAURENTOVA ŘADA 45 n—1 (n+1) (-1)5 n= — oo -2 n=0 n= —oo -1 n=0 -l)n+1 — 2n+1 27.22n+3 (z-ir c) J] (n + 2) (z - ťf , n= —oo d) 1+ £ (-i)"+12-"/2+1~^(^-l)n-1 , oo S *n-^_1-E2~ n=—oo -2 Tí n= —oo -1 n=0 oo n=0 8 19 , 9 + 27(z ™ A-n-l —n- -2„n ( -lf (2 + i)n+l oo 1) S Q n=2 á -l)n.4 Funkci f (z) můžeme snadno rozvinout v mezikruží r < \z — a\ < R v Laurentovu řadu se středem v bodě z = a, jestliže ji vyjádříme ve tvaru součinu dvou funkcí f (z) = fi(z)f'2(z) , kde fi(z), resp. /^(z) je analytická funkce pro \z — a\ < R, resp. \z — a\ > r. Funkci f\(z) rozvineme v bodě z = a v Taylorovu řadu a funkci /^(z) rozvineme v řadu se zápornými exponenty z — a . Laurentova řada funkce f (z) je pak dána součinem řad odpovídajících funkcím f\(z) a /^(z) • 4.6.4 Rozviňte v mezikruží D v Laurentovu řadu se středem v bodě z = a (bod a i mezikruží D jsou popsány u každé úlohy zvlášť) tyto funkce: a) z3e1/z b) 22sin7r z + 1 c z cos z - 2 d) z(l-z) el/(z-l) ' z(z + l) f) eí(z-l/z)/2 a = 0. a = 0. a = 2. a = 0. a = 1. a = 0. D : D : D : D : D : D : {0 < {0 < {0 < {1 < {1 < {0 < \z\ < oo} , \z\ < oo} , \z — 2| < oo} \z\ < oo} , \z-l\ <2} , M < °°} > 4.7. FOURIEROVA ŘADA 46 Výsledky: 1 1 00 .3 , „2 , 1 „ , 1 , ^ a z + z H—z 2 6^ (n + 3)! n=l v 7 b) -TTZ + ^] 00 ' l)n+17r2n+1 ,-2n+l Jx (2n+l)! c) (z - 2f + 6ÍZ-2) 2Í-1 23 .2) + 5+2(-l 00 48n2 + 72n + 23 n—l 2n (2n + 2)! z-2 ,-2n+l -2 d) - ^ + (i - ^ - E Z r v I n=0 \p=n+2 -1 (_]_)n-l co / n (_-gp+l °° (_l)P+l\ ^ ě ^_1)n+ E ( E 2P+i(n-p)! + E , ~~^! j (=-oo n=0 \p=0 v ^y p=n+l ť / (z-ir, f) £ Jn(t)zn, kde Jn(í) = ^ 00 /£x 2k+n k—n kl(n + k)l \2 , J_n(t) = (-l)nJn(t) 4.7 Fourierova řada oo Na každou Fourierovu řadu F(íp) = X cneiníp se lze dívat jako na Laurentovu řadu n= — oo oo X cnzn , na kružnici \z\ = 1. Proto úlohu rozvinout danou funkci ve Fourierovu n= — oo řadu lze často převést na úlohu o jejím rozvoji v Laurentovu řadu pomocí substituce eiv = z. 4.7.1 Nalezněte Fourierovu řadu funkcí: 4.7. FOURIEROVA ŘADA 47 b) d) 1 — a cos (p 1 — 2a cos y? + a2 ' a sin y? 1 — 2a cos y? + a2 ' 1 - a2 1 — 2a cos y? + a2 ' 1 1 — a siny? sin2 if (1 + a2 + 2a cosy?) f) In (l + a2 — 2a cos y?) g) cos if In (l + a2 cos2 y?) — 1 < a < 1 — 1 < a < 1 0 < a < 1 1 < a < 1 0 < a < 1 0 < a < 1 0 < a < 1 Výsledky: oo a) ^ an cos np . n—l oo b) S a sm np. n—l 1 + 2 ^ an cos nip . n—l d) V(l-a2) 2a2 (1 1 oo / 2a2(l-a2)n?i(_1)n^ 1 00 / i-Vä3^)' 2n cos 2ny> l-V^T3^)' 2n-l sin (2n — 1) 0 je dostatečně malé (kružnice se obíhá jednou proti směru pohybu hodinových ručiček). Reziduem funkce f (z) v bode oo nazýváme číslo res f (z) = ľ f(z)dz, kde číslo R > 0 je dostatečně velké (kružnice se obíhá jednou proti směru pohybu hodinových ručiček). Je-li funkce f (z) analytická v bodě zq kde zq oo, pak podle Cauchyho věty je res f (z) = 0. z=z0 Reziduum v nekonečnu může být nenulové i v případě, když je funkce v nekonečnu analytická. Výpočet reziduí přímo z definice je značně složitý. Základem pro praktické výpočty je věta: Nechť pro 0 < \z — z0\ < p je oo n= — oo pak res f(z) = c_i. z=z0 Je-li pro R < \z\ < oo oo /(*)= J cnzn, n=—oo pak res /(z) = -c_i. z=oo 4.8.1 Vypočtěte: 4.8. VÝPOČET REZIDUÍ 49 b) res ez c res d) res z2 sin (— z=oo V z [-1] [e] 7T 6 COS 2 res z=*/4 (z f) f) resze*-1 z=l —a n+l h) res z=0 22n+l (n + l)! 1 n\ Výpočet reziduí je zpravidla jednodušší než výpočet rozvoje funkce v Laurentovu řadu v prstencovém okolí daného bodu, neboť při výpočtu rezidua stačí najít jen jeden koeficient Laurentovy řady. Toto zjednodušení je tím větší, čím méně členů obsahuje hlavní část Laurentovy řady. Uvedeme základní formule pro výpočet reziduí. Nechť je bod zq oo jednonásobným pólem funkce f (z). Pak res f (z) = lim (z - z0) f (z). z = zq z^z0 Nechť lze funkci f (z) psát ve tvaru ^j(z) kde funkce f{z) a ip(z) jsou analytické v bodě z0 ^ co a ip{z) splňuje podmínky #zo)=0, ip'(zo)^0. Pak res f(z) z=z0 ^'(Zo) Nechť funkce f(z) je analytická v bodě z = oo. Pak res f(z) = lim z (/(oo) - f(z)) . z = go z—>go Nechť lze funkci f(z) psát ve tvaru f(z) =

(\jz\ kde funkce A} dD 64 1ô7t Při výpočtu integrálů funkcí analytických v celé rovině s výjimkou konečného počtu izolovaných singulárních bodů si je nutné uvědomit, že součet všech reziduí takové funkce (včetně rezidua v nekonečnu) je roven nule. Jinými slovy pro takové funkce platí rovnost \f{z)áz =- J f(z)dz, dD dDd kde Dd je doplněk množiny D v uzavřené Gaussově rovině. 4.9.2 Vypočtěte integrály: dz dD z3 (z10 - 2) b) z2 sin2 (- dD (z -l)(z- 2) D : {\z\ < 2} dz, D:{\z\<3} z4-l dz, D:{\z\<2} dD d) z3 i z + 1 e*dz, D:{\z\<2} dD [0] [0] [2tí] 2ttí "~3~ 4.10. APLIKACE TEORIE REZIDUÍ 52 e) sin-dz, D : {\z\ > 3} , [27ri cos 1] J z + 1 dD r z + 1 f) \z sin——dz, D : {\z\ < 2} , [47ri (cos 1 — sin 1)] dD 4.9.3 Dokažte rovnost 2ttí J £±\2 n ._. n! (n + 1)! ' |z| = l 4.10 Aplikace teorie reziduí Funkci nazveme meromorfní v oblasti D, jestliže v této oblasti nemá jiné singulární body než póly. Funkce meromorfní v celé Gaussově rovině se nazývá meromorfní funkce. Nejjednodušší výpočet integrálu oo ^ f(x)dx (4.11) — oo pomocí věty o residuích je, jestliže chování funkce f (z) v polorovině Qz > 0 (nebo Qz < 0) umožňuje považovat daný integrál přes reálnou osu za integrál funkce f (z) po hranici této oblasti. 4.10.1 Nechť funkce f (z) je analytická v polorovině Qz > 0 mimo póly a±, a2,an a je spojitá až na hranici této poloroviny (mimo póly). Dokažte, že je-li funkce f (z) taková, že splňuje podmínku f (z) = o(^) pro z^gov polorovině Qz ^ 0 , pak platí vzorec: oo r. n f (x) dx = 2ni y res f (z). 4.10.2 Vypočtěte integrály: x2 dx 7T (x2 + 1) (x2 + 9) -oo oo . X2 — X + 2 57t ^ ' x4 + Wx2 + 9 X' 12 — oo 4.10. APLIKACE TEORIE REZIDUÍ 53 dx x2 — 2ix — 2 [0] -oo oo d) x1 + 1 X4 + 1 -oo oo x4 + 1 X6 + 1 7rV2 47t f) + 6x2 + 25 dx 3 ' -oo oo h) (x2 + 1) x2 dx 7T 4 3tt (x2 + 4ix - 5) 2 ' [0] 4.10.3 Nechť funkce f (z) je analytická v polorovině Qz > 0 mimo póly a1,a2)---)an a je spojitá až na hranici této poloroviny (mimo póly). Dokažte, že je-li funkce f (z) taková, že splňuje podmínku f (z) = o(l) pro z —> oo v polorovině Qz ^ 0 , pak platí vzorec: oo r. n f(x)éx dx = 2ttí ^ res [f(z)eiz] . 4.10.4 Vypočtěte integrály: oo (x — 1) e: x2 - 2x + 2 dx — oo oo b) x2 -2ix-2 dx. [Trie-1] 2n sin 1 -oo oo — oo oo d) 4^ C^lÍ^ ^ (x2 + 4ix — 5) (x — 3) e1: x2 - 6x + 109 dx. [0] [Trie3-10] 4.10. APLIKACE TEORIE REZIDUÍ 54 —3ix (x + 1) e x2 — 2x + 5 dx. — oo oo f) x4 + 8x2 + 16 dx. Hl-i)e-S1 3tt 32e^ 4.10.5 Nechť jsou splněny podmínky příkladu 4.10.3 a nechť je mimo to funkce f(z) reálná pro reálné hodnoty z. Dokažte vzorce: oo f n f (x) cos x dx = — 2nQ < > res ľ/(,2)elz] — 00 oo f (x) sinrrdrr = 2tt$1 ) V res [/(^e12] 4.10.6 Vypočtěte integrály: oo (x + 1) sin 2x x2 + 2x + 2 x3 sin x x4 + 5x2 + 4 (x3 + 5x) sin x x4 + 10x2 + 9 -oo oo b) dx. dx. dx. -oo oo d) (2x3 + 13x) sin x x4 + 13x2 + 36 (x — 1) cos 2x dx. x2 — Ax + 5 dx. -oo oo f) xsmx x2 + 2x + 10 dx. 7T cos 2 7T (4 - e) 3e2 1 /l 1 -7T - + — 2 V e e3 1 1 e2 e3 7T — (cos 4 — sin 4) 7T / sin 1 cos 1 H-- Nechť je funkce f(x) spojitá na intervalu (a, 6) mimo bod cg (a, 6), a nechť integrál funkce /(rr) přes interval (a, 6) diverguje. Integrálem funkce f(x) přes interval (a, 6) 4.10. APLIKACE TEORIE REZIDUÍ 55 ve smyslu hlavní hodnoty nazýváme limitu^ v.p. J f (x) dx = lim J f (x) dx , a Ip kde Ip je interval (a, b}, z něhož je vyňato okolí (c — p, c + p) bodu c. Nechť je funkce definována na celém intervalu (—00,00) a nechť je integrovatelná na každém uzavřeném intervalu. Integrálem ve smyslu hlavní hodnoty pak míníme: lim f(x) dx. 7—°° J n -v 4.10.7 Určete: 1 a) v.p. I — , [0] x 1 00 C dx b) v.p.j—, [0] 0 00 c) v.p. J sin,d,, [0] — 00 00 C dx 0 2 e)v.p.|^. [0(i.7)] 00 f)v.p.J^dx, [tt] -00 00 g) v.p. ^ arctanrrdrr, [0] §v.p. z francouzského valuer principál. V anglicky mluvících zemích se častěji používá zkratka p.v. principial value a nebo značení: b \ dx. 4.10. APLIKACE TEORIE REZIDUÍ 56 4.10.8 Nechť R(z) je racionální funkce, která má póly a1; a2,..., an v horní polorovině a póly bi, 62, • • •, bm na reálné ose (a jiné póly pro Qz ^ 0 nemá). Dokažte, že splňuje-li funkce R(z) podmínku R(z) = 0(l/z) pro z —> 00, pak platí vzorec 00 r. n m v.p. R(x)eix dx = 2ni V res R(z)eiz + ni V res R(z)eiz . Poznámka: Výsledek této úlohy lze využít i k výpočtu konvergentních integrálů. Např. : 00 " SÍI1 X A O í I &' A dx = Ks \ v.p. — dx x x 4.10.9 Vypočtěte integrály: a) v.p. x dx [ni(a > 0), — ni(a < 0)] . 1 — cos ax b) I---dx , a > 0 ; o 00 ar siní x dx , n = 2, 3,4 : o 00 d) x — siní x3 (x2 + a2) dx , > 0 : na n 3n n 2 ' ~8~' 3 2a4 4.10.10 Nechť R(£,rj) je racionální funkce a nechť funkce f?(cos 99, sin 99) nemá póly na reálne ose. Dokažte, že R(cosp, sin 99) dip = R z + - z - - dz 2i 7 iz |z|=i 4.10.11 Vypočtěte integrály: b) 5 + 3 cos p dip 13 + 12 sin p 7T 27t T 4.10. APLIKACE TEORIE REZIDUÍ 57 2tt COS2 (f 0 13 + 12 cos if d 0 13tt" ~45~ 2?r V2 - [TTi] 4.10.12 Ukažte že: smi x ív-m>u Ar / Ar o \N—1 dx = n y (_irN(N-2a)_ a=0 4.10. APLIKACE TEORIE REZIDUI 58 5 Speciální funkce Nedělejte si starostí ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou stále větší. Albert Einstein V této kapitolce předkládáme základní definice a vztahy pro tzv. speciální funkce matematické fyziky. V dnešní době ustupují speciální funkce před numerickými řešeními daných problémů fyziky, ale přesto stále představuje nedílnou součást intelektuální výbavy každého teoretického fyzika. 5.1 Gamma funkce Gamma funkce T(x) je prodloužení faktoriálu na reálnou osu. Prodloužení je uděláno tak, aby lnr(rr) byla konvexní funkce. Těmito dvěma požadavky je gamma funkce plně definována a určena následujícím integrálem: o vlastnosti: r(i)r(i x) 7T Slil 71X Eulerova Beta funkce je dána vztahem B(x,y) T(x + y) ' 59 5.2. LEGENDREOVY POLYNOMY Pe(X) 60 5.1.1 Dokažte vztah (5.1) použitím integrace per partes. 5.1.2 Vyjádřete následující integrály pomocí gamma funkce: ) x2/3e x dx. o oo b) x5e~x dx. r ;r(3) ln x dx. [T(n + 1)] 5.1.3 Vypočtěte povrch n-rozměrné koule o poloměru r. 2ir^ž n—1 r(f) 5.1.4 Odhadněte, pro jakou dimenzi má jednotková koule největší povrch (v dané míře). [n ~ 7.257] 5.1.5 Vypočtěte objem n-rozměrné koule o poloměru r. Vn 7rT r(f+i)' 5.1.6 Odhadněte, pro jakou dimenzi má jednotková koule největší objem (v dané míře). [n ~ 5.257] 5.2 Legendreovy polynomy Pt(x) Diferenciální rovnice: (1 - x2)2 P?(x) - 2xP'í(x) + i(i + l)Pe(x) = 0 . nebo Generující funkce: d dx ;i-^)^pe(x) + í{í+ l)Pe(x) = 0. Vl - 2xt + t2 pro |r| < 1, \x\ < 1 5.3. PRIDRUŽENÉ LEGENDREOVY POLYNOMY PeM(X) 61 Ortonormalita: Pe(x)P£/(x) dx 21 + 1 YaPí(x)Pí(x')(2í+ 1) = 2ô(x-xf). Vyjádření Pe(x): [e/2] " !/ = 0 1 ^ d v i. 2 ,m 2l 4i v\{i-v)\{i-2v)\ ~~ ľ ^X cos ^) ' Rekurentní vztahy: - {2i + l)xP, + (£ + l)Pm 0: p£ = iPw + •i xp;-m = p;_i; xp; + (£ + i)p, = p;+1; -^[pm-p,_x] = (2£+l)p,. rc2 - 1 X 1 7-)/ P' 5.3 Přidružené Legendreovy polynomy P7l(x) Diferenciální rovnice: 1 - x2) P™(x)" - 2xP"í\x)1 + I í{í + 1) - 1 - x' PP(x)=0. Generující funkce: oo i 2 2 P™(x)zmye m! l-2y(x + z\/l - x2) + y2 -1/2 Ortogonalita: -i 2 (7 + 777 v pr(x)p-(x)dx=2ŕ + i^_mj!^, e,e>m. 5.4. BESSELOVY FUNKCE JN(X) 62 {í-m)\ Vyjádření P™(x)*: „z-1 (í + m)\ ir(x) = (i-x2r/2(-^)mp,(x). Přm(x) = ^+Jra)!(_i)W2 j ^ + Vx2 - 1 cos v?)* cos mip dip . o Rekurentní vztahy: VT^2Pf+1(x) = (1 - x2) Pem(x)' + mxPem(x); (2£+l)xPf = (e + m)P^1 + (e + l-m)P^.1; xpp = P^-ie+l-n^VT^Pp-1; PP+i-PP-i = (2£+l)Pp-1Vl^. 5.4 Besselovy funkce Jn(x) Diferenciální rovnice: x2J"(x) + xJ'n(x) + (x2 — n2) Jn(x) = O . Generující funkce (pro řieN): oo — oo J—n = ( 1) Jn ■ S\n 2i(s-°2.s (ax) ( — ) = e Ortogonalita: oo 1 xJn(ax) Jn(bx) dx = —5(\a\ — \b\) . a o c C2 xJn(ax)Jn(bx) dx = — [Jn+1(ac)]2 Sab o *Někteří autoři definují P™(x) s dodatečným faktorem (—l)r 5.5. SFÉRICKÉ BESSELOVY FUNKCE Je(X) 63 Vyjádření Jn(x): i r Jn{x) = — cos {n9 — x sin ff) d9 . t Jo Rekurentní vztahy: — [xnJn(x)] = xnJn^(x) ; dx 2n Jn-i(x) + Jn+1(x) = —Jn(x); X ti ti 1 J'n(x) = Jn-i(x)--Jn(x) = -Jn(x) - Jn+1(x) = - (Jn-i(x) - Jn+1(x)) xx 2 5.5 Sférické Besselovy funkce je(x) Diferenciální rovnice: (xjt)" +(x- ^J^) Je = 0. Generující funkce: Ortogonalita: x2J£(ax)jc(bx) dx = ~^~^{a ~ b) . o oo Vyjádření je(x): 71 je(x)je(x) dx = ^5U,. / \ / /\ / \ p p í ^ i sin x Mx) = ^l-Je+1/2(x) = (-l)x í—] — 1 -i (2£+l)! V l\(£ + 3/2)\2J 2!(£ + 3/2)(£ + 5/2) \2J 5.6. HERMITOVY POLYNOMY HN(X) 64 Rekurentní vztah: Příklady: l 21 + 1 je+i = -je - fe = Je - Je-i ÚÁX) smx i x sinx cosx 3 sinx 3 cosx sinx tXj tXj tXj 5.6 Hermitovy polynomy Hn(x) Diferenciální rovnice: H';(x) - 2xH'n(x) + 2nHn(x) = 0 nebo (iJn(x)e-^2) + (2n - x2 + 1) Hn(x)e Generující funkce: ^ Hn(x)sT__-s2+2sx e n=0 Ortogonalita: Hn(x)Hm(x)e~x dx = 22n\^/Ťv5, Obecněji: Hn(x)Hn(y)sn = 1 /-s2 (x + y ) + 2sxy (2"ri!) vT^2^ V 1 - s2 5.7. LAGUERROVY POLYNOMY LN(X) 65 Vyjádření Hn(x): Hn(-x) = (-l)nHn(x) n —x2 Hn(x) _ (_ir^ (JL) e ^ (2r)2k HM - H^EH)'|a),^.t),, P"»»de, = (-l)^n!g(-l)fc pron liché k=Q (2fc + l)!(^-fc)! Rekurentní vztahy: dmHn(x) 2mn\ . , - = 7-rr-"n-Ha'); dim [n — my 1 xHn(x) = -Hn+1(x) + nHn^{x), Hn(x) = ^2x - -^j i7„_i(2;). Příklady: H0(x) = 1, H1(x) = 2x, H2(x) = 4x2 -2. 5.7 Laguerrovy polynomy Ln(x) Diferenciální rovnice: xL'^{x) + (1 — x)L'n{x) + nLn(x) = 0. Generující funkce^": Ortogonalita: Vyjádření Ln(x): oo ^ ^ Ln(x)zn = Y~f^~z n=0 oo Ln(x)Lm(x)e~x dx = S„ o n\ \ dx) r ~ u + 2! - • • • + (-1)n] '''Někteří autoři definují generující funkci s faktorem v sumě. 5.8. PŘIDRUŽENÉ LAGUERROVY POLYNOMY L%(X) 66 Rekurentní vztahy: (1 + 2n — x)Ln — nLn-i — (n + l)Ln+i = 0 xL'n(x) = nLn(x) — nLn_i(x). Příklady: L0(x) = 1, Li(x) = 1 — x , L2{x) = i (x2 Ax + 2) . 5.8 Přidružené Laguerrovy polynomy L^(x) Diferenciální rovnice: xLn(x) + (k + 1 - x)L„(x) + nLk(x) = 0 . Generující funkce*: x)zn =---—-e i-^ . — — Lk(x)znuk 1 íu — xz -exp Ortogonalita: Vyjádření Lkn(x)\ k\ 1 — z \ 1 — z k—On—k t k i \j k i \ —x i ^0' r ex f d \ / n+k -x\ = (-1)k[^) Ln+k(x). Rekurentní vztahy: Lkn-Ax) + Lkn 1(x) = Lkn(x), xL^(x) = nL^(x) — (n + k)Ln_1(x) . Příklady: Lk(x) = 1, Lk(x) = 1-x + k, _Lk(x) = ^ (x2 - 2(k + 2)x + (k + l)(k + 2)) . ■^Někteří autoři definují generující funkci s faktorem v sumě. 5.9. CHEBYSHEVOVY POLYNOMY TN(X) 67 5.9 Chebyshevovy polynomy Tn(x) Diferenciální rovnice: (1 - x2) -^Tn(x) x^-Tn(x) + n2Tn(x) = 0 . v ' dxl dx Generující funkce: 00 -r 2]rnw l-xy n=0 Vlastnost symetrie: 1 — 2xy + y2 Tn{x^ T—n{x^. Tm(x)Tn(x) dx _ í \5mn m,n O Ortogonalita: i f- J \J\-x2 \ m = n = O -i Vyjádření Tn(rr): Tn(^) = cos (n cos-1 :r) ; Tn(x) = ±[(* + iVr^)V(s-iVn^)' Rekurentní vztahy: Příklady: Tn+i — 2xTn + Tn_i — O , 'l — i2) T' — nxTn + nTn_x = O . T0(ar) = 1, T\ (x) = x, T2(x) = 2x2-l, T3(x) = 4x3-3x. 5.9. CHEBYSHEVOVY POLYNOMY TN(X) 68 6 Matematické nástroje teoretické fyziky Matematika je hra hraná podle jistých jednoduchých pravidel s nesmyslnými znaky na papíře. David Hilbert V této kapitole se zaměříme na některé z méně známých matematických metod používaných v teoretické fyzice. Ačkoliv nejsou běžně součástí sylabů magisterského studia, autoři jsou přesvědčení, že čím dřív je učiněn „první kontakt" s některými s těchto metod, tím lépe. Konkrétně jsme vybrali tzv. Youngovy tabulky a „operátorový kalkulus". Tyto dva nástroje představují pouze pomyslnou špičku ledovce z velmi bohaté a stále rostoucí sbírky „triků", jež se tak či onak staly součástí standardní výzbroje teoretického fyzika. Jejich výběr však nepodléhal žádnému tvrdšímu selekčnímu kritériu než je vlastní preference autorů, tudíž je nelze brát za „reprezentativní vzorek". Ačkoliv jsou obě témata z hlediska teoretické fyziky velmi užitečná, jejich pravá hodnota v kontextu této sbírky spíše leží v jejich „hravosti". To se projevuje na stylu této kapitoly dvojím způsobem. Za prvé, jelikož se zde zabýváme nestandardní tématikou, je tato kapitola trošku více deskriptívni, než tomu bylo doposud. Jelikož má text sloužit k prvnímu seznámení, matematický rigor není adresován do takové míry, jak je obvyklé a spíše se pozornost upíná k rychlému proniknutí k podstatě dané problematiky. Tudíž nejedná se přímo o učební text, ale ani o „pouhou" sbírku příkladů. Ve cvičeních samotných se odráží druhý rozdíl, který trošku separuje tuto kapitolu od zbytku sbírky. Mnohá ze cvičení mají povahu posloupnosti kroků, jež do hloubky prozkoumávají určitou vlastnost dané metody, či pohlížejí na určitý problém z jiné perspektivy, než je ta ve vlastním textu. Navíc mnohé ze cvičení souvisí jedno s druhým a trik, použitý k řešení jednoho, může v jiné podobě velmi urychlit řešení druhého. Mnohé z klíčových faktů o dané problematice jsou zahrnuty jako součást cvičení a předpokládá se, že čtenář si nemalou část poznatků takříkajíc odvodí sám. Jinými slovy tato kapitola klade poněkud vyšší nároky nejen na míru čtenářovy spolupráce, ale také na jeho samostatnost a tvůrčí iniciativu. 69 6.1. YOUNGOVY TABULKY 70 Důvodem k tomuto přístupu je hluboké přesvědčení autorů, že jediný způsob jak dosáhnou skutečného porozumění matematiky, je nejen investice času a trpělivosti, ale i kreativity. Jinak řečeno, student/čtenář si musí s těmito nástroji dostatečně „vyhrát", než jim plně porozumí, při kterémžto procesu však může dojít i k inovacím. A to, zdá se, je skutečná praxe vědy. Youngovy tabulky jsou velmi důmyslnou, semi-grafickou metodou, jak klasifikovat ireducibilní reprezentace grupy permutací Sn a grupy speciálních unitárních reprezentací SU(N), jež jsou obě velmi důležité a často používané grupy v teoretické fyzice, zejména ve fyzice elementárních částic. Jejich cena je především v rychlé orientaci v jinak značně nepřehledné problematice. Na ireducibilní reprezentace Lieových grup se totiž standardně nahlíží aparátem kanonické Cartanovy reprezentace a algebrou zvedacích a snižovacích operátorů. Tato reprezentace je samozřejmě neocenitelná, pokud je třeba například vybudovat systém vlastních stavů v kvantové mechanice apod. Nicméně pokud se například někdo chce jen rychle zorientovat v počtu a dimenzích ireducibilních reprezentací, nebo spočítat multiplicitu časticových stavů v té či oné inkarnaci kvarkového modelu, pak jsou Youngovy tabulky neocenitelným pomocníkem. 6.1.1 Standardní forma Youngových tabulek Označme spinovou část vlnové funkce elektronu symbolicky jako ||) a ||), reprezentující stav se spinem nahoru a dolů. Nyní předpokládejme, že máme dva elektrony nacházející se na stejném orbitalu určitého atomu a chceme popsat spinovou část jejich vlnové funkce. Z Pauliho vylučovacího principu víme, že takovýto systém dvou elektronů se může nacházet v jednom ze čtyř stavů (které jsou buď symetrické nebo antisymetrické vůči záměně částic): Na prvním řádku se nachází stavy, které jsou symetrické vůči záměně elektronů (1 2), tvořící tzv. triplet. Příslušná orbitální část vlnové funkce je tudíž nutně antisymetrická v souladu s Pauliho vylučovacím principem. Na druhém řádku se nachází jediná možná kombinace, která je antisymetrická vůči záměně elektronů a říká se jí singlet. Příslušná orbitální část vlnové funkce je tudíž symetrická. Fyzikálně lze stavy tripletu a singletu rozlišit mezi sebou, neboť mají jiný celkový spin; triplet reprezentuje stavy s spinem 1 a signlet stav se spinem 0. 6.1 Youngovy tabulky 6.1. YOUNGOVY TABULKY 71 Podobný seznam stavů bychom mohli napsat i pro tři elektrony. V tomto případě bychom dostali dva dublety s celkovým spinem | a jeden kvadruplet s celkovým špiněni |. Pro čtyři elektrony máme dva singlety se spinem 0, tři triplety s celkovým spinem 1 a pentaplet o spinu 2.* V principu lze klasifikovat spinové stavy libovolného počtu elektronů výše naznačeným způsobem, totiž rozepsáním všech možných kombinací dílčích stavů a rozřaděním je do skupin podle toho, jak se transformují vůči záměně elektronů. Je však zřejmé, že takovýto postup je velmi pracný a časově náročný. Naštěstí existuje velmi elegantní metoda, jak tyto stavy klasifikovat systematicky a bez velké námahy. Tato metoda nese název Youngovy (čti „Jangovy") tabulky. Youngovy tabulky byly speciálně vynalezeny pro klasifikaci ireducibilních reprezentací grupy permutací, ale lze je stejně dobře použít i pro grupu SU(n), tudíž mají široké uplatnění i v časticové fyzice. Vrátíme-li se zpátky k problému klasifikace spi-nových stavů systému elektronů, lze Youngovy tabulky zavést velice přirozeně, i když používané značení může napoprvé působit nezvyklým dojmem. Spinový stav jednoho elektronu označme jako čtverec, ve kterém je vepsána buď jednička nebo dvojka, v závislosti na tom, zda se jedná o stav se spinem nahoru nebo dolů: IO-LXL (6.3) Cheme-li klasifikovat spinové stavy s dvěma elektrony, je zapotřebí nakreslit čtverce dva a to buď vedle sebe nebo nad sebou. Pravidlo přitom je, že čtverce vedle sebe odpovídají symetrickému stavu, kdežto nad sebou antisymetrickému:t 1 1 ľ>i|t>2, [H2]=--=(|í>i|i>2+|i>i|í>2), [2j2}= |I>i |i>2, (6-4) -^(|!>l|i>2-|i>l|!>2). (6.5) Je zřejmé, že Youngova tabulka je totožná s 111 21 a podobně se liší od pouze znaménkem, což ale fyzikálně představuje stejný stav. Rovněž si povšimněme 12 ' že Youngovy tabulky -y a -y jsou nulové stavy. Z těchto pozorování vyplývá, že nemá cenu uvažovat Youngovy tabulky se všemi možnými číselnými kombinacemi, ale že fyzikálně (a i co se týče reprezentací v teorii grup) jsou relevantní pouze některé z nich. Z tohoto důvodu se zavádí konvence že čísla objevující se v Youngových tabulkách a i tabulky samotné musí mít tzv standardní formu. Tato standardní forma je z definována tak, že v každém řádku *Jak přijít na tyto „tenzorové" rozklady si ukážeme v podsekci 6.1.3. '''Jak lze vidět, za Youngovy tabulky pokládáme normalizované stavy. V literatuře to není obvyklé a lze se častěji setkat s případy, kdy normalizační faktory na pravé straně těchto vztahů chybí. Z fyzikálního hlediska je ale výhodnější pracovat s normalizovanými stavy a proto se budeme nadále držet této konvence. 6.1. YOUNGOVY TABULKY 72 Youngovy tabulky čísla zleva doprava nikdy neklesají (tedy můžou být přinejmenším stejné, ale nikdy menší), kdežto v každém sloupci musí vždy odshora dolů růst. Takže například v následujícím je levá Youngova tabulka standardní, kdežto pravá nikoliv: 1 1 2 1 2 1 Youngova tabulka ve standardní formě navíc ještě splňuje další podmínku, která se týká umístění čtverců v tabulce. Tato podmínka říká, že počet čtverců v řádku nesmí nikdy stoupat směrem odshora dolů a navíc, že všechny čtverce se kladou co nejvíc nalevo v daném řádku. Na příkladě dole vidíme, že první Youngova tabulka je ve standardní formě, kdežto ostatní nikoliv. 1 1 2 1 1 1 1 2 6.1.1 Najděte všechny očíslované standardní Youngovy tabulky o třech čtvercích a k nim přiřaďte odpovídající spinové stavy tří elektronů. Řešení: 1 1 1 1 2 2 1 1 | _2 lí>l lt>2 |t>3: 112 ^(Ií>l|í>2|l>3+|í>l|l>2|í>3+|l>l|í>2|í>3) ^=(|T>1 ll>2 |1>3+ ||>1 |t>2 |j>3+ ||>1 ||>2 |í>3), [2l2\2}= ||>1 ||>2 |1>3! V2 (|Í>1 lt>2 |1>3- II>1 lt>2 |í>3) 1 2\ 2_ V2 (|Í>1 ll>2 |1>3- |1>1 ll>2 |í>3) 6.1.2 Nalezněte všechny očíslované standardní Youngovy tabulky o čtyřech čtvercích pro grupu SU(3). (Nápověda: V tomto případě budou čísla ve čtvercích nabývat hodnot {1,2,3}.) 6.1. YOUNGOVY TABULKY 73 Řešení: 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 1 1 2 3 11 2 2 3| |2 2 2 3| 11 1 3 3| 11 2 3 3| |2 2 3 3| 11 3 3 3| |2 3 3 3I 3 3 3 3 1 1 11 1 1 1 |2| 1 2 | 2 | 1 11 3 | 1 2 | 3 | 1 3 | 3 | 1 111 2 2 2 2 2 2 3 1 1 | 2 | 1 2 | 2 | 2 2 | 2 | 1 11 3 | 1 2 | 3 | 2 2 | 3 3 3 3 3 3 3 1 3 | 3 | _3 3 3 1 1 2 2 1 2 2 3 1 1 2 3 1 1 3 3 1 2 3 3 1 jj i i 3 2 2 2 3 3 3 6.1.2 Dimenze ireducibilní reprezentace SU(N) Pokud necháme čísla v Youngových tabulkách nabývat hodnot od 1 po N, potom každá standardní Youngova tabulka představuje určitou ireducibilní reprezentaci grupy SU(N)} V příkladu 6.1.2 jsme například vypsali všechny čtyř-částicové stavy grupy S77(3). Vidíme, že zde existují čtyři typy ireducibilních reprezentací, jenž lze charakterizovat pomocí Youngových tabulek: Zde se prázdnou Youngovou tabulkou myslí množina všech možných očíslování, jež splňují podmínky kladené na standardní formu. Například držíme-li se případu grupy SU(3), Youngova tabulka [jj představuje množinu tří prvků q = {[tj, [2j, [š]} a tedy zahrnuje fundamentální reprezentaci grupy S77(3). Podobně, jak si lze snadno ověřit, tabulku | | | lze očíslovat dle pravidel o standardní formě Youngových tabulek šesti způsoby, zatímco tabulku — pouze třemi. Obecně počet všech možných očíslování předchozí sekci jsme se, striktně řečeno, zabývali ireducibilními reprezentacemi grupy permutací dvou prvků Sl2. Lze však ukázat, že stejné reprezentace má i grupa SU(2). Následující metody jsou přirozeným rozšířením pro N prvků, tedy jak pro grupu permutací Sn tak i pro grupu N-rozměrných unitárních matic (s jednotkovým determinantem) SU(N). 6.1. YOUNGOVY TABULKY 74 Youngovy tabulky se nazývá její dimenze. Podíváme-li se na řešení k úloze 6.1.2, tak lze konstatovat: dim 15, dim 15, dim 6, dim I Dimenze Youngovy tabulky představuje množství časticových stavů v daném mul-tipletu. Bylo by tedy užitečné mít po ruce nějaké pravidlo, jak dimenzi libovolné Youngovy tabulky vypočítat, aniž by se musely ručně hledat všechny možné způsoby očíslování, kterážto procedura je i pro malá N časově velmi náročná. 6.1.3 Na základě úvahy odvoďte, že pro grupu SU(N) platí dim dimí N + 3 4 rrxv dim dim N + 2 4 N+ 1 a porovnejte výsledky pro N = 3 s předchozím odstavcem. (Nápověda: Dimenze Youngovy tabulky je obecně polynom v N, jehož řád je stejný jako počet čtverců v tabulce. Je zřejmé, že pro N = 0 neexistuje žádné očíslování a tudíž hledaný polynom nemá žádný konstantní člen. K určení koeficientů stojících u mocnin, například N, N2, N3 apod., stačí ručně vypočítat dimenzi pro N = 1, N = 2 atd. a výsledky použít k nalezení těchto koeficientů. Náročnost této „brute force" metody přirozeně roste s počtem čtverečků v tabulce.) 6.1.4 Odvoďte dimenzi Youngovy tabulky o jediném řádku s q čtverci a tabulky o jediném sloupci s p čtverci a výsledek odůvodněte na základě symetrie. Řešení: N 1 Výsledky odpovídají počtu kombinací ./V prvků do q resp. p přihrádek s opakováním, resp. bez opakování prvků. Rovněž odpovídají diskrétní variantě Bosé-Einsteinovy resp. Diracovy-Fermiho statistiky pro počet možných obsazení ./V degenerovaných hladin q bosony resp. p fermiony. Všimněme si, že z hlediska grupy SU(3) mají následující Youngovi tabulky stejnou dimenzi dim dim Důvod je ten, že kdykoliv je v tabulce sloupec o třech čtvercích, pak existuje pouze jediné jeho očíslování a to a tudíž při výpočtu dimenze je možné takové sloupce 6.1. YOUNGOVY TABULKY 75 zcela ignorovat. Samozřejmě fyzikálně tyto tabulky představují odlišnou situaci, neboť jedna popisuje devíti časticový multiplet, zatímco ta druhá pouze šesti časticový. Docházíme ale k závěru, že pro grupu S77(3), co se výpočtu dimenze týče, nemusíme uvažovat žádnou Youngovu tabulku s více než dvěma řádky. Je tedy možné popsat všechny Youngovy tabulky pomocí dvou čísel y = (í/i ,2/2)5 kde yľ značí počet čtverců v prvním řádku, zatímco y2 značí počet čtverců v druhém řádku. V souladu s pravidly o standardní formě Youngových tabulek však musí platit yľ ^ y2. Podobně pro grupu SU(N) lze tabulky charakterizovat N — 1 čísly, uspořádanými od největšího po nejmenší y = (yi,... ,yN-i)- V dalším budeme symbolem D^y rozumět dimenzi tabulky y vzhledem ke grupě SU(N). 6.1.5 Odvoďte D^iy, 1)- (Nápověda: Pokuste se sestavit rekurentní formuli zahrnující členy Dk(y — 1) a výslednou sumu sečtěte.) Dn(v, 1) = y 'N+y-1^ 6.1.6 Odvoďte DN(2, 1,... ,1). y—l times y—l times (N+1) Ky+l) Výpočet dimenze libovolné Youngovy tabulky lze provést kupodivu velmi snadno pomocí následujícího algoritmu. Ještě před tím, než se s ním seznámíme, si zaveďme jeden nový pojem. Na očíslovaných tabulkách zavedeme zobrazení do reálných čísel, které z nedostatku lepšího výrazu nazveme determinantem. Determinant očíslované Youngovy tabulky je dán jako součin všech hodnot jeho čtverců. Například: det I 1 2 3 4 1 2 3 5 720, detI X y z u X y z v 2 2 2 x y z uv Dimenzi Youngovy tabulky lze spočítat jako podíl determinantů dvou vhodných očíslování. V čitateli do každého čtverce vepíšeme N a k tomu přičteme souřadnici daného čtverce, přičemž každý krok doprava od startovního čtverce umístěném v levém horním rohu, se bere jako +1 a každý krok dolů jako — 1. Například očíslování Youngovy tabulky (4,3,1) vzhledem ke grupám SU(4) a SU(6) vypadají následovně:^ 4 5 6 7 6 7 8 9 3 4 5 a 5 6 7 2 4 ^Determinant Youngovy tabulky s N čtverci s tímto očíslováním lze chápat jako rozšíření pojmu faktoriál, neboť například det = 3! apod. Navíc například det (Í3T2TTI) = 3x4x5 = 3(3), coz je široce používaný tzv. Pochammerův symbol nebo také rostoucí faktoriál. Determinant Youngových tabulek tedy zahrnuje obě tyto důležité operace jako speciální případy. 6.1. YOUNGOVY TABULKY 76 Očíslování ve jmenovateli provedeme tak, že do každého čtverce zaneseme počet čtverců nacházející se napravo a pod daným čtvercem plus jedna. Toto očíslování nezávisí na zvolené grupě a je pro danou tabulku jedinečné: 6 4 3 1 4 2 1 1 Dimenze Youngovy tabulky (4,3,1) vzhledem ke grupám S U (A) a S U (6) je tudíž detl ^4(4,3,1) detl detl As(4,3,l) detl 4 5 6 7 3 4 5 2 6 4 3 1 4 2 1 1 6 7 8 9 5 6 7 4 6 4 3 1 4 2 1 1 100800 576 175 2540160 576 4410. A jak se lze snadno přesvědčit, vzhledem ke grupě SU(N) dostáváme výsledek (N - 2)(N - 1)N2(N + 1)2(N + 2)(N + 3) Av(4,3,l) 576 6.1.7 Vypočítejte DN(3, 2,1), DN(4, 2, 2) a DN(3, 3, 3). Djv(3,2,1) = (N-2)(N- 1)N2(N + l)(iV + 2)/45 Djv(4,2,2) = (7V-2)(7V-1)27V2(AT+l)(AT + 2)(7V + 3)/720 Djv(3,3,3) = (7V-2)(7V-l)2Ar3(AT+l)2(Ar + 2)/4320 6.1.8 Odvoďte .Djv(yi) 2/2) -Div (2/1,2/2) ž/l-ž/2 + l /iV+J/i-lN /AT+J/2-2N iV-1 V J/i + 1 a J/2 / 6.1.9 Takzvanou konjugovanou tabulkou k dané Youngově tabulce rozumíme tabulku, jež má sloupce přehozeny s řádky (ale tak aby výsledkem byla tabulka ve standardní formě). Například konjugovaná tabulka k □□ je Q a k Z je [J ' L Označme si konjugovanou tabulku k tabulce (2/1,... ,Vn) jako (2/1,... , 2/iv)*- Tudíž (2)* = (1,1) a (2,1,1)* = (3,1). Experimentujte s s tímto pojmem a nalezněte relaci, dávající do souvislosti dimenze konjugovaných tabulek. DN{y)* = Dn{y) (N+q)t^(N-q) MqeTL 6.1. YOUNGOVY TABULKY 77 6.1.10 Ověřte, že součet dimenzí všech Youngových tabulek (jak ve standardní formě, tak v nestandardní formě) o počtu čtverců rovným 1,2 a 3 je roven N,N2 a TV3. Argumentujte, proč součet dimenzí všech Youngových tabulek řádu k je Nk. Řešení: Nk je počet všech možných očíslování k čtverců ./V čísly, což musí odpovídat součtu všech možných symetrizací těchto očíslování. 6.1.3 Rozklad tenzorových reprezentací Jednou z mnoha aplikací Youngových tabulek je jejich snadné využití k rozložení tenzorových reprezentací do ireducibilní částí. „Tenzorem" zde chápeme libovolný produkt fundamentálních (či anti-fundamentálních) reprezentací. Fundamentální reprezentací grupy SU(N) myslíme vektor s N prvky qa, kde a e {1,...,N}. Transformace tohoto vektoru vůči SU(N) charakterizuje N x N matice U a ve složkách je dána jako qai = Ua^qa-^ Vektor fundamentální reprezentace můžeme chápat i jako Youngovu tabulku □. Podobně ant i-fundamentální reprezentací je vektor qa, jež se transformuje jako qa = Uaaqa, kde označuje komplexní sdružení. Youngova tabulka pro anti-fundamentální reprezentaci je jediný sloupec o N — 1 čtvercích (například vzhledem ke grupě S77(3) to je []). Nejjednodušším netriviálním tenzorem vzhledem k S U (N) je matice s N x N prvky Tab, kde a, b e {1,..., N}. Transformace tohoto tenzoru je dána Ta a(3Tu + \a\2 T12 - \(3\2 T21 - á(3T22 , T21 -> a(3Tu + \a\2 T21 - \(3\2 T12 - á(3T22 . Reducibilita těchto transformací vězí ve faktu, že tyto vztahy lze přepsat i do následující podoby ( Tu ) / a2 ŕ a(3 o\ ( Tu \ T22 ŕ á2 ä/3 0 T22 T\2 + T2i 2a/3 -2á(3 n2-m2 0 T\2 + T2i \T12-T21J V o 0 0 V \T12-T21J 'Používáme Einsteinovu sumační konvenci pro pár stejného horního a dolního indexu. 6.1. YOUNGOVY TABULKY 78 z čehož je nyní očividné, že antisymetrická část tenzoru T se transformuje triviálně. To znamená, že antisymetrická část T představuje singlet vůči SU(2), kdežto zbývající tři komponenty, které se transformují mezi sebou navzájem, triplet. Toto pozorování je mimochodem stejné jako to, které jsme učinili na začátku této podkapitoly, že vlnová funkce dvou elektronů přirozeně tvoří antisymetrický singlet a symetrický triplet." Odtud tedy dostáváme rozklad: 0 Všimněme si, že i dimenzionálně to sedí 2x2 = 3 + 1. Dosud jsme se omezili jen na SU(2), ale není těžké vidět, že tento rozklad musí platit i pro SU(N), neboť dimenze na obou stranách se rovnají N x N = N (N + l)/2 + N (N - l)/2. Nyní bychom rádi provedli podobný rozklad pro komplikovanější tenzory. Je zřejmé, že obecně je tenzor produktem svých ireducibilních částí, které zde reprezentujeme Youngovými tabulkami. Příkladem složitějšího tenzoru je [p(x)[J-L Jeho rozklad je 0 0 0 0 0 0 0 0 6.1.11 Ověřte, že dimenze na obou stranách se rovnají. N2(N2-l)2 _ N2(N2-1)(N+2)(N+3) N(N2-l)(N2-4)(N+3) N(N2-l)(N2-4)(N+3) 9 80 72 72 Af2(Af+l)2(Af+2)(Af-l) 2JV2(jV2-l)(jV2-4) Aí2(JV2-l)(JV-2)(7V-3) + 144 + 45 + 80 JV2(Aí-l)2(Aí+l)(Aí-2) + 144 Jak se takový rozklad provede? Pro obecný případ rozkladu dvou Youngových tabulek existuje jednoduchý algoritmus: • Napište Youngovy tabulky vedle sebe a do každého řádku jedné z nich vepište písmena a, b, c,.... Například: a a a 0 b b c II Zde se ovšem jednalo o grupu permutací dvou prvků s2 a ne su(2). Avšak z hlediska rozkladu reprezentací lze na obě situace pohlížet stejně. 6.1. YOUNGOVY TABULKY 79 Přesouvejte očíslované čtverce ... atd. k neočíslované ta- bulce jednu po druhé tak, aby byla dodržena následující pravidla: — Po každém přidání musí být výsledná Youngova tabulka ve standardní formě. — Čtverce se stejným písmenem se nesmí objevit ve stejném sloupci. — Pro každý čtverec musí platit, že součet všech a-ček na, které se nachází v pravém horním kvadrantu od daného čtverce, nesmí být menší než součet všech 6-ček rib, který nesmí být menší než součet c-ček nc, atd. na ^ nc ^ .... Například následující konfigurace není dovolena, b a a neboť pro horní levý čtverec je jediný označený čtverec v jeho horním pravém kvadrantu 6-čko, což je víc než 0 a-ček. • Pokud jsou dvě výsledné Youngovy tabulky ve stejném tvaru, ale liší se v konfiguraci označených čtverců, potom se obě tabulky chápou jako nezávislé příspěvky. Pokud je konfigurace stejná, potom se bere jen jediná z nich. • Pokud je rozklad počítán pro grupu SU(N), každý sloupec o N čtvercích se vymaže. Tato pravidla jsou doplňkem k intuitivnímu chápání rozkladu produktu dvou Youn-gových tabulek jako roznásobování dvou závorek. Očíslováním jedné tabulky a držení se několika selekčních kritérií slouží jen k tomu, aby se nezapočítávaly určité konfigurace víckrát, než je potřeba. Tudíž rozklad produktu [p(x)[J-', který jsme uvedli výše, je proveden následovně <8> a a b a e e a a a e a a a e e a a a (g) b a a b e e a a b a e a b e a e b a e e a a b 6.1. YOUNGOVY TABULKY 80 Poslední řádek koresponduje s výsledkem uvedeným výše. Všimněme si, že dvě shodné tabulky ZZ~^ představují nezávislé příspěvky, neboť konfigurace očíslovaných čtverců je v obou případech různá. Podívejme se na tento rozklad v konkrétním případě grupy SU(3). Jelikož se rovná singletu a každá tabulka obsahující více než tři řádky je nulová, rozklad se zjednodušuje na SU(3) : 0 e e e e ei. Jelikož každou Youngovu tabulku lze (téměř**) identifikovat pomocí její dimenze, lze tento výsledek přepsat do kompaktnější podoby: 80 8 = 27 010 010 0 8 0 8 01 kde jsme označili 10. 10. Jelikož dimenze obou tabulek jsou stejné, museli jsme symbolem _ vyznačit rozdíl. Tabulka napravo se nazývá konjugovaná k tabulce nalevo, neboť když položíme jednu na druhou, výsledná tabulka je SU(3) singlet.^ 6.1.12 Nalezněte rozklady 2 (x) 2 (x) 2 a 2 (x) 2 (x) 2 (x) 2. (Tím si ověřujeme platnost tvrzení uvedených na začátku této podkapitoly o stavových multipletech soustavy tří a čtyř elektronů.) 2®2(x)2 = 4©2©2 2®2®2(X)2 = 5©3©3©3©1©1 6.1.13 Nalezněte rozklady 6 (x) 8 a 10 (x) 6 pro grupu SU(3). 6®8SI/(3) = 24© 15 ©6 ©3 106SI/(3) = 42 ©15 ©3 6.1.14 Nalezněte rozklady 6(x)6 a 6(x)6(x)6 pro grupu SU(6). Jak by stejné rozklady vypadaly pro grupu 5ř7(3)? 6■ ("J)(g) se [A, B] transformuje jako [A, B] —>■ (ad — bc) [A, B]. Tudíž £A(B) je skalárem vůči grupě speciálních lineárních transformací SX(2, C), čili komplexních matic 2 x 2 s jednotkovým determinantem. Snad nej důležitějším a nejužitečnějším cílem operátorového počtu je pochopit chování exponenciály operátoru, řekněme A, která je definitoricky dána nekonečnou sumou: eA = 1 + A + Ty A2 + ... Exponenciála operátoru má přirozené aplikace v diferenciální geometrii (tok vektorového pole), v Lieových grupách (element grupy) a v neposlední řadě i v kvantové mechanice, kde q^-^h je Qperátor, který „evoluje" stavy z počátečního okamžiku to do času t v systému definovaném hamiltoniánem H. Vzhledem i k tomuto neúplnému výčtu není příliš překvapivé, že eA zaujímá privilegované postavení v operátorovém počtu. Uveďme si nyní několik příkladů, jak se chová exponenciála dobře známých operátorů: 6.2.5 Čemu se rovnají výrazy: eadxx, eXxdxx, e^xd«^ydx^x a e^xdv^ydx^y? (Návod: a) Rozveďte exponenciálu do Taylorovy řady, derivujte člen po členu a výsledek znovu sečtěte. Nebo pro náročné b) najděte vlastní funkce v\ daných operátorů, tedy funkce splňující podmínku Av\ = \v\ a pak vyjádřete funkci x prostřednictvím některých z v\. Využijte faktu, že eAv\ = exv\.^ 6.2. ZÁKLADNÍ OPERÁTOROVÉ IDENTITY 83 eadxx = x + a ev{xdy-ydx)x = x cos ip — y srn ip e>p(xdy-ydx)y = y COS p> + X SlIHp Z předchozího cvičení lze snadno uhodnout, že „akce" operátorů edx, e*5* a ex8y~y8x na obecné funkce odpovídají po řadě transformacím translace, škálování a rotace. Z tohoto důvodu se operátorům dx, xdx a xdy — ydx říká generátory těchto transformací.^ Pokud je ale tomu skutečně tak, pak to musí platit pro libovolnou funkci, například pro translaci ea8xf(x) = f(x + a). (6.7) Pravdivost tohoto tvrzení, lze jednoduše demonstrovat pomocí Taylorova rozvoje. Nicméně u složitějších operátorů nemusí být pravdivost analogického tvrzení již tak očividná. Naštěstí existuje velice jednoduchá metoda, jak podobné identity dokázat. Ta vychází z pozorování, že edxf(x)e~dx = f(edxxe~dx) = f(x + a), kde všechny výrazy chápeme jako operátory. První rovnítko je dáno faktem, že např. edxx2e~dx = edxxe~dxedxxe~dx. Jinými slovy edx f(x)e~dx je podobnostní transformace a pokud je f(x) dostatečně hladká (tak aby existoval Taylorův rozvoj kolem nuly), pak je možné použít identity edxxne~dx = (edxxe~dx^j v každém členu rozvoje f(x). Druhé rovnítko lze ospravedlnit přímým Taylorovým rozvojem obou exponenciál. Je však nutné mít na paměti, že jelikož zde pracujeme s operátory, tak například dxx = l+xdx, apod. Nakonec pokud zapůsobíme operátorem edx f(x)e~dx na jedničku, přičemž zřejmě e~8x • 1 = 1, pak ihned plyne ead*f(x) = f(x + a). Podobný trik lze aplikovat pro všechny operátory uvedené v předchozím cvičení. Jeho platnost je však omezena pouze na operátory lineární v derivaci. 6.2.6 Dokažte ea9^dxx = G-^Gix) + ay-a9^ , kde G'{x) = g{x). (Návod: Použijte transformaci souřadnic g{x)dx = ÔQ^xy) Nyní si tuto „technologii" exponenciál rozšíříme na případ obecných operátorů. Jinými slovy budeme chtít nalézt rozklad výrazu eABe-A pomocí komutátorů. Existují dvě cesty, jak toho dosáhnout. Následující cvičení ilustrují tu „těžší" z nich. geometrického hlediska eaôx představuje transformaci souřadnic x —> x + a; jinými slovy jde o tzv. pasivní transformaci. Tutéž operaci lze ale vnímat „aktivně" jako translaci objektů v prostoru. V tomto případě se však jedná o translaci těchto objektů o —a podél osy x. Tyto rozdílné interpretace akce eaôx můžou občas zmást nezasvěceného čtenáře, neboť většinou není explicitně řečeno, v jakém smyslu se dané transformace chápou. 6.2. ZÁKLADNÍ OPERÁTOROVÉ IDENTITY 84 1- A2, B A3, B A\B 6.2.7 Prepíšte následující výrazy pomoci Lieovy derivace: [Ä2, B], [A3, B] a [A4, 5]. 2ĽA(B)A + Ľ2A(B), 3£A(B)A2 + 3£2A(B)A + C\{B), ACA{B)A3 + %C2A{B)A2 + AC\{B)A + C\{B) 6.2.8 Na základě předchozího příkladu odvoďte obecnou formuli pro [An, B]. (Návod: Podle výsledků předchozího cvičení napište obecný tvar pravé strany jako sumu přes neznáme koeficienty cn^ a vhodné mocniny Lieových derivací a operátoru A. Potom odvoďte rekurentní formuli pro cn^ na základě analýzy, jak se koeficienty změní, pokud přejdeme na n + 1 případ. Získanou rekurenci vyřešte.) n [An,B]= E (l)ĽkA(B)An-k fc=i 6.2.9 Jak se změní výsledek předcházejícího cvičení, budeme-li řadit mocniny An~k nalevo od CA{B) místo napravo? [An,B]= }Z(-^k+1{t)An-kCkA(B) fc=i A" (A - ĽA) B 6.2.10 Čemu se rovná \eA, B\ ? (Nápověda: Možná se bude hodit sumační identita Xi nf(fc n=0fc=l oo oo (n-fc)!fc!' fc=ln=k Z výsledku cvičení 6.2.10 lze již snadno dovodit, že [eA,B] iCa(B) -B)e eABe-A = ec- (B) = B + [A, B] + - [A, [A, B]] + ... (6.8) Ukažme si nyní druhý, „lehčí" a více rozšířenější důkaz této identity, jež zahrnuje trik, který s výhodou uplatníme ještě několikrát. Ten spočívá v zavedení funkce jedné proměnné, řekněme t, která nabývá hodnot v prostoru operátorů F(t) = etABe-tA . Derivací této funkce podle t obdržíme F'(t) = etA [A, B] e-tA = [A, F(t)] = CA{F{t)). Odtud jednoduchou integrací, kde zacházíme s CA jako s konstantou, s počáteční podmínkou F(0) = B ihned plyne F(t) Položením t = 1 končí náš důkaz. Výsledku (6.8) se občas říká Hadamardova formule. 6.2.11 Přepište následující výrazy pomocí Lieovy derivace: sm(A)B cos(A) — cos(A)B sin(A) a cos(A)B cos(A) + sm(A)Bsm(A). sm(A)B cos(A) - cos(A)B sin (A) = sm(CA)B , cos(A)B cos(A) + sm(A)Bsm(A) = cos(CA)B 6.2. ZÁKLADNÍ OPERÁTOROVÉ IDENTITY 85 6.2.12 Přepište* [f(A),B] jako výraz obsahující funkci A a Ca působící na B. Výsledek porovnejte s výsledkem cvičení 6.2.10. (Návod: Využijte výsledku cvičení 6.2.9.) [f(A),B]= (f(A)-f(A-£Aj)B 6.2.2 Poincarého věta, BCH identita Jak již bylo řečeno výše, exponenciála operátoru je klíčovým objektem operátorového počtu vzhledem k jejím aplikacím v matematice a ve fyzice. S tímto přirozeně souvisí snaha o rozklad složitého operátoru na menší elementy, jejichž exponenciála má známé chování, či komplementární problém, fúze dvou exponenciál do jediné. Do popředí se tak dostávají dva velké „problémy" operátorového počtu tvořící jádro této podkapitoly: Problém I : eA+B = ex°eXleX2 ... (6.9) Problém II : eAeB = ezo+Zi+z2+... ^1Q^ Problému I se v literatuře říká Zassenhausova identita a Problému II Bakerova--Camp-bellova-Hausdorffova (BCH) identita. V obou jsou Xi a Zi neznámé výrazy obsahující A, B a potenciálně i všechny jejich (Lieovy) „derivace" [A, B], [A, [A, B]], apod. Úkolem je najít jejich explicitní tvar. Jak vyjde najevo, toho lze skutečně dosáhnout pouze pro speciální případy A a B; obecně lze najít jen vysoce formální reprezentace či (asi nejužitečněji) determinovat Xi a Zi rekurzivně. Existuje také mnoho zajímavých „mutací" obou těchto identit, z nichž některé si zde ukážeme. Stojí za povšimnutí, že naše definice problémů I a II není vlastně úplná, neboť jsme ještě dostatečně nespecifikovali, v jakém řádu Xi a Zi závisí na A a B. Standardně se uvažuje, že Xi a Zi jsou homogenní výrazy (polynomy) řádu i jak v A tak i v B, nebo-li že počet výskytů operátoru A plus počet výskytů operátorů B se rovná i. Jak uvidíme, obecně budou Zi a Xi (pro i větší než 1) dány jako lineární kombinace výrazů, obsahující všechny možné do sebe vnořené komutátory daného řádu. Než se ale pustíme do problémů I a II bude užitečné nejprve rozřešit otázku, jak derivovat exponenciálu operátoru podle parametru (řekněme ť). Ilustrujme si to na následujícím problému dteA+tB =? í=0 Jelikož v argumentu exponenciály sedí operátor, nelze bezmyšlenkovitě aplikovat známé pravidla pro derivování. Důvod je v tom, že derivace dt(A + tB) = B obecně nekomutuje s A + tB. Tím pádem záleží na pořadí a naivně se zdá, že neznáme odpovědna otázku, zda dt eA+tB\t_Q = B eA nebo dt eA+tB\t_Q = eA B? Samozřejmě ani jedna z možností není správně; lépe řečeno jsou neúplné. Ve správném výsledku jsou totiž obě možnosti zahrnuty s nekonečně mnoha dalšími členy. *Pokud nebude řečeno jinak, obecná funkce obsahující operátor f (A) bude vždy dostatečně hladká tak, aby výrazy, ve kterých se objevuje, dávaly smysl. V praxi se výraz f (A) chápe jako ekvivalent Taylorova rozvoje f (A) kolem 0. 6.2. ZÁKLADNÍ OPERÁTOROVÉ IDENTITY 86 Pokud eA+tB rozvineme Taylorovým rozvojem a budeme-li derivovat člen po členu, t dostáváme dt eA+tB L_n = B + — (BA + AB) + - (BA2 + + A2B) + - (5A3 + aba2+ 1 5! lt=o " ' 2!v"" ' ' 3!v~" ' ' ' ' 4! + a25a + a35) + — (BA4 + + A2 B A2 + a35a + a45) + ... / A A2 A3 \ /l A A2 A3 eA — 1 — A — h A2 B ,A-1 + AB 1-A + AZB 2V + ... A ' "~ A2 A3 Označíme-li si „posunuté" exponenciály objevující se v posledním řádku předchozí rovnice symbolem Ak . 'ľ1-1 ^fc, -y ^ An f-* k\ k—n , -1 (k + n)\ An . potom můžeme výsledek přepsat do kompaktního, ale neuzavřeného tvaru n=0 dteA+tB\t=Q = ^lAnBEn+1(A). 6.2.13 Ověřte následující identity: co r* r* r* dteA+tB\t^0 = £ En+1(A) BAn , En{A) = j dfr j d& ... j d£ne' (6.n; i Ci n=0 1 0 0 En{A) = -di:[e+lEn+1{iA) ■y(n,A) „A '^fyeA, kde j(n,A) = Jdrť1"^-* o 6.2.14 Dokažte, že pokud n > 0, pak platí En — j4n(n_1-) je tzv. dolní neúplná gama funkce. (Návod: Sestavte diferenciální ronící pro En(A) formální derivací podle A, kterou vyřešte s počáteční podmínkou En(0) = 0.) E^(A) = En(A)(l A) t A{n-l)\ 6.2.15 Ověřte, že £ En+1(A)An = eA. n=0 co A oo n=0 0 n=0 '''Opět předpokládáme, že „technické" problémy s tím spojené, například stejnoměrná konvergence apod., jsou vyřešeny vhodným zúžením třídy funkcí, na které operátory působí. 6.2. ZÁKLADNÍ OPERÁTOROVÉ IDENTITY 87 Jakkoliv je identita (6.11) zajímavá, v praxi je jen zřídka kdy použitelná. V literatuře se proto daleko častěji objevuje ve tvaru, kterému se říká Campbellova-Poíncarého fundamentální identita. Z výsledků předcházejících cvičení lze snadno odvodit, že dte A+tB I lí=0 n=0 J En+l (A) BAn = Y,En+i (A) AnB + J] En+1 (A) [B, An] oo eAB + J En+1(A) ((a - CA)n An^B A pa r ^ tn(A CA)n(B)e_t o a n=0 Ann\ e—^áte-t£^{B) = eA Jd£e-^(B) = eA- -(5) eAE1(-CA)(B). 6.2.16 Ověřte, že rovněž platí dte A+tB I lí=0 Ei(£A)(5)e^. eAi^£a(b Všechny dosud provedené výpočty lze jednoduše zobecnit na libovolnou závislost operátoru A = A{t) na parametru t a právě v této obecné podobě se Cambellova-Poincarého identia běžně uvádí: 1 — p~£-a ^-AdteA=L * (A') C A (6.12) kde A' značí derivaci A podle t. Nyní se zaměřme na problém II. Postupně si ukážeme tři způsoby seřazené vzestupně podle jednoduchosti a (řekněme) elegance, jak odvodit neznámé výrazy Zj. Všechny tři způsoby svým vlastním způsobem nahlížejí na problém jinak, i když výsledky si samozřejmě odpovídají. První způsob je tzv. „brute force" metoda. Zavedeme si opět parametr t a požadovaný výsledek definujeme pomocí řady Zit A, tB) = tZx + t2Z2 + t3Z3 + ... = \n(etAetB (6.13) Povšimněme si, že s takto explicitně vyznačeným chováním funkce Z(tA,tB) na parametru t implicitně předpokládáme, že Zi je homogenní polynom řádu i jak v A, tak v B, tedy že platí Zi(\A, XB) = X'lZi(A, B). Z výše uvedené definice pak vyplývá Zn = —d?\n(etAetB í=0 6.2. ZÁKLADNÍ OPERÁTOROVÉ IDENTITY 88 Vlastní výpočet se provede tak, že ln(etAetB^j se rozvede v Taylorovu řadu, která se pak derivuje člen po členu n\ [éAéB 1) - ^(etAetB l)2 + ^(etAetB l)3 - ... í=0 6.2.17 Vypočtěte Z±, Z2 a Z3. Zi = A + B Z2 = \[A,B] Z3 = ^([L4,B],B] + L4,L4,B]] 6.2.18 Odvoďte, že platí Z(—tB,—tA) = —Z(tA,tB). Přímým důsledkem této identity je, že pro sudá n je Zn anti-symetrickým vůči záměně A a B, zatímco pro lichá n je tomu naopak. [1 = etAetBe-tBe-tA = eZ{tA,tB)eZ{-tB-tA)^ 6.2.19 Odvoďte, že platí Z(tA,tB) = etCA (Z(tB,tA)) a Z(tA,tB) = e~tCB (Z(tB,tA)). etAetB etAetB etAetBetAe-tA = etCAletBetA e-tBetBetAetB = e-tCBletBetA 6.2.20 S využitím předchozích dvou cvičení dokažte následující rekurentní relaci (Návod: Použijte Taylorův rozvoj na obou stranách předchozí identity) 2n—1 6il—ĺ ^ \^ 2 ŕi kl k—l 2n-l 2 iŕi fc! fc=l b l ^2n-k B,A) na jejímž základě spočítejte Z4. Z4 = Druhý způsob, který si ukážeme, využívá Cambellovu-Poincarého fundamentální indentitu (6.12). V tomto případě je výhodnější zvolit si pomocný parametr t trošku jinak: Z(A,tB) = Z0 + tZx + t2Z2 + ... = ln(eVB) . (6.14) Jinými slovy nyní uvažujeme Zi coby homogenní polynomy řádu i pouze v B, tedy Zi(A, XB) = \%Zi(A, B). Derivujeme-li ez podle t, lze s využitím (6.12) snadno odvodit, že Z' kde tl>(x) = je generující funkcí Bernoulliho čísel x n ■ j 1 1 1 Bn = 1, B\ = — , Bo = — , B-i =--,... 0 , 1 2 , 2 g , 3 30 , 6.2. ZÁKLADNÍ OPERÁTOROVÉ IDENTITY 89 Nyní si stačí uvědomit, že eCz = eCAetCB a formální integrací předchozího výrazu s počáteční podmínkou Z (A, 0) = A dostáváme BCH formuli ve tvaru (6.15) Toto „řešení" BCH formule je samozřejmě pouze čistě formální, neboť k získání požadovaných koeficientů Zi je obecně vždy potřeba provést Taylorův rozvoj. Jednou z výhod (6.15) oproti „brute force" metodě je možnost jednoduše extrahovat všechny členy lineární v B, tedy obdržet nekonečnou sumu částí všech členů obsažených v (6.13). Jinými slovy, důležitým a užitečným výsledkem (6.15) je skutečnost Z(A,tB) = A + ^j(eCA)(B) +0(B2) . 6.2.21 Podobným postupem jako v případě (6.15) ověřte, že formálně lze „vyřešit" i (6.13): z Z(tA,tB) = jd^(e^CAe^CB)(B + e-^CAe-^CBA) . Nakonec si ukažme reprezentaci BCH identity, jež je z těchto tří diskutabilně nej-elegantnější a v jistém smyslu i nejužitečnější. Její odvození se dosáhne hledáním „diferenciální" symetrie Z(A,B), čili infinitesimální transformace A a B, která zanechá Z (A, B) beze změny. Konkrétně, uvažujme infinitesimální přeškálování B —> B + eB a budeme hledat, jak se musí změnit A. Jinými slovy chceme vyřešit rovnici eA-eDeB+eB eAeB + 0(ez vzhledem k D. S využitím identity (6.12) snadno nahlédneme, že eA-eDeB+eB l-e- -(JD))eA(l + £JB)eB * ( l-e- ■(D) + eeCAB)eAeB . Jelikož výraz v závorce musí být nula, dostáváme výsledek D = 1_í^-cA (B). Nyní si stejnou rovnost přepíšeme jako Z (A — sD, B + eB) % Z (A, B). Odtud vyplývá 0 = ÔZ = Z (A -eD,B + eB) - Z(A, B) * e[(BdB)Z(A, B) - (DdA)Z(A, B)] , kde jsme zavedli tzv. replacement operátory (Bds) a (D8a)- Jejich funkce, jak už název napovídá, je nahradit výskyt operátoru v argumentu derivace operátorem stojícím za ním. Například (B8a) nahrazuje operátor A operátorem B, tedy (B8a)A = B. Závorky kolem B8a naznačují, že nezle B ani 8a chápat odděleně, ale že dohromady vytvářejí jedinou instrukci. Obecně se replacement operátor, řekněme (B8a), chová jako derivace. Tudíž například platí (B8a)A2 = BA + AB . 6.2. ZÁKLADNÍ OPERÁTOROVÉ IDENTITY 90 Vrátíme-li se k předchozímu vztahu (a obnovíme závislost na parametru t), pokud Z(A,tB) rozvedeme v řadu (6.14) a využijeme-li faktu, že (BdB)Zn(A, B) = nZn(A, B), lze již snadno odvodit rekurentní formuli pro Zn(A,B), kterou lze následně (opět ve formálním smyslu) vyřešit: Zn+i(A,B) n + 1 (DdA)Zn(A,B) (n + 1)! (DÔa) (A). Sumací všech členů se dostáváme ke třetí reprezentaci BCH identity Z = ^tnZn: Z(A,tB) =et(-DdA)A, D 1 - e~ca (B). V tomto tvaru lze jednoduše vidět, že lineární členy v B jsou právě takové, jaké jsme odvodili výše, tedy Z\ = D = tp(eCA^B. Nicméně fakt, že D je samo o sobě funkcí A, vede k tomu, že Z2 = \{D8a)D má mnohem komplikovanější strukturu a žádná jeho pěkná analytická reprezentace není autorům známá. 6.2.22 Uvažujte symetrii ve formě A —>■ A + eA a B —>■ B — eD. Najděte D a výslednou formu pro Z(tA,B). Z(tA,B) = ln(etAeB) = et(-Ď8B)(B), Ď = ^ŽJ^(A). 6.2.23 Vypočítejte Z(A,tB) v těchto speciálních případech: [A, B] = aA a [A, B] = /3B. (Návod: Nejprve spočtěte D pomocí Taylorova rozvoje a následné resumace. Stejným postupem potom vypočtete Z.) Z = A + tip(eP)B Z = Aeat + ^±B 6.2.24 Podobným postupem jako v předešlém cvičení vypočítejte Z(A,tB) ve speciálním případě [A, B] = aA + /3B. Ověřte správnost výsledné formule limitními případy a —>• 0 a (3 —>• 0, které porovnejte s výsledky předchozího cvičení. Z(A,tB) = erf (■^-1)A+ f ^^(e**í^"1) - l) B 6.2.25 Předchozí výsledek je možné odvodit i jednodušeji. Pokud označíme c ^(ip^e13) — l), ukažte, že D = cB + dA. Následně ověřte, že platí et(DBA) = etc(BÔA)+td(AÔA) = e^(BÔA)etd(AÔA)e-^(BÔA) na základě čehož potvrďte předcházející výsledek ve tvaru Z (A, tB) = e A + ^ (eí( 1)B. 6.2. ZÁKLADNÍ OPERÁTOROVÉ IDENTITY 91 6.2.3 Zassenhausova identita Nyní obraťme pozornost k problému I: "le+X2e^Xs... (6.16) 2 3 J(A+B) tX0 tX-í ýX2 pk^Xz S takto zavedeným parametrem t, neznámé výrazy Xi(A, B) budou obecně homogenními polynomy v A & B řádu i, či-li Xi(\A, XB) = \lX,i{A, B). Může se zdát podivné, že v (6.16) jak Xq tak i X\ jsou oba lineární v t. To ovšem vyplývá z faktu, že jakýkoliv člen konstantní v t musí být nula (neboť obě strany rovnice se musí rovnat v limitě t —> 0) a z faktu, že kdybychom měli na pravé straně (6.16) člen lineární v t pouze jeden, pak by se nevyhnutelně musel rovnat A + B (neboť derivace obou stran (6.16) podle t si musí odpovídat v limitě t —> 0). Pokud by ale byl na pravé straně člen et"(x) _ kde jsme v prvním kroku využili faktu dx + f'(x) = e~^x^dxe^x\ ve druhém kroku faktu e~f^edx = edxe~dxe~-f^edx = e^e--^*-1) a ve třetím kroku jsme použili Tay-lorův rozvoj. Jelikož platí d^f(x) = docházíme k závěru, že c(0...0) = (-1) n+l (6.20) Jak již bylo řečeno, tento fakt není závislý na volbě operátorů X0 a X\. 6.2.31 Volbou Xq = f'(x) a X\ = dx ukažte, že cíl...V -l)n+1ín+l) (6.21) edx+f'(x) = e-f(x)edxef(x) = eľ(x)e-f(x)-ľ(x)edxef(x) = eľedxef(x)-f(x-ľ)-ľ(x-ľ) n=2 6.2.32 Volbou Xq = adx + (1 — (3)f'(x) a X\ = (1 — a)dx + (3f'(x) ukažte, že součet všech koeficientů c(n — k,k), tedy c(.. .)-ček, která obsahují n — k operátorů 0-tého typu a k operátorů 1-ního typu, je £c(n-fc,fc) = ("I) n+l n+l k (6.22) edx+f'(x) F(x: a) co . , , ,,„ii n-1 zZ n=2 k=l Zassenhausovu identitu lze řešit i ve tvaru „A+tB eadx + (l-p)f\x)e(l-a)dx+Pf'(x)e(a+f3-l)F(x-,a) _1_ (f{x + «-!)- f(x)) + I (f(X + a-l)-f{x- 1)) n + l -k-1 t2 t3 Jinými slovy nyní uvažujeme neznámé faktory Xn co by homogenní funkce řádu n pouze v B. Všimněme si, že s takto zvolenou funkcí závislostí na parametru t již neexistuje neurčitost při určení prvního výrazu na pravé straně, jež je zřejmě roven Xq = a. 6.2. ZÁKLADNÍ OPERÁTOROVÉ IDENTITY 95 6.2.33 Postupným derivováním podle t odvoďte, jak vypadají faktory X±,X2, X% a X4. Výsledek zapište pomocí operátorů Dt= 1~eCA+tB(B), D = Dt\ D' = dtDt\ D" = d2Dt\ ,... (6.23) J-A+tB ~ Xx = D X2 = D' X3 = D" + [D',D] _ X4 = D'" + [D", D] + [[£>', D],D] _ Naneštěstí u Zassenhausovy identity není autorům známá žádná „uzavřená" formule, jako v případě BCH identity. Jsme tedy odkázáni pouze na „brute force" techniky. Ba co víc, autoři si nejsou vědomi ani žádné „pěkné" rekurentní formule, kde příkladem „pěkné" rekurence by byl vztah dávající do souvislosti Xn+i pouze s Xn. V rekurencích, které jsou dostupné, závisí Xn+i na všech nižších X^n. To naznačuje, že Zassenhausova identita je o řád složitější problém, než BCH formule, neboť vykazuje hysterezi. Autoři však mají silné podezření, že nějaká „uzavřená" formule (ve stejném smyslu jako u BCH identity) existovat musí. Vinu přikládají především nevhodnému značení a fenoménu spontánně narušené symetrie, která Zassenhausovu identitu zřetelně odděluje od BCH identity. Řešení tohoto rébusu je přenecháno zvídavému čtenáři jako ultimátní cvičení. 6.2. ZÁKLADNI OPERÁTOROVÉ IDENTITY 96 7 Řešení 1.1.6: Příklad odolává hrubé síle. Naštěstí se jedná o typ příkladu, který se snadněji řeší tím, že se zobecní. Nechť Pk(n,r) označuje počet různých uspořádaných r—tic, které lze vytvořit z množiny o n prvcích a které obsahují právě k druhů elementů z této množiny. Příklad: (1,1,1,2,2,3) představuje uspořádanou 6—tici (nad nějakou množinou), která obsahuje 3 druhy elementů (jmenovitě elementy 1,2,3). Řešení příkladu (1.1.6) pak evidentně představuje Pn(n,r). Počet r—tic, ve kterých se alespoň jednou objevují všechny druhy elementů z množiny nad, kterou je r—tice tvořena, Pn(n, r) má jednoduchý vztah s r—ticemi, ve kterých nějaké prvky chybí. Jmenovitě: Explicitně řečeno tento vztah představuje počet všech r—tic bez těch, ve kterých se používá postupně jeden, dva až n — 1 druhů elementu. Podobný vztah pro Pn_i(n,r) dostaneme jednoduchou úvahou. Uvědomíme si, že počet r—tic, ve kterých chybí jeden druh elementu, souvysí s těmi r—ticemi, ve kterých chybí více elementů stejným způsobem jako v předchozím vztahu, pokud si jeden z elementů zakážeme používat. Tedy: Tento vztah je formálně stejný jako vztah předchozí s tím rozdílem, že se objevil nový člen n. Ten souvysí s počtem možností, kterým si můžeme zakázat jaký element nebudeme používat. Elementů v tomto případě je n a tedy i možností. Přímým zobecnění dostaneme: kde je nutno přirozeně dodefinovat, že Po(n,r) = 0. Tento vztah je již plně do sebe uzavřen a je možné jej vypočítat. Náš zájem je o případ kdy l = 0. Vypsáním několika n—1 (7.3) 97 98 prvních případů dostaneme: P1(l,r) = 1, P2(2,r) = 2r-2, P3(3,r) = 3r-3x2r + 3, p4(4, r) = 4r - 4 x 3r + 6 x 2r - 4, p5(5, r) = 5r - 5 x 4r + 10 x 3r - 10 x 2r + 5, což lze okamžitě zobecnit na (7.4)