EMM2 1
Ekonomicko-matematické
metody 2
Prof. RNDr. Jaroslav Ramík, CSc.
přednáší
doc. RNDr. David Bartl, Ph.D.
EMM2 2
Matematický aparát MME
(1) Funkce 1 proměnné
„ y je funkcí x “ .......... y = f(x)
y ... závisle proměnná
x ... nezávisle proměnná
Př.: HV = f(ZP)
„Hrubá výroba“ je funkcí „základních prostředků“
EMM2 3
Matematický aparát MME …
(2) Funkce více proměnných: y = f(x1 , x2 , ... , xn )
„ y je funkcí x1 , x2 , ... , xn “
(2) Matice (vektory)
typ (mn)











mna...mamama
...............
na...aaa
na...aaa
321
2312221
1131211
A
EMM2 4
Matematický aparát MME …
𝒙 =
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥 𝑛
—
𝒙T = 𝑥1 𝑥2 … 𝑥 𝑛 —
vektor = speciální matice typu 𝑛 × 1
(„sloupcový vektor“)
transponovaný (řádkový)
vektor – matice typu 1 × 𝑛
EMM2 5
Matematický aparát MME …
Násobení vektorů ( tj. matic (1n) „krát“ (n1) )
tzv. skalární součin vektorů
𝒙T = 𝑥1 𝑥2 … 𝑥 𝑛 𝑦 =
𝑦1
𝑦2
⋮
𝑦𝑛
𝒙T ⋅ 𝒚 = ෍
𝑗=1
𝑛
𝑥𝑗 𝑦𝑗 = 𝑥1 𝑦1 + 𝑥2 𝑦2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 𝑦𝑛 = „číslo“
T — transpozice (otočení podle hlavní diagonály)
EMM2 6
Násobení matic
C = A . B
x =
(mn).(nk) = (mk)
A
i-tý ř.
j-tý sl.
j-tý sl.
m
n
n
k
k
i-tý ř.
m
Skalární součin vektorů
A B C
EMM2 7
Příklad 1
1 2 3
4 5 6
7 8 9
1
2
3
11 2 2 33
41 52 6 3
71 8 2 9 3
14
32
50





















 
 
 





















.
. . .
. . .
. . .
Příklad 2
1 2 3
4 5 6
7 8 9
1 3
2 2
3 1
11 2 2 33
41 52 63
71 82 9 3
13 2 2 31
4 3 52 61
7 3 82 91
14
32
50
10
28
46





















 
 
 
 
 
 





















.
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
EMM2 8
Příklad 3
A x = b































12
11
10
963
852
741
3
2
1
x
x
x
.
























12
11
10
963
852
741
321
321
321
x.x.x
.x.x.x
.x.x.x
x1 + 4.x2 + 7.x3 = 10
2.x1 + 5.x2 + 8.x3 = 11
3.x1 + 6.x2 + 9.x3 = 12
EMM2 9
𝑰 =
1 0 … 0
0 1 … 0
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 0 … 1
—
Jednotková matice je neutrální vzhledem k násobení:
𝑰 ⋅ 𝑨 = 𝑨 ⋅ 𝑰 = 𝑨
Nechť 𝑨 je regulární (angl. non-singular)
čtvercová matice typu 𝑛 × 𝑛
(ekvivalentně: det 𝐴 ≠ 0, popř. hodnost 𝐴 = 𝑛 )
Potom má inverzní matici 𝑨−1
, pro kterou platí:
𝑨 ⋅ 𝑨−1
= 𝑨−1
⋅ 𝑨 = 𝑰
Inverzní matice A-1
Jednotková matice
(Jiné značení: „ 𝑬 “)
EMM2 10
Řešení soustavy lineárních rovnic:
A x = b
A-1A x = A-1b
x = A-1b
E
(násobíme zleva A-1)
EMM2 11
Příklad 4
A.x = b































12
11
10
843
962
751
3
2
1
x
x
x
.
















3
4
3
11
3
10
3
5
3
13
3
11
144
1
A
EMM2 12
Příklad 4 …
Řešení:

























12
11
10
3
4
3
11
3
10
3
5
3
13
3
11
144
.












9
9
8
=










3
2
1
x
x
x
EMM2 13
Extrém funkce (maximum)
f(x) ... reálná funkce definována na množině X Rn
f(x)
... maximální hodnota f na X
... bod (vektor) nebo množina bodů
(vektorů) z X v němž (kde) je dosažena
maximální hodnota funkce f na X
Xx
xf

)(max
Xx
xf

)(maxarg









nx
...
x
x
2
1
x
výrobní program zisk
= c1x1+c2x2+…+cnxn
EMM2 14
Extrém funkce (minimum)
f(x) ... reálná funkce definována na množině X Rn
... minimální hodnota f na X
... množina bodů z X v níž je dosažena
minimální hodnota funkce f na X
Xx
xf

)(min
Xx
xf

)(minarg
EMM2 15
Extrém funkce …
f(x) = 2 - (x-1)2 , X = [0 ; 3]
= 2 , = {1}
Příklad 5 a)
Xx
xf

)(maxarg
Xx
xf

)(max
2
1
0 1 3
X
f(x)
x
EMM2 16
Extrém funkce …
f(x) = 2 - (x-1)2 , x [0 , 1] = X
= 1 , x [1 , 3]
= 2 , = [1 , 3]
Příklad 5 b)
Xx
xf

)(maxarg
Xx
xf

)(max
2
1
0 1 3
X
f(x)
x
Xx
xf

)(min = 1
Xx
xf

)(minarg = {0}
EMM2 17
Matematické programování
Základní úloha
f(x1, x2, ... ,xn)  MAX; (1)
za podmínek
g1(x1, x2, ... , xn)  b1
g2(x1, x2, ... , xn)  b2
............................................... (2)
gm(x1, x2, ... , xn)  bm
x1  0 , x2  0 , ... , xn  0
EMM2 18
Matematické programování
Základní úloha
f(x1, x2, ... ,xn)  MAX; (1) účelová funkce
za podmínek
g1(x1, x2, ... ,xn)  b1
g2(x1, x2, ... ,xn)  b2
................................. (2) omezující podmínky
gm(x1, x2, ... ,xn)  bm (mohou chybět)
x1  0 , x2  0 , ... , xn  0 podmínky nezápornosti
EMM2 19
Příklad 6
Nalezněte dvě kladná čísla s maximálním možným
součinem, jejich součet je nejvýše 10:
x1x2  MAX; f(x1, x2) = x1.x2
za podmínek
x1 + x2  10 g1(x1, x2) = x1 + x2
x1  0 , x2  0
Řešení na semináři pomocí Excel – Řešitel
(Výsledek: x1* = 5 , x2* = 5 )
EMM2 20
Základní úloha …
min f(x) = - max -f(x)
x* = arg min f(x) = arg max (- f(x))
x
f(x)
-f(x)
0
EMM2 21
Převedení nerovností na rovnosti
přídatné proměnné: xn+1 , xn+2 , ... , xn+m :
g1(x1, x2, ... ,xn) + xn+1 = b1
g2(x1, x2, ... ,xn) + xn+2 = b2
…………………………………………..
gm(x1, x2, ... ,xn) + xn+m = bm
xj  0 j = n+1, ..., n+m
EMM2 22
Převedení rovnice na nerovnost
gj(x1, x2, ... ,xn) = bj
 
gj(x1, x2, ... ,xn)  bj , gj(x1, x2, ... ,xn)  bj
EMM2 23
Příklad 6 – převedení omezujících
podmínek na rovnosti
x1 x2  MAX;
za podmínek
x1 + x2 + x3 = 10
x1  0 , x2  0, x3  0
Ověření na semináři pomocí Excel - Řešitel
EMM2 24
Každé číslo 𝑥 (neomezené ve znaménku) lze zapsat jako
rozdíl dvou nezáporných čísel 𝑥+ a 𝑥− :
𝑥 = 𝑥+ − 𝑥− ,
kde
𝑥+
, 𝑥−
≥ 0
Podmínka nezápornosti proměnných
EMM2 25
Poznámka:
Celočíselnost proměnné 𝑥 jako
nelineární podmínka
Celočíselnost proměnných 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛 (matematická kuriozita):
෍
𝑗=1
𝑛
sin2 𝜋𝑥𝑗 ≤ 0
Proměnná 𝑥𝑗 je binární (𝑥𝑗 ∈ {0, 1}):
𝑥𝑗
2
− 𝑥𝑗 = 0
EMM2 26
Lokální a globální extrémy
x0 ... lokální maximum funkce f(x) ...(lokální minimum funkce)
 okolí U bodu x0 :  x  U  X platí f(x)  f(x0) (f(x)  f(x0) )
x* ... globální maximum f(x) ... (globální minimum funkce)
 x  X platí f(x)  f(x0) (f(x)  f(x0) )
f(x)
x4
x5
x2
x1
x3
x6
x7
X