© 2022 ACREA CR, spol. s r.o.
ANOVA


© 2022 ACREA CR, spol. s r.o.
Otázky a motivace
•Situace: měříme hodnoty číselné proměnné u jednotek, které jsou klasifikovány do K
nepřekrývajících se skupin.
•
•Liší se od sebe populační průměry (střední hodnoty) ve skupinách nebo jsou zjištěné rozdíly
výběrových průměrů způsobené pouze náhodou? •Jsou hodnoty analyzované proměnné ovlivněné sledovaným
faktorem (skupinami)?
•
•Úloha porovnání průměrů v několika skupinách je rozšířením situace dvouvýběrového t-testu pro více
skupin
2

© 2022 ACREA CR, spol. s r.o.
Variabilita
3

© 2022 ACREA CR, spol. s r.o.
Nulová a alternativní hypotéza
•H0: průměry (střední hodnoty) ve skupinách se rovnají, tj.
• m1 = m2 = … = mK
•HA: průměry (střední hodnoty) nějakých dvou skupin se nerovnají, tj.
• $ i,j: mi ¹ mj
•
•Alternativní možnost formulace:
•H0: mi = m pro všechna i a nějakou konstantu m  (tj. existuje společná střední hodnota m )
•HA: mi ¹ m alespoň pro jednu skupinu i (společná hodnota m  neexistuje)
4

© 2022 ACREA CR, spol. s r.o.
Rozklad variability
5

© 2022 ACREA CR, spol. s r.o.
Grafické znázornění rozkladu (1)
6

© 2022 ACREA CR, spol. s r.o.
Grafické znázornění rozkladu (2)
7

© 2022 ACREA CR, spol. s r.o.
Korelační poměr - motivace
•Jak silná je vazba mezi číselnou proměnnou a nezávislou nominální proměnnou? •Jak dobře vysvětluje
rozdělení souboru do zkoumaných skupin variabilitu číselné proměnné? •Který ze zkoumaných faktorů
nejsilněji ovlivňuje analyzovanou proměnnou?
8
?

© 2022 ACREA CR, spol. s r.o.
Korelační poměr
9

© 2022 ACREA CR, spol. s r.o.
Fisherův test
10

© 2022 ACREA CR, spol. s r.o.
Tabulka ANOVA
11
součty čtverců
stupně volnosti
průměrné čtvercové odchylky
testová statistika F
dosažená hladina významnosti
celkem
uvnitř skupin
mezi skupinami

© 2022 ACREA CR, spol. s r.o.
Předpoklady
•pozorování jsou mezi sebou navzájem nezávislá
•skutečné hodnoty a chyby jsou navzájem nezávislé
•výběry pocházejí z normálního rozdělení
•výběry jsou navzájem nezávislé (mají prázdný průnik)
•ve skupinách jsou stejné rozptyly
•
•Pozn.: Simulační studie a zkušenosti z aplikací ukazují, že první předpoklad je kritický a jeho
nedodržení silně ovlivňuje aplikabilitu. Předpoklady normálního rozdělení a shody rozptylů nemají
na výsledky rozhodující vliv. Metoda je proti jejich použití značně robustní.
12

© 2022 ACREA CR, spol. s r.o.
Ověřování předpokladů (1)
•Předpoklad shody rozptylů ve skupinách
•Leveneho test
•H0: rozptyly ve skupinách se rovnají, tj.
• s1 = s 2 = … = sK
•HA: rozptyly některých dvou skupin se nerovnají, tj.
• $ i,j: si ¹ sj
•
•
•
•
•
•Pozn.: Statistika F je poměrně robustní vzhledem k odchylkám od tohoto předpokladu v případě, že
velikost skupin je stejná nebo téměř stejná. Pokud se však velikosti skupin i rozptyly liší, je
vhodnější užít robustnější testy.
•
13

© 2022 ACREA CR, spol. s r.o.
Welschův a Brown-Forsythův test
•Robustnější testy vzhledem k odchylkám od shody rozptylů
•Welschův test
•Brown-Forsythův test
•
14

© 2022 ACREA CR, spol. s r.o.
Ověřování předpokladů (2)
•Předpoklad normálního rozložení
•Ověřování:
•a) grafické metody (histogram, boxplot, Q-Q Plot …)
15

© 2022 ACREA CR, spol. s r.o.
Ověřování předpokladů (3)
•b) testy:
–Kolmogorov-Smirnov – test založený na porovnání distribučních funkcí: teoretické pro normální
rozložení a kumulativní empirické distribuční funkce
–Shapiro-Wilk – test založený na porovnání kvantilových hodnot (pořádkových statistik) teoretické a
uspořádané statistické řady
•
•
•
•
•
16
H0: proměnná má normální rozložení

© 2022 ACREA CR, spol. s r.o.
Kruskal-Wallisův test
•Analyze – Nonparametric Tests – Legacy dialogs – N Independent Samples
•Dva a více nezávislých výběrů
•H0: Všechny pozorované skupiny pochází ze stejného rozdělení
•HA: Alespoň jedna z pozorovaných skupin pochází z jiného rozdělení
•Liší-li se rozdělení jen svými parametry považujeme je také za rozdílná, tj. platí HA.
•testovaná rozdělení není třeba specifikovat
•neparametrická alternativa ANOVA
•
17