UFPA129 Matematika III

Filozoficko-přírodovědecká fakulta v Opavě
zima 2021
Rozsah
2/1/0. 4 kr. Ukončení: zk.
Vyučující
RNDr. Martin Kološ, Ph.D. (přednášející)
RNDr. Martin Kološ, Ph.D. (cvičící)
Garance
RNDr. Martin Kološ, Ph.D.
Centrum interdisciplinárních studií – Filozoficko-přírodovědecká fakulta v Opavě
Předpoklady
Nutné je předem absolvovat předmět Matematika I, vhodné potom absolvovat předmět Matematika II.
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Předmět umožňuje posluchačům seznámit se základy teorie polynomů, řad a řešení základních typů lineárních diferenciálních rovnic. Důraz je zde kladen na zvládnutí základních početních technik, řešení úloh a praktické aplikace. Probírané definice a věty tak slouží pouze k základní orientaci posluchačů v dané problematice bez záměru objasnění hlubších teoretických souvislostí a podrobnější detailů. Zařazení prvních tří témat by mělo sloužit posluchačům k upevnění znalostí v partiích středoškolské gymnaziální matematiky týkající se řešení rovnic vyšších stupňů. Další partie potom navazují na partie probírané v předmětu Matematika I a ukončují tak nezbytnou matematickou průpravu posluchačů pro orientaci ve fyzikálních předmětech tvořící součást jejich dalšího studia.
Osnova
  • 1) Komplexní čísla:
    definice komplexních čísel, imaginární jednotka, reálná a imaginární část komplexního čísla, rovnost, sčítání, násobení a dělení komplexních čísel, komplexně sdružené číslo, absolutní hodnota komplexního čísla, geometrické znázornění komplexních čísel, goniometrické vyjádření komplexních čísel, argument komplexního čísla, Moivreův vzorec, odmocňování komplexních čísel.

    2) Polynomy:
    polynom stupně n, rovnost, součet, součin a podíl polynomů, největší společný dělitel polynomů, Euklidův algoritmus, kořen polynomu, algebraická rovnice n-tého stupně, Hornerovo schéma, Bézoutova věta, Základní věta algebry, D´Alambertova věta o rozkladu na kořenové činitele v oboru komplexních čísel, k-násobný kořen polynomu, funkce reálná racionální lomená, parciální zlomky.
    3) Kubické, bikvadratické a binomické rovnice:
    rovnice třetího stupně, algebraické řešení (Cardanovy vzorce) a goniometrické řešení, rovnice čtvrtého stupně, algebraické řešení, kubická rezolventa, binomická rovnice a její řešení.
    4) Číselné řady:
    nekonečná číselná řada, částečný součet a zbytek, konvergence, divergence a oscilace, geometrická řada, nutná podmínka konvergence, kritéria konvergence řad s kladnými členy, kritéria konvergence alternujících řad, operace s číselnými řadami, absolutní konvergence.
    5) Funkční řady:
    funkční řada, obor konvergence, částečný součet a zbytek, stejnoměrná konvergence, Weierstrassovo kritérium, spojitost funkční řady, integrace a derivace funkční řady.
    6) Mocninné řady:
    mocninná řada, poloměr konvergence, stejnoměrná konvergence, spojitost, derivování a integrování mocninných řad, rozvoje funkcí v Taylorovy řady, Eulerův vzorec.
    7) Fourierovy řady:
    trigonometrická řada a polynom, funkce integrovatelná s kvadrátem, skalární součin funkcí, ortogonální funkce, norma funkce, ortogonální systém funkcí, Fourierova řada, rozvoj funkcí do Fourierových řad, bodová a stejnoměrná konvergence Fourierovy řady.
    8) Základy teorie obyčejných diferenciálních rovnic
    obyčejné a parciální diferenciální rovnice, řád diferenciální rovnice, lineární diferenciální rovnice, užití obyčejných diferenciální rovnic, pojem řešení obyčejných diferenciálních rovnic, integrální křivka, počáteční podmínky a počáteční problém (Cauchyova úloha), druhy řešení obyčejných diferenciálních rovnic, řešení některých typů obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu (metoda separace proměnných, variace konstant, substituce, Bernoulliova rovnice).
Literatura
    doporučená literatura
  • M. Klíč A. Matematika I ve strukturovaném studiu. info
  • E. Calda. Matematika pro gymnázia - Komplexní čísla. info
  • J. Polák. Přehled středoškolské matematiky. info
  • K. Rektorys a spol. Přehled užité matematiky I, II. info
  • J. Polák. Středoškolská matematika v úlohách I, II. info
Informace učitele
Podmínky pro udělení zápočtu:
získání aspoň 6 bodů ze zápočtové písemné práce.
Podmínky pro úspěšné absolvování zkoušky:
získání aspoň 8 bodů ze zkouškové písemné práce.
Další komentáře
Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je zařazen také v obdobích zima 1993, zima 1994, zima 1995, zima 1996, zima 1997, zima 1998, zima 1999, zima 2000, zima 2001, zima 2002, zima 2003, zima 2004, zima 2005, zima 2006, zima 2007, zima 2008, zima 2009, zima 2010, zima 2011, zima 2012, zima 2013, zima 2014, zima 2015, zima 2016, zima 2017, zima 2018, zima 2019, zima 2020, zima 2022.